《平行四邊形的性質(zhì)》教案
作為一位優(yōu)秀的人民教師，就不得不需要編寫(xiě)教案，教案是備課向課堂教學(xué)轉化的關(guān)節點(diǎn)。來(lái)參考自己需要的教案吧！以下是小編整理的《平行四邊形的性質(zhì)》教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。
《平行四邊形的性質(zhì)》教案1
【知識目標】
1、掌握平行四邊形有關(guān)概念；
2、在動(dòng)手操作實(shí)踐的過(guò)程中，探索并掌握平行四邊形的性質(zhì)。
【能力目標】
1、通過(guò)探索與證明平行四邊形的性質(zhì)，發(fā)展演繹推理的能力；
2、在證明平行四邊形的性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì )將平行四邊形問(wèn)題為三角形問(wèn)題的轉化思想．
【情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)】
在進(jìn)行探索的活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展合作交流的意識．
【數學(xué)核心素養目標】
1、通過(guò)操作活動(dòng)，在發(fā)現平行四邊形的性質(zhì)的過(guò)程中培養直觀(guān)想象的數學(xué)素養；
2、通過(guò)對性質(zhì)的證明，進(jìn)一步提升邏輯推理的數學(xué)核心素養．
教材
分析
重點(diǎn)
掌握平行四邊形的概念與性質(zhì)
難點(diǎn)
對平行四邊形性質(zhì)的探究與證明
教學(xué)方法
引導類(lèi)比、鼓勵操作、啟發(fā)推理
學(xué)法指導
探索發(fā)現、猜想證明、遷移應用
教學(xué)過(guò)程
一、引入新課
PPT呈現：類(lèi)比是偉大的引路人，轉化是智慧的思想家．
幾何學(xué)習，是一場(chǎng)充滿(mǎn)挑戰與驚喜的旅行，老師很榮幸今天能和在座的同學(xué)們繼續我的平面幾何之旅．
回顧我們學(xué)過(guò)的平面圖形：
直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段角三角形？
同學(xué)們推測一下，接著(zhù)我們會(huì )研究那種平面圖形？四邊形
我們就從生活中常見(jiàn)的一類(lèi)特殊的四邊形——平行四邊形研究起．
你能舉出一些生活中常見(jiàn)的平行四邊形實(shí)例嗎？
地磚、推拉門(mén)、活動(dòng)衣架、窗格……
二、實(shí)踐探究
1、平行四邊形的相關(guān)概念
平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形．
D
C
A
B
如圖：
學(xué)生活動(dòng)：邀請學(xué)生指導老師畫(huà)兩組分別平行的線(xiàn)段，并上黑板協(xié)助老師畫(huà)圖，從而得到平行四邊形．
平行四邊形的符號表示：ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”
�。ㄗ⒁獗硎緯r(shí)，四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的書(shū)寫(xiě)順序只能按順時(shí)針?lè )较蚧蚰鏁r(shí)針?lè )较颍?/p>
邊、對邊、鄰邊；角、對角、鄰角
對角線(xiàn)：平行四邊形不相鄰的'兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線(xiàn)段叫做它的對角線(xiàn)．
ABCD的對角線(xiàn)有兩條：AC、BD
2、平行四邊形是中心對稱(chēng)圖形
活動(dòng)：利用平行四邊形紙片探索平行四邊形的性質(zhì)
活動(dòng)方式：同桌或四人小組合作、討論交流．
教具：畫(huà)好平行四邊形的彩紙、透明紙各一張、圖釘一枚．
平行四邊形是中心對稱(chēng)圖形，兩條對角線(xiàn)的交點(diǎn)是它的對稱(chēng)中心．
3、平行四邊形的性質(zhì)
性質(zhì)1：平行四邊形的對邊相等．
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
求證：AB=CD，BC=DA．
證明：連接AC
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB∥CD，BC∥DA（平行四邊形的定義）
所以∠1=∠2，∠3=∠4
在△ABC與△CDA中：
所以（ASA）
所以AB=CD，BC=DA
幾何語(yǔ)言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD，BC=DA
性質(zhì)2：平行四邊形的對角相等．
幾何語(yǔ)言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
三、應用遷移
【例題探究，夯實(shí)基礎】
例：已知：如圖，在□ABCD中，E，F是對角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF。
求證：
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD（平行四邊形的對邊相等）
AB∥CD（平行四邊形的定義）
所以∠BAE=∠DCF
在12鈭咥BE/與12鈭咰DF/中：
因為
所以（SAS）
所以BE=DF
【例題變式，靈活思維】
變式1：已知：如圖，在A(yíng)BCD中，E，F是對角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，并且AE∥DF。
求證：
變式2：已知：如圖，在A(yíng)BCD中，E，F是對角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，并且BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
求證：
變式1圖變式2圖
【接龍練習，鞏固遷移】
1、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，
若∠A=130°，則∠B=______，∠C=______，∠D=______；
若AB=4，AD=5，則BC=__________，CD=________。
第1題圖第2題圖
2、如圖，在平面直角坐標系中，□ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（0，0）、B（4，0）、D（1，2），則頂點(diǎn)C的坐標是_____________。
3、小強用30米的鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形的場(chǎng)地（不計接口長(cháng)度），其中一條邊長(cháng)是10米，則與這條邊相鄰的邊的長(cháng)度是________米．
4、如圖，在□ABCD中，若BE平分∠ABC，則ED＝．
5、如圖，在□ABCD中，AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，∠AMB____。
第4題圖第5題圖
【游戲設計，拓展提升】
四位同學(xué)玩傳球游戲，三位同學(xué)已經(jīng)站好位置，要求以這四位同學(xué)所占位置為頂點(diǎn)，組成平行四邊形，請問(wèn)第四位同學(xué)應該站在哪里？
解：如圖，第四位同學(xué)可以站在P、Q、M這三個(gè)位置．
四、本課總結
知識：平行四邊形的概念與性質(zhì)
探究方法與思想：類(lèi)比探究，轉化思想
五、作業(yè)布置
必做題：課本P1372、3、4題．
選做題：將【游戲設計，拓展提升】部分的問(wèn)題整理在好題本“分類(lèi)討論”這一問(wèn)題中．
設計意圖
提醒并滲透“類(lèi)比的方法、轉化的思想”．
提醒學(xué)生本節課是幾何探究課程．
本節課是《平行四邊形》這一章的章起始課，促使學(xué)生對平面圖形的學(xué)習進(jìn)行系統性的認識．
小學(xué)已經(jīng)感知上認識了平行四邊形，由學(xué)生主動(dòng)舉生活中平行四邊形的實(shí)例，感受數學(xué)源于生活而服務(wù)于生活，同時(shí)逐漸調動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考，為接下來(lái)的探究熱身．
突出學(xué)生課堂主體的地位，加深對平行四邊形定義的認識．
突出重點(diǎn)：
1、學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、動(dòng)手操作，經(jīng)歷平行四邊形性質(zhì)的探索和發(fā)現過(guò)程，發(fā)展合作交流的意識，提升探究能力；
2、在動(dòng)手操作額過(guò)程中，發(fā)現并驗證了平行四邊形是中心對稱(chēng)圖形；
3、使學(xué)生發(fā)現平行四邊形中有關(guān)元素之間的相等關(guān)系，獲得平行四邊形有關(guān)性質(zhì)的猜想．
突破難點(diǎn)：
1、學(xué)生探索猜想性質(zhì)是合情推理，而規范證明則是演繹推理，通過(guò)規范的幾何證明，提升學(xué)生的推理論證能力．
2、轉化思想：將四邊形問(wèn)題轉化為三角形問(wèn)題來(lái)研究．
1、引導學(xué)生探索并展示多種證明方法．
2、激勵學(xué)生分析、解決問(wèn)題的熱情，進(jìn)一步提升推理論證的能力．
本例是對所學(xué)的平行四邊形性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應用。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生先獨立思考，再組織學(xué)生進(jìn)行交流。鼓勵學(xué)生充分表達他們尋求證明思路的過(guò)程。
這兩個(gè)問(wèn)題是對例題條件進(jìn)行變化，結論不變，以促進(jìn)學(xué)生對平行四邊形性質(zhì)的熟練掌握與靈活運用．
1、這組練習的設計，層層遞進(jìn)，由淺入深，可有效地開(kāi)發(fā)各層次學(xué)生的潛能及上進(jìn)心，實(shí)現分類(lèi)推進(jìn)的教學(xué)思想．
2、第4題引導學(xué)生發(fā)現平行四邊形一條角平分線(xiàn)可以構造出等腰三角形；
3、第5題引導學(xué)生發(fā)現平行四邊形兩個(gè)鄰角的角平分線(xiàn)可以構造出直角三角形三角形．
�。ù藛�(wèn)題根據實(shí)際授課情況，可刪減）
1、游戲情境，激發(fā)學(xué)生興趣；
2、此問(wèn)題有三種情況，體現分類(lèi)討論的思想，促進(jìn)學(xué)生思考問(wèn)題的全面性；
1、作業(yè)一部分是必做題，體現新課標下落實(shí)“學(xué)有價(jià)值的數學(xué)”，達到“人人都能獲得必需數學(xué)”，另一部分是選做題，讓“不同的人在數學(xué)上得到不同的發(fā)展”．
2、選做部分為了促進(jìn)學(xué)生養成分類(lèi)梳理數學(xué)問(wèn)題的習慣．
《平行四邊形的性質(zhì)》教案2
教學(xué)目標：
1。經(jīng)歷探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)的過(guò)程，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習慣;
2。索并掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應用;
3。在探索活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探究意識。
教學(xué)重點(diǎn)：平行四邊形性質(zhì)的探索。
教學(xué)難點(diǎn)：平行四邊形性質(zhì)的理解。
教學(xué)準備：多媒體課件
教學(xué)過(guò)程
第一環(huán)節：實(shí)踐探索，直觀(guān)感知（5分鐘，動(dòng)手實(shí)踐、探索、感知，學(xué)生進(jìn)一步探索了平行四邊形的概念，明確了平行四邊形的本質(zhì)特征。）
1。小組活動(dòng)一
內容：
問(wèn)題1：同學(xué)們拿出準備好的剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個(gè)四邊形。
�。�1）你拼出了怎樣的四邊形？與同桌交流一下;
�。�2）給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關(guān)系？說(shuō)說(shuō)你的理由，請用簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言刻畫(huà)這個(gè)圖形的特征。
2。小組活動(dòng)二
內容：生活中常見(jiàn)到平行四邊形的實(shí)例有什么呢？你能舉例說(shuō)明嗎？
第二環(huán)節 探索歸納、合作交流（5分鐘，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)嘴，全班交流）
小組活動(dòng)3：
用 一張半透明的紙復制你剛才畫(huà)的平行四邊形，并將復制 后的四邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉180，你能平移該紙片，使它與你畫(huà)的平行四邊形重合嗎？由此你能得到哪些結論？四邊形的`對邊、對角分別有什么關(guān)系？能用別的方法驗證你的結論嗎？
�。�1）讓學(xué)生動(dòng)手操作、復制、旋轉 、觀(guān)察、分析;
�。�2）學(xué)生交流、議論;
�。�3）教師利用多媒體展示實(shí)踐的過(guò)程。
第三環(huán)節 推理論證、感悟升華（10分鐘，學(xué)生通過(guò)說(shuō)理，由直觀(guān)感受上升到理性分析，在操作層面感知的基礎上提升，并了解圖形具有的數學(xué)本質(zhì)。）
實(shí)踐 探索內容
�。�1）通過(guò)剪紙，拼紙片，及旋轉，可以觀(guān)察到平行四邊行的對角線(xiàn)把它分成的兩個(gè)三角形全等。
�。�2）可以通過(guò)推理來(lái)證明這個(gè)結論，如圖連結AC。
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
AD /pic/pic/p>
2，4
△AB C和△CDA中
1
AC=C A
4
△ABC≌△CDA（ASA）
AB=DC， AD=CB，B
又∵2
4
3=4
即BAD=DCB
第四環(huán)節 應用鞏固 深化提高（10分鐘，通過(guò)議一議，練一練，學(xué)生進(jìn)一步理解平行四邊形的性質(zhì)，并進(jìn)行簡(jiǎn)單合情推理，體現性質(zhì)的應用，同時(shí)從不同角度平移、旋轉等再一次認識平行四邊形的本質(zhì)特征。）
1�；顒�(dòng)內容：
�。�1）議一議：如果已知平行四邊形的一個(gè)內角度數，能確定其它三個(gè)內角的度數嗎？
A（學(xué)生思考、議論）
B總結歸納：可以確定其它三個(gè)內角的度數。
由平行四邊形對 邊分邊平行 得到鄰角互補;又由于平行四邊形對角相等，由此已知平行四邊形的一個(gè)內角的度數，可以確定其它三個(gè)角度數。
�。�2）練一練（P99隨堂練習）
練1 如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。
�。�1）求ADC、BCD度數
�。�2）邊AB、BC的度數、長(cháng)度。
練2 四邊形ABCD是平行四邊形
�。�1）它的四條邊中哪些 線(xiàn)段可以通過(guò)平移相到得到？
�。�2）設對角線(xiàn)AC、BD交于O;AO與OC、BO與OD有何關(guān)系？說(shuō)說(shuō)理由。
歸 納：平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分。
第五環(huán)節 評價(jià)反思 概括總結（8分鐘，學(xué)生踴躍談感受和收獲）
活動(dòng)內容
師生相互交流、反思、總結。
�。�1）經(jīng)歷了對平行四邊形的特征探索，你有什么感受和收獲？給自己一個(gè)評價(jià)。
�。�2）在與同伴合作交流中練表現，優(yōu)秀方面有哪些？你看到同伴哪些優(yōu)點(diǎn)？
�。�3）本節學(xué)習到了什么？（知識上、方法上）
考一考：
1。 ABCD中，B=60，則A= ，C= ，D= 。
2。 ABCD中，A比B大20，則C= 。
3。 ABCD中，AB=3，BC=5，則AD= CD= 。
4。 ABCD中，周長(cháng)為40cm，△ABC周長(cháng)為25，則對角線(xiàn)AC=（ ）cm。
布置作業(yè)
課本習題4。1
A組（學(xué)優(yōu)生）1 、2
B組（中等生）1、2
C組（后三分之一生）1、2
教學(xué)反思
《平行四邊形的性質(zhì)》教案3
【學(xué)習目標】
1．能運用勾股定理解決生活中與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題；
2．能從實(shí)際問(wèn)題中建立數學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，同時(shí)滲透方程、轉化等數學(xué)思想。
3．進(jìn)一步發(fā)展有條理思考和有條理表達的能力，體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值
【學(xué)習重、難點(diǎn)】
重點(diǎn)：勾股定理的應用
難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題
【新知預習】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長(cháng).
