材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異

　　材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究差異

　　摘要：材料力學(xué)與彈性力學(xué)作為力學(xué)的重要分支學(xué)科，盡管在研究?jì)热莺湍康牡确矫嫦嗨�，但其研究方法卻有明顯差異，本文將就兩者的差異進(jìn)行綜述。

　　關(guān)鍵詞：材料力學(xué);彈性力學(xué);研究方法

　　概述

　　力學(xué)作為一門(mén)研究物質(zhì)機械運動(dòng)規律的科學(xué)，其在建筑、機械、航天、航海等關(guān)系國計民生、國家安全等重大項目上發(fā)揮著(zhù)重要作用。

　　材料力學(xué)(Mechanics of materials)和彈性力學(xué)(Theory of elasticity)都是力學(xué)的重要分支學(xué)科，盡管他們都是研究和分析各種結構物在彈性階段的應力和位移，但在研究對象和方法上仍然具有很大的差異。材料力學(xué)主要研究物體受理后發(fā)生的變形、由于變形而產(chǎn)生的內力以及物體由此而產(chǎn)生的失效和控制失效準則[1]。

　　其主要的研究對象是桿狀構件，即長(cháng)度遠大于高度和寬度的構件及其在拉壓、剪切、彎曲、扭轉作用下的應力和位移。

　　材料力學(xué)除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)行分析之外，通過(guò)試驗現象的觀(guān)察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，引用一些關(guān)于構件的形變狀態(tài)或應力分布的假定，大大簡(jiǎn)化了數學(xué)推演。雖然解答只是近似的，但是可以滿(mǎn)足工程上的精度要求。

　　彈性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個(gè)分支，研究可變性固體在外部因素如力、溫度變化、約束變動(dòng)等作用下產(chǎn)生的應力、應變和位移[2]。其研究對象既可是非桿狀結構，如板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實(shí)體結構，亦可是桿狀構件，并且其不引用任何假定，解答較材料力學(xué)更為精確，常常用來(lái)校核材料力學(xué)里得出的近似解答。

　　材料力學(xué)與彈性力學(xué)同樣作為變形體力學(xué)的分支，在解決具體問(wèn)題使，需要將實(shí)際工程構件的研究對象抽象為理想模型。作為理想模型，在建立其已知量和未知量的推導關(guān)系時(shí)，要滿(mǎn)足如下基本假設：連續性假設、均勻性假設、各向同性假設、小變形假設、完全彈性假設。下面本文將就在一下具體問(wèn)題的解決中，探討材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究方法上的差異。

　　1.直梁在橫向荷載作用下的彎曲研究

　　1)在純彎曲梁中，對于平截面假定的驗證

　　材料力學(xué)在研究梁的彎曲應力時(shí)，采用純彎曲段分析。通過(guò)觀(guān)察對比梁變形前后表面橫向線(xiàn)和縱向線(xiàn)的幾何變形，推測梁內部橫截面在變形后仍為平面。在彈性力學(xué)中，證明了其橫截面是否為平面的過(guò)程如下：

　　假定平面應力情況，已通過(guò)多項式解答取φ=ay3，求得純彎曲矩形梁的應力分量，將應力分量代入物理方程、幾何方程，并積分變換得位移分量的表達式：u=MEIxy+f1(y)ν=-μM2EIy2+f2(x)

　　通過(guò)數學(xué)變換求得位移分量為：

　　u=MEIxy-ωy+u0

　　ν=-μM2EIy2-M2EIx2+ωy+ν0

　　其中ω、u0、ν0為剛體位移

　　由上式可得，鉛直線(xiàn)段的轉角為：

　　β=uy=MEIx-ω

　　在同一個(gè)截面上，x是常量，因而β也是常量�？梢�(jiàn)，同一橫截面上的各鉛直線(xiàn)段轉角相等，即橫截面保持平面。

　　2)對于截面彎曲應力的修正與分析

　　在材料力學(xué)中，根據平面假設和單向受力狀態(tài)導出了應力公式。但此公式僅限于純彎曲梁，當梁受橫向外力作用時(shí)，梁發(fā)生橫力彎曲，此時(shí)變形后已不再是平面，單向受力狀態(tài)也不成立。針對此問(wèn)題，材料力學(xué)一般做簡(jiǎn)化處理。對于跨長(cháng)與橫截面高度之比大于5的梁，用純彎曲正應力公式σ=MIy進(jìn)行計算，結果雖然有誤差，但足以滿(mǎn)足工程上的精度要求，近似用該公式得到的結果作為橫力彎曲的正應力計算公式。

　　而在彈性力學(xué)中，采用半逆解法嚴密的推導了各應力分量。以均布荷載下的簡(jiǎn)支梁為例，假設應力分量形式σy=f(y)，由應力函數與應力分量的關(guān)系導出應力函數，并代入相容方程得到各應力分量的表達式�？紤]主要邊界與小邊界后，得截面上的應力分量為：

　　σx=MIy+qyh(4y2h2-35)

　　σy=-q2(1+yh)(1-2yh)2

　　τxy=FSbI

　　由上式可見(jiàn)，在彎應力σx的表達式中，第一項是主要項，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項是彈性力學(xué)提出的修正項。對于通常的淺梁(跨高比大于5)，修正項很小，可以忽略不計，對于較深的梁，則必須考慮修正項。

