工科研究生現代數學(xué)教學(xué)方法的若干體會(huì )論文
摘要：文章從現代數學(xué)的演變趨勢和特征出發(fā)，結合其對工科研究生數學(xué)課堂教學(xué)帶來(lái)的挑戰以及目前現代數學(xué)課堂教學(xué)中存在的主要問(wèn)題，指出了未來(lái)工科研究生現代數學(xué)課堂教改的基本方向，并就如何更好地開(kāi)展該課程教學(xué)提出了一些心得體會(huì )。
關(guān)鍵詞：現代數學(xué)；課堂教學(xué)；工科研究生
一、現代數學(xué)的演變趨勢和特征
多年來(lái)，伴隨著(zhù)數學(xué)的不斷發(fā)展，人們難以給數學(xué)下一個(gè)確切的定義，包括其特征刻畫(huà)。恩格斯在《反杜林論》中，將數學(xué)定義為“純數學(xué)的研究對象是客觀(guān)世界的空間形式與數量關(guān)系”�？臻g形式即為幾何學(xué)，這在客觀(guān)上完整地概括了19世紀以前數學(xué)的對象和本質(zhì)，因而被譽(yù)為“經(jīng)典定義”。但是20世紀數學(xué)的大發(fā)展衍生出的許多新特征，已經(jīng)不能為經(jīng)典的數學(xué)定義所概括。因為現代形式的數學(xué)已成為非常抽象的學(xué)問(wèn)，并且完全演變成一種無(wú)物質(zhì)內容的符號系統和一定公理規則下的推演技術(shù)。數學(xué)的這種離開(kāi)物質(zhì)內容的特有空洞性，加上它那曲折而奧妙的邏輯推演技術(shù)，造成了數學(xué)特殊的認知難度。
然而，現代數學(xué)在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中越來(lái)越展示出巨大的力量。眾所周知，它已成為物理科學(xué)的語(yǔ)言和設計模型以及探索自然機理的手段。同時(shí)它又是其他自然科學(xué)、工程科學(xué)、經(jīng)濟科學(xué)、管理科學(xué)甚至一切應用科學(xué)與技術(shù)的不可或缺的重要工具�，F代數學(xué)的這種無(wú)比廣延的普適性，也正充分地說(shuō)明了它對現實(shí)物質(zhì)世界無(wú)限高遠的概括性和抽象性。這種抽象性越高，越與人的感官能及的直接經(jīng)驗相去甚遠，同時(shí)導致在認知上就更難，但是人們又不得不接觸它、接受它，因為它已經(jīng)滲入到人類(lèi)生活的一切領(lǐng)域。
二、工科研究生現代數學(xué)教學(xué)現狀、問(wèn)題和挑戰
工科研究生現代數學(xué)教育是工科研究生教育必不可少的重要組成部分。對工科研究生的教育，必須培養其獨立解決科學(xué)技術(shù)發(fā)展中出現的理論和實(shí)際問(wèn)題的能力。由于數學(xué)的應用已經(jīng)直接或間接地觸及到了人類(lèi)社會(huì )生活的幾乎一切領(lǐng)域，因此大多數工科院校的研究生課程設置里，還包括多門(mén)現代數學(xué)課程，以便學(xué)生掌握和運用數學(xué)技術(shù)。這同時(shí)也說(shuō)明要培養屬于高級專(zhuān)門(mén)技術(shù)人才的碩士和博士，必須具備較高的數學(xué)修養和較豐富的數學(xué)知識，否則就難于在當代科技的發(fā)展中作出開(kāi)創(chuàng )性的成果。
但是工科研究生現代數學(xué)課程教學(xué)效果很不理想。目前工科研究生的主要來(lái)源是工科院校本科應屆畢業(yè)生。大多數院校工科本科生的數學(xué)課程主要有“高等數學(xué)”、“線(xiàn)性代數”、“概率統計”，而其他的數學(xué)課程如“復變函數與積分變換”、“離散數學(xué)”等一般只作為選修課程。也就是大多數入學(xué)研究生具備的這些數學(xué)知識多數還是屬于較古典的內容，近、現代數學(xué)知識特別是接近實(shí)際應用的數學(xué)知識儲備尤為不足。在研究生階段，大部分工科院�？