高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計（通用8篇）
作為一位杰出的老師，總不可避免地需要編寫(xiě)教學(xué)設計，教學(xué)設計是把教學(xué)原理轉化為教學(xué)材料和教學(xué)活動(dòng)的計劃。那么優(yōu)秀的教學(xué)設計是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計，歡迎閱讀與收藏。
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 1
【內容與解析】
本節課要學(xué)的內容有函數的概念指的是函數的概念及符號 的理解，理解它關(guān)鍵就是能用集合與對應的語(yǔ)言刻畫(huà)函數，體會(huì )對應關(guān)系在刻畫(huà)函數概念中的作用。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了集合并且初中對函數的概念已經(jīng)作了介紹，本節課的內容函數的概念就是在此基礎上的發(fā)展的。由于它還與基本初等函數和函數模型等內容有必要的聯(lián)系，所以在本學(xué)科有著(zhù)很重要的地位，是學(xué)習后面知識的基礎，是本學(xué)科的核心內容。教學(xué)的重點(diǎn)是函數的概念，函數的三要素，所以解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是通過(guò)實(shí)例領(lǐng)悟構成函數的三個(gè)要素；會(huì )求一些簡(jiǎn)單函數的定義域和值域。
【教學(xué)目標與解析】
1、教學(xué)目標
�。�1）理解函數的概念；
�。�2）了解區間的概念；
2、目標解析
�。�1）理解函數的概念就是指能用集合與對應的語(yǔ)言刻畫(huà)函數，體會(huì )對應關(guān)系在刻畫(huà)函數概念中的作用；
�。�2）了解區間的概念就是指能夠體會(huì )用區間表示數集的意義和作用；
【問(wèn)題診斷分析】在本節課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問(wèn)題是函數的概念及符號 的理解，產(chǎn)生這一問(wèn)題的原因是：函數本身就是一個(gè)抽象的概念，對學(xué)生來(lái)說(shuō)一個(gè)難點(diǎn)。要解決這一問(wèn)題，就要在通過(guò)從實(shí)際問(wèn)題中抽象概況函數的概念，培養學(xué)生的抽象概況能力，其中關(guān)鍵是理論聯(lián)系實(shí)際，把抽象轉化為具體。
【教學(xué)過(guò)程】
問(wèn)題1：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)26s落到地面擊中目標。炮彈的射高為845m，且炮彈距離地面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規律是： h=130t—5t2。
1.1 這里的變量t的變化范圍是什么？變量h的變化范圍是什么？試用集合表示？
1.2 高度變量h與時(shí)間變量t之間的對應關(guān)系是否為函數？若是，其自變量是什么？
設計意圖：通過(guò)以上問(wèn)題，讓學(xué)生正確理解讓學(xué)生體會(huì )用解析式或圖象刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系，從問(wèn)題的實(shí)際意義可知，在t的變化范圍內任給一個(gè)t，按照給定的.對應關(guān)系，都有唯一的一個(gè)高度h與之對應。
問(wèn)題2：分析教科書(shū)中的實(shí)例（2），引導學(xué)生看圖并啟發(fā)：在t的變化t按照給定的圖象，都有唯一的一個(gè)臭氧層空洞面積S與之相對應。
問(wèn)題3：要求學(xué)生仿照實(shí)例（1）、（2），描述實(shí)例（3）中恩格爾系數和時(shí)間的關(guān)系。
設計意圖：通過(guò)這些問(wèn)題，讓學(xué)生理解得到函數的定義，培養學(xué)生的歸納、概況的能力。
問(wèn)題4：上述三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系都是函數，那么從集合與對應的觀(guān)點(diǎn)分析，函數還可以怎樣定義？
4.1 在一個(gè)函數中，自變量x和函數值y的變化范圍都是集合，這兩個(gè)集合分別叫什么名稱(chēng)？
4.2 在從集合A到集合B的一個(gè)函數f：AB中，集合A是函數的定義域，集合B是函數的值域嗎？怎樣理解f（x）=1，xR？
4.3一個(gè)函數由哪幾個(gè)部分組成？如果給定函數的定義域和對應關(guān)系，那么函數的值域確定嗎？?jì)蓚�(gè)函數相等的條件是什么？
【例題】：
例1 求下列函數的定義域
�。�1） （2）
�。�3） （4）
分析：求定義域就是使式子有意義的x的取值所構成的集合；定義域一定是集合！
例2已知函數
分析：理解函數f（x）的意義
例3 下列函數中哪個(gè)與函數 相等？
例4 在下列各組函數中 與 是否相等？為什么？
分析：（1）兩個(gè)函數相等，要求定義域和對應關(guān)系都一致；
�。�2）用x還是用其它字母來(lái)表示自變量對函數實(shí)質(zhì)而言沒(méi)有影響。
【課堂目標檢1測】
教科書(shū)第19頁(yè)1、2。
【課堂小結】
1、理解函數的定義，函數的三要素，會(huì )球簡(jiǎn)單的函數的定義域和函數值；
2、理解區間是表示數集的一種方法，會(huì )把不等式轉化為區間。
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 2