　　應力分量σy是梁各層纖維之間的擠壓應力，它的最大絕對值是q，發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中，由于單向應力假設，認為縱向線(xiàn)之間互不擠壓，一般不考慮該應力分量。

　　切應力τxy的表達式和材料力學(xué)完全一樣。

　　從表達式中可以看到，當l>>h時(shí)，σx最大，τxy次之，σy最小，且σx中的qyh(4y2h2-35)是高階小量。因此進(jìn)一步說(shuō)明了，材料力學(xué)的公式可以近似滿(mǎn)足工程梁的計算精度，而彈性力學(xué)推導相對復雜因此材料力學(xué)具有較強的實(shí)用性。

　　2.切應力互等定理

　　在材料力學(xué)中，以圓桿的扭轉為背景，考慮了一個(gè)特殊的簡(jiǎn)單應力狀態(tài)，并加以推理得到了切應力互等定理。在沿桿軸線(xiàn)方向取微段dx，垂直于徑向的平面截出一無(wú)限小的單元體，則很容易得出內外表面無(wú)應力，只在左右兩個(gè)面上有切應力τ。則該單元體將會(huì )轉動(dòng)不能平衡，所以推定在上下兩個(gè)縱截面上必定存在著(zhù)τ'。由于面積很小，近似認為切應力在各面上均勻分布。

　　由平衡方程ΣM=0得到

　　(τdydz)dx=(τ'dxdz)dy

　　從而得到：τ=τ'

　　而在彈性力學(xué)中，則從最普遍的情況出發(fā)，不作任何假設。取微小的平行六面體，根據平衡條件導出應力分量之間的關(guān)系。由對中心點(diǎn)的力矩平衡方程，得到：

　　(τxy+τxyxdx)dy×1×dx2+τyxdy×1×dx2-(τxy+τxyydy)dx×1×dy2+τyxdx×1×dy2=0

　　將上式兩邊同除dxdy，合并同類(lèi)項，并命dx dy趨于零，得到τxy=τyx 　　從而驗證了切應力互等定理。

　　從切應力互等定理的導出我們可以發(fā)現，材料力學(xué)在推導過(guò)程中運用了一些推理和假設，而彈性力學(xué)的推導過(guò)程是比較嚴密和精確的。

　　總結

　　彈性力學(xué)與材料力學(xué)同樣作為力學(xué)的分支，基本假定和理論體系是相同的。在力學(xué)史上，首先出現了研究變形體力學(xué)的理論，屬于彈性力學(xué)的研究范疇，但由于當時(shí)相應的數學(xué)水平得不到相應問(wèn)題的解析解，才在求解過(guò)程中引入一些關(guān)于變形和應力分布的假設，形成材料力學(xué)這門(mén)學(xué)科。

　　在研究對象方面，材料力學(xué)的研究對象是桿狀構件，而彈性力學(xué)的研究對象則有桿、梁、柱、板等結構。因此彈性力學(xué)有更廣的適用性，而材料力學(xué)具有一定的局限性。

　　在解決具體問(wèn)題是，材料力學(xué)常采用截面法，即假想將物體剖開(kāi)，取截面一邊的部分物體作為截離體，利用靜力平衡條件，列出單一變量的常微分方程，以求得截面上的應力，在數學(xué)上較易求解。彈性力學(xué)解決問(wèn)題的方法與材料力學(xué)的方法是不相同的。

　　在彈性力學(xué)中，假想物體內部為無(wú)數個(gè)單元平行六面體和表面為無(wú)數個(gè)單元四面體所組成�？紤]這些單元體的平衡，可寫(xiě)出一組平衡微分方程，但未知應力數總是超出微分方程數，因此，彈性力學(xué)問(wèn)題總是超靜定的，必須考慮變形條件。

　　由于物體在變形之后仍保持連續，所以單元體之間的變形必須是協(xié)調的。因此，可得出一組表示形變連續性的微分方程。

　　另外，在物體表面上還必須考慮物體內部應力與外荷載之間的平衡，這樣就有足夠的微分方程數以求解未知的應力、應變與位移，所以在解決彈性理論問(wèn)題時(shí)，必須考慮靜力學(xué)、幾何方程、物理方程以及邊界等方面的條件。

　　因此需要研究人員具備較扎實(shí)的數學(xué)基礎。由于數學(xué)上的困難，彈性理論問(wèn)題不是總能直接從求解偏微分方程組中得到答案的。

　　在計算精度方面，材料力學(xué)在計算過(guò)程中引入一些假設以簡(jiǎn)化計算，得到的計算結果雖然精度偏低，但已經(jīng)能夠滿(mǎn)足工程上的精度需要，并且受力模型簡(jiǎn)單，能夠很快的得到應力分布，實(shí)用性較強。而彈性力學(xué)通過(guò)嚴密的推導，雖然計算過(guò)程繁瑣但精度高。

　　綜上，材料力學(xué)和彈性力學(xué)兩門(mén)力學(xué)分支學(xué)科關(guān)系密切，適用范圍互補，研究方法及精度各有長(cháng)處，將他們綜合應用，才能在我們的學(xué)習和科研中取得更好的效果。

　　[參考文獻]

　　[1]劉德華， 黃超. 材料力學(xué)， 重慶大學(xué)出版社， 2011.

　　[2]李兆霞， 郭力. 工程彈性力學(xué)， 東南大學(xué)出版社， 2009.

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