圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及推廣應用
在我們現行使用的高中數學(xué)教材中,圓與圓錐曲線(xiàn)是分兩個(gè)章節進(jìn)行教學(xué)的.但我們知道事實(shí)上圓可看作當e=0時(shí)的特殊的橢圓,從圓錐曲線(xiàn)是平面截圓錐曲面所得的交線(xiàn)這個(gè)角度看,圓與圓錐曲線(xiàn)也應該是同一家族的一個(gè)成員.它們應該有某種內在"血緣關(guān)系",應該有很多共性值得我們關(guān)注與重視.本人在平時(shí)教學(xué)中發(fā)現圓的很多性質(zhì)能夠在圓錐曲線(xiàn)中進(jìn)行很好的推廣與應用. 下面小編為大家帶來(lái)了關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及推廣應用的論文。
摘要：在高中階段，學(xué)生對圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)的掌握及應用，是現今我國高考數學(xué)的考查重點(diǎn)。作為高中數學(xué)教師，我們要積極探究圓錐曲線(xiàn)在解析幾何下的分類(lèi)，然后利用這些平面解析幾何的知識以及數形結合的數學(xué)思考模式，對圓錐曲線(xiàn)的基本性質(zhì)及推廣應用進(jìn)行總結、證明，并將其應用于對學(xué)生的解題教學(xué)中。
關(guān)鍵詞：高中數學(xué);圓錐曲線(xiàn);性質(zhì);推廣;應用;解題
圓錐曲線(xiàn)是解析幾何的重要內容，其對于幾何問(wèn)題的研究卻是利用代數的解題方法。而且，對于高中生來(lái)說(shuō)，圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)掌握及其推廣應用是目前我國高考數學(xué)的重點(diǎn)考查內容。從更深層次來(lái)講，加強對于圓錐曲線(xiàn)分類(lèi)與性質(zhì)的研究，在一定程度上可以幫助學(xué)生打開(kāi)解題思路、提高解題技巧，同時(shí)培養學(xué)生以數學(xué)思維能力、創(chuàng )新能力為代表的綜合能力。
因此，為了使學(xué)生能夠更好地掌握圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及其的推廣應用，且進(jìn)一步提高學(xué)生的數學(xué)學(xué)習素質(zhì)，作為高中數學(xué)教師的我們，就要積極探討圓錐曲線(xiàn)在解析幾何下的分類(lèi)及其性質(zhì)，注重對學(xué)生圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)及其推廣應用的教學(xué)。
一、 圓錐曲線(xiàn)的定義
對于圓錐曲線(xiàn)在解析幾何下的分類(lèi)及性質(zhì)的研究前提，是對于圓錐曲線(xiàn)定義的了解及掌握。本文，筆者從三個(gè)方面介紹圓錐曲線(xiàn)的定義。
1、 從幾何的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)。
我們說(shuō)，如果用一個(gè)平面去截取另一個(gè)平面，然后兩個(gè)平面的交線(xiàn)就是我們所要研究的圓錐曲線(xiàn)。嚴格來(lái)講，圓錐曲線(xiàn)包含許多情況的退化，由于學(xué)生對于數學(xué)知識學(xué)習的局限性，對于圓錐曲線(xiàn)的教學(xué)，我們通常包含橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)，這三類(lèi)的知識內容。
2、 從代數的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)。
在直角坐標系中，對于圓錐曲線(xiàn)的定義就是二元二次方程 的圖像。高中生在其的學(xué)習中，可以根據其判別式△的不同，分為橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)以及其他幾種退化情形。
3、 從焦點(diǎn)-準線(xiàn)的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)。
在平面中有一個(gè)點(diǎn)，一條確定的直線(xiàn)與一個(gè)正實(shí)常數e，那么所有到點(diǎn)與直線(xiàn)的距離之比都為e的點(diǎn)，所形成的圖像就是圓錐曲線(xiàn)。
學(xué)生在具體的圓錐曲線(xiàn)學(xué)習中可以了解到，如果e的取值不同，這些點(diǎn)所形成的具體的圖像也不同。
(1) 如果e的取值為1，那么那些點(diǎn)所形成的圓錐曲線(xiàn)是一條拋物線(xiàn);
(2) 如果e的取值在0到1之間，那么圓錐曲線(xiàn)就為橢圓;
(3) 如果e的取值大于1，那么圓錐曲線(xiàn)就為雙曲線(xiàn)。
但是，嚴格來(lái)說(shuō)，在數學(xué)的研究領(lǐng)域，這種焦點(diǎn)-準線(xiàn)的觀(guān)點(diǎn)是只能定義圓錐曲線(xiàn)的幾種的主要情形的，是不能算作為圓錐曲線(xiàn)的定義。但是，在對于學(xué)生的圓錐曲線(xiàn)教學(xué)中，這種定義被廣泛使用，并且，其也能引導出許多圓錐曲線(xiàn)中的重要的性質(zhì)、概念的。
