1755年，瑞士數學(xué)家歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著(zhù)變化，我們把前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數.”在歐拉的定義中，就不強調函數要用公式表示了.由于函數不一定要用公式來(lái)表示，歐拉曾把畫(huà)在坐標系的曲線(xiàn)也叫函數.他認為：“函數是隨意畫(huà)出的一條曲線(xiàn).”

　　當時(shí)有些數學(xué)家對于不用公式來(lái)表示函數感到很不習慣，有的數學(xué)家甚至抱懷疑態(tài)度.他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”.1821年，法國數學(xué)家柯西給出了類(lèi)似現在中學(xué)課本的函數定義：“在某些變數間存在著(zhù)一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著(zhù)而確定時(shí)，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數.”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞.

　　1834年，俄國數學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個(gè)數，它對于每一個(gè)x都有確定的值，并且隨著(zhù)x一起變化.函數值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴(lài)關(guān)系可以存在，但仍然是未知的.”這個(gè)定義指出了對應關(guān)系(條件)的必要性，利用這個(gè)關(guān)系，可以來(lái)求出每一個(gè)x的對應值.

　　1837年，德國數學(xué)家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關(guān)系是無(wú)關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱(chēng)為x的函數，只需有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對應就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖象或表格或其他形式.這個(gè)定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實(shí)際應用提供了方便.因此，這個(gè)定義曾被比較長(cháng)期的使用著(zhù).

　　自從德國數學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應關(guān)系來(lái)定義函數概念就是現在中學(xué)課本里用的了.

　　中文數學(xué)書(shū)上使用的“函數”一詞是轉譯詞.是我國清代數學(xué)家李善蘭在翻譯《代數學(xué)》(1895年)一書(shū)時(shí)，把“function”譯成“函數”的.中國古代“函”字與“含”字通用，都有著(zhù)“包含”的意思.李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數.”中國古代用天、地、人、物4個(gè)字來(lái)表示4個(gè)不同的未知數或變量.這個(gè)定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數.”所以“函數”是指公式里含有變量的意思.