構造性數學(xué)及其哲學(xué)意義論文
摘要：本文在介紹了構造性數學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展的基礎上，重點(diǎn)闡述了它的數學(xué)原則和數學(xué)基礎，表明了可構造性的數學(xué)底蘊。最后通過(guò)對構造性數學(xué)產(chǎn)生的原因和其所要達到的目的的分析，論述了構造性數學(xué)的重大意義，同時(shí)評析了我國學(xué)術(shù)界對它的一些認識。
關(guān)鍵詞： 構造性數學(xué) 遞歸函數 可靠性
一，構造性數學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展
構造性數學(xué)是現代數學(xué)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。它的根本特征就是對可構造性的強調。所謂可構造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計算方法。即當我們把能證實(shí)“存在一個(gè)Ｘ滿(mǎn)足性質(zhì)Ａ”的證明稱(chēng)為構造性的，是指能從這個(gè)證明中具體地給出滿(mǎn)足性質(zhì)Ａ的一個(gè)ｘ；或者能從此證明中得到一個(gè)機械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿(mǎn)足性質(zhì)Ａ的這個(gè)ｘ來(lái)。反之，經(jīng)典數學(xué)（非構造性數學(xué)）中的純存在性證明被稱(chēng)之為非構造的。非構造性證明主要是通過(guò)使用反證法來(lái)實(shí)現的。人們一般把這種強調可構造性的數學(xué)稱(chēng)為構造性數學(xué)。
構造性數學(xué)最早起源于一種構造性哲學(xué)思想，這種思想可以追溯到康德那里�？档抡J為，數學(xué)的最終真理性在于數學(xué)概念可以通過(guò)人的智慧構造出來(lái)。他說(shuō)：“數學(xué)必須根據純粹直觀(guān)，在純直觀(guān)里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來(lái)，或者像人們所說(shuō)的那樣，把這些概念構造出來(lái)”。又說(shuō)“數學(xué)知識是從概念的構造得出來(lái)的理性知識。構造一個(gè)概念，意即先天地提供出來(lái)與概念相對應的直觀(guān)�！保ā玻薄�，第３９頁(yè)）后來(lái)，１９世紀德國的克羅內克進(jìn)一步指出：“上帝創(chuàng )造了整數，其余都是人做的工作�！敝鲝堊匀粩蹬c數學(xué)歸納法是數學(xué)最根本的和直觀(guān)上最可信的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數學(xué)對象都必須能在有限步驟內從自然數中構造出來(lái)，否則就不能作為數學(xué)對象。由此克羅內克把許多數學(xué)成果劃到不合法的行列里，如無(wú)限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設的少，故其思想在當時(shí)并未產(chǎn)生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大數學(xué)家也都是倡導構造性數學(xué)研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數學(xué)哲學(xué)的思想，他們實(shí)際的數學(xué)工作并未嚴格地遵循自己的哲學(xué)思想。因此，現代意義的構造性數學(xué)應以布勞威爾的直覺(jué)主義數學(xué)為開(kāi)端，迄今，在構造性數學(xué)的研究領(lǐng)域里，由于宗旨、觀(guān)點(diǎn)和方法的不同，已經(jīng)形成了一些不同的學(xué)派。最著(zhù)名的除了布勞威爾的直覺(jué)主義數學(xué)以外，還有希爾伯特的元數學(xué)、畢曉普等人的構造性數學(xué)以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺(jué)主義數學(xué)和希爾伯特的元數學(xué)，我國數學(xué)哲學(xué)界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來(lái)發(fā)展起來(lái)的畢曉普、馬爾科夫的構造性數學(xué)作些簡(jiǎn)述。（〔２〕、〔３〕第１０１—１０９頁(yè)）