紤]到實(shí)際的需求，給研究生開(kāi)設現代數學(xué)課程呈現多樣化的趨勢，以加強他們的數學(xué)素質(zhì)和修養，包括抽象思維能力和邏輯思維能力以及運用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，但效果并不理想。因為其中涉及的必修現代數學(xué)課程包括“矩陣論”、“泛函分析”以及“數值分析”等課程總體上仍屬于基礎理論課，其高度的抽象性和實(shí)際的應用存在較大的差距。一方面，當學(xué)生學(xué)習理論性較強的現代數學(xué)課包括分支領(lǐng)域時(shí)，他們往往缺乏興趣，逃課、開(kāi)小差、打瞌睡的現象比較普遍；另一方面，學(xué)生不愿意學(xué)，老師也就很難提起精神認真教授對工科研究生來(lái)說(shuō)非常重要的數學(xué)課了。
三、工科研究生現代數學(xué)課堂教學(xué)改革勢在必行
工科研究生的數學(xué)課堂教學(xué)是研究生直接學(xué)習和吸收數學(xué)知識的最重要的途徑。那么如何通過(guò)課堂教學(xué)使研究生更好地吸收現代數學(xué)思想和方法、提高其數學(xué)素養和運用數學(xué)工具解決問(wèn)題的能力呢？筆者認為應該對現有的現代數學(xué)課堂教學(xué)方式進(jìn)行改革。
從管理的角度來(lái)講，需要充分認識到研究生現代數學(xué)教育的重要性。一方面，在課程的設置上，既要重視培養和提高研究生的數學(xué)抽象思維能力和邏輯思維能力這一現代數學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)，又要重視加強數學(xué)的實(shí)際應用，提高學(xué)生運用數學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力；另一方面，要通過(guò)宣傳和思想教育，讓研究生認識到現代數學(xué)教育的重要性，使其更加積極地投入到現代數學(xué)的學(xué)習中。 對于教師而言，要不斷地創(chuàng )新現有的教學(xué)方法。就職業(yè)道德而言，每一位給研究生教授現代數學(xué)的教師都要認真對待每一次的課堂教學(xué)；充分發(fā)揮其主導作用，盡力安排好課堂教學(xué)內容；細心研究如何教好每一堂課，不能照本宣科，力求授課內容淺顯易懂，吸引學(xué)生的聽(tīng)課興趣；特別是可以從本學(xué)科的起源、發(fā)展和走向即應用于何處來(lái)講，使學(xué)生對所學(xué)的現代數學(xué)分支領(lǐng)域有一個(gè)總體上的了解和把握。
要注重加強學(xué)生和老師之間的良性互動(dòng)。一方面，鼓勵和引導學(xué)生主動(dòng)提出其在專(zhuān)業(yè)學(xué)習過(guò)程中遇到的需要借助數學(xué)手段才能解決的實(shí)際問(wèn)題，授課教師可以為其提供數學(xué)思路和方法，幫助其解決實(shí)際問(wèn)題；另一方面，教師可以結合所講授的課程內容和方法為學(xué)生多搜集一些實(shí)際的應用案例，以提高學(xué)生學(xué)習的興趣、主動(dòng)性和積極性。比如在學(xué)習“泛函”這個(gè)抽象的概念時(shí)，由于其原型是函數，學(xué)生接受起來(lái)相對容易。為了將該概念和實(shí)際應用結合起來(lái)，可以讓學(xué)生嚴格按照該概念，結合自己專(zhuān)業(yè)構造一個(gè)泛函出來(lái)。這個(gè)習題看似簡(jiǎn)單，但學(xué)生在構造過(guò)程中，需要結合自己專(zhuān)業(yè)概念，先要構造一個(gè)線(xiàn)性空間來(lái)，然后才能在該線(xiàn)性空間上構造出泛函。這種方法既可以鍛煉學(xué)生思考問(wèn)題的能力而且也有助于這個(gè)概念的消化和吸收。
四、工科研究生現代數學(xué)課堂教學(xué)的心得體會(huì )