【導學(xué)過(guò)程】
一、情境創(chuàng )設
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計算各條拉索的長(cháng)？
二、探索活動(dòng)
活動(dòng)一 如圖，起重機吊運物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長(cháng).
活動(dòng)二 在我國古代數學(xué)著(zhù)作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(cháng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦的長(cháng)度各為多少？
活動(dòng)三 一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠(chǎng)門(mén)形狀如圖所示的某工廠(chǎng)，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠(chǎng)的廠(chǎng)門(mén)？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國道路交通安全法》規定：小汽車(chē)在城市道路上行駛速度不得超過(guò)70km/h，如圖一輛小汽車(chē)在一條城市中的直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面車(chē)速檢測儀的.正前方30m處，過(guò)了2s后，測得小汽車(chē)與車(chē)速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車(chē)超速了嗎？
2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問(wèn)吸管需要多長(cháng)？
【反饋練習】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個(gè)直角三角形的模具，量得其中兩邊的長(cháng)分別為5cm，3cm，則第三邊的長(cháng)是______;
(3)甲乙兩人同時(shí)從同一地出發(fā)，甲往東走4km，乙往南走6km，這時(shí)甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm ,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．無(wú)法確定
3.如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點(diǎn)多遠處？
【課后作業(yè)】P67 習題2.7 1、4題
八年級數學(xué)競賽輔導教案：由中點(diǎn)想到什么
第十八講 由中點(diǎn)想到什么
線(xiàn)段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它關(guān)聯(lián)著(zhù)三角形中線(xiàn)、直角三角形斜邊中線(xiàn)、中心對稱(chēng)圖形、三角形中位線(xiàn)、梯形中位線(xiàn)等豐富的知識，恰當地利用中點(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，由中點(diǎn)想到什么?常見(jiàn)的聯(lián)想路徑是：
1．中線(xiàn)倍長(cháng)；
2．作直角三角形斜邊中線(xiàn)；
3．構造中位線(xiàn)；
4．構造中心對稱(chēng)全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結論：
例題求解
【例1】 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)， AB=10cm，則MD的長(cháng)為 ．
(“希望杯”邀請賽試題)
思路點(diǎn)撥 取AB中點(diǎn)N，為直角三角形斜邊中線(xiàn)定理、三角形中位線(xiàn)定理的運用創(chuàng )造條件．
注 證明線(xiàn)段倍分關(guān)系是幾何問(wèn)題中一種常見(jiàn)題型，利用中點(diǎn)是一個(gè)有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線(xiàn)定理；
(2)運用中位線(xiàn)定理；
(3)倍長(cháng)(或折半)法．
【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，一組對邊AB=CD，另一組對邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點(diǎn)M、N，連結MN．則AB與MN的關(guān)系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB (20xx年河北省初中數學(xué)創(chuàng )新與知識應用競賽試題) 思路點(diǎn)撥 中點(diǎn)M、N不能直接運用，需增設中點(diǎn)，常見(jiàn)的方法是作對角線(xiàn)的中點(diǎn)． 【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(cháng)AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連結CE、CD，求證：C D=2EC． (浙江省寧波市中考題) 思路點(diǎn)撥 聯(lián)想到與中位線(xiàn)相關(guān)的豐富知識，將線(xiàn)段倍分關(guān)系的證明轉化為線(xiàn)段相等關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是恰當添輔助線(xiàn)． 【例4】 已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分別為F、G，連結FG，延長(cháng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交，易證FG= (AB+BC+AC)． 若(1)BD、CF分別是△ABC的內角平分線(xiàn)(如圖2)； (2)BD為△ABC的內角平分線(xiàn)，CE為△ABC的外角平分線(xiàn)(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線(xiàn)段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量關(guān)系?請寫(xiě)出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明． (20xx年黑龍江省中考題) 思路點(diǎn)撥 圖1中FG與△ABC三邊的數量關(guān)系的求法(關(guān)鍵是作輔助線(xiàn))，對尋求后兩個(gè)圖形中線(xiàn)段FG與△ABC三邊的數量關(guān)系起著(zhù)重要作用，而由平分線(xiàn)、垂線(xiàn)發(fā)現中點(diǎn)，這是解題的基礎． 注 三角形與梯形的中位線(xiàn)．在位置上涉及到平行，在數量上是上下底和的一半，它起著(zhù)傳遞角的位置關(guān)系和線(xiàn)段長(cháng)度的功能，在證明線(xiàn)段倍分關(guān)系、兩直線(xiàn)位置關(guān)系、線(xiàn)段長(cháng)度的計算等方面有著(zhù)廣泛的應用． 【例5】 如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K、L分別為MN、PQ的中點(diǎn)，求證：KL∥AE且KL= AE． (20xx年天津賽區試題) 思路點(diǎn)撥 通過(guò)連線(xiàn)，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個(gè)中點(diǎn)的 利用創(chuàng )造條件，這是解本例的突破口． 注 需要什么，構造什么，構造基本圖形、構造線(xiàn)段的和差(倍分)關(guān)系、構造角的關(guān)系等，這是作輔助線(xiàn)的有效思考方法之一． 學(xué)歷訓練 1．BD、CE是△ABC的中線(xiàn)，G、H分別是BE、CD的中點(diǎn)，BC=8，則GH= ． (20xx年廣西中考題) 2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的中點(diǎn)，則 ；若 D2、E2分別是D1B、E1C的中點(diǎn)，則 ：若 D3、E3分別是D2B、E2C的中點(diǎn).則 ……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，則DnEn= (n≥1且 n為整數). (200l年山東省濟南市中考題) 3．如圖，△ABC邊長(cháng)分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線(xiàn)AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值是 ． 4．如圖， 梯形ABCD中，AD∥BC，對角線(xiàn)AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線(xiàn)的長(cháng)等于 cm． (20xx年天津市中考題) 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=( ) A．40 B．48 C 50 D．56 6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對角線(xiàn)BD、AC的中點(diǎn)，若AD=6cm，BC=18?，則EF的長(cháng)為( ) A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm 7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點(diǎn)C落在A(yíng)B上的E點(diǎn)，DE、DF三等分∠ADC，AB的長(cháng)為6，則梯形ABCD的中位線(xiàn)長(cháng)為( ) A．不能確定 B．2 C． D． +1 (20xx年浙江省寧波市中考題) 8．已知四邊形ABCD和對角線(xiàn)AC、BD，順次連結各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個(gè)命題： �、偃羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形； �、谌羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形； �、廴羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則AC⊥BD； �、苋羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AC=BD； �、萑羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則∠BAD=90°； �、奕羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AB=AD． 以上命題中，正確的是( ) A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④ (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 9．如圖，已知△ABC中，AD是 高，CE是中線(xiàn)，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G 是CE的 中點(diǎn)；(2)∠B=2∠BCE． (20xx年上海市中考題) 10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連結BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點(diǎn)，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點(diǎn)． 11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長(cháng)線(xiàn)交BE于F． (1)求證：EF＝FB； (2)S△BCE能否為S梯形ABCD的 ?若不能，說(shuō)明理由；若能，求出AB與CD的關(guān)系． 12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長(cháng)為 ． (20xx年四川省競賽題) 13．四邊形ADCD的對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)F，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC= ． (重慶市競賽題) 1 4．四邊形ABCD中，AD>BC，C、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(cháng)線(xiàn)分別與EF的延長(cháng)線(xiàn)交于H、G，則∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”號) 15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線(xiàn)AD=2，AB+AC=3+ ，則S△ABC等于( ) A． B． C． D． 16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點(diǎn)，設∠DAQ=α，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP＝2α，則CP的長(cháng)是( ) A．1 D．2 C．3 D． 17．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系式是( ) A． B． C． D． 18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(cháng)CA、CB到E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、 CB的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE=∠PBF． (20xx年全國初中數學(xué)聯(lián)賽試題) 19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結論． (山東省競賽題) 20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結DE，設M為D正的中點(diǎn)． (1)求證：MB=MC； (2)設∠BAD=∠CAE，固定△ABD， 讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內旋轉到圖乙的位置，試問(wèn)：MB；MC是否還能成立?并證明其結論． (江蘇省競賽題) 21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線(xiàn)MN，過(guò)A、B、C、D4個(gè)頂點(diǎn)分別作MN的垂線(xiàn)AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1． (1)求證AA1+ CCl = BB1 +DDl； (2)如圖乙，直線(xiàn)MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)A與點(diǎn)B、C、D位于直線(xiàn)MN兩側，這時(shí)過(guò)A、B、C、D向直線(xiàn)MN引垂線(xiàn)，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl 之間存在什么關(guān)系? 教學(xué)目的： 1、深入了解平行四邊形的不穩定性； 2、理解兩條平行線(xiàn)間的距離定義（區別于兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離） 3、熟練掌握平行四邊形的定義，平行四邊形性質(zhì)定理1、定理2及其推論、定理3和四個(gè)平行四邊形判定定理，并運用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計算； 4、在教學(xué)中滲透事物總是相互聯(lián)系又相互區別的辨證唯物主義觀(guān)點(diǎn)，體驗“特殊--一般--特殊”的辨證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。 教學(xué)重點(diǎn)： 平行四邊形的性質(zhì)和判定。 教學(xué)難點(diǎn)： 性質(zhì)、判定定理的運用。 教學(xué)程序： 一、復習創(chuàng )情導入 平行四邊形的性質(zhì)： 邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）夾在平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等。 角：對角相等（定理1）；鄰角互補。 平行四邊形的判定： 邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1） 二、授新 1、提出問(wèn)題：平行四邊形有哪些性質(zhì)：判定平行四邊形有哪些方法： 2、自學(xué)質(zhì)疑：自學(xué)課本P79-82頁(yè)，并提出疑難問(wèn)題。 3、分組討論：討論自學(xué)中不能解決的問(wèn)題及學(xué)生提出問(wèn)題。 4、反饋歸納：根據預習和討論的效果，進(jìn)行點(diǎn)撥指導。 5、嘗試練習：完成習題，解答疑難。 6、深化創(chuàng )新：平行四邊形的性質(zhì)： 邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）夾在平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等。 角：對角相等（定理1）；鄰角互補。 平行四邊形的判定： 邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1） 7、推薦作業(yè) 1、熟記“歸納整理的內容”； 2、完成《練習卷》； 3、預習：（1）矩形的定義？ �。�2）矩形的性質(zhì)定理1、2及其推論的內容是什么？ �。�3）怎樣證明？ �。�4）例1的解答過(guò)程中，運用哪些性質(zhì)？ 思考題 1、平行四邊形的性質(zhì)定理3的'逆命題是否是真命題？根據題設和結論寫(xiě)出已 知求證； 2、如何證明性質(zhì)定理3的逆命題？ 3、有幾種方法可以證明？ 4、例2的證明中，運用了哪些性質(zhì)及判定？是否有其他方法？ 5、例3的證明中，運用了哪些性質(zhì)及判定？是否有其他方法？ 跟蹤練習 1、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點(diǎn)O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,則四邊形ABCD是平行四邊形。（ ） 2、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點(diǎn)O，若OC= 且 ,則四邊形ABCD是平行四邊形。 3、下列條件中，能夠判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（ ） �。ˋ）一組對角相等； （B）對角線(xiàn)相等； �。–）兩條鄰邊相等； （D）對角線(xiàn)互相平分。 