以畢曉普、邁希爾等人為代表的構造性數學(xué)是一個(gè)與早先直覺(jué)主義數學(xué)齊名但又不同于它的新的構造性數學(xué)。他們的構造性數學(xué)研究是在數學(xué)領(lǐng)域中，用普通邏輯于可編碼的對象和遞歸函數。他們所關(guān)心的不是數學(xué)的奠基問(wèn)題，而是要用構造性方法來(lái)研究數學(xué)。他們把構造性數學(xué)看成古典數學(xué)的一個(gè)分支，在這個(gè)分支中所討論的對象都要求是可計算的。以畢曉普的工作為例，他認為只證明一個(gè)數學(xué)對象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機械的辦法把這個(gè)對象構造出來(lái)。他不用非直觀(guān)的概念來(lái)重建數學(xué)，而是從標準的算術(shù)規則和有理數出發(fā)，通過(guò)避開(kāi)“理想”觀(guān)念并不斷地檢驗從直觀(guān)生成的對象和定理，逐步地進(jìn)行構造，以求得數學(xué)的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤(pán)地否定康托的集合論，而是把它加以改造，使之具有構造的合理性。如確定一個(gè)集合，原來(lái)康托的樸素定義只要求給出一個(gè)判別集合中元素的規則即可，而畢曉普認為還應要求擬定出一個(gè)辦法來(lái)真正構造集合的一個(gè)元素并證明集合中兩個(gè)元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭議的公理——選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經(jīng)典數學(xué)的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發(fā)展出相當大的一部分有價(jià)值的數學(xué)。１９６７年畢曉普的《構造性分析》的出版，標志著(zhù)這一新的構造性數學(xué)的建立，而隨后《構造性泛函分析》的問(wèn)世，則表明了這一領(lǐng)域的新進(jìn)展。
構造性數學(xué)的另一個(gè)新體系是由馬爾科夫、沙寧創(chuàng )建的。他們的構造性數學(xué)研究是以算法概念為基礎的，即把其它一切概念都歸約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語(yǔ)言表達，所有引用實(shí)無(wú)窮的話(huà)都嚴格地避免，并采用了直覺(jué)主義邏輯。他們對構造分析學(xué)作了相當深入的研究，對于許多數學(xué)分支的算法化以及制定構造邏輯的語(yǔ)義學(xué)都作了很可觀(guān)的工作。如他把實(shí)數定義成一種逐次逼近的算法，實(shí)函數也就等同于一個(gè)算法。他的正規算法就是目前少數幾個(gè)力量最強的精確化的算法概念。
以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構造性數學(xué)，是對早先直覺(jué)主義數學(xué)的發(fā)展、揚棄。它一方面承繼了直覺(jué)主義的基本主張，強調在構造數學(xué)內部要求“證明存在一個(gè)具有性質(zhì)Ｐ的ｘ，必須指出一個(gè)有限的方法來(lái)構造ｘ，以及找出一個(gè)有限的方法來(lái)證明ｘ具有性質(zhì)Ｐ”。但另一方面，它又不同于直覺(jué)主義數學(xué)，它不象直覺(jué)主義數學(xué)那樣極端地要把全部數學(xué)都“構造化”，他們只是想從構造性的角度建立一門(mén)有別于傳統數學(xué)的新學(xué)數學(xué)，因為在他們看來(lái)，從構造的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究，對許多老問(wèn)題都會(huì )有新的見(jiàn)解。他們認為構造性數學(xué)和非構造性數學(xué)是現代數學(xué)的兩大傾向，是可以并行發(fā)展和相互促進(jìn)的。
二 構造性數學(xué)的原則與基礎