教學(xué)目標
1、知識目標：正確理解現階段函數的概念，理解定義域的概念
2、能力目標：使學(xué)生具有使用函數模型研究生活中簡(jiǎn)單的事物變化規律的能力。
3、情感目標：滲透數學(xué)來(lái)源于生活，運用于生活的思想。
重點(diǎn)讓學(xué)生理解現階段函數的概念，定義域的概念。
難點(diǎn)用函數模型去研究生活中簡(jiǎn)單的事物變化規律時(shí)，如何確定定義域。
學(xué)情
分析授課班級為高一年級的學(xué)生，有朝氣，有活力，愛(ài)實(shí)踐，愛(ài)生活。本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了初中函數概念，為本課的學(xué)習打下基礎。
教法與學(xué)法教法：微課視頻中包含情境教學(xué)法、多媒體輔助教學(xué)法的使用。
信息化教學(xué)資源
1、動(dòng)畫(huà)設計《世界在不斷的變化》
2、專(zhuān)業(yè)錄頻軟件；
3、視頻后期處理軟件；
4、QQ；
5、其它圖片、背景音樂(lè )。
課前準備
復習初中數學(xué)函數概念
教學(xué)過(guò)程
環(huán)節設計：教師活動(dòng)、學(xué)生活動(dòng)、設計意圖
環(huán)節一創(chuàng )設情境
興趣導入首先讓學(xué)生觀(guān)看視頻《世界在不斷的變化》
老師解說(shuō)：這個(gè)世界在不斷的變化，有一句很有哲理的話(huà)“這個(gè)世界唯一沒(méi)有變化的就是這個(gè)世界一直在改變”。聰明的人類(lèi)為了在這個(gè)不斷變化的世界中生存，想出了很多記錄世界變化規律的辦法。今天我們就來(lái)學(xué)習一個(gè)好辦法，它就是數學(xué)函數，函數是研究事物變化規律的數學(xué)模型之一。
1、看視頻。
2、聽(tīng)老師解說(shuō)，函數是研究世界變化規律的數學(xué)模型之一。
3、了解函數的.作用，對函數產(chǎn)生興趣。
通過(guò)讓學(xué)生觀(guān)看視頻，并對學(xué)生講解，讓學(xué)生了解函數是用來(lái)研究事物變化規律的數學(xué)模型之一，這樣學(xué)生能更深刻的理解函數的功能，即激發(fā)了學(xué)生學(xué)習熱情，又回顧初中學(xué)習的數學(xué)函數的定義。
在某一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變更x和y，在某一法則的作用下，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與其相對應，就稱(chēng)y是x的函數，這時(shí)x是自變量，y是因變量。
用一個(gè)生活實(shí)例加深對知識的理解。
實(shí)例：到學(xué)校商店購買(mǎi)某種果汁飲料，每瓶售價(jià)2.5元，那么購買(mǎi)瓶數x，與應付款y之間存在一種對應關(guān)系y=2.5x。瓶數x在自然數集中每取定一個(gè)值，應付款y就有唯一一個(gè)值與其對應，我們可以運用對應關(guān)系y=2.5x去進(jìn)行方便的運算。
在這個(gè)例子中，我們發(fā)現自變更x只有在自然數集中取值才有意義，其實(shí)如果我們細心研究所有已知函數，就會(huì )發(fā)現確定自變量x的取值范圍，是使用函數模型描述世界變化規律的前提。
所以我們重新定義函數，將自變量x的取值范圍用集合D來(lái)表示。
函數的定義：
在某一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，設變量x的取值范圍為數集D，如果對于D內的每一個(gè)x值，按照某個(gè)對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應環(huán)節三
知識總結
�。�1）函數的概念。
�。�2）強調用函數來(lái)研究事物變化規律的前提是確定自變量x的取值范圍，即定義域。
學(xué)生回顧本次微課所學(xué)習的知識。讓學(xué)生回顧本節課學(xué)習內容，強化本節課重點(diǎn)，為下節課打下基礎。
環(huán)節四實(shí)例檢測
實(shí)例：文具店出售某種鉛筆，每只售價(jià)0.12元，應付款額是購買(mǎi)鉛筆數的函數，當購買(mǎi)6支以?xún)龋ê?支）的鉛筆時(shí)，請用表達式來(lái)表示這個(gè)函數。
要求學(xué)生把做題結果拍成照片，發(fā)到郵箱，及時(shí)反饋。學(xué)生練習，并把做題結果拍成照片，發(fā)到我的郵箱，并通過(guò)QQ與學(xué)生進(jìn)行交流實(shí)例鞏固今天學(xué)習的函數概念。
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 3
一、教材分析
本節課選自《普通高中課程標準數學(xué)教科書(shū)—必修1》（人教A版）《1.2.1 函數的概念》共3課時(shí)，本節課是第1課時(shí)。
托馬斯說(shuō)：“函數概念是近代數學(xué)思想之花”。 生活中的許多現象如物體運動(dòng)，氣溫升降，投資理財等都可以用函數的模型來(lái)刻畫(huà)，是我們更好地了解自己、認識世界和預測未來(lái)的重要工具。
函數是數學(xué)的重要的基礎概念之一，是高等數學(xué)重多學(xué)科的基礎概念和重要的研究對象。同時(shí)函數也是物理學(xué)等其他學(xué)科的重要基礎知識和研究工具，教學(xué)內容中蘊涵著(zhù)極其豐富的辯證思想。函數的的重要性正如恩格斯所說(shuō)：“數學(xué)中的轉折點(diǎn)是笛卡爾的變數，有了變數，運動(dòng)就進(jìn)入了數學(xué)；有了變數，辯證法就進(jìn)入了數學(xué)”。
二、學(xué)生學(xué)習情況分析