創(chuàng )新練習 已知，如圖，平行四邊形ABCD的AC和BD相交于O點(diǎn)，經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的直線(xiàn)交BC和AD于E、F，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。（用兩種方法） 達標練習 1、已知如圖，O為平行四邊形ABCD的對角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與AB交于E，與CD 交于F。求證：四邊形AECF是平行四邊形。 2、已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是OA、OC的中點(diǎn)，求證：BM∥DN，且BM=DN 。 綜合應用練習 1、下列條件中，能做出平行四邊形的是（ ） �。ˋ）兩邊分別是4和5，一對角線(xiàn)為10； �。˙）一邊為4，兩條對角線(xiàn)分別為2和5； �。–）一角為600，過(guò)此角的對角線(xiàn)為3，一邊為4； �。―）兩條對角線(xiàn)分別為3和5，他們所夾的銳角為450。 推薦作業(yè) 1、熟記“判定定理3”； 2、完成《練習卷》； 3、預習： �。�1）“平行四邊形的判定定理4”的內容 是什么？ �。�2）怎樣證明？還有沒(méi)有其它證明方法？ �。�3）例4、例5還有哪些證明方法？ 教材分析 本節課既是七年級平行線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學(xué)習矩形、菱形、正方形等知識的堅實(shí)基礎。本節課是在學(xué)生掌握了平移等知識的基礎上探究平行四邊形的性質(zhì)，能使學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗、猜想、驗證、推理、交流等數學(xué)活動(dòng)，對于培養學(xué)生的推理能力、發(fā)散思維能力以及探索、體驗數學(xué)思維規律等方面起著(zhù)重要的作用。 學(xué)情分析 八年級學(xué)生有一定的自學(xué)、探索能力，求知欲強。并且，學(xué)生 在小學(xué)里已經(jīng)初步學(xué)習過(guò)平行四邊形，對平行四邊形有直觀(guān)的感知和認識。在掌握平行線(xiàn)和相交線(xiàn)有關(guān)幾何事實(shí)的過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)初步經(jīng)歷過(guò)觀(guān)察、操作等活動(dòng)過(guò)程，獲得了一定的探索圖形性質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗；同時(shí)，在學(xué)習數學(xué)的過(guò)程中也經(jīng)歷了很多合作過(guò)程，具有了一定的學(xué)習經(jīng)驗，具備了一定的合作和交流能力。借助于遠教資源的優(yōu)勢，能使腦、手充分動(dòng)起來(lái)，學(xué)生間相互探討，積極性也被充分調動(dòng)起來(lái)。在此基礎上學(xué)習平行四邊形的性質(zhì)，可以比較自然地得出平行四邊形的性質(zhì)。 教學(xué)目標 �、�、知識與技能： 1、理解并掌握平行四邊形的定義； 2、掌握平行四邊形的性質(zhì)定理； 3、理解兩條平行線(xiàn)的.距離的概念； 4、培養學(xué)生綜合運用知識的能力； �、�、過(guò)程與方法：經(jīng)歷探索平行四邊形的有關(guān)概念和性質(zhì)的過(guò)程， 發(fā)展學(xué)生的探究意識和合情推理的能力。 �、�、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：培養學(xué)生嚴謹的思維和勇于探索的思想意識，體會(huì )幾何知識的內涵與實(shí)際應用價(jià)值。 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：平行四邊形的定義，平行四邊形對角、對邊相等的性質(zhì)以及性質(zhì)的應用。 難點(diǎn)：運用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計算。 一、教材分析 1．教材的地位與作用 平行四邊形是最基本的幾何圖形，也是 “空間與圖形”領(lǐng)域中研究的主要對象之一．它在生活中有著(zhù)十分廣泛的應用，這不僅表現在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質(zhì)在生產(chǎn)、生活各領(lǐng)域的實(shí)際應用． 本節課既是平行線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學(xué)習矩形、菱形、正方形等知識的堅實(shí)基礎，在教材中起著(zhù)承上啟下的作用．平行四邊形的性質(zhì)還為證明兩條線(xiàn)段相等、兩角相等、兩直線(xiàn)平行提供了新的方法和依據，拓寬了學(xué)生的解題思路． 另外本節課是在學(xué)生掌握了平移、旋轉知識的基礎上探究平行四邊形的性質(zhì)，能使學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗、猜想、驗證、推理、交流等數學(xué)活動(dòng)，對于培養學(xué)生的合情推理能力、發(fā)散思維能力以及探索、體驗數學(xué)思維規律等方面起著(zhù)重要的作用． 2．教學(xué)目標： 知識技能：理解并掌握平行四邊形的相關(guān)概念和性質(zhì)，培養學(xué)生初步應用這些知識解決問(wèn)題的能力． 數學(xué)思考：通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗、猜想、驗證、推理、交流等數學(xué)活動(dòng)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力和發(fā)散思維能力． 解決問(wèn)題：學(xué)生親自經(jīng)歷探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)的過(guò)程，體會(huì )解決問(wèn)題策略的多樣性． 情感態(tài)度：培養學(xué)生獨立思考的.習慣與合作交流的意識，激發(fā)學(xué)生探索數學(xué)的興趣，體驗探索成功后的快樂(lè )． 3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形的概念及其性質(zhì)． 難點(diǎn)：運用平移、旋轉的圖形變換思想探究平行四邊形的性質(zhì)． 4．教材處理： 基于“創(chuàng )造性地使用教材”和“真正地以學(xué)生為本”的教學(xué)理念，我將教材內容進(jìn)行合理內化、整合． 首先，打破了原教材的知識結構，構建成一個(gè)新的教學(xué)體系，分為探索平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)的應用這樣兩部分，本節課是探索平行四邊形的性質(zhì)．這樣安排能很好地體現知識結構的完整性和系統性． 然后，將教材中平行四邊形性質(zhì)的探究活動(dòng)完全開(kāi)放，給學(xué)生充分探索的時(shí)間與空間，動(dòng)手實(shí)驗，動(dòng)腦思考．力圖構建學(xué)生主動(dòng)探索、獲取知識的平臺，使學(xué)生真正成為實(shí)踐的探索者、知識的構建者、愉快的收獲者． 最后，把一道命題證明的練習題改編成實(shí)驗操作型問(wèn)題．學(xué)生利用課前準備好的教具制作成模型，讓圖形動(dòng)起來(lái)．這樣設計有利于學(xué)生在圖形運動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現其中不變的關(guān)系，從而發(fā)現圖形的性質(zhì)． 總之，教材處理力求在深挖概念內涵；拓展性質(zhì)外延；深化練習效用的過(guò)程中達到培養學(xué)生創(chuàng )新意識和實(shí)踐能力的教學(xué)目的． 二．教學(xué)方法與手段 本節課在教法上體現教師的“啟發(fā)引導”，幫助學(xué)生實(shí)現認識上與態(tài)度上的跨越；在學(xué)法上突出學(xué)生的“探索發(fā)現”，在教學(xué)過(guò)程中立足于讓學(xué)生自己去觀(guān)察、去發(fā)現、去創(chuàng )造．利用多媒體、自制教具輔助教學(xué)，增強教學(xué)的直觀(guān)性、實(shí)效性． 一、教學(xué)目標 1知識目標 理解平行四邊形的概念;探索并掌握平行四邊形的對邊相等，對角相等的性質(zhì)。 2能力目標 在探索過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探究能力，提高學(xué)生運用數學(xué)知識解決問(wèn)題的能力; 3情感目標 培養學(xué)生合作交流的習慣，提高克復困難的勇氣和信心。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：探索平行四邊形的性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)操作、思考、歸納出結論 三、教學(xué)方法 探索歸納法 四、教學(xué)過(guò)程 (一)創(chuàng )設情境，引入新課 1.(幻燈片展示)觀(guān)察圖片中有你熟悉的哪種圖形?(平行四邊形)請你舉出自己身邊存在的平行四邊形的例子。 例如：汽車(chē)的防護鏈，地板磚，籬笆格子等(用幻燈打出實(shí)物的照片) 2.觀(guān)察圖形有什么特征?(有兩組對邊分別平行) 平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形如圖：四邊形ABCD是平行四邊形記作：ABCD今天我們就來(lái)探究平形四邊形的性質(zhì)。 (二)講授新課 1、拼一拼(出示幻燈片)小組合作，探究新知 用兩個(gè)全等的三角形紙片可以拼出幾種形狀不同的平行四邊形?從拼圖中你能得到哪些啟示?相對的邊、角分別有什么關(guān)系? (讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，可分組討論結論，用ppt課件展示) 2、學(xué)生分析總結出：平行四邊形的對邊平行 平行四邊形的.對邊相等 平行四邊形的對角相等 平行四邊形的鄰角互補 用符號語(yǔ)言表示：如圖 小結：平行四邊形的性質(zhì)是證明線(xiàn)段相等、角相等的重要依據和方法。 3.用什么方法驗證平行四邊形：兩組對邊分別相等 兩組對角分別相等 (小組討論比一比看誰(shuí)的速度最快、方法最多) 4、例題講解 如圖：小明用一根36m長(cháng)的繩子圍成了一個(gè)平行四邊形的場(chǎng)地，其中一條邊AB長(cháng)為8m，其他三條邊各長(cháng)多少? 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD, AD=BC ∵AB=8m ∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36 ∴ AD=BC=10m (三)隨堂練習(幻燈片展示) (四)感悟與收獲 1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 2.平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行 對邊相等 對角相等 鄰角互補 3.解決平行四邊形的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常連結對角線(xiàn)轉化為三角形。 (五)作業(yè) (六)板書(shū)與設計 (見(jiàn)幻燈片) 教學(xué)目標 教學(xué)知識點(diǎn) 1 、掌握平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)。 2 、探索并掌握平行四邊形的對邊相等，對角相等的性質(zhì)。 能力訓練要求 1 、動(dòng)手操作實(shí)踐的過(guò)程中，探索發(fā)現平行四邊形的性質(zhì)。 2 、知道解決平行四邊形問(wèn)題的基本思想是化為三角形問(wèn)題來(lái)解決，滲透轉化思想。 3 、通過(guò)探索平行四邊形的性質(zhì)，培養學(xué)生簡(jiǎn)單的推理能力和邏輯思維能力。 情感與價(jià)值觀(guān)要求 1 、探索平行四邊形性質(zhì)的過(guò)程中，感受幾何圖形中呈現的數學(xué)美。 2 、在進(jìn)行探索的活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習慣。 教學(xué)重點(diǎn) 探索平行四邊形的性質(zhì)。 教學(xué)難點(diǎn) 平行四邊形性質(zhì)的理解。 教學(xué)方法：探索歸納法 教學(xué)過(guò)程： 一、觀(guān)賞生活中的圖片，引入課題 下面的'圖片中，有你熟悉的哪些圖形？ �。ㄔO計這個(gè)活動(dòng)，一方面可讓學(xué)生認識到平行四邊形在生活、生產(chǎn)中的應用，另一方面讓學(xué)生在復雜的圖形中認識平行四邊形。） 二、開(kāi)啟智慧 1 、操作活動(dòng)： 讓學(xué)生進(jìn)行如下操作后，思考以下問(wèn)題： 將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，設法找到某一邊的中點(diǎn)，記作點(diǎn)O，將上層的三角形紙片繞點(diǎn)O旋轉180度，下層的三角形紙片保持不動(dòng)，得到一個(gè)圖形。（用幾何畫(huà)板平臺展示整個(gè)過(guò)程） 2 、觀(guān)察、討論： �。�1）兩張紙片拼成了怎樣的圖形？它是四邊形嗎？ �。�2）這個(gè)圖形中有哪些相等的角？有沒(méi)有互相平行的線(xiàn)段？你是怎樣得到的？ �。�3）用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言刻畫(huà)這個(gè)圖形的特征，并與同伴交流。 3 、平行四邊形的定義 4 、介紹平行四邊形的書(shū)寫(xiě)方式及對角線(xiàn)的定義。 5 、請學(xué)生舉出自己身邊存在的平行四邊形的例子。 6 、學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一個(gè)平行四邊形，并表示出來(lái)。 三、知識源于悟： 1 、做一做（讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作） 用一張半透明的紙復制你剛才畫(huà)的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉180度，你能平移該紙片，使它與你畫(huà)的平行四邊形ABCD重合嗎？ 2 、討論：（小組交流） �。�1）通過(guò)以上活動(dòng)，你能得到哪些結論？ �。�2）平行四邊形ABCD對邊、對角分別有什么關(guān)系？能用別的方法驗證你的結論嗎？ 3 、結論：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等 四、能力的源泉： 1 、如果已知平行四邊形一個(gè)內角的度數，能確定其它三個(gè)內角的度數嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。 2 、變換角的度數，試一試。 3 、你得到了什么結論？ 五、隨堂練習 六、試一試：用平行四邊形設計美麗的圖案。 七、新課小結： 通過(guò)本節課的學(xué)習，你有什么收獲？ �。ㄍ阑ブv，小組交流，師生共同小結） 八、作業(yè)設計： 必做題：習題4.1第1 、 2題。 提高題：（解決問(wèn)題）農民李某想發(fā)展副業(yè)致富，經(jīng)考察地形后，在耕地旁邊的荒地上開(kāi)墾一平行四邊形形狀的魚(yú)塘。能測得∠ BAD＝120 0，量得AB＝50米，AD＝80米。請你幫助李某一下魚(yú)塘的對邊AD 、 BC之間的距離及這個(gè)魚(yú)塘的面積。 九、課后反思 本節課，通過(guò)學(xué)生們自己動(dòng)手操作，自己推導，自己發(fā)現從而得到平行四邊形的有關(guān)知識，充分發(fā)揮學(xué)生們的探究意識和合作交流習慣。 【學(xué)習目標】 1、平行四邊形性質(zhì)(對角線(xiàn)互相平分) 2、平行線(xiàn)之間的距離定義及性質(zhì) 【新課探究】 活動(dòng)一： 如圖，□ABCD的兩條對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O. (1)圖中有哪些三角形是全等的?有哪些線(xiàn)段是相等的? (2)想辦法驗證你的猜想? (3)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線(xiàn) 幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知) ∴AO==AC，BO==BD() 活動(dòng)二：如圖,直線(xiàn)∥,過(guò)直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)A,B分別向直線(xiàn)做垂線(xiàn),交直線(xiàn)與點(diǎn)C,點(diǎn)D. (1)線(xiàn)段AC,BD有怎樣的位置關(guān)系? (2)比較線(xiàn)段AC,BD的長(cháng)短. (3)若兩條直線(xiàn)互相平行,,則其中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離,這個(gè)距離稱(chēng)為平行線(xiàn)之間的距離。平行線(xiàn)之間的垂線(xiàn)段處處. 【知識應用】 1.已知□ABCD的兩條對角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，OA=5，OB=6，則AC=，BD= 2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DB⊥AD，求BC，CD及OB,OA的`長(cháng). 3.已知□ABCD中，AB=12，BC=6，對邊AD和BC的距離是4，則對邊AB和CD間的距離是 【當堂反饋(小測)】： 1、平行四邊形ABCD的兩條對角線(xiàn)相交于O，OA，OB，AB的長(cháng)度分別為3cm、4cm、5cm，求其它各邊以及兩條對角線(xiàn)的長(cháng)度。 2、如圖，在□ABCD中，，已知∠ODA=90°，OA=6cm，OB=3cm，求AD、AC的長(cháng) 3、如圖，在□ABCD中，已知AB、BC、CD三條邊的長(cháng)度分別為(x+3)cm,(x-4)cm,16cm,這個(gè)平行四邊形的周長(cháng)是多少? 【鞏固提升】 1.平行四邊形的兩條對角線(xiàn) 2、已知□ABCD的兩條對角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，OA=5，OB=6，則AC=，BD= 3、已知□ABCD中，AB=8，BC=6，對邊AD和BC的距離是2，則對邊AB和CD間的距離是 4、下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是() A、對角互補B、鄰角互補C、對角相等D、內角和是360° 5、下列說(shuō)法中，不正確的是() A、平行四邊形的對角線(xiàn)相等B、平行四邊形的對邊相等 C、平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分D、平行四邊形的對角相等 6、如圖，在□ABCD中，，已知∠BAC=90°，OB=8cm，OA=4cm，求AB、BC的長(cháng) 7、如圖，已知□ABCD中，對角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，△AOD的周長(cháng)是80cm，已知AD的長(cháng)是35cm，求AC+BD的長(cháng)。 