如前所述，對可構造性的強調是構造性數學(xué)的根本特征，其實(shí)也可以說(shuō)，這就是構造性數學(xué)的基本數學(xué)原則。它要求一個(gè)關(guān)于“存在一個(gè)具有性質(zhì)Ｐ的ｘ的證明”，必須解釋?zhuān)臉嬙焓窃鯓訉?shí)行的。這與通�！凹兇獯嬖谛宰C明”的做法不一樣，在那里，一個(gè)具有性質(zhì)Ｐ的ｘ的存在性是通過(guò)采用指出假設“ｘ不存在”就會(huì )導致矛盾的辦法來(lái)證明的。從構造性的觀(guān)點(diǎn)看，后一證明只是表明“ｘ不可能不存在”，但是它并未給出尋找ｘ的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構造主義者還必須采取一些附加的構造性辦法來(lái)證明ｘ具有性質(zhì)Ｐ。因此，僅僅證明如果ｘ不具有性質(zhì)Ｐ就會(huì )導致矛盾是遠遠不夠的。為了充分認識構造性數學(xué)與非構造數學(xué)之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個(gè)例子給予說(shuō)明。如代數基本定理：
任何復系數的非常數多項式ｆ至少有一個(gè)復根。 （Ⅰ）
對于（Ⅰ）最著(zhù)名的非構造性證明是，假設ｆ不取零值，把劉維爾定理用于ｆ的倒數，得出１／ｆ是常數，于是ｆ是常數，矛盾，證明完成。從構造的觀(guān)點(diǎn)看，這里證明的并不是代數基本定理，而是較弱的命題：
不取零值的復數上多項式是常項。 （Ⅱ）
因為上述證明不能幫助你計算１００階多項式的根，它沒(méi)有給出多項式求根的方法。但是布勞威爾卻對于首項系數為１的多項式的代數基本定理給出了一個(gè)構造性的證明（證明的大體思路可參見(jiàn)文〔４〕）。有了這個(gè)證明，就可以求任意階（如１００階）多項式的根了。
應該指出，每一個(gè)構造性證明也是同一命題的一個(gè)經(jīng)典證明。布勞威爾的證明也是代數基本定理的一個(gè)經(jīng)典證明。盡管布勞威爾的證明確實(shí)比用劉維爾定理的證明更長(cháng)，但它也告訴了我們更多的信息。代數基本定理在構造性數學(xué)中被布勞威爾解釋成：有一個(gè)適用于任何復系數的非常數多項式ｆ的有限方法，我們能夠用以計算ｆ的根。
以上只是我們例舉的一個(gè)例子，其實(shí)每一個(gè)經(jīng)典定理都是向構造性數學(xué)提出的一個(gè)挑戰：找出一個(gè)構造性的說(shuō)法，并給它以一個(gè)構造性的證明。然而在多數情況下，找出經(jīng)典定理所對應的構造性?xún)热萁^非易事。許多經(jīng)典的定理至今也看不出將其進(jìn)行構造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構造性數學(xué)內部不得不暫時(shí)將這些有意義的經(jīng)典數學(xué)內容排斥在外。但應指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。
另一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題是構造性數學(xué)的數學(xué)基礎問(wèn)題。這是一個(gè)涉及構造性數學(xué)的可靠性，以及可構造性何以能夠得以實(shí)現的重要問(wèn)題。對此我們分兩部分來(lái)談。
首先，我們來(lái)看直覺(jué)主義數學(xué)的數學(xué)基礎。眾所周知，直覺(jué)主義數學(xué)是以自然數理論為其數學(xué)上的出發(fā)點(diǎn)。因此對于直覺(jué)主義數學(xué)的建構來(lái)說(shuō)，首要的問(wèn)題就是如何依據構造的標準在自然數的基礎上建立起它的實(shí)數理論，因為實(shí)數理論是整個(gè)分析學(xué)的基礎。有理數的構建是容易的，只要把有理數作為整數對引進(jìn)即可。關(guān)鍵是如何在構造意義下給出實(shí)數和實(shí)數連續統的概念。為了構造實(shí)數概念，布勞威爾首先獨創(chuàng )了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構造性的標準重新定義的一種集合：它等同于已構成的數學(xué)對象所可能具有的一種性質(zhì)，依據這一性質(zhì)，我們可以有效地去確定這些對象是否屬于這一“屬種”。進(jìn)一步布勞威爾引進(jìn)了“選擇序列”的概念：“在任何時(shí)刻，一個(gè)選擇序列ａ系由一個(gè)有窮的節連同對它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數選擇序列”取代了經(jīng)典分析中的有理數柯西序列概念，并稱(chēng)之為“實(shí)數生成子”。于是構造意義下的單個(gè)實(shí)數就被定義為實(shí)數生成子的一個(gè)等價(jià)屬種。實(shí)數連續統的概念建構的比較晚，直到１９１９年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構了符合構造性要求的連續統概念（具體的建構方法可參見(jiàn)〔５〕第１６８—１７０頁(yè)）。