分數階統計分布與金融投資分析論文

　　摘要：在金融投資領(lǐng)域，常會(huì )遇到根據歷史行情對未來(lái)行情走勢進(jìn)行預測的問(wèn)題，對此本文通過(guò)樣本總體分布判斷，建立Lévy穩定分布決策模型擬合數據，求解分布統計量。根據分布統計量求解金融投資的兩大重要參數，最終得到企業(yè)金融投資決策問(wèn)題的一類(lèi)優(yōu)選方法。

　　關(guān)鍵詞：Lévy穩定分布；置信區間；金融投資；正態(tài)分布

　　1、分數階統計分布簡(jiǎn)介

　　分數階統計分布及其隨機過(guò)程是一類(lèi)廣泛應用于描述非高斯變量和非馬爾科夫過(guò)程的統計方法。Lévy穩定分布是一種具有冪律特征的分數階統計分布，其概率密度或累計分布曲線(xiàn)表現為尖峰拖尾特征，尾部為冪律衰減，對應的隨機過(guò)程可以描述長(cháng)程相關(guān)性和突發(fā)性。1963年Mandelbrot首次將其用于金融領(lǐng)域。

　　2、問(wèn)題引入

　　金融市場(chǎng)與一般商品市場(chǎng)的根本區別在于它的收益的不確定性，在日趨復雜的市場(chǎng)條件下，想要在變幻莫測的金融市場(chǎng)中作出合理的、科學(xué)的決策，采用合理的數學(xué)方法，從經(jīng)驗投資向科學(xué)投資發(fā)展至關(guān)重要�，F有一公司欲拿出1000萬(wàn)元流動(dòng)資金進(jìn)行股票投資，該公司在過(guò)去的255個(gè)股票交易日中的日收益額（如表1所示）。該公司打算根據上述歷史行情進(jìn)行決策，其中日均十萬(wàn)元損失率與置信度95%的日均損失額為兩個(gè)重要的參考指標。本文使用分數階統計分布方法對該問(wèn)題進(jìn)行求解。3模型假設(1)假定表1中的數據為每天結算一次且保持每天在市場(chǎng)上的投資額為1000萬(wàn)元。(2)由于市場(chǎng)受眾多隨機因素影響，因此認為每天公司收益額數據之間相關(guān)性極弱，近似認為相互獨立。(3)所給數據具有真實(shí)性、代表性、可靠性。即忽略統計誤差，排除人為因素，認為此數據是正常市場(chǎng)投資的結果。

　　4、模型的求解

　　4.1基于分數階統計分布的投資決策模型

　　Lévy穩定分布是一類(lèi)分數階統計分布，該分布的概率密度函數具有尖峰、非對稱(chēng)、拖尾特征�？坍�(huà)此類(lèi)分布需要四個(gè)參數，分別是穩定系數α、傾斜指數β、尺度參數γ和位置參數δ，參數的取值范圍分別為：0≤α≤2,-1≤β≤1,γ>0,δ∈R。正態(tài)分布和柯西分布是其穩定指數等于2和1時(shí)的特殊情形。Lévy穩定分布傾斜指數能夠刻畫(huà)收益額統計分布的拖尾特征，為研究金融投資收益額的統計分布提供了一種更為優(yōu)良的方法。此外，由于Lévy穩定分布的概率密度函數和累積分布函數均沒(méi)有統一的解析表達式，因此，采用合適的軟件工具十分必要，本文利用一種Lévy穩定分布軟件工具包及相關(guān)程序實(shí)現分布統計量的計算。

　　4.2Lévy穩定分布參數計算

　　為了刻畫(huà)Lévy穩定分布,首先需要計算Lévy穩定分布的四個(gè)參數，利用經(jīng)驗特征函數法估計收益額樣本對應的Lévy穩定分布參數(如表2所示)。對得到的標準Lévy模型做進(jìn)一步分析，對樣本數據與Lévy隨機數做K-S檢驗，得到顯著(zhù)性水平值為0.3921（置信水平為0.05），接受原假設H0，即樣本數據滿(mǎn)足Lévy總體分布。對比正態(tài)總體的K-S檢驗水平0.028，易知Lévy穩定分布相比高斯分布更適合該投資決策模型。類(lèi)似的，利用經(jīng)驗特征函數法，結合CMS生成的Lévy隨機數作為標準模型求出對應的統計參數。值得說(shuō)明的是，一般有兩種方法可以求解分布函數：經(jīng)驗特征函數法與百分位法,后者具有更高的計算效率，但誤差稍大，因此本模型中均選取經(jīng)驗特征函數法計算分布函數。表3是兩種方法求得的Lévy穩定分布統計量與標準Lévy分布的對比。圖1是樣本累積分布函數與Lévy累積分布函數圖，樣本擬合得到的經(jīng)驗分布函數與標準Lévy曲線(xiàn)基本重合，可見(jiàn)用Lévy穩定分布來(lái)模擬金融投資行為是較為可靠的。

　　4.3模型求解

　　通過(guò)MATLAB使用多項式函數擬合樣條曲線(xiàn)，可以得到9次擬合多項式約為（由于matlab只能得到各系數取值的置信區間，本文中多項式各系數為置信區間中值）：則下一交易日的日均十萬(wàn)元損失率為：P(x<-10)=F(-10)=0.03944，故而下一周期損失超過(guò)十萬(wàn)元的概率為3.944%。置信度95%的日均損失額為F-1（0.05）=8.8185，故而在95%置信度下?lián)p失不超過(guò)8.8185萬(wàn)元。

　　5、模型分析與推廣

　　本文通過(guò)Lévy穩定分布模型對金融投資中的重要參數進(jìn)行估計，由于本問(wèn)題的日收益樣本概率密度函數具有尖峰拖尾特征，故從理論上分析，采用Lévy穩定分布可以得到較高斯分布更為優(yōu)化的結果。本文中通過(guò)對Lévy穩定分布進(jìn)行K-S檢驗，發(fā)現Lévy穩定分布的顯著(zhù)性水平低于正態(tài)分布，證明了Lévy穩定分布在金融投資問(wèn)題解決中的優(yōu)越性。除了金融投資之外，Lévy穩定分布模型還廣泛應用于反常擴散，信號處理等領(lǐng)域。

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