8、如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F。 (1)寫(xiě)出圖中每一對你認為全等的三角形; (2)選擇(1)中的任意一對進(jìn)行證明。 9.對角線(xiàn)可以將平行四邊形分成全等的兩部分，這樣的直線(xiàn)還有很多。 (1)多做幾條這樣的直線(xiàn)，看看它們有什么共同的特征 (2)試著(zhù)用旋轉的有關(guān)知識解釋你的發(fā)現。 【回顧與思考】： 活動(dòng)一： 準備兩個(gè)全等的三角形，將它們相等的一組邊重合，得到一個(gè)四邊形. (1)你得到了怎樣的四邊形?與同伴交流一下 (2)觀(guān)察拼出的這樣一個(gè)四邊形,這個(gè)四邊形的對邊有怎樣的位置關(guān)系?為什么? (3)平行四邊形的定義: 的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形 連成的線(xiàn)段叫做對角線(xiàn) 如圖,四邊形ABCD是平行四邊形, 記作” ” 活動(dòng)二：(1)觀(guān)察你所拼的平行四邊形中,有哪些相等的線(xiàn)段、相等的角?為什么? (2)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊 平行四邊形的對角 幾何語(yǔ)言： ∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知） ∴AB= ，BC= （ ） ∠A = ，∠B = （ ） 【知識應用】： 1． □ABCD中，AB=3，BC=5，則AD= CD= 。 2． □ABCD中，∠B=60°，則∠A= ，∠C= ，∠D= 。 3. 如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。 �。�1）邊AB、BC的長(cháng)度 �。�2）求∠D、∠C度數。 【當堂反饋(小測)】： 1.已知□ABCD中，∠B=70°，則∠A=______，∠C=______，∠D=______. 2.在□ABCD中，∠A +∠C =270°，則∠B=______，∠C=______.； 3.在□ABCD中，AB=3，BC=4，則□ABCD的周長(cháng)等于_______. 4.平行四邊形的周長(cháng)等于56 cm，兩鄰邊長(cháng)的比為3∶1，那么這個(gè)平行四邊形較長(cháng)的邊長(cháng)為_(kāi)______. 5.已知，如圖，□ABCD中，∠A=70°，AD=5 cm，求∠B，∠C，∠D的.度數及BC的長(cháng)度。 6.已知，如圖，□ABCD中，∠CAD=20°，∠D=50°，求∠B，∠BCD的度數 【鞏固提升】： 1、已知□ABCD中，∠B=70°，則∠A =______，∠D =______。 2、在□ABCD中，AB=3，BC=4，則□ABCD的周長(cháng)等于_______。 3、在□ABCD中，已知BC=8，周長(cháng)等于24， 則CD=_______。 4、 在□ABCD中,∠A=65°,則∠D的度數是 ( ) A. 105° B. 115° C. 125° D. 65° 5、在□ABCD中,∠B比∠A大20°,則∠D的度數是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 6、一個(gè)四邊形的三個(gè)內角的度數依次如下選項，其中是平行四邊形的是（ ） A、88°，108°，88°B、88°，104°，108° C、88°，92°，88° D、88°，92°，92° 7、□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A、1：2：3：4 B 、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、 2：1：2：1 8、已知，如圖，□ABCD中，∠A=65°，AD=6 cm，求∠B，∠C，∠D的度數及BC的長(cháng)度。 9、如圖，□ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于E，若∠AEB=20°，求∠D的度數 10.四邊形ABCD是平行四邊形，它的四條邊中哪些線(xiàn)段可以通過(guò)平移而互相得到？ 教學(xué)目標 1、知識目標 �。�1）使學(xué)生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線(xiàn)間的距離的概念。 �。�2）掌握平行四邊形的性質(zhì)定理1、2，并能運用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明或計算． 2、能力目標 �。�1）通過(guò)啟發(fā)、引導，讓學(xué)生猜想結論，培養學(xué)生的觀(guān)察能力和猜想能力。 �。�2）驗證猜想結論，培養學(xué)生的論證和邏輯思維能力。 �。�3）通過(guò)開(kāi)放式教學(xué)，培養學(xué)生的創(chuàng )新意識和實(shí)踐能力。 3、非智力目標 滲透從具體到抽象、化未知為已知的數學(xué)思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：平行四邊形的概念及其性質(zhì)． 難點(diǎn)：正確理解兩條平行線(xiàn)間的距離的概念和性質(zhì)定理2的推論。 平行四邊形的概念及性質(zhì)的靈活運用 教學(xué)方法：講解、分析、轉化 教學(xué)過(guò)程設計 一、利用分類(lèi)、特殊化的方法引出平行四邊形的概念 1．復習四邊形的知識． �。�1）引導學(xué)生畫(huà)任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點(diǎn)、邊、角、對角線(xiàn)的性質(zhì)，強調對角線(xiàn)的作用：將四邊形分割化歸為三角形來(lái)研究． �。�2）將四邊形的邊角按位置關(guān)系分為兩類(lèi)： 教學(xué)時(shí)應結合圖形，讓學(xué)生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區別． 2．教師提問(wèn)：四邊形中的兩組對邊按位置關(guān)系分為幾種情況？ 引導學(xué)生畫(huà)圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關(guān)系，如圖4－11． 3．對比引出平行四邊形的概念． �。�1）引導學(xué)生根據圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題． �。�2）注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關(guān)系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質(zhì)（共性）．同時(shí)它還具有一般四邊形不具備的特殊性質(zhì)（個(gè)性）． �。�3）強調定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，同時(shí)又是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)． �。�4）介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12． �、佟逜BCD，∴AD∥BC，AB∥CD．（平行四邊形的定義） �、凇逜D∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（平行四邊形的定義） 練習1（投影） 如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個(gè)，它們是__． 二、探索平行四邊形的性質(zhì)并證明 1．探索性質(zhì)． 啟發(fā)學(xué)生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線(xiàn)的位置關(guān)系及數量關(guān)系入手，來(lái)觀(guān)察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質(zhì)如下： �。�3）對角線(xiàn) �、輰蔷�(xiàn)互相平分（性質(zhì)定理3） 教師注意解釋并強調對角線(xiàn)互相平分的含義及表示方法． 2．利用化歸的方法對性質(zhì)逐一進(jìn)行證明． �。�1）由平行四邊形的定義及平行線(xiàn)的性質(zhì)很快證出性質(zhì)①，④，③． �。�2）啟發(fā)學(xué)生添加一條或兩條對角線(xiàn)，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質(zhì)②，⑤． �。�3）寫(xiě)出證明過(guò)程． 3．關(guān)于“兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段和距離”的教學(xué)． �。�1）利用性質(zhì)定理2 導出推論：夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等． �、偬釂�(wèn)：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數量有何關(guān)系？引導學(xué)生根據平行四邊形的定義和性質(zhì)進(jìn)行證明． �、谝龑W(xué)生用語(yǔ)言簡(jiǎn)練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時(shí)可節省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等． �、蹚娬{推論中的條件：“夾”、“平行線(xiàn)間”、“平行線(xiàn)段”的含義和重要性，并做一組辨析練習． 練習2 �。ㄍ队埃┤鐖D4－15，判斷下列幾組圖形能否體現推論所代表的含義． �。�2）根據圖4－15（d）引出兩條平行線(xiàn)的距離的概念，并通過(guò)練習區別三個(gè)距離． 練習3 在圖4－15（d）中， �、冱c(diǎn)A與點(diǎn)C的距離是線(xiàn)段__的長(cháng)； �、邳c(diǎn)A到直線(xiàn)l2的距離是線(xiàn)段__的長(cháng)； �、蹆蓷l平行線(xiàn)l1與l2的距離是線(xiàn)段__或__的長(cháng)； �、苡赏普摽傻茫簝蓷l平行線(xiàn)間的距離__． 三、平行四邊形的定義及性質(zhì)的應用 1．計算． 例1填空． �。�1）在A(yíng)BCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則ABCD的周長(cháng)為_(kāi)_，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__； �。�2）在A(yíng)BCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__； �。�3）已知平行四邊形周長(cháng)為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長(cháng)度分別為_(kāi)_； �。�4）已知ABCD對角線(xiàn)交點(diǎn)為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長(cháng)為_(kāi)_；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長(cháng)大___； �。�5）在A(yíng)BCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，SABCD＝__； 說(shuō)明：通過(guò)此題讓學(xué)生熟悉平行四邊形的性質(zhì)，會(huì )用它及方程的思想進(jìn)行計算，并復習平行四邊形的面積公式． 2．證明． 例2 已知：如圖4－16，ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點(diǎn)，AE∥CF．求證（1）BE＝DF；（2）EF過(guò)BD的中點(diǎn)． 分析： �。�1）盡量利用平行四邊形的定義和性質(zhì)，避免證三角形全等． �。�2）考慮特殊化情形．在A(yíng)BCD中，若E，F在BC，AD上運動(dòng)到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯(lián)系中靈活選用性質(zhì)來(lái)解題． 例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的頂點(diǎn)分別是△B′C′A′各邊的中點(diǎn)． 著(zhù)重引導學(xué)生先分解基本圖形，圖中有3個(gè)平行四邊形：C′BCA，ABCB′，ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質(zhì)使問(wèn)題得到證明．對于第（2）問(wèn)也可用“夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等”來(lái)證明． 例4 已知：如圖4－18（a），ABCD的對角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF． 分析： �。�1）引導學(xué)生證明以OE，OF為邊的兩個(gè)三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF． �。�2）根據學(xué)生實(shí)際，對圖4－18（a）可作適當引申，如圖4－18（b），（c），（d），并歸納結論如下：過(guò)平行四邊形對角線(xiàn)的交點(diǎn)作直線(xiàn)交對邊或對邊的延長(cháng)線(xiàn)，所得對應線(xiàn)段相等． �。�3）圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質(zhì)對解答復雜問(wèn)題是很有幫助的． 3．供選用例題． �。�1）從平行四邊形的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平行四邊形的兩條高線(xiàn)．如果這兩條高線(xiàn)的夾角為135°，則這個(gè)平行四邊形相鄰兩內角的度數為_(kāi)_；若高線(xiàn)分別為1cm和2cm，則平行四邊形的.周長(cháng)為_(kāi)_，面積為_(kāi)__；若兩條高線(xiàn)夾角為120°呢？ �。�2）如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)D作DE∥AC交AB于E，過(guò)E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC． �。�3）如圖4－20，在A(yíng)BCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長(cháng)，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD． 四、師生共同小結 1．平行四邊形與四邊形的關(guān)系． 2．學(xué)習了平行四邊形哪些方面的性質(zhì)？ 3．兩條平行線(xiàn)的距離是怎樣定義的？有什么性質(zhì)？ 五、作業(yè) 課本第143頁(yè)第2，3，4，5，6題． 課堂教學(xué)設計說(shuō)明 本教學(xué)設計需2課時(shí)完成． 這節內容分2課時(shí)．第1課時(shí)在復習四邊形的有關(guān)知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發(fā)學(xué)生從邊、角、對角線(xiàn)三個(gè)方面探索平行四邊形的性質(zhì)，使知識更加系統，更符合學(xué)生的認知規律，而且突出了第1課時(shí)的重點(diǎn)，同時(shí)更能培養學(xué)生主動(dòng)探求知識的精神和思維的條理性．第2課時(shí)重點(diǎn)應用平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行計算和證明，教師注意讓學(xué)生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華． 平行四邊形及其性質(zhì) 教學(xué)目標 1、知識目標 �。�1）使學(xué)生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線(xiàn)間的距離的概念。 �。�2）掌握平行四邊形的性質(zhì)定理1、2，并能運用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明或計算． 2、能力目標 �。�1）通過(guò)啟發(fā)、引導，讓學(xué)生猜想結論，培養學(xué)生的觀(guān)察能力和猜想能力。 �。�2）驗證猜想結論，培養學(xué)生的論證和邏輯思維能力。 �。�3）通過(guò)開(kāi)放式教學(xué)，培養學(xué)生的創(chuàng )新意識和實(shí)踐能力。 3、非智力目標 滲透從具體到抽象、化未知為已知的數學(xué)思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：平行四邊形的概念及其性質(zhì)． 難點(diǎn)：正確理解兩條平行線(xiàn)間的距離的概念和性質(zhì)定理2的推論。 平行四邊形的概念及性質(zhì)的靈活運用 教學(xué)方法：講解、分析、轉化 教學(xué)過(guò)程設計 一、利用分類(lèi)、特殊化的方法引出平行四邊形的概念 1．復習四邊形的知識． �。�1）引導學(xué)生畫(huà)任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點(diǎn)、邊、角、對角線(xiàn)的性質(zhì)，強調對角線(xiàn)的作用：將四邊形分割化歸為三角形來(lái)研究． �。�2）將四邊形的邊角按位置關(guān)系分為兩類(lèi)： 教學(xué)時(shí)應結合圖形，讓學(xué)生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區別． 2．教師提問(wèn)：四邊形中的兩組對邊按位置關(guān)系分為幾種情況？ 引導學(xué)生畫(huà)圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關(guān)系，如圖4－11． 3．對比引出平行四邊形的概念． �。�1）引導學(xué)生根據圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題． �。�2）注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關(guān)系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質(zhì)（共性）．同時(shí)它還具有一般四邊形不具備的特殊性質(zhì)（個(gè)性）． �。�3）強調定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，同時(shí)又是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)． �。�4）介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12． �、佟逜BCD，∴AD∥BC，AB∥CD．（平行四邊形的定義） �、凇逜D∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（平行四邊形的定義） 練習1（投影） 如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個(gè)，它們是__． 二、探索平行四邊形的性質(zhì)并證明 1．