在那里，每個(gè)可能的選擇序列就是一個(gè)可構造意義下的單個(gè)實(shí)數，而整個(gè)展形就是可構造意義下的實(shí)數連續統，兩者是同時(shí)構造出來(lái)的。所謂展形，實(shí)際上也就是一種“自由選擇序列”——其中沒(méi)有對元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數的次序進(jìn)行下去。這樣，作為這種自由選擇的結果就不只是某個(gè)特殊的序列，而是各種可能的序列。實(shí)數理論的重構，為直覺(jué)主義數學(xué)的展開(kāi)奠定了基礎。
至此，或許有人會(huì )認為直覺(jué)主義數學(xué)的基礎已經(jīng)得到圓滿(mǎn)的重構和解釋?zhuān)鋵?shí)不然，因為直覺(jué)主義者對其一直強調的“可構造性”始終沒(méi)有給出一個(gè)明確的解釋。直覺(jué)主義者外爾就曾認為：“反唯象論的構造方法的成功是不可否認的。然而它所依據的最終基礎仍是一個(gè)謎，甚至在數學(xué)中也是如此�！保ā玻丁�，第１１２頁(yè)）人們對于什么是“直覺(jué)上可構造的”這一根本性概念有著(zhù)不同的理解。如有的構造主義者認為，真正的數學(xué)是不應包含“否定”概念的，因為任何否定性的命題（按布勞威爾、海丁的解釋?zhuān)}一ｐ就意味著(zhù)“我們給出了這樣一種構造。由證明ｐ的構造出發(fā)就會(huì )得出矛盾”），都假設了一個(gè)不可能實(shí)現的構造（證明ｐ的構造）。另外，也有的直覺(jué)主義者對前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺(jué)主義的實(shí)數理論就無(wú)法得到重建。之所以人們對什么是直覺(jué)上“可構造的”沒(méi)有一個(gè)統一的認識，其原因就在于“可構造的”只是一個(gè)不精確的日常用語(yǔ)，因而會(huì )被不同的人作不同的理解。盡管在直覺(jué)主義者看來(lái)，這一概念是無(wú)需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺(jué)主義者看來(lái)，卻有著(zhù)進(jìn)一步解釋的必要。這里我們僅簡(jiǎn)單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺(jué)主義概念全部都被歸約為一個(gè)基本概念，這就是“構造”。然而直覺(jué)主義者只是隱蔽地使用了這個(gè)概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開(kāi)化。由于整個(gè)解釋過(guò)程繁長(cháng)，故只給出其結論（詳見(jiàn)〔３〕第９７—９８頁(yè)，〔７〕第５４５—５５１頁(yè)）�？肆值慕Y論是：直覺(jué)主義的構造等同于部分可計算函數。進(jìn)一步，按他的解釋?zhuān)紕谕柕摹白杂蛇x擇序列”不過(guò)是任意的序列；布勞威爾的函數則是部分可計算函數�？肆种赋�，只有存在相應遞歸函數的公式才能在直覺(jué)主義系統內證明。由此，直覺(jué)主義數學(xué)的基礎就被克林歸約到相遞歸函數或可計算函數之上了。另外，哥德?tīng)枌嬙煨砸沧髁祟?lèi)似于克林的解釋?zhuān)贿^(guò)哥德?tīng)柨扇菰S構造的類(lèi)要寬得多，他不是把構造等同于可計算函數，而是等同于可計算泛函（〔３〕第９９—１００頁(yè)）。
下面我們再來(lái)看看后期構造數學(xué)的基礎。直覺(jué)主義數學(xué)之后的構造性數學(xué)表現出多元的傾向，它們容許的數學(xué)對象也更寬，采取的構造性方案也各有特點(diǎn)。這里我們無(wú)意對它們的細節進(jìn)行考察，只是想簡(jiǎn)要地分析一下各自的數學(xué)基礎。斯派克是直覺(jué)主義數學(xué)之后較早表現出構造性?xún)A向的數學(xué)家之一，他在１９４９年就考察了一類(lèi)較窄的實(shí)數，他稱(chēng)之為原始遞歸實(shí)數。它以（１／２）［ｎ］的精度來(lái)逼近：