函數是中學(xué)數學(xué)的主體內容，學(xué)生在中學(xué)階段對函數的認識分三個(gè)階段：
�。ㄒ唬┏踔袕倪\動(dòng)變化的角度來(lái)刻畫(huà)函數，初步認識正比例、反比例、一次和二次函數；
�。ǘ└咧杏眉吓c對應的觀(guān)點(diǎn)來(lái)刻畫(huà)函數，研究函數的性質(zhì)，學(xué)習典型的對、指、冪和三解函數；
�。ㄈ└咧杏脤倒ぞ哐芯亢瘮档膯握{性和最值。
1、有利條件
現代教育心理學(xué)的研究認為，有效的概念教學(xué)是建立在學(xué)生已有知識結構的基礎上的，因此教師在設計教學(xué)的過(guò)程中必須注意在學(xué)生已有知識結構中尋找新概念的固著(zhù)點(diǎn)，引導學(xué)生通過(guò)同化或順應，掌握新概念，進(jìn)而完善知識結構。
初中用運動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)對函數進(jìn)行定義的，它反映了歷史上人們對它的一種認識，而且這個(gè)定義較為直觀(guān)，易于接受，因此按照由淺入深、力求符合學(xué)生認知規律的內容編排原則，函數概念在初中介紹到這個(gè)程度是合適的。也為我們用集合與對應的觀(guān)點(diǎn)研究函數打下了一定的基礎。
2、不利條件
用集合與對應的觀(guān)點(diǎn)來(lái)定義函數，形式和內容上都是比較抽象的，這對學(xué)生的理解能力是一個(gè)挑戰，是本節課教學(xué)的一個(gè)不利條件。
三、教學(xué)目標分析
課標要求：通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì )函數是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數學(xué)模型，在此基礎上學(xué)習用集合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數，體會(huì )對應關(guān)系在刻畫(huà)函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會(huì )求一些簡(jiǎn)單函數的定義域和值域。
1、知識與能力目標：
�、拍軓募吓c對應的角度理解函數的概念，更要理解函數的本質(zhì)屬性；
�、评斫夂瘮档娜氐暮x及其相互關(guān)系；
�、菚�(huì )求簡(jiǎn)單函數的定義域和值域
2、過(guò)程與方法目標：
�、磐ㄟ^(guò)豐富實(shí)例，使學(xué)生建立起函數概念的背景，體會(huì )函數是描述變量之間依賴(lài)關(guān)系的數學(xué)模型；
�、圃诤瘮祵�(shí)例中，通過(guò)對關(guān)鍵詞的強調和引導使學(xué)發(fā)現它們的共同特征，在此基礎上再用集合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數，體會(huì )對應關(guān)系在刻畫(huà)函數概念中的作用。
3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標：
感受生活中的數學(xué)，感悟事物之間聯(lián)系與變化的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。
四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
1、教學(xué)重點(diǎn)：對函數概念的理解，用集合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數；
重點(diǎn)依據：初中是從變量的角度來(lái)定義函數，高中是用集合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數。二者反映的本質(zhì)是一致的，即“函數是一種對應關(guān)系”。 但是，初中定義并未完全揭示出函數概念的本質(zhì)，對y？1這樣的函數用運動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)也很難解釋。在以函數為重要內容的'高中階段，課本應將函數定義為兩個(gè)數集之間的一種對應關(guān)系，按照這種觀(guān)點(diǎn)，使我們對函數概念有了更深一層的認識，也很容易說(shuō)明y？1這函數表達式。因此，分析兩種函數概念的關(guān)系，讓學(xué)生融會(huì )貫通地理解函數的概念應為本節課的重點(diǎn)。
突出重點(diǎn)：重點(diǎn)的突出依賴(lài)于對函數概念本質(zhì)屬性的把握，使學(xué)生通過(guò)表面的語(yǔ)言描述抓住概念的精髓。
2、教學(xué)難點(diǎn)：第一：從實(shí)際問(wèn)題中提煉出抽象的概念；第二：符號“y=f（x）”的含義的理解。
難點(diǎn)依據：數學(xué)語(yǔ)言的抽象概括難度較大，對符號y=f（x）的理解會(huì )受到以前知識的負遷移。
突破難點(diǎn)：難點(diǎn)的突破要依托豐富的實(shí)例，從集合與對應的角度恰當地引導，而對抽象符號的理解則要結合函數的三要素和小例子進(jìn)行說(shuō)明。
五、教法與學(xué)法分析
1、教法分析
本節課我主要采用教師導學(xué)法、知識遷移法和知識對比法，從學(xué)生熟悉的豐富實(shí)例出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的原有的知識基礎，注重概念的形成過(guò)程，從初中的函數概念自然過(guò)度到函數的近代定我。
2、學(xué)法分析
在教學(xué)過(guò)程中我注意在教學(xué)中引導學(xué)生用模型法分析函數問(wèn)題、通過(guò)自主學(xué)習法總結“區間”的知識。