探索性質(zhì)． 啟發(fā)學(xué)生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線(xiàn)的位置關(guān)系及數量關(guān)系入手，來(lái)觀(guān)察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質(zhì)如下： �。�3）對角線(xiàn) �、輰蔷�(xiàn)互相平分（性質(zhì)定理3） 教師注意解釋并強調對角線(xiàn)互相平分的含義及表示方法． 2．利用化歸的方法對性質(zhì)逐一進(jìn)行證明． �。�1）由平行四邊形的定義及平行線(xiàn)的性質(zhì)很快證出性質(zhì)①，④，③． �。�2）啟發(fā)學(xué)生添加一條或兩條對角線(xiàn)，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質(zhì)②，⑤． �。�3）寫(xiě)出證明過(guò)程． 3．關(guān)于“兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段和距離”的教學(xué)． �。�1）利用性質(zhì)定理2 導出推論：夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等． �、偬釂�(wèn)：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數量有何關(guān)系？引導學(xué)生根據平行四邊形的定義和性質(zhì)進(jìn)行證明． �、谝龑W(xué)生用語(yǔ)言簡(jiǎn)練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時(shí)可節省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等． �、蹚娬{推論中的條件：“夾”、“平行線(xiàn)間”、“平行線(xiàn)段”的含義和重要性，并做一組辨析練習． 練習2 �。ㄍ队埃┤鐖D4－15，判斷下列幾組圖形能否體現推論所代表的含義． �。�2）根據圖4－15（d）引出兩條平行線(xiàn)的距離的概念，并通過(guò)練習區別三個(gè)距離． 練習3 在圖4－15（d）中， �、冱c(diǎn)A與點(diǎn)C的距離是線(xiàn)段__的長(cháng)； �、邳c(diǎn)A到直線(xiàn)l2的距離是線(xiàn)段__的長(cháng)； �、蹆蓷l平行線(xiàn)l1與l2的距離是線(xiàn)段__或__的長(cháng)； �、苡赏普摽傻茫簝蓷l平行線(xiàn)間的距離__． 三、平行四邊形的定義及性質(zhì)的應用 1．計算． 例1填空． �。�1）在A(yíng)BCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則ABCD的周長(cháng)為_(kāi)_，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__； �。�2）在A(yíng)BCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__； �。�3）已知平行四邊形周長(cháng)為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長(cháng)度分別為_(kāi)_； �。�4）已知ABCD對角線(xiàn)交點(diǎn)為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長(cháng)為_(kāi)_；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長(cháng)大___； �。�5）在A(yíng)BCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，SABCD＝__； 說(shuō)明：通過(guò)此題讓學(xué)生熟悉平行四邊形的性質(zhì)，會(huì )用它及方程的思想進(jìn)行計算，并復習平行四邊形的面積公式． 2．證明． 例2 已知：如圖4－16，ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點(diǎn)，AE∥CF．求證（1）BE＝DF；（2）EF過(guò)BD的中點(diǎn)． 分析： �。�1）盡量利用平行四邊形的定義和性質(zhì)，避免證三角形全等． �。�2）考慮特殊化情形．在A(yíng)BCD中，若E，F在BC，AD上運動(dòng)到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯(lián)系中靈活選用性質(zhì)來(lái)解題． 例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的頂點(diǎn)分別是△B′C′A′各邊的中點(diǎn)． 著(zhù)重引導學(xué)生先分解基本圖形，圖中有3個(gè)平行四邊形：C′BCA，ABCB′，ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質(zhì)使問(wèn)題得到證明．對于第（2）問(wèn)也可用“夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等”來(lái)證明． 例4 已知：如圖4－18（a），ABCD的對角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF． 分析： �。�1）引導學(xué)生證明以OE，OF為邊的兩個(gè)三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF． �。�2）根據學(xué)生實(shí)際，對圖4－18（a）可作適當引申，如圖4－18（b），（c），（d），并歸納結論如下：過(guò)平行四邊形對角線(xiàn)的交點(diǎn)作直線(xiàn)交對邊或對邊的延長(cháng)線(xiàn)，所得對應線(xiàn)段相等． �。�3）圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質(zhì)對解答復雜問(wèn)題是很有幫助的． 3．供選用例題． �。�1）從平行四邊形的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平行四邊形的兩條高線(xiàn)．如果這兩條高線(xiàn)的夾角為135°，則這個(gè)平行四邊形相鄰兩內角的度數為_(kāi)_；若高線(xiàn)分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長(cháng)為_(kāi)_，面積為_(kāi)__；若兩條高線(xiàn)夾角為120°呢？ �。�2）如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)D作DE∥AC交AB于E，過(guò)E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC． �。�3）如圖4－20，在A(yíng)BCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長(cháng)，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD． 四、師生共同小結 1．平行四邊形與四邊形的關(guān)系． 2．學(xué)習了平行四邊形哪些方面的性質(zhì)？ 3．兩條平行線(xiàn)的距離是怎樣定義的？有什么性質(zhì)？ 五、作業(yè) 課本第143頁(yè)第2，3，4，5，6題． 課堂教學(xué)設計說(shuō)明 本教學(xué)設計需2課時(shí)完成． 這節內容分2課時(shí)．第1課時(shí)在復習四邊形的有關(guān)知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發(fā)學(xué)生從邊、角、對角線(xiàn)三個(gè)方面探索平行四邊形的性質(zhì)，使知識更加系統，更符合學(xué)生的認知規律，而且突出了第1課時(shí)的重點(diǎn)，同時(shí)更能培養學(xué)生主動(dòng)探求知識的精神和思維的條理性．第2課時(shí)重點(diǎn)應用平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行計算和證明，教師注意讓學(xué)生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華． 學(xué)習目標： 1、理解并掌握平行四邊形的定義 2、掌握平行四邊形的性質(zhì)定理1及性質(zhì)定理2 3、提高綜合運用知識的能力 預習指導： 1、在四邊形中，最常見(jiàn)、價(jià)值最大的是平行四邊形，生活中也常見(jiàn)平行四邊形的實(shí)例，如________________ _____________________________ ______等，都是平行四邊形。 2、____________________________________是平行四邊形。 3、平行四邊形的性質(zhì)是：_________________________________________. 學(xué)習過(guò)程： 一、學(xué)習新知 1、平行四邊形的定義 �。�1）定義：________________ ________________________叫做平行四邊形。 �。�2）幾何語(yǔ)言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四邊形ABCD是平行四邊形 �。�3）定義的雙重性: 具備_____ _____________的四邊形，才是平行四邊形， 反過(guò)來(lái)，平行四邊形就一定具有性質(zhì)。 �。�4）平行四邊形的表示：平行四邊形ABCD 記作_________,讀作___________. 2、平行四邊形的性質(zhì) 平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對邊分別平行外，還有什么特殊的性質(zhì)呢？ 已知：如圖 ABCD， 求證：AB＝CD，CB＝AD． 分析：要證AB＝CD，CB＝AD．我們可以考慮只要證明四條線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形全等，因此我們可以作輔助線(xiàn)_____ _____________,它將平行四邊形分成_________和__________，我們只要證明這兩個(gè)三角形全等即可得到結論． 證明： 總結：本題提供了證明線(xiàn)段相等的方法，也體現了數學(xué)中的轉化思想。 在上題中你能證明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD嗎？利用我們學(xué)過(guò)的`方法試一試。 證明： 通過(guò)上面的證明，我們得到了： 平行四邊形的性質(zhì)定理1是_______________________________________. 平行四邊形的性質(zhì)定理2是_______________________________________. 二、應用舉例： 例1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF，求證：AF=CE． 例2、（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度數。 �。�2）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠B+400，求∠A的鄰角的 度數。 例1、如圖，在平行四邊形ABC D中，AE=CF，求證：AF=CE． 例2、（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度數。 �。�2）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠B+400，求∠A的鄰角的度數。 三、隨堂練習 1．平行四邊形的兩鄰邊的比是2：5，周長(cháng)為28cm，求四邊形的各邊的長(cháng)。 2、在平行四邊形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度數。 四、課堂小結 ： 1、平行四邊形的概念。 2、平行四邊形的性質(zhì)定理及其應用。 五、當堂檢測 1.（選擇）在下列圖形的性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是（ ）． �。ˋ）對角相等 （B）對角互補 （C）鄰角互補 （D）內角和是 2.（選擇）如圖，在 ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD， EF與GH相交與點(diǎn)O，那么圖中的平行四邊形一共有（ ）． �。ˋ）4個(gè) （B）5個(gè) （C）8個(gè) （D）9個(gè) 3．如圖，在 ABCD中，AC為對角線(xiàn)，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F為垂足，求證：BE＝DF． 教學(xué)目標： 1.經(jīng)歷探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)的過(guò)程，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習慣; 2.索并掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應用; 3.在探索活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探究意識。 教學(xué)重點(diǎn)：平行四邊形性質(zhì)的探索。 教學(xué)難點(diǎn)：平行四邊形性質(zhì)的理解。 教學(xué)準備：多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 第一環(huán)節：實(shí)踐探索，直觀(guān)感知(5分鐘，動(dòng)手實(shí)踐、探索、感知，學(xué)生進(jìn)一步探索了平行四邊形的概念，明確了平行四邊形的本質(zhì)特征。) 1.小組活動(dòng)一 內容： 問(wèn)題1：同學(xué)們拿出準備好的剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個(gè)四邊形。 (1)你拼出了怎樣的四邊形?與同桌交流一下; (2)給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關(guān)系?說(shuō)說(shuō)你的理由，請用簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言刻畫(huà)這個(gè)圖形的`特征。 2.小組活動(dòng)二 內容：生活中常見(jiàn)到平行四邊形的實(shí)例有什么呢?你能舉例說(shuō)明嗎? 第二環(huán)節探索歸納、合作交流(5分鐘，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)嘴，全班交流) 小組活動(dòng)3： 用一張半透明的紙復制你剛才畫(huà)的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉180°，你能平移該紙片，使它與你畫(huà)的平行四邊形重合嗎?由此你能得到哪些結論?四邊形的對邊、對角分別有什么關(guān)系?能用別的方法驗證你的結論嗎? (1)讓學(xué)生動(dòng)手操作、復制、旋轉、觀(guān)察、分析; (2)學(xué)生交流、議論; (3)教師利用多媒體展示實(shí)踐的過(guò)程。 第三環(huán)節推理論證、感悟升華(10分鐘，學(xué)生通過(guò)說(shuō)理，由直觀(guān)感受上升到理性分析，在操作層面感知的基礎上提升，并了解圖形具有的數學(xué)本質(zhì)。) 實(shí)踐探索內容 (1)通過(guò)剪紙，拼紙片，及旋轉，可以觀(guān)察到平行四邊行的對角線(xiàn)把它分成的兩個(gè)三角形全等。 (2)可以通過(guò)推理來(lái)證明這個(gè)結論，如圖連結AC。 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD/pic/pic/p> ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△ABC和△CDA中 ∠2=∠1 AC=CA ∠3=∠4 ∴△ABC≌△CDA(ASA) ∴AB=DC，AD=CB，∠D=∠B 又∵∠1=∠2 ∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠BAD=∠DCB 第四環(huán)節應用鞏固深化提高(10分鐘，通過(guò)議一議，練一練，學(xué)生進(jìn)一步理解平行四邊形的性質(zhì)，并進(jìn)行簡(jiǎn)單合情推理，體現性質(zhì)的應用，同時(shí)從不同角度平移、旋轉等再一次認識平行四邊形的本質(zhì)特征。) 1.活動(dòng)內容： (1)議一議：如果已知平行四邊形的一個(gè)內角度數，能確定其它三個(gè)內角的度數嗎? A(學(xué)生思考、議論) B總結歸納：可以確定其它三個(gè)內角的度數。 由平行四邊形對邊分邊平行得到鄰角互補;又由于平行四邊形對角相等，由此已知平行四邊形的一個(gè)內角的度數，可以確定其它三個(gè)角度數。 (2)練一練(P99隨堂練習) 練1如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。 (1)求∠ADC、∠BCD度數 (2)邊AB、BC的度數、長(cháng)度。 練2四邊形ABCD是平行四邊形 (1)它的四條邊中哪些線(xiàn)段可以通過(guò)平移相到得到? (2)設對角線(xiàn)AC、BD交于O;AO與OC、BO與OD有何關(guān)系?說(shuō)說(shuō)理由。 歸納：平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分。 第五環(huán)節評價(jià)反思概括總結(8分鐘，學(xué)生踴躍談感受和收獲) 活動(dòng)內容 師生相互交流、反思、總結。 (1)經(jīng)歷了對平行四邊形的特征探索，你有什么感受和收獲?給自己一個(gè)評價(jià)。 (2)在與同伴合作交流中練表現，優(yōu)秀方面有哪些?你看到同伴哪些優(yōu)點(diǎn)? (3)本節學(xué)習到了什么?(知識上、方法上) 考一考： 1.ABCD中，∠B=60°，則∠A=，∠C=，∠D=。 2.ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C=。 3.ABCD中，AB=3，BC=5，則AD=CD=。 4.ABCD中，周長(cháng)為40cm，△ABC周長(cháng)為25，則對角線(xiàn)AC=()cm。 布置作業(yè) 課本習題4.1 A組(學(xué)優(yōu)生)1、2 B組(中等生)1、2 C組(后三分之一生)1、2 1．知識結構 2．重點(diǎn)和難點(diǎn)分析 重點(diǎn)：本節的重點(diǎn)是平行四邊形的概念和性質(zhì).雖然平行四邊形的概念在小學(xué)學(xué)過(guò)，但對于概念本質(zhì)屬性的理解并不深刻，為了加深學(xué)生對概念的理解，為以后學(xué)習特殊的平行四邊形打下基礎，所以教師不要忽視平行四邊形的概念教學(xué).平行四邊形的性質(zhì)是以后證明四邊形問(wèn)題的基礎，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵.尤其是平行四邊形性質(zhì)定理的推論，推論的應用有兩個(gè)條件： 一個(gè)是夾在兩條平行線(xiàn)間； 一個(gè)是平行線(xiàn)段，具備這兩個(gè)條件才能得出一個(gè)結論平行線(xiàn)段相等，缺少任何一個(gè)條件結論都不成立，這也是學(xué)生容易犯錯的地方，教師要反復強調. 