其中ｆ′、ｆ″、ｇ均是原始遞歸函數。他還考慮了其它各種類(lèi)型的逼近，如用級數ｆ［，（ｎ）］／ｇ［ｎ］部分和來(lái)逼近。羅賓遜（１９５１年）、里斯（１９５４年）等后來(lái)又給出了更廣一類(lèi)的實(shí)數，稱(chēng)為可計算實(shí)數，也是利用遞歸函數進(jìn)行逼近而得出的。不過(guò)為了建立構造性分析學(xué)，更主要的是要給出構造意義下的函數乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在１９５９年給出了一個(gè)叫可計算實(shí)變函數的概念（〔３〕第１０３頁(yè)）�？肆忠部紤]了一類(lèi)部分可計算泛涵，這些泛函使每個(gè)函數ｆ都與一相對于ｆ可計算的部分函數相關(guān)聯(lián)。到了６０年代，構造性數學(xué)有了一個(gè)大的發(fā)展。首先邁希爾與德克創(chuàng )立和發(fā)展了一種整數集的遞歸等價(jià)物的理論，這個(gè)理論的特點(diǎn)是用整數集換任意集，用部分遞歸映射換任意映射。１９６７年畢曉普出版《構造性分析》，開(kāi)創(chuàng )了構造性數學(xué)的新時(shí)期，而他的構造性數學(xué)的根本特征就是把一切數學(xué)對象都化歸為可編碼的對象和遞歸函數。后期構造性數學(xué)中另一個(gè)體系是馬爾科夫、沙寧創(chuàng )建的算法概念為基礎的理論。他們采納的也是構造性邏輯，但他們把一切概念都歸約為算法這個(gè)概念。馬爾科夫提出的正規算法就是目前知道的最有力量的少數幾個(gè)算法之一�，F已證明，正規算法與前面提到的遞歸函數或可計算函數都是等價(jià)的。這樣一來(lái)，我們便就可以不作區分地講，構造性數學(xué)的基礎是遞歸函數或算法。
綜合上述，我們認為，構造性數學(xué)的基礎歸根到底是遞歸論�；蛘哒f(shuō)，所謂構造性、可構造的與遞歸性、可遞歸的是相互等價(jià)的。這就是我們對構造性的理解。有了這樣一種解釋?zhuān)覀円簿突玖私饬恕皹嬙煨浴钡恼鎸?shí)涵義。盡管從哲學(xué)上講，它可能還具有更深刻更豐富的內涵，但從實(shí)踐、操作的角度講，它就是遞歸性，進(jìn)而也就是能行性。
三、構造性數學(xué)的意義及其它
在對構造性數學(xué)的意義作出評述之前，有必要先弄清楚以下兩個(gè)問(wèn)題：１．構造性數學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？２．構造性數學(xué)所要解決的問(wèn)題和所要達到的目的是什么？
在經(jīng)典數學(xué)如此成功的情況下，為什么還會(huì )出現構造性數學(xué)？構造性數學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？這確實(shí)是對構造性數學(xué)進(jìn)行哲學(xué)研究所必須回答的一個(gè)問(wèn)題。我們認為，原因主要有以下四個(gè)方面：一、為了解決由于集合悖論的出現而引發(fā)的第三次數學(xué)危機。這是布勞威爾直覺(jué)主義數學(xué)產(chǎn)生的直接原因。對此，大家已比較熟悉，無(wú)須多言。然而這只是一個(gè)表層的原因，事實(shí)上還有以下更深刻的哲學(xué)原因。二、為了解決數學(xué)概念和方法的可靠性問(wèn)題。由于集合悖論的出現，使得直覺(jué)主義者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的數學(xué)這個(gè)問(wèn)題上。他們認為“存在必須被構造”。因此，只有經(jīng)過(guò)構造性檢驗的數學(xué)才是可靠的。這樣一種認識論主張，是構造性數學(xué)產(chǎn)生的根本原因。三、純存在性證明的局限性是構造性數學(xué)、尤其是后期構造性數學(xué)產(chǎn)生的重要原因。大家知道，純存在性證明只能讓人知道某個(gè)方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出這個(gè)根均是未知的。構造性數學(xué)就是針對純存在性證明的這個(gè)缺陷，提出要證明一個(gè)方程的根是存在的，就必須給出求解它的有效方法。四、從構造性數學(xué)的角度看經(jīng)典數學(xué)，會(huì )產(chǎn)生許多新的見(jiàn)解、新的方法，這不僅可以獲得對數學(xué)更深刻的認識，而且可以促進(jìn)兩類(lèi)數學(xué)的共同發(fā)展，這是后期構造性數學(xué)產(chǎn)生的又一原因。以上這些原因概括起來(lái)也就是兩點(diǎn)：一、經(jīng)典數學(xué)本身的不足；二、“存在必須被構造”的認識論信念。我們認為，正是這兩個(gè)根本原因，引發(fā)了在本世紀產(chǎn)生的構造性數學(xué)。