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 4
學(xué)習目標：
�。�1）理解函數的概念
�。�2）會(huì )用集合與對應語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數，
�。�3）了解構成函數的要素。
重點(diǎn)：
函數概念的理解
難點(diǎn)：
函數符號y=f（x）的理解
知識梳理：
自學(xué)課本P29—P31，填充以下空格。
1、設集合A是一個(gè)非空的實(shí)數集，對于A(yíng)內 ，按照確定的對應法則f，都有 與它對應，則這種對應關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數，記作 。
2、對函數 ，其中x叫做 ，x的取值范圍（數集A）叫做這個(gè)函數的 ，所有函數值的集合 叫做這個(gè)函數的 ，函數y=f（x） 也經(jīng)常寫(xiě)為 。
3、因為函數的值域被 完全確定，所以確定一個(gè)函數只需要
。
4、依函數定義，要檢驗兩個(gè)給定的變量之間是否存在函數關(guān)系，只要檢驗：
�、� ；② 。
5、設a， b是兩個(gè)實(shí)數，且a
�。�1）滿(mǎn)足不等式 的實(shí)數x的集合叫做閉區間，記作 。
�。�2）滿(mǎn)足不等式a
�。�3）滿(mǎn)足不等式 或 的'實(shí)數x的集合叫做半開(kāi)半閉區間，分別表示為 ；
分別滿(mǎn)足x≥a，x>a，x≤a，x
其中實(shí)數a， b表示區間的兩端點(diǎn)。
完成課本P33，練習A 1、2；練習B 1、2、3。
例題解析
題型一：函數的概念
例1：下圖中可表示函數y=f（x）的圖像的只可能是（ ）
練習：設M={x| }，N={y| }，給出下列四個(gè)圖像，其中能表示從集合M到集合N的函數關(guān)系的有____個(gè)。
題型二：相同函數的判斷問(wèn)題
例2：已知下列四組函數：① 與y=1 ② 與y=x ③ 與
�、� 與 其中表示同一函數的是（ ）
A。 ② ③ B。 ② ④ C。 ① ④ D。 ④
練習：已知下列四組函數，表示同一函數的是（ ）
A。 和 B。 和
C。 和 D。 和
題型三：函數的定義域和值域問(wèn)題
例3：求函數f（x）= 的定義域
練習：課本P33練習A組 4。
例4：求函數 ， ，在0，1，2處的函數值和值域。
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 5
教學(xué)目標：
使學(xué)生理解函數的概念，明確決定函數的三個(gè)要素，學(xué)會(huì )求某些函數的定義域，掌握判定兩個(gè)函數是否相同的方法；使學(xué)生理解靜與動(dòng)的辯證關(guān)系。
教學(xué)重點(diǎn)：
函數的概念，函數定義域的求法。
教學(xué)難點(diǎn)：
函數概念的理解。
教學(xué)過(guò)程：
�、�。課題導入
[師]在初中，我們已經(jīng)學(xué)習了函數的概念，請同學(xué)們回憶一下，它是怎樣表述的？
�。◣孜粚W(xué)生試著(zhù)表述，之后，教師將學(xué)生的回答梳理，再表述或者啟示學(xué)生將表述補充完整再條理表述）。
設在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有惟一的值與它對應，那么就說(shuō)y是x的函數，x叫做自變量。
[師]我們學(xué)習了函數的概念，并且具體研究了正比例函數，反比例函數，一次函數，二次函數，請同學(xué)們思考下面兩個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題一：y=1（xR）是函數嗎？
問(wèn)題二：y=x與y=x2x 是同一個(gè)函數嗎？
�。▽W(xué)生思考，很難回答）
[師]顯然，僅用上述函數概念很難回答這些問(wèn)題，因此，需要從新的高度來(lái)認識函數概念（板書(shū)課題）。
�、�。講授新課
[師]下面我們先看兩個(gè)非空集合A、B的元素之間的一些對應關(guān)系的例子。
在（1）中，對應關(guān)系是乘2，即對于集合A中的每一個(gè)數n，集合B中都有一個(gè)數2n和它對應。
在（2）中，對應關(guān)系是求平方，即對于集合A中的每一個(gè)數m，集合B中都有一個(gè)平方數m2和它對應。
在（3）中，對應關(guān)系是求倒數，即對于集合A中的每一個(gè)數x，集合B中都有一個(gè)數 1x 和它對應。
請同學(xué)們觀(guān)察3個(gè)對應，它們分別是怎樣形式的對應呢？
[生]一對一、二對一、一對一。
[師]這3個(gè)對應的共同特點(diǎn)是什么呢？
[生甲]對于集合A中的任意一個(gè)數，按照某種對應關(guān)系，集合B中都有惟一的數和它對應。
[師]生甲回答的很好，不但找到了3個(gè)對應的共同特點(diǎn)，還特別強調了對應關(guān)系，事實(shí)上，一個(gè)集合中的數與另一集合中的數的對應是按照一定的關(guān)系對應的，這是不能忽略的。 實(shí)際上，函數就是從自變量x的集合到函數值y的集合的一種對應關(guān)系。
現在我們把函數的概念進(jìn)一步敘述如下：（板書(shū)）
設A、B是非空的數集，如果按照某個(gè)確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有惟一確定的數f（x）和它對應，那么就稱(chēng)f︰AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數。
記作：y=f（x），xA