前已述及，現代數學(xué)呈現出向更高級理性化方向演化的趨勢，并且更為概括和抽象，距離經(jīng)驗也更遠。為了理解現代數學(xué)的本質(zhì)和特征，在教學(xué)方法上應該提倡反璞歸真，不僅要了解數學(xué)的物質(zhì)源泉，了解昨日的數學(xué)，還更應了解它們的演化、發(fā)展和應用。比如在講“群”這個(gè)非常抽象的代數概念時(shí)，如果直接把群的定義講給學(xué)生，學(xué)生肯定難以接受。教師可以先從學(xué)生知道的最簡(jiǎn)單的“整數群加群”講起。首先，寫(xiě)出整數加法滿(mǎn)足的結合律，由這里引出半群的概念；再給出整數“0”與任意整數相加都得任意整數的等式和任意整數和其相反數之和都等于“0”的等式，由此引出群的概念。通過(guò)該講解過(guò)程，學(xué)生就能了解群這個(gè)概念是一個(gè)高度抽象的概念，其原型原來(lái)就是從中小學(xué)就知道的整數集合帶上加法運算。在學(xué)生了解“群”這個(gè)概念后，可以讓他們結合自己專(zhuān)業(yè)構造一個(gè)群和半群的例子進(jìn)一步加深對“群”的理解。
再如講解其他的一些抽象概念時(shí)，教師均可以從這個(gè)概念的原型或引入背景出發(fā)來(lái)講解。比如學(xué)習微分流形時(shí)，可以先講解多元映射的概念。由于多元映射的最簡(jiǎn)單情形就是一元函數，不妨啟發(fā)學(xué)生回憶一元函數微積分的內容，并且告訴學(xué)生關(guān)于多元映射也有類(lèi)似于一元函數的微積分學(xué)，而且這些微積分學(xué)在學(xué)習微分流形時(shí)也會(huì )用到。其他內容不用講，學(xué)生就明白了關(guān)于多元映射主要有哪些基本內容，可以用到哪里等等。這樣學(xué)生就理解了所學(xué)學(xué)科的發(fā)展過(guò)程，并且在這個(gè)過(guò)程中吸收了相應的數學(xué)思想及方法。這需要授課教師有很高的數學(xué)素養和專(zhuān)業(yè)知識，對所講學(xué)科的發(fā)展演化過(guò)程了如指掌，否則難以產(chǎn)生良好的效果。
由于數學(xué)學(xué)科的特殊性，在教法上不可能有什么“竅門(mén)”而言，只能運用和依靠專(zhuān)業(yè)知識和專(zhuān)業(yè)素養，對學(xué)生做到“細教精練”�，F代數學(xué)接觸的新理論新概念特別多，這不僅要求教師在很短的幾十課時(shí)的教學(xué)中，把大量的信息和數學(xué)思想方法傳授給學(xué)生，同時(shí)還要求教師自身具有高度的概括精練能力，能夠對某個(gè)新概念的要點(diǎn)一語(yǔ)中的。比如在學(xué)習“小波分析”時(shí)，學(xué)生的數學(xué)基礎有限，泛函分析知識儲備不足，不能一上課就講小波分析的概念，可以從Fourier變換中的Fourier級數講起，因為研究生對Fourier級數應該有印象，問(wèn)題是雖然學(xué)生知道Fourier級數，但也不一定知道它的真正物理含義所以必須給學(xué)生講清楚這一點(diǎn)，也就是Fourier級數（或Fourier變換）的“濾波”作用的實(shí)質(zhì)。就“濾波”而言，教師可以從多個(gè)角度如幾何的角度、分析的角度講述，直到學(xué)生明白為止。在此基礎上，再學(xué)習小波分析原理時(shí)，就非常容易了，因此在這里花費時(shí)間講解是值得的。沿著(zhù)這個(gè)要點(diǎn)展開(kāi)，就可以自然而然地引入到小波分析上了。
總之，現代數學(xué)課堂教學(xué)改革勢在必行。課程的設置既要符合現代數學(xué)的發(fā)展趨勢，又要兼顧現實(shí)的發(fā)展需求；既要培養和提高學(xué)生的抽象思維和邏輯思維能力，又要加強學(xué)生運用數學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在課堂教學(xué)中，應該提倡反璞歸真，不僅要了解所講學(xué)科的起源，更要了解其演化、發(fā)展和應用方向，同時(shí)加強老師自身的修養和課堂上師生間的良性互動(dòng)。
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