從對構造性數學(xué)產(chǎn)生原因的以上認識，不難看到，早期構造性數學(xué)所要解決的就是數學(xué)基礎問(wèn)題，所要達到的目的就是確立數學(xué)的可靠性。后期構造性數學(xué)的目的沒(méi)有這么強，它們不再去解決數學(xué)的基礎問(wèn)題，而只是用構造性方法來(lái)研究數學(xué)，建立一門(mén)與經(jīng)典數學(xué)平行的構造性數學(xué)。在數學(xué)可靠性問(wèn)題上，盡管后期構造主義者并不完全贊同布勞威爾的哲學(xué)主張，尤其是“原始直覺(jué)”觀(guān)念，但他們還是吸取了“存在必須被構造”的可靠性觀(guān)念。因此，確立數學(xué)的可靠性依然是后期構造性數學(xué)的目的之一。那么構造性數學(xué)是不是解決了它想要解決的問(wèn)題呢？通過(guò)對這個(gè)問(wèn)題的回答，可以看到構造性數學(xué)的重大意義和特殊價(jià)值。我們先來(lái)看看早期構造性數學(xué)是不是解決了數學(xué)的基礎問(wèn)題�；蛟S有人會(huì )對此問(wèn)題的提出感到奇怪，不是早就說(shuō)直覺(jué)主義同邏輯主義和形式主義一樣都已失敗了嗎？其實(shí)問(wèn)題并非如此簡(jiǎn)單。盡管在人們?yōu)閿祵W(xué)大廈尋找基礎的一個(gè)世紀以來(lái)，直覺(jué)主義已遭到世界數學(xué)界多數人的反對，但它的“失敗”不同于與其齊名的邏輯主義、形式主義的失敗。后兩者的失敗是邏輯地注定了的失敗，而直覺(jué)主義的“失敗”僅僅是因為其“過(guò)于謹慎而一時(shí)”地拒斥了許多被認為很有意義的經(jīng)典數學(xué)，它在邏輯上并沒(méi)有被宣告失敗�，F在完全追隨布勞威爾的人幾乎沒(méi)有了，但新的構造性數學(xué)的發(fā)展正方興未艾。如果這類(lèi)構造性數學(xué)能夠取得全面的突破性的大進(jìn)展，誰(shuí)又能保證直覺(jué)主義數學(xué)不會(huì )“卷土重來(lái)”？事實(shí)上，相信構造性數學(xué)可能會(huì )獲得成功的人是始終存在的，且不說(shuō)構造主義者本身，非構造主義者，如克林也相信：直覺(jué)主義地重建經(jīng)典數學(xué)的可能性還是存在的（〔７〕第５５，５５１頁(yè)）。由此我們認為，構造性數學(xué)依然是重建數學(xué)基礎的一個(gè)可能的途徑。那種認為直覺(jué)主義計劃已徹底破產(chǎn)的認識是過(guò)于武斷的。
后期構造主義者試圖建立一門(mén)與經(jīng)典數學(xué)平行的構造性數學(xué)，我們認為這一計劃正在實(shí)現的過(guò)程中，近來(lái)構造性數學(xué)成果的不斷涌現就是證明。構造性數學(xué)產(chǎn)生的意義，不僅在于出現了一門(mén)新的理論、開(kāi)創(chuàng )了一種新的研究方向，并獲得了許多新穎、深刻的成果，同時(shí)也在于構造性的成果更便于應用。提供解法畢竟比單純的存在性證明要有意義得多。由此可以說(shuō)，構造性數學(xué)彌補了經(jīng)典數學(xué)的不少缺陷。聯(lián)系到計算機科學(xué)的發(fā)展，這種構造性數學(xué)的研究就更有其深遠意義了。無(wú)怪胡世華教授說(shuō)：“在非構造性數學(xué)的研究中，構造性成分越多的部分往往對自身的發(fā)展也越有意義”。（〔８〕第２６８頁(yè)）
進(jìn)一步，構造性數學(xué)是否達到了它最初的確立數學(xué)可靠性的根本目的呢？由于數學(xué)的可靠性問(wèn)題已遠遠不是一個(gè)單純的數學(xué)技術(shù)問(wèn)題，更主要的是一個(gè)哲學(xué)問(wèn)題，因此對這個(gè)問(wèn)題的回答不可能有一個(gè)終極答案，對構造主義者的回答人們也會(huì )仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。故這里我們只是給出自己對這一問(wèn)題的一些看法。我們認為，在哲學(xué)上，構造性數學(xué)的產(chǎn)生提出了一個(gè)新的“可靠性”觀(guān)念。直覺(jué)主義者認為，一切非構造的存在，都是“超出一切人類(lèi)的真實(shí)可行的‘絕對’，”正是因為相信了這樣一種“絕對”，經(jīng)典數學(xué)才“遠遠地不再是有真實(shí)意義的陳述句以及不再是建基于明證之上的真理了�！保ā玻贰车冢担绊�(yè)）為此，直覺(jué)主義者強調：存在必須是被構造。認為只有一步一步（有限的）構造出來(lái)的東西才是真實(shí)的、有意義的、可靠的。他們把經(jīng)典數學(xué)中的“純存在”視為一種無(wú)異于形而上學(xué)的東西。黑丁就曾明確指出：“如果‘存在’不是意味著(zhù)‘被構造’，那就一定包含某種形而上學(xué)的意義�！