難點(diǎn)：本節的難點(diǎn)是平行四邊形性質(zhì)定理的靈活應用.為了能熟練的應用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結論給學(xué)生講清楚，哪幾個(gè)條件，決定哪個(gè)結論，如何用數學(xué)符號表示即書(shū)寫(xiě)格式，都要在講練中反復強化. 3．教法建議 �。�1）教科書(shū)一開(kāi)始就給出了平行四邊形的定義，我感覺(jué)這樣引入新課，不利于調動(dòng)學(xué)生的積極性.自己設計了一個(gè)動(dòng)畫(huà)，建議老師們用它作為本節的引入，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，又可以激活學(xué)生的思維. �。�2）在生產(chǎn)或生活中，平行四邊形是常見(jiàn)圖形之一，教師可以多給學(xué)生提供一些平行四邊形的圖片，增加學(xué)生的感性認識，然后，讓他們自己總結出平行四邊形的定義，教師最后做總結.平行四邊形是特殊的四邊形，要判定一個(gè)四邊形是不是平行四邊形，要判斷兩點(diǎn)：首先是四邊形，然后四邊形的兩組對邊分別平行.平行四邊形的定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，又是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì). �。�3）對于教師來(lái)說(shuō)講課固然重要，但講完課后有目的的強化訓練也是不可缺少的'，通過(guò)做題，幫助學(xué)生更好的理解所講內容，也就是我們平時(shí)說(shuō)的要反思回顧，總結深化. 平行四邊形及其性質(zhì)第一課時(shí) 一、素質(zhì)教育目標 �。ㄒ唬┲R教學(xué)點(diǎn) 1．使學(xué)生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線(xiàn)間的距離的概念． 2．掌握平行四邊形的性質(zhì)定理1、2． 3．并能運用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明或計算． �。ǘ┠芰τ柧汓c(diǎn) 1．知道解決平行四邊形問(wèn)題的基本思想是化為三角形問(wèn)題來(lái)處理，滲透轉化思想． 2．通過(guò)推導平行四邊形的性質(zhì)定理的過(guò)程，培養學(xué)生的推導、論證能力和邏輯思維能力． �。ㄈ┑掠凉B透點(diǎn) 通過(guò)要求學(xué)生書(shū)寫(xiě)規范，培養學(xué)生科學(xué)嚴謹的學(xué)風(fēng)． �。ㄋ模┟烙凉B透點(diǎn) 通過(guò)學(xué)習，滲透幾何方法美和幾何語(yǔ)言美及圖形內在美和結構美 二、學(xué)法引導 閱讀、思考、講解、分析、轉化 三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法 1．教學(xué)重點(diǎn)：平行四邊形性質(zhì)定理的應用 2．教學(xué)難點(diǎn)：正確理解兩條平行線(xiàn)間的距離的概念和運用性質(zhì)定理2的推論；在計算或證明中綜合應用本節前一章的知識． 3．疑點(diǎn)及解決辦法：關(guān)于性質(zhì)定理2的推論；兩點(diǎn)的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，兩平行直線(xiàn)中間的距離的區別與聯(lián)系，注重對概念的教學(xué)，使學(xué)生深刻理解上述概念，搞清它們之間的關(guān)系；平行四邊形的高有關(guān)問(wèn)題． 四、課時(shí)安排 2課時(shí) 五、教具學(xué)具準備 教具（做兩個(gè)全等的三角形），投影儀，投影膠片，小黑板，常用畫(huà)圖工具 六、師生互動(dòng)活動(dòng)設計 教師復習提問(wèn)，學(xué)習思考口答；教師設疑引思，學(xué)生討論分析；師生共同總結結論，教師示范講解，學(xué)生達標練習 第一課時(shí) 七、教學(xué)步驟 【復習提問(wèn)】 1．什么叫做四邊形？什么叫四邊形的一組對邊？ 2．四邊形的兩組對邊在位置上有幾種可能？ �。�教師隨著(zhù)學(xué)生回答畫(huà)出圖1） 圖1 【引入新課】 在四邊形中，我們常見(jiàn)的實(shí)用價(jià)值最大的就是平行四邊形，如汽車(chē)的防護鏈，無(wú)軌電車(chē)的擊電桿都是平行四邊形的形象，平行四邊形有什么性質(zhì)呢？這是這節課研究的主要內容（寫(xiě)出課題）． 【講解新課】 1．平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形． 注意：一個(gè)四邊形必須具備有兩組對邊分別平行才是平行四邊形，反過(guò)來(lái)，平行四邊形就一定是有“兩組對邊分別平行”的一個(gè)四邊形．因此定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法（定義判定法）又是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)． 2．平行四邊形的表示：平行四邊形用符號“ ”表示，如圖1就是平行四邊形 ，記作“ ”． align=middle> 圖1 3．平行四邊形的性質(zhì) 講解平行四邊形性質(zhì)前必須使學(xué)生明確平行四邊形從屬于四邊形，因此它具有四邊形的一切性質(zhì)（共性），同時(shí)它又是特殊的四邊形，當然還有其特性（個(gè)性），下面介紹的性質(zhì)就是其特性，這是一般四邊形所不具有的． 平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等． 平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形對邊相等． �。ń叹哂脙蓚�(gè)全等的三角形拼湊的平行四邊形演示，由此得到證明以上兩個(gè)定理的方法．如圖2） 圖2如圖3 所以四邊形是平行四邊形，所以．由此得到 推論：夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等． 圖3 要注意：必須有兩個(gè)平行，即夾兩條平行線(xiàn)段的兩條直線(xiàn)平行，被夾的兩條線(xiàn)段平行，缺一不可，如圖4中的幾種情況都不可以推出圖4 4．平行線(xiàn)間的距離 從推論可以知道，如果兩條直線(xiàn)平行，那么從一條直線(xiàn)上所有各點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離相等，如圖5． 我們把兩條平行線(xiàn)中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離，叫做平行線(xiàn)的距離． 圖5 注意：（1）兩相交直線(xiàn)無(wú)距離可言． �。�2）連結兩點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(cháng)度叫兩點(diǎn)間的距離，從直線(xiàn)外一點(diǎn)到一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(cháng)，叫點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．兩條平行線(xiàn)中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離，叫做這兩條平行線(xiàn)的距離，一定要注意這些概念之間的區別與聯(lián)系． 例1 已知：如圖1， 一、學(xué)習目標 �。�、經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過(guò)程，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達能力。 2、 會(huì )進(jìn)行簡(jiǎn)單的多項式與多項式的乘法運算 二、學(xué)習過(guò)程 �。ㄒ唬┳詫W(xué)導航 1、創(chuàng )設情境 某地區在退耕還林期間，將一塊長(cháng)m米、寬a米的長(cháng)方形林區的長(cháng)、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區現在的面積。 這塊林區現在的長(cháng)為 米，寬為 米。因而面積為_(kāi)_______米2。 還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。 由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 = 如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？ 2、概括： 多項式乘以多項式的法則： 3、計算 �。�1） （2） 4、練一練 �。�1） �。ǘ┖献鞴リP(guān) 1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設計一個(gè)準備臺，要求四面的過(guò)道寬都為x米，已知廚房的長(cháng)寬分別為8米和5米，用代數式表示該廚房過(guò)道的總面積。 2、解方程 �。ㄈ┻_標訓練 1、填空題： �。�1） = = �。�2） = 。 2、計算 �。�1） （2） �。�3） (4) �。ㄋ模┨嵘� 1、怎樣進(jìn)行多項式與多項式的乘法運算？ 2、若 的乘積中不含 和 項，則a= b= 應用題 第三十五講 應用題 在本講中將介紹各類(lèi)應用題的解法與技巧． 當今數學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會(huì )的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應用數學(xué)去觀(guān)察、分析日常生活現象，去解決日常生活問(wèn)題，成為各類(lèi)數學(xué)競賽的一個(gè)熱點(diǎn)． 應用性問(wèn)題能引導學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會(huì )，使學(xué)生充分到數學(xué)與自然和人類(lèi)社會(huì )的密切聯(lián)系，增強對數學(xué)的理解和應用數學(xué)的信心． 解答應用性問(wèn)題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì )運用數學(xué)知識去觀(guān)察、分析、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數學(xué)本質(zhì)，將其轉化為數學(xué)模型．其求解程序如下： 在初中范圍內常見(jiàn)的數學(xué)模型有：數式模型、方程模型、不等式模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等． 例題求解 一、用數式模型解決應用題 數與式是最基本的數學(xué)語(yǔ)言，由于它能夠有效、簡(jiǎn)捷、準確地揭示數學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達數學(xué)問(wèn)題的重要方法． 【例1】(2003年安徽中考題)某風(fēng)景區對5個(gè)旅游景點(diǎn)的門(mén)票價(jià)格進(jìn)行了調整，據統計，調價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數基本不變。有關(guān)數據如下表所示： 景點(diǎn)ABCDE 原價(jià)（元）1010152025 現價(jià)（元）55152530 平均日人數（千人）11232 �。�1）該風(fēng)景區稱(chēng)調整前后這5個(gè)景點(diǎn)門(mén)票的平均收費不變，平均日總收入持平。問(wèn)風(fēng)景區是怎樣計算的？ �。�2）另一方面，游客認為調整收費后風(fēng)景區的平均日總收入相對于調價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問(wèn)游客是 怎樣計算的？ �。�3）你認為風(fēng)景區和游客哪一個(gè)的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際？ 思路點(diǎn)撥 （1）風(fēng)景區是這樣計算的： 調整前的平均價(jià)格： ，設整后的平均價(jià)格： ∵調整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數不變． ∴平均日總收入持平． �。� 2）游客是這樣計算的： 原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 現平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日總收入增加了 �。�3）游客的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際． 二、用方程模型解應用題 研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現實(shí)生恬中有關(guān)問(wèn)題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認識和理解現實(shí)世界． 【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門(mén)，其中兩道正門(mén)大小相同，兩道側門(mén)大小也相同．安全檢查中，對4道門(mén)進(jìn)行了測試：當同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和兩道側門(mén)時(shí)，2min內可以通過(guò)560名學(xué)生；當同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和一道側門(mén)時(shí)，4mln內可以通過(guò)800名學(xué)生． (1)求平均每分鐘一道正門(mén)和一道側門(mén)各可以通過(guò)多少名學(xué)生? (2)檢查中發(fā)現，緊急情況時(shí)因學(xué)生擁擠，出門(mén)的效率降低20％．安全檢查規定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應在5min內通過(guò)這4道門(mén)安全撤離．假設這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造的這4道門(mén)整否符合安全規定?請說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過(guò)的學(xué)生數量．設未知數時(shí)一般問(wèn)什么設什么．“符合安全規定”之義為最大通過(guò)量不小于學(xué)生總數． (1)設平均每分鐘一道正門(mén)可以通過(guò)x名學(xué)生，一道側門(mén)可以通過(guò)y名學(xué)生，由題意得： ,解得： (2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)． 擁擠時(shí)5min4道門(mén)能通過(guò)． 5×2(120+80)(1－20％)=1600(名), 因1600>1440，故建造的4道門(mén)符合安全規定． 三、用不等式模型解應用題 現實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問(wèn)題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對所研究的問(wèn)題有比較清楚的認識． 【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地擬建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)，決定選用A、B兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機，根據產(chǎn)品說(shuō)明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表： 日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6 日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機O≥36≥150 B型發(fā)電機O≥24≥90 根據上面的數據回答： (1)若這個(gè)發(fā)電場(chǎng)購x臺A型風(fēng)力發(fā)電機，則預計這些A型風(fēng)力發(fā)電機一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí)； (2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機每臺O.3萬(wàn)元，B型風(fēng)力發(fā)電機每臺O.2萬(wàn)元．該發(fā)電場(chǎng)擬購置風(fēng)力發(fā)電機共10臺，希望購機的費用不超過(guò)2.6萬(wàn)元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請你提供符合條件的購機方案． 根據上面的數據回答： 思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x； (2)設購A型發(fā)電機x臺，則購B型發(fā)電機(10—x)臺, 解法一根據題意得： 解得5≤x ≤6． 故可購A型發(fā)電機5臺，B型發(fā)電機5臺；或購A型發(fā)電機6臺，B型發(fā)電視4臺． 四、用函數知識解決的應用題 函數類(lèi)應用問(wèn)題主要有以下兩種類(lèi)型：(1)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)數學(xué)符號，建立函數關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數關(guān)系式． 【例4】 (揚州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng )辦了“潤楊”報刊零售點(diǎn)．對經(jīng)營(yíng)的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息： �、儋I(mǎi)進(jìn)每份0.20元，賣(mài)出每份0.30元； �、谝粋�(gè)月內(以30天計)，有20天每天可以賣(mài)出200份，其余10天每天只能賣(mài)出120份； �、垡粋�(gè)月內，每天從報社買(mǎi)進(jìn)的報紙份數必須相同．當天賣(mài)不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社； (1)填表： 一個(gè)月內每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報的份數100150 當月利潤(單位：元) (2)設每天從報社買(mǎi)進(jìn)該種晚報x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤為y元，試求出y與x的函數關(guān)系式，并求月利潤的最大值． 思路點(diǎn)撥(1)填表： 一個(gè)月內每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報的份數100150 當月利潤(單位：元)300390 (2)由題意可知，一個(gè)月內的20天可獲利潤： 20×=2x(元)；其余10天可獲利潤： 10=240—x(元)； 故y=x+240，(120≤x≤200)， 當x=200時(shí)，月利潤y的最大值為440元． 