二、 圓錐曲線(xiàn)的分類(lèi)
1、 橢圓。
橢圓上的任意一個(gè)點(diǎn)到某個(gè)焦點(diǎn)與一條確定的直線(xiàn)的距離之比都是一個(gè)大于0且小于1的實(shí)常數e，而且這個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為2a。一般情況下，我們稱(chēng)這條確定的直線(xiàn)為橢圓的準線(xiàn)，e就是我們經(jīng)常說(shuō)的橢圓的離心率。
2、 雙曲線(xiàn)。
雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到其焦點(diǎn)與一條確定直線(xiàn)的距離之間為一個(gè)大于1的實(shí)常數e。同樣的，這條確定直線(xiàn)也是一條準線(xiàn)，其為雙曲線(xiàn)的準線(xiàn)，e為雙曲線(xiàn)的離心率。
3、 拋物線(xiàn)。
拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到其定點(diǎn)與一條確定直線(xiàn)的距離之比等于1。同樣地，這條確定的直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的準線(xiàn)。
三、 圓錐曲線(xiàn)的基本性質(zhì)
1、 橢圓的基本性質(zhì)。
在高中對于圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習，通常包含兩個(gè)定義和三個(gè)基本定理。
定義1 即橢圓的定義，課本上是這樣表述的：平面內與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于實(shí)常數2a(2a>|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。簡(jiǎn)單地用公式來(lái)表達，就是|PF1|+|PF2|=2a。
定義2 即橢圓的第二定義，關(guān)于橢圓的準線(xiàn)方程及其離心率。
動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)F(-c，0)，即橢圓的焦點(diǎn)的距離和它到確定直線(xiàn) 的距離的比為實(shí)常數 (a>c>0)時(shí)，那么P點(diǎn)的軌跡即為橢圓。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，即到定點(diǎn)確定直線(xiàn)的距離的比等于定值e(0 定理1 假設AB是橢圓的右焦點(diǎn)弦，準線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M，則∠ABM小于 。
定理2 假設橢圓 與一過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于A(yíng)(x1，y2)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則AB就被稱(chēng)為橢圓的弦，并且有|AB|的值等于 │ │。
定理3 假設橢圓 與一過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(cháng)軸F1F2的直線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，那么我們把AB稱(chēng)為通徑，并且有|AB|的值等于 。
2、 雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)。
對于圓錐曲線(xiàn)中雙曲線(xiàn)的學(xué)習，在高中階段，學(xué)生對其需主要掌握兩個(gè)定義及基本定理。
定義1 平面內動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2的距離差的絕對值為一個(gè)確定常數，P的運動(dòng)軌跡就叫做雙曲線(xiàn)。即||PF1|-|PF2||=2a，標準方程為 。這兩個(gè)定點(diǎn)就是我們常說(shuō)的，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)之間的距離為雙曲線(xiàn)的焦距，通常我們把|F1F2|記為2c。
定義2 雙曲線(xiàn)的第二定義，也是關(guān)于其準線(xiàn)方程及離心率的。
動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)F(-c，0)的距離和它到確定直線(xiàn) 的距離的比是常數 (a>c>0)時(shí)，P點(diǎn)的運動(dòng)軌跡即為雙曲線(xiàn)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，到定點(diǎn)與到確定直線(xiàn)的距離比等于一個(gè)定值e (e>1)的點(diǎn)的集合所形成的的圖像就是雙曲線(xiàn)。我們把定值 (e>1)，叫做橢圓的離心率。確定直線(xiàn)為準線(xiàn)，方程是 。