保ā玻埂车冢玻矗表�(yè)）在黑丁看來(lái)，對這種具有形而上意義的存在去討論，或判定它是否可以接受，這不是數學(xué)的任務(wù)，認為應該“把數學(xué)當作某種比形而上學(xué)簡(jiǎn)單得多、直接得多的東西來(lái)研究”。為此，直覺(jué)主義才突出地強調應從非構造性向構造性化歸。我們認為，這是在從數學(xué)認識論上提出了一種新的可靠性標準或觀(guān)念。這種標準或觀(guān)念從實(shí)用或操作的意義上講，是頗具合理性的，是應該得到采納的，它對“信息時(shí)代的數學(xué)”（胡世華語(yǔ)）的發(fā)展是很有意義的。當然，這也并不妨在經(jīng)典數學(xué)中人們有時(shí)（即不得已時(shí)）可以采用更靈活的可靠性標準。但我們認為，可構造性是一個(gè)更可靠的可靠性標準，應該成為數學(xué)家和哲學(xué)家評判數學(xué)可靠性的第一標準或最高標準。至于第二、第三等更靈活、更弱的標準，不同的數學(xué)家和哲學(xué)家可能會(huì )有不同的選擇。那么何以見(jiàn)得可構造性就是更強的可靠性標準呢？構造性數學(xué)就真的比經(jīng)典數學(xué)更為可靠、更具可接受性嗎？我們認為，答案應該是肯定的。道理很簡(jiǎn)單，就是因為構造性數學(xué)的原則遠較非構造性數學(xué)嚴格，構造性數學(xué)成立的每一定理對于非構造性數學(xué)也成立；反之，非構造性數學(xué)中成立的定理卻不一定在構造性數學(xué)中成立。因此，構造性數學(xué)實(shí)際上成了非構造性數學(xué)的一個(gè)真子集。另外，從邏輯基礎的角度講，直覺(jué)主義邏輯的公理和定理在經(jīng)典邏輯中都成立，反之卻不然。因此，直覺(jué)主義邏輯是經(jīng)典邏輯的一個(gè)真部分。我們認為，這些理由完全可以表明，以構造性為可靠性標準而建立的定理比經(jīng)典數學(xué)中的定理更可靠。
我國數學(xué)哲學(xué)界對構造性數學(xué)及其哲學(xué)主張評價(jià)普遍較低，其原由不外乎這么幾點(diǎn)：１．直覺(jué)主義數學(xué)排斥了一大部分具有應用價(jià)值的經(jīng)典數學(xué)。２．排斥了實(shí)無(wú)窮和經(jīng)典邏輯。３．與經(jīng)典數學(xué)相比，構造性數學(xué)顯得繁瑣和復雜，對經(jīng)典數學(xué)的構造性改造極為緩慢，難以成功（甚至認為是不可能的）。我們認為，這些并不構成對構造性數學(xué)及其哲學(xué)主張的否定。對此可以簡(jiǎn)要地分析如下：首先，構造性數學(xué)是一門(mén)全新的數學(xué)理論，它的邏輯基礎、數學(xué)原則和哲學(xué)主張不可能完全等同于經(jīng)典數學(xué)。因此，我們必須正視構造性數學(xué)的獨特性。有什么理由說(shuō)，選擇實(shí)無(wú)窮就是對的，而選擇潛無(wú)窮就是錯的？又有什么理由說(shuō)，選擇經(jīng)典邏輯就是科學(xué)的，選擇構造性邏輯就是不科學(xué)的？我們沒(méi)有超越實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的“絕對無(wú)窮觀(guān)”，也沒(méi)有超越經(jīng)典邏輯和構造邏輯的“絕對邏輯”，我們沒(méi)有終極的絕對的參照系。實(shí)際上，反對潛無(wú)窮只能是站在實(shí)無(wú)窮的立場(chǎng)上，反對構造性邏輯也只能是站在經(jīng)典邏輯的立場(chǎng)上。但反過(guò)來(lái)也是可以的。因此，我們最后判別是非的立足點(diǎn)只能是實(shí)踐——數學(xué)的內部實(shí)踐和外部實(shí)踐。不管是實(shí)無(wú)窮、潛無(wú)窮，也不管是經(jīng)典邏輯、構造邏輯，只要以它們?yōu)榛A能夠建立起自相容的理論，并能夠得到有效的應用，那么我們就要承認它們。說(shuō)構造性數學(xué)顯得繁瑣和復雜，這也不是絕對的，如復分析中對畢卡大定理的構造性證明就顯得更為直觀(guān)，它的非構造性證明雖然較短，但卻利用了一種稱(chēng)為橢圓模函數的較高深的數學(xué)工具，后來(lái)雖然也有了幾種淺顯的證明方法，可又都非常繁復，而相應的構造性證明卻要更加自然，只用到了解析函數的基本性質(zhì)。說(shuō)構造性數學(xué)進(jìn)展緩慢、難以成功，這并不意味著(zhù)構造性數學(xué)不能成功。何況它在內容上的復雜和進(jìn)展上的緩慢是有原因的：每一個(gè)構造性證明都比純存在性證明為我們提供了更多更實(shí)用的信息。