其中x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y（或f（x））值叫做函數值，函數值的集合{y|y=f（x），xA}叫函數的值域。
一次函數f（x）=ax+b（a0）的定義域是R，值域也是R。對于R中的任意一個(gè)數x，在R中都有一個(gè)數f（x）=ax+b（a0）和它對應。
反比例函數f（x）=kx （k0）的定義域是A={x|x0}，值域是B={f（x）|f（x）0}，對于A(yíng)中的任意一個(gè)實(shí)數x，在B中都有一個(gè)實(shí)數f（x）= kx （k0）和它對應。
二次函數f（x）=ax2+bx+c（a0）的定義域是R，值域是當a0時(shí)B={f（x）|f（x）4ac—b24a }；當a0時(shí)，B={f（x）|f（x）4ac—b24a }，它使得R中的任意一個(gè)數x與B中的數f（x）=ax2+bx+c（a0）對應。
函數概念用集合、對應的語(yǔ)言敘述后，我們就很容易回答前面所提出的兩個(gè)問(wèn)題。
y=1（xR）是函數，因為對于實(shí)數集R中的任何一個(gè)數x，按照對應關(guān)系函數值是1，在R中y都有惟一確定的值1與它對應，所以說(shuō)y是x的函數。
Y=x與y=x2x 不是同一個(gè)函數，因為盡管它們的對應關(guān)系一樣，但y=x的定義域是R，而y=x2x 的定義域是{x|x0}。 所以y=x與y=x2x 不是同一個(gè)函數。
[師]理解函數的定義，我們應該注意些什么呢？
�。ń處熖岢鰡�(wèn)題，啟發(fā)、引導學(xué)生思考、討論，并和學(xué)生一起歸納、總結）
注意：①函數是非空數集到非空數集上的一種對應。
�、诜杅：AB表示A到B的一個(gè)函數，它有三個(gè)要素；定義域、值域、對應關(guān)系，三者缺一不可。
�、奂螦中數的任意性，集合B中數的惟一性。
�、躥表示對應關(guān)系，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。
�、輋（x）是一個(gè)符號，絕對不能理解為f與x的乘積。
[師]在研究函數時(shí)，除用符號f（x）表示函數外，還常用g（x） 、F（x）、G（x）等符號來(lái)表示
�、�。例題分析
[例1]求下列函數的定義域。
�。�1）f（x）=1x—2 （2）f（x）=3x+2 （3）f（x）=x+1 +12—x
分析：函數的定義域通常由問(wèn)題的實(shí)際背景確定。如果只給出解析式y=f（x），而沒(méi)有指明它的定義域。那么函數的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數x的集合。
解：（1）x—20，即x2時(shí)，1x—2 有意義
這個(gè)函數的定義域是{x|x2}
�。�2）3x+20，即x—23 時(shí)3x+2 有意義
函數y=3x+2 的定義域是[—23 ，+）
�。�3） x+10 x2
這個(gè)函數的定義域是{x|x{x|x2}=[—1，2）（2，+）。
注意：函數的定義域可用三種方法表示：不等式、集合、區間。
從上例可以看出，當確定用解析式y=f（x）表示的函數的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：
�。�1）如果f（x）是整式，那么函數的定義域是實(shí)數集R；
�。�2）如果f（x）是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實(shí)數的集合；
�。�3）如果f（x）是偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子不小于零的實(shí)數的集合；
�。�4）如果f（x）是由幾個(gè)部分的數學(xué)式子構成的，那么函數的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數的集合（即使每個(gè)部分有意義的.實(shí)數的集合的交集）；
�。�5）如果f（x）是由實(shí)際問(wèn)題列出的，那么函數的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數的集合。
例如：一矩形的寬為x m，長(cháng)是寬的2倍，其面積為y=2x2，此函數定義域為x0而不是全體實(shí)數。
由以上分析可知：函數的定義域由數學(xué)式子本身的意義和問(wèn)題的實(shí)際意義決定。
[師]自變量x在定義域中任取一個(gè)確定的值a時(shí)，對應的函數值用符號f（a）來(lái)表示。例如，函數f（x）=x2+3x+1，當x=2時(shí)的函數值是f（2）=22+32+1=11
注意：f（a）是常量，f（x）是變量 ，f（a）是函數f（x）中當自變量x=a時(shí)的函數值。
下面我們來(lái)看求函數式的值應該怎樣進(jìn)行呢？
[生甲]求函數式的值，嚴格地說(shuō)是求函數式中自變量x為某一確定的值時(shí)函數式的值，因此，求函數式的值，只要把函數式中的x換為相應確定的數（或字母，或式子）進(jìn)行計算即可。
[師]回答正確，不過(guò)要準確地求出函數式的值，計算時(shí)萬(wàn)萬(wàn)不可粗心大意噢！
[生乙]判定兩個(gè)函數是否相同，就看其定義域或對應關(guān)系是否完全一致，完全一致時(shí)，這兩個(gè)函數就相同；不完全一致時(shí)，這兩個(gè)函數就不同。
[師]生乙的回答完整嗎？
[生]完整�。ㄕn本上就是如生乙所述那樣寫(xiě)的）。
[師]大家說(shuō)，判定兩個(gè)函數是否相同的依據是什么？
[生]函數的定義。
[師]函數的定義有三個(gè)要素：定義域、值域、對應關(guān)系，我們判定兩個(gè)函數是否相同為什么只看兩個(gè)要素：定義域和對應關(guān)系，而不看值域呢？