注 根據題意，正確列出函數關(guān)系式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍． 另外，初三還會(huì )提及統計型應用題，幾何型應用題． 【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成． �。�1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數． (2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時(shí)間內：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工 程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢(qián)最少? 思路點(diǎn)撥 這是一道策略?xún)?yōu)選問(wèn)題．工程問(wèn)題中：工作量=工作效率×工時(shí)． (1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據題意得： , x=30合題意， 所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天． (2)各種方案所需的費用分別為： A．請甲隊需2000×20=40000元； B．請乙隊需1400×30=4200元； C．請甲、乙兩隊合作需(2000+1400)×12=40800元． 所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢(qián)最少． 【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達目的地，然后在生態(tài)區考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問(wèn)：科學(xué)考察隊的生態(tài)區考察了多少天? 思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵! 設考察隊到 生態(tài)區去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60， 17x－25y=－1，即25y－17x=1． ① 這里x、y是正整數，現設 法求出①的`一組合題意的解，然后計算出z的值． 為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數)．用輾轉相除法． 25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25． 與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2． 下面再求出①的合題意的解． 由不定方程的知識可知，①的一切整數解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t， ∴ x+y=42t－5，t為整數．按題意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察隊在生態(tài)區考察的天數是23天． 注 本題涉及到的未知量多，最終轉化為二元一次不定方程來(lái)解，希讀者仔細咀嚼所用方法． 【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規定如下： (1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購物滿(mǎn)200元，但不超過(guò)500元，按標價(jià)給予九折優(yōu)惠； (3)若一次購物超過(guò)500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折 優(yōu)惠． 小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現在小亮決定一次去購 買(mǎi)小明分兩次購買(mǎi)的同樣多的物品，他需付款多少? 思路點(diǎn)撥 應付198元購物款討論： 第一次付款198元，可是所購物品的實(shí)價(jià)，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論． 情形1 當198元為購物不打折付的錢(qián)時(shí)，所購物品的原價(jià)為198元 ． 又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢(qián)，104元為購物打八折付的錢(qián)；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所購物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購買(mǎi)小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買(mǎi)應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 當198元為購物打九折付的錢(qián)時(shí)，所購物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 綜上所述，小亮一次去超市購買(mǎi)小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元 【例8】 (2002年全國數學(xué)競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現在工程由一個(gè)隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊承包費用最少? 思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問(wèn)題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮： 設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成． 則 ，解得 再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元， 則 ，解得 于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)． 由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)． 而丙隊不能在一周內完成．所以由乙隊承包費用最少． 學(xué)歷訓練 �。ˋ級） 1．(河南)在防治“SARS”的戰役中，為防止疫情擴散，某制藥廠(chǎng)接到了生產(chǎn)240箱過(guò)氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來(lái)多生產(chǎn)15箱，結果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液? 2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水，對自來(lái)水妁收費標準作如下規定：每月每戶(hù)用水中不超過(guò)10t部分按0.45元／噸收費；超過(guò)10t而不超過(guò)20t部分按每噸0.8元收費；超過(guò)20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶(hù)比乙戶(hù)多繳水費7.10元，乙戶(hù)比丙戶(hù)多繳水費3.75元，問(wèn)甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來(lái)水按整噸收費) 3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問(wèn)：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題? 4．某人從A地到B地乘坐出租車(chē)有兩種方案，一種出租車(chē)收費標準是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車(chē)收費標準是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問(wèn)選擇哪一種出租車(chē)比較合適? (提示：根據目前出租車(chē)管理條例，車(chē)型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少) �。˙級） 1．(全國初中數學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機 臺． 2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價(jià)：800元／臺．甲商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)： 購買(mǎi)臺數1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上 每臺價(jià)格760元720元680元640元600元 乙商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)：每次購買(mǎi)1~8臺，每臺打九折；每次購買(mǎi)9~16臺，每臺打八五折； 每次購買(mǎi)17~24臺，每臺打八折；每次購買(mǎi)24臺以上，每臺打七五折． �。�1）請仿照甲商場(chǎng)的促銷(xiāo)列表，列出到乙商場(chǎng)購買(mǎi)VCD的購買(mǎi)臺數與每臺價(jià)格的對照表； (2)現在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買(mǎi)10臺VCD，B單位要買(mǎi)16臺VCD，C單位要買(mǎi)20臺VCD，問(wèn)他們到哪家商場(chǎng)購買(mǎi)花費較少? 3．(河北創(chuàng )新與知識應用競賽題)某錢(qián)幣收藏愛(ài)好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據此設計兌換方案． 4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級數是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問(wèn)： (1)扶梯露在外面的部分有多少級? (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數和扶梯的級數相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級臺階? 5．某化肥廠(chǎng)庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問(wèn)在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍． 6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場(chǎng)，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場(chǎng)．問(wèn)建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產(chǎn)量，直線(xiàn)段上的字母a、b、d表示距離，且b < a 多邊形的邊角與對角線(xiàn) j.Co M 第十四講 多邊形的邊角與對角線(xiàn) 邊、角、對角線(xiàn)是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數 、內外角度數、對角線(xiàn)條數是解與多邊形相關(guān)的基本問(wèn)題，常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識． 多邊形 的內角和定理反映出一定的規律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規律；360°是一個(gè)常數，把內角問(wèn)題轉化為外角問(wèn)題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問(wèn)題的常用技巧． 將多邊形問(wèn)題轉化為三角形問(wèn)題來(lái)處理是解多邊形問(wèn)題的基本策略，連對角線(xiàn)或向外補形、對內分割是轉化的常用方法，從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線(xiàn)把 凸 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出 對角線(xiàn)． 例題求解 【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內角外，其余內角之和為2002°，則這個(gè)多邊形的邊數是 ． (江蘇省競賽題) 思路點(diǎn)撥 設除去的角為°，y°，多邊形的邊數 為 ，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0° 鏈接 世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過(guò)程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線(xiàn)、線(xiàn)生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些幾何圖形． 【例2】 在凸10邊形的所有內角中，銳角的個(gè)數最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全國初中數學(xué)競賽題) 思路點(diǎn)撥 多邊形的內角和是隨著(zhù)多邊形的邊數變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內角為銳角的個(gè)數討論轉化為 外角為鈍角的個(gè)數的探討． 【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開(kāi)成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫(huà)出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫(xiě)出所拼四邊形的對角線(xiàn)的長(cháng)． (烏魯木齊市中考題) 思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線(xiàn)有不同情形． 注 教學(xué)建模是當今教學(xué)教育、考試改革最熱門(mén)的一個(gè)話(huà)題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，“數學(xué)建�！本褪峭ㄟ^(guò)數學(xué)化(引元、畫(huà)圖等)把實(shí)際問(wèn)題特化為一個(gè)數學(xué)問(wèn)題，再運用相應的數學(xué)知識方法(模型)解決問(wèn)題． 本例通過(guò)設元，把“沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙”轉譯成等式，通過(guò)不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，觀(guān)察各種建筑物的地板，就能發(fā)現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內角大小有關(guān)，當圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形． (1)請根據下列圖形，填寫(xiě)表中空格： (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形? (3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說(shuō)明你的理由． (陜西省中考題) 思路點(diǎn)撥 本例主要研究?jì)蓚�(gè)問(wèn)題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開(kāi)放性，又具有探索性．假定正n邊形滿(mǎn)足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內角的和為360°，這樣，將問(wèn)題的討論轉化為求不定方程的正整數解． 【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線(xiàn)沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'． �。�1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說(shuō)明理由． (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長(cháng)比五邊形ABCD正的周長(cháng)至少增加25個(gè)單位． (江蘇省競賽題) 思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿(mǎn)足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點(diǎn)分別共線(xiàn)；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長(cháng)等于A(yíng)'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長(cháng)逼近估算． 1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長(cháng)為16cm、寬為12cm的長(cháng)方形，再沿對角線(xiàn)把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來(lái)，其中周長(cháng)最大的是 ?，周長(cháng)最小的是 cm． (選6《莢國中小學(xué)數學(xué)課程標準》) 2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線(xiàn)段AD的取值范圍是 ． 4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個(gè)圖案： (1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊； (2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊． (江西省中考題) 5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內角為鈍角，則n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀請賽試題) 6．一個(gè)凸多邊 形的每一內角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線(xiàn)的條數是( ) A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條 7．有一個(gè)邊長(cháng)為4m的正六邊形客廳，用邊長(cháng)為50cm的正三角形瓷磚鋪滿(mǎn)，則需要這種瓷磚( ) A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊 ( “希望杯”邀請賽試題) 8．