因此我們把構造性數學(xué)的復雜和緩慢看作是為了獲得更多更實(shí)用的信息所必須付出的代價(jià)。應該承認，這種代價(jià)的付出是值得的。至于說(shuō)到直覺(jué)主義數學(xué)排斥了一部分有價(jià)值的經(jīng)典數學(xué)，我們說(shuō)這并非直覺(jué)主義數學(xué)的過(guò)錯，因為對部分經(jīng)典數學(xué)的排斥并非邏輯地注定了的，誰(shuí)又能保證這不是由于對經(jīng)典數學(xué)的構造性改造太慢而造成的呢？如果是這樣，今天被排斥的東西到明天就不會(huì )再排斥。如果排斥是必然的，則正說(shuō)明構造性數學(xué)的獨特性，說(shuō)明數學(xué)具有構造性和非構造性?xún)蓚�(gè)不同側面，說(shuō)明這兩種數學(xué)確實(shí)存在不可化歸的關(guān)系。
也許會(huì )有許多人說(shuō)，他們反對的只是直覺(jué)主義的哲學(xué)主張。在我們看來(lái)，直覺(jué)主義哲學(xué)除了它所主張的潛無(wú)窮觀(guān)和構造性邏輯外，就是這么兩點(diǎn)：一、存在必須被構造；二、原始直覺(jué)是數學(xué)的基礎。關(guān)于潛無(wú)窮觀(guān)和構造性邏輯前面剛剛談過(guò)，不再重復。一些人對直覺(jué)主義者把可構造性作為數學(xué)理論可靠性的標準表示反對，前面我們也進(jìn)行了反駁，并指出了可構造性是更強、更可靠的可靠性標準。至于提到“原始直覺(jué)是數學(xué)的基礎”這一哲學(xué)主張，我們認為首先應該區別它的兩種不同涵義：一是從數學(xué)發(fā)生學(xué)的角度講，數學(xué)是產(chǎn)生于人類(lèi)的原始直覺(jué)，原始直覺(jué)是產(chǎn)生數學(xué)的基礎。二是從數學(xué)認識論的角度講，數學(xué)的可靠性根源于人類(lèi)的原始直覺(jué)，原始直覺(jué)是保證數學(xué)可靠性的基礎。我們認為，直覺(jué)主義者在講“原如直覺(jué)是數學(xué)的基礎”時(shí)，包括了上述兩層意思。不過(guò)我們認為，上述兩層意思中，前者是可接受的（對此我們將另文專(zhuān)論），后者是錯誤的。原因正如波普爾所說(shuō)：相信知識在發(fā)生學(xué)或心理學(xué)上是先驗的，這是對的；但認為知識都能先驗地正確，就大錯特錯了。源于人的直覺(jué)的數學(xué)，如果沒(méi)有被邏輯地構造與證明，它就沒(méi)有獲得必要的可靠性。但聯(lián)想到直覺(jué)主義者隨時(shí)都在強調可構造性，因此他們在哲學(xué)上的一些錯誤并不會(huì )影響到其數學(xué)的可靠性。說(shuō)直覺(jué)主義哲學(xué)大體上是可接受的，還有一個(gè)有力的理由，即在這種哲學(xué)主張的基礎上而建立起的直覺(jué)主義數學(xué)，并未象經(jīng)典數學(xué)那樣一再地發(fā)生危機——出現悖論，它是自相容的。
美籍華人王浩先生曾認為，構造性數學(xué)是做的數學(xué)，非構造性數學(xué)是在的數學(xué)。對此，我國著(zhù)名數學(xué)家胡世華先生給予了如下的解釋和進(jìn)一步的發(fā)揮：“數學(xué)的在是信息模式和結構的在；數學(xué)的做是信息加工。構造性數學(xué)的傾向是用數學(xué)取得的結果把結果構造出來(lái)，側重于思維的構造性實(shí)踐，非構造性數學(xué)的傾向是數學(xué)地理解問(wèn)題和規律，建立數學(xué)模型，形成數學(xué)理論體系，追求科學(xué)思想”。（〔８〕第２６７頁(yè)）我們認為，這些看法是比較客觀(guān)的。但應進(jìn)一步指明的是，構造性數學(xué)并非像許多人認為的那樣，總是直接因襲標準的非構造性數學(xué)。事實(shí)上，構造性數學(xué)不是命中注定永遠要靠坐吃經(jīng)典數學(xué)這個(gè)老板來(lái)發(fā)展。這兩類(lèi)數學(xué)的關(guān)系是共生性，而非寄生性的。構造性數學(xué)的發(fā)展還不足百年，相信它在未來(lái)的發(fā)展中，會(huì )有一個(gè)又一個(gè)的重大突破。當然這已是后話(huà)了。
參考文獻
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〔９〕 引自夏基松、鄭毓信：《西方數學(xué)哲學(xué)》，人民出版社，１９８６年。
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