�。▽W(xué)生竊竊私語(yǔ)：是啊，函數的三個(gè)要素不是缺一不可嗎？怎不看值域呢？）
�。o(wú)人回答）
[師]同學(xué)們預習時(shí)還是欠仔細，欠思考！我們做事情，看問(wèn)題都要多問(wèn)幾個(gè)為什么！函數的值域是由什么決定的，不就是由函數的定義域與對應關(guān)系決定的嗎！關(guān)注了函數的定義域與對應關(guān)系，三者就全看了！
�。ㄉ腥淮笪�，我們怎么就沒(méi)想到呢？）
[例2]求下列函數的值域
�。�1）y=1—2x （xR） （2）y=|x|—1 x{—2，—1，0，1，2}
�。�3）y=x2+4x+3 （—31）
分析：求函數的值域應確定相應的定義域后再根據函數的具體形式及運算確定其值域。
對于（1）（2）可用直接法根據它們的定義域及對應法則得到（1）（2）的值域。
對于（3）可借助數形結合思想利用它們的圖象得到值域，即圖象法。
解：（1）yR
�。�2）y{1，0，—1}
�。�3）畫(huà)出y=x2+4x+3（—31）的圖象，如圖所示，
當x[—3，1]時(shí)，得y[—1，8]
�、�。課堂練習
課本P24練習17。
�、�。課時(shí)小結
本節課我們學(xué)習了函數的定義（包括定義域、值域的概念）、區間的概念及求函數定義域的方法。學(xué)習函數定義應注意的問(wèn)題及求定義域時(shí)的各種情形應該予以重視。（本小結的內容可由學(xué)生自己來(lái)歸納）
�、�。課后作業(yè)
課本P28，習題1、2。 文 章來(lái)
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 6
教材分析：函數是描述客觀(guān)世界變化規律的重要數學(xué)模型．高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴(lài)關(guān)系，同時(shí)還用集合與對應的語(yǔ)言刻畫(huà)函數，高中階段更注重函數模型化的思想．
教學(xué)目的：
�。�1）通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì )函數是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數學(xué)模型，在此基礎上學(xué)習用集合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數，體會(huì )對應關(guān)系在刻畫(huà)函數概念中的作用；
�。�2）了解構成函數的要素；
�。�3）會(huì )求一些簡(jiǎn)單函數的定義域和值域；
�。�4）能夠正確使用“區間”的符號表示某些函數的定義域；
教學(xué)重點(diǎn)：
理解函數的模型化思想，用合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數；
教學(xué)難點(diǎn)：
符號“y=f（x）”的含義，函數定義域和值域的區間表示；
教學(xué)過(guò)程：
一、引入課題
1、復習初中所學(xué)函數的概念，強調函數的模型化思想；
2、閱讀課本引例，體會(huì )函數是描述客觀(guān)事物變化規律的數學(xué)模型的思想：
�。�1）炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；
�。�2）南極臭氧空洞面積與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；
�。�3）“八五”計劃以來(lái)我國城鎮居民的恩格爾系數與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題
備用實(shí)例：
我國xxxx年4月份非典疫情統計：
日期222324252627282930
新增確診病例數1061058910311312698152101
3、引導學(xué)生應用集合與對應的語(yǔ)言描述各個(gè)實(shí)例中兩個(gè)變量間的依賴(lài)關(guān)系；
4、根據初中所學(xué)函數的概念，判斷各個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量間的關(guān)系是否是函數關(guān)系．
二、新課教學(xué)
�。ㄒ唬┖瘮档挠嘘P(guān)概念
1．函數的概念：
設A、B是非空的數集，如果按照某個(gè)確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數（function）．
記作：y=f（x），x∈A．
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域（range）．
注意：
1）“y=f（x）”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
2）函數符號“y=f（x）”中的f（x）表示與x對應的函數值，一個(gè)數，而不是f乘x．
2．構成函數的三要素：
定義域、對應關(guān)系和值域
3．區間的概念
�。�1）區間的'分類(lèi)：開(kāi)區間、閉區間、半開(kāi)半閉區間；
�。�2）無(wú)窮區間；
�。�3）區間的數軸表示．
4．一次函數、二次函數、反比例函數的定義域和值域討論
�。ㄓ蓪W(xué)生完成，師生共同分析講評）
�。ǘ┑湫屠}
1．求函數定義域
課本P20例1
解：（略）
說(shuō)明：
1）函數的定義域通常由問(wèn)題的實(shí)際背景確定，如果課前三個(gè)實(shí)例；
2）如果只給出解析式y=f（x），而沒(méi)有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數的集合；