已知△ABC是邊長(cháng)為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD． �。�1）)畫(huà)出四邊形ABCD； (2)求出四邊形ABCD的對角線(xiàn)BD的長(cháng)． (上海市閔行區中考題) 9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數． (北京市競賽題) 10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點(diǎn)，連結A1B1，我們稱(chēng)A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對線(xiàn)，如果五邊形的每條中對線(xiàn)都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線(xiàn)和它平行． (安徽省中考題) 11．如圖，凸四邊形有 個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重慶市競賽題) 12．如圖，延長(cháng)凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長(cháng)凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于 ． ( “希望杯”邀請賽試題) 13．設有一個(gè)邊長(cháng)為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線(xiàn)段上向外作正三角形，去掉中間的線(xiàn)段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過(guò)程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復上述過(guò)程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長(cháng)是 ；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍． (全國初中數學(xué)聯(lián)賽題) 14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題) 15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內角外，其余(n一1)個(gè)內角的和為2750°，則這個(gè)內角的度數為( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長(cháng)為( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題) 注 按題中的方法'不斷地做下去，就會(huì )成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱(chēng)——雪花曲線(xiàn)或 科克曲線(xiàn)(瑞典數學(xué)家)，這類(lèi)圖形稱(chēng)為“分形”，大量的物理、生物與數學(xué)現象都導致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支． 17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山東省競賽題) 18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線(xiàn)上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內角不超過(guò)45°． 19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長(cháng)都是整數，求n． (上海市競賽題) 20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長(cháng)分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長(cháng)． 21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面上的情況，如果折疊起來(lái)，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其折疊過(guò)程可由圖2的變換反映出來(lái)． 如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長(cháng)時(shí)，才能實(shí)現上述的折疊變化? (淄博市中考題) 22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長(cháng)為1的正方形或正三角形無(wú)重疊、無(wú)間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內角的大小，并畫(huà)出這樣的 凸n邊形的草圖． 圖形的平移與旋轉 前蘇聯(lián)數學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科． 幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱(chēng)為合同變換，平移、旋轉是常見(jiàn)的合同變換． 如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換． 平移前后的圖形全等，對應線(xiàn)段平行且相等，對應角相等． 如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉變換，其中定點(diǎn)叫旋轉中心，定角叫旋轉角． 旋轉前后的圖形全等，對應線(xiàn)段相等，對應角相等，對應點(diǎn)到旋轉中心的距離相等． 通過(guò)平移或旋轉，把部分圖形搬到新的位置，使問(wèn)題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關(guān)系明朗化，促使問(wèn)題的解決． 注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線(xiàn)段間的比例關(guān)系，而線(xiàn)段本身的大小要改變． 例題求解 【例1】如圖，P為正方形ABCD內一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ． 思路點(diǎn)撥 通過(guò)旋轉，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線(xiàn)段集中到同一個(gè)三角形． 【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線(xiàn) 段x、m、n為邊長(cháng)的三角形的形狀是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變 思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線(xiàn)上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可． 注 下列情形，常實(shí)施旋轉變換： (1)圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°； (2)圖形中有線(xiàn)段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉180°，構造中心對稱(chēng)全等三角形； (3)圖形中出現有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段，將含有相等線(xiàn)段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉兩相等線(xiàn)段的夾角后與另一相等線(xiàn)段重合． 【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等． (全俄數學(xué)奧林匹克競賽題) 思路點(diǎn)撥 設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換． 注 平移變換常與平行線(xiàn)相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線(xiàn)段移到適當的位置，使分散的條件相對集中，促使問(wèn)題的解決． 【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題) 思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過(guò)平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中． 注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識： (1)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，垂線(xiàn)段最短； (2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； (3)同一個(gè)三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內角． 【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長(cháng)為 ，點(diǎn)P是△ABC內的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長(cháng)． (“希望杯”邀請賽試題) 思路點(diǎn)撥 題設條件滿(mǎn)足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形，不能直接應用，通過(guò)旋轉變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵． 學(xué)歷訓練 1．如圖，P是正方形ABCD內一點(diǎn)，現將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針?lè )较蛐D能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ． 2．如圖，P是等邊△ABC內一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ． 3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長(cháng)為 ． 4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( ) A． B． C．l D． (2002年荊州市中考題) 5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 當∠EPF在△ABC內繞頂點(diǎn)P旋轉時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè) (2003年江蘇省蘇州市中考題) 6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長(cháng)為( ) A．2 B．3 C ． D． (2004年武漢市選拔賽試題) 7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(cháng)分別為 和 ，對角線(xiàn)BD、FH都在直線(xiàn) 上，O1、O2分別為正方形的中心，線(xiàn)段O1O2的長(cháng)叫做兩個(gè)正方形的中心距，當中心O2在直線(xiàn) 上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有變化． (1)計算：O1D= ，O2F= ； (2)當中心O2在直線(xiàn) 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ； (3)隨著(zhù)中心O2在直線(xiàn) 上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫(xiě)出計算過(guò)程)． (徐州市中考題) 8．圖形的操做過(guò)程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長(cháng)均為a，豎直 方向的邊長(cháng)均為b）： 在圖a中，將線(xiàn)段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）； 在圖b中， 將折線(xiàn)A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）； �。�1）在圖c中,請你類(lèi)似地畫(huà)一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線(xiàn),同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線(xiàn)畫(huà)出陰影； �。�2）請你分別寫(xiě)出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ； �。�3）聯(lián)想與探索： 如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說(shuō)明你的猜想是正確的． (2002年河北省中考題) 9．如圖，已知點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM． 說(shuō)明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現要求： (1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè )较蛐D180°，使A點(diǎn)落在CB上，請對照原題圖在圖中畫(huà)出符合要求的圖形(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)． (2)在①所得的圖形中，結論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說(shuō)明理由． (3)在①得到的圖形中，設MA的延長(cháng)線(xiàn)與BN相交于D點(diǎn)，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論． 10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè )较蛐D90°至△DEF，則旋轉前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2． 11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長(cháng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ． (紹興市中考題) 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無(wú)法確定 13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( ) A． B． C ．5 D．6 (2004年武漢市選拔賽試題) 14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長(cháng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC． 15．如圖，P為等邊△ABC內一點(diǎn)，PA、PB、PC的長(cháng)為正整數，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實(shí)數，滿(mǎn) ，求△ABC的面積． 16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著(zhù)兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門(mén)，B為分校大門(mén)，為方便人員來(lái)往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來(lái)往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來(lái)往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題) 17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ． (1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題) 18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長(cháng)為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長(cháng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度為定值． (2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長(cháng)的扇形紙板的圓心放在邊長(cháng)為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉， 當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度為定值a；當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度也為定值a． (3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長(cháng)的扇形紙板的圓心放在邊長(cháng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉．當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長(cháng)度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫(xiě)出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請說(shuō)明理由． 【《平行四邊形的性質(zhì)》教案】相關(guān)文章： 《小數的性質(zhì)》教案11-19 分數的基本性質(zhì)的教案10-09 不等式的性質(zhì)教案01-23 分數的基本性質(zhì)教案04-04 化學(xué)《金屬的化學(xué)性質(zhì)》教案02-02《平行四邊形的性質(zhì)》教案4
《平行四邊形的性質(zhì)》教案5
《平行四邊形的性質(zhì)》教案6
《平行四邊形的性質(zhì)》教案7
《平行四邊形的性質(zhì)》教案8
《平行四邊形的性質(zhì)》教案9
《平行四邊形的性質(zhì)》教案10
【學(xué)習目標】：1．掌握平行四邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)（對邊平行且相等，對角相等）
《平行四邊形的性質(zhì)》教案11
《平行四邊形的性質(zhì)》教案12
《平行四邊形的性質(zhì)》教案13
《平行四邊形的性質(zhì)》教案14
《平行四邊形的性質(zhì)》教案15