定理1 漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)特有的性質(zhì)，漸近線(xiàn)可以與雙曲線(xiàn)無(wú)限接近，但這兩者卻永不會(huì )相交，當雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是 ;而當雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是 。 定理2 當實(shí)軸長(cháng)與虛軸長(cháng)相等時(shí)，即2a=2b，此時(shí)雙曲線(xiàn)被稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，它的漸近線(xiàn)方程就為 ，而標準方程是x2-y2=C，其中C≠0;離心率 。
3、 拋物線(xiàn)的基本性質(zhì)。
拋物線(xiàn)對于學(xué)生在圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習過(guò)程中，其相對于橢圓與雙曲線(xiàn)，無(wú)論是從解題技巧，還是從思維方式，它對于學(xué)生的學(xué)習來(lái)說(shuō)，還是相對較為簡(jiǎn)單的。拋物線(xiàn)的性質(zhì)，在學(xué)生的學(xué)習過(guò)程中，較為常接觸的有兩個(gè)定義、三個(gè)定理。
定義1 平面內到一個(gè)定點(diǎn)P和一條確定直線(xiàn)l的距離都相等的點(diǎn)的集合所形成的的圖像叫做拋物線(xiàn)，而這個(gè)點(diǎn)P就叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，確定的直線(xiàn)l就叫做拋物線(xiàn)準線(xiàn)。
定義2 定點(diǎn)P不在確定的直線(xiàn)l上時(shí)的情況，對于離心率e的比值不同時(shí)，圓錐曲線(xiàn)的圖像也不同。當e=1時(shí)，圓錐曲線(xiàn)的圖像為拋物線(xiàn)，而當01時(shí)其為雙曲線(xiàn)。
拋物線(xiàn)的標準方程有四種形式，這一知識點(diǎn)較為簡(jiǎn)單，且在高中數學(xué)的實(shí)踐教學(xué)中，學(xué)生對這一知識點(diǎn)也能迅速的理解、掌握，所以在這里筆者就不一一說(shuō)明了。
四、 圓錐曲線(xiàn)的推廣應用
對于學(xué)生高中階段的學(xué)習，上文所提到的圓錐曲線(xiàn)的這些基本性質(zhì)只是起到穩固學(xué)生基礎的作用，要想使得學(xué)生在圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習上有更加良好的進(jìn)步、發(fā)展，進(jìn)一步對學(xué)習的知識進(jìn)行穩固，并培養學(xué)生的創(chuàng )新能力、自主學(xué)習能力等各種綜合能力，這就使得，作為高中數學(xué)教師的我們就要利用這些基本性質(zhì)，對其進(jìn)行推廣，得出更進(jìn)一步的推理定理，從而提高學(xué)生圓錐曲線(xiàn)中的解題技巧。
而筆者對于在課堂教學(xué)中對于學(xué)生提出的問(wèn)題進(jìn)行了積極的研究，并且對圓錐曲線(xiàn)的這些基本性質(zhì)也同樣進(jìn)行了深入的研究，兩者相結合，得出了這么兩個(gè)推理定理。
推理定理1 F是橫向型圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，E是與焦點(diǎn)F相對應的準線(xiàn)和對稱(chēng)軸的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F且斜率是k的直線(xiàn)交圓錐曲線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，e 是圓錐曲線(xiàn)的離心率，如果< ， >=θ，則五、 總結
圓錐曲線(xiàn)在歷年高考中都會(huì )出現，其涉及的題型范圍也很廣泛，且分值都較高。但是學(xué)生在圓錐曲線(xiàn)上沒(méi)有太多的解題技巧，解題思路往往也會(huì )受到自身的限制。這就要求作為高中數學(xué)教師的我們，加強學(xué)生對于圓錐曲線(xiàn)的基本性質(zhì)的理解與掌握，而且我們要在教學(xué)之余加深對圓錐曲線(xiàn)的研究，利用其基本性質(zhì)進(jìn)行推廣，得到多種推廣性推理定理，從而提高學(xué)生的解題技巧、擴展學(xué)生的數學(xué)思維。
我們在對圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行推廣應用時(shí)，相應地，我們還要加強自身在教學(xué)過(guò)程中對圓錐曲線(xiàn)的教學(xué)內容及重難點(diǎn)的掌握。而在日常生活中，我們在對學(xué)生的解題技巧進(jìn)行訓練，要嚴格把握好題目的難易程度，使得學(xué)生可以在提高解題技巧的同時(shí)，樹(shù)立自己在考試中的信心。
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[4]《圓錐曲線(xiàn)與方程》(人教A版選修1-1)
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