3）函數的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區間的形式．
鞏固練習：課本P22第1題
2．判斷兩個(gè)函數是否為同一函數
課本P21例2
解：（略）
說(shuō)明：
1）構成函數三個(gè)要素是定義域、對應關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數相等（或為同一函數）
2）兩個(gè)函數相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān)。
鞏固練習：
1）課本P22第2題
2）判斷下列函數f（x）與g（x）是否表示同一個(gè)函數，說(shuō)明理由？
�。�1）f（x）=（x－1）0；g（x）=1
�。�2）f（x）=x；g（x）=
�。�3）f（x）=x2；f（x）=（x+1）2
�。�4）f（x）=|x|；g（x）=
�。ㄈ┱n堂練習
求下列函數的定義域
�。�1）
�。�2）
�。�3）
�。�4）
�。�5）
�。�6）
三、歸納小結，強化思想
從具體實(shí)例引入了函數的的概念，用集合與對應的語(yǔ)言描述了函數的定義及其相關(guān)概念，介紹了求函數定義域和判斷同一函數的典型題目，引入了區間的概念來(lái)表示集合。
四、作業(yè)布置
課本P28習題1．2（A組）第1—7題（B組）第1題
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 7
教學(xué)目標：
1．進(jìn)一步理解用集合與對應的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)的函數的概念，進(jìn)一步理解函數的本質(zhì)是數集之間的對應；
2．進(jìn)一步熟悉與理解函數的定義域、值域的定義，會(huì )利用函數的定義域與對應法則判定有關(guān)函數是否為同一函數；
3．通過(guò)教學(xué)，進(jìn)一步培養學(xué)生由具體逐步過(guò)渡到符號化，代數式化，并能對以往學(xué)習過(guò)的知識進(jìn)行理性化思考，對事物間的聯(lián)系的一種數學(xué)化的思考．
教學(xué)重點(diǎn)：
用對應來(lái)進(jìn)一步刻畫(huà)函數；求基本函數的定義域和值域．
教學(xué)過(guò)程：
一、問(wèn)題情境
1．情境．
復述函數及函數的定義域的概念．
2．問(wèn)題．
概念中集合A為函數的定義域，集合B的作用是什么呢？
二、學(xué)生活動(dòng)
1．理解函數的值域的概念；
2．能利用觀(guān)察法求簡(jiǎn)單函數的值域；
3．探求簡(jiǎn)單的復合函數f（f（x））的定義域與值域．
三、數學(xué)建構
1．函數的值域：
�。�1）按照對應法則f，對于A(yíng)中所有x的值的對應輸出值組成的集合稱(chēng)之
為函數的值域；
�。�2）值域是集合B的子集．
2．x g（x） f（x） f（g（x）），其中g(shù)（x）的值域即為f（g（x））的.定義域；
四、數學(xué)運用
�。ㄒ唬├}．
例1 已知函數f （x）＝x2＋2x，求 f （－2），f （－1），f （0），f （1）．
例2 根據不同條件，分別求函數f（x）＝（x—1）2＋1的值域．
�。�1）x∈{－1，0，1，2，3}；
�。�2）x∈R；
�。�3）x∈[－1，3]；
�。�4）x∈（－1，2]；
�。�5）x∈（－1，1）．
例3 求下列函數的值域：
�、伲� ；②＝ ．
例4 已知函數f（x）與g（x）分別由下表給出：
x1234x1234
f（x）2341g（x）2143
分別求f （f （1）），f （g （2）），g（f （3）），g （g （4））的值．
�。ǘ┚毩暎�
�。�1）求下列函數的值域：
�、伲�2－x2；②＝3－|x|．
�。�2）已知函數f（x）＝3x2－5x＋2，求f（3）、f（－2）、f（a）、f（a＋1）．
�。�3）已知函數f（x）＝2x＋1，g（x）＝x2－2x＋2，試分別求出g（f（x））和f（g（x））的值域，比較一下，看有什么發(fā)現．
�。�4）已知函數＝f（x）的定義域為[－1，2]，求f（x）＋f（－x）的定義域．
�。�5）已知f（x）的定義域為[－2，2]，求f（2x），f（x2＋1）的定義域．
五、回顧小結
函數的對應本質(zhì)，函數的定義域與值域；
利用分解的思想研究復合函數．
六、作業(yè)
課本P31—5，8，9．
高一數學(xué)《函數的概念》教學(xué)設計 8
一、教材分析
1、 教材的地位和作用：
函數是數學(xué)中最主要的概念之一，而函數概念貫穿在中學(xué)數學(xué)的始終，概念是數學(xué)的基礎，概念性強是函數理論的一個(gè)顯著(zhù)特點(diǎn)，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中對函數概念理解的程度會(huì )直接影響其它知識的學(xué)習，所以函數的第一課時(shí)非常的重要。
2、 教學(xué)目標及確立的依據：
教學(xué)目標：
�。�1） 教學(xué)知識目標：了解對應和映射概念、理解函數的近代定義、函數三要素，以及對函數抽象符號的理解。
�。�2） 能力訓練目標：通過(guò)教學(xué)培養的抽象概括能力、邏輯思維能力。
�。�3） 德育滲透目標：使懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。
教學(xué)目標確立的依據：
函數是數學(xué)中最主要的概念之一，而函數概念貫穿整個(gè)中學(xué)數學(xué)，如：數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等都是以函數為中心的代數。加強函數教學(xué)可幫助學(xué)好其他的內容。而掌握好函數的概念是學(xué)好函數的基石。
3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)及確立的依據：
教學(xué)重點(diǎn)：映射的概念，函數的近代概念、函數的三要素及函數符號的理解。
教學(xué)難點(diǎn)：映射的.概念，函數近代概念，及函數符號的理解。
重點(diǎn)難點(diǎn)確立的依據：
映射的概念和函數的近代定義抽象性都比較強，要求學(xué)生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的來(lái)說(shuō)不易理解。而且由于函數在高考中可以以低、中、高擋題出現，所以近年來(lái)有一種“函數熱”的趨勢，所以本節的重點(diǎn)難點(diǎn)必然落在映射的概念和函數的近代定義及函數符號的理解與運用上。
二、教材的處理：
將映射的定義及類(lèi)比手法的運用作為本課突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。 函數的定義，是以集合、映射的觀(guān)點(diǎn)給出，這與初中教材變量值與對應觀(guān)點(diǎn)給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數概念的理解帶來(lái)更大的困難。為解決這難點(diǎn)，主要是從實(shí)際出發(fā)調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習熱情與參與意識，運用引導對比的手法，啟發(fā)引導學(xué)生進(jìn)行有目的的反復比較幾個(gè)概念的異同，使真正對函數的概念有很準確的認識。
三、教學(xué)方法和學(xué)法
教學(xué)方法：講授為主，自主預習為輔。
依據是：因為以新的觀(guān)點(diǎn)認識函數概念及函數符號與運用時(shí)，更重要的是必須給學(xué)生講清楚概念及注意事項，并通過(guò)師生的共同討論來(lái)幫助學(xué)生深刻理解，這樣才能使函數的概念及符號的運用在學(xué)生的思想和知識結構中打上深刻的烙印，為能學(xué)好后面的知識打下堅實(shí)的基礎。
四、教學(xué)程序
一、課程導入
通過(guò)舉以下一個(gè)通俗的例子引出通過(guò)某個(gè)對應法則可以將兩個(gè)非空集合聯(lián)系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學(xué)分別看成是兩個(gè)集合，問(wèn)，通過(guò)“找好朋友”這個(gè)對應法則是否能將這兩個(gè)集合的某些元素聯(lián)系在一起？
二、 新課講授：
�。�1） 接著(zhù)再通過(guò)幻燈片給出六組學(xué)生熟悉的數集的對應關(guān)系引導學(xué)生歸納它們的共同性質(zhì)（一對一，多對一），進(jìn)而給出映射的概念，表示符號f：a→b，及原像和像的定義。強調指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的對應法則 f。進(jìn)一步引導判斷一個(gè)從a到b的對應是否為映射的關(guān)鍵是看a中的任意一個(gè)元素通過(guò)對應法則f在b中是否有唯一確定的元素與之對應。
�。�2）鞏固練習課本52頁(yè)第八題。
此練習能讓更深刻的認識到映射可以“一對多，多對一”但不能是“一對多”。
例1。 給出學(xué)生初中學(xué)過(guò)的函數的傳統定義和幾個(gè)簡(jiǎn)單的一次、二次函數，通過(guò)畫(huà)圖表示這些函數的對應關(guān)系，引導發(fā)現它們是特殊的映射進(jìn)而給出函數的近代定義（設a、b是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對應法則f，使得a中的任何一個(gè)元素在集合b中都有唯一的元素與之對應則這樣的對應叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及從a到b的對應法則f），并說(shuō)明把函f：a→b記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍a叫做函數的定義域，與x的值相對應的y（或f（x））值叫做函數值，函數值的集合{ f（x）：x∈a}叫做函數的值域。
并把函數的近代定義與映射定義比較使認識到函數與映射的區別與聯(lián)系。（函數是非空數集到非空數集的映射）。
1、再以讓判斷的方式給出以下關(guān)于函數近代定義的注意事項：
2、 函數是非空數集到非空數集的映射。
3、 f表示對應關(guān)系，在不同的函數中f的具體含義不一樣。
4、 f（x）是一個(gè)符號，不表示f與x的乘積，而表示x經(jīng)過(guò)f作用后的結果。
5、 集合a中的數的任意性，集合b中數的唯一性。
6、 “f：a→b”表示一個(gè)函數有三要素：法則f（是核心），定義域a（要優(yōu)先），值域c（上函數值的集合且c∈b）。
三。講解例題
例1。問(wèn)y=1（x∈a）是不是函數？
解：y=1可以化為y=0*x+1
畫(huà)圖可以知道從x的取值范圍到y的取值范圍的對應是“多對一”是從非空數集到非空數集的映射，所以它是函數。
[注]：引導從集合，映射的觀(guān)點(diǎn)認識函數的定義。
四、課時(shí)小結：
1、 映射的定義。
2、 函數的近代定義。
3、 函數的三要素及符號的正確理解和應用。
4、 函數近代定義的五大注意點(diǎn)。
五、課后作業(yè)及板書(shū)設計
書(shū)本p51 習題2.1的1、2寫(xiě)在書(shū)上3、4、5上交。
預習函數三要素的定義域，并能求簡(jiǎn)單函數的定義域。
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