大學(xué)物理本科教學(xué)研究論文

　　一、引言

　　自然界中存在無(wú)數的無(wú)序、非平衡和隨機的非線(xiàn)性系統。自然界面對的更多的是非線(xiàn)性問(wèn)題。而我們的大學(xué)物理教學(xué)介紹的幾乎全是線(xiàn)性問(wèn)題，即使遇到非線(xiàn)性問(wèn)題，不是回避就是把它線(xiàn)性化，這是大學(xué)物理教學(xué)的一個(gè)缺點(diǎn)。我們在大學(xué)物理教學(xué)中引入混沌、復雜網(wǎng)絡(luò )及自組織臨界理論和分形等非線(xiàn)性物理知識，通過(guò)介紹理論和在課堂上用多媒體演示，使大學(xué)一年級的學(xué)生很容易理解非線(xiàn)性物理的知識，對物理規律的認識更加深入和全面，并取得了良好的教學(xué)效果。

　　二、混沌

　　非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)中提出的混沌理論已經(jīng)成為目前非線(xiàn)性科學(xué)研究中的熱點(diǎn)問(wèn)題。無(wú)數的無(wú)序、非平衡和隨機的非線(xiàn)性系統存在于自然界中。美國的著(zhù)名氣象學(xué)家Lorenz建立了一個(gè)仿真的氣象模型。Lorenz的氣象模型對初始條件的微小不同是非常敏感的，他把此種現象稱(chēng)之為“蝴蝶效應”。也就是說(shuō)：在巴西熱帶雨林的蝴蝶扇動(dòng)翅膀，有可能在美國德克薩斯州產(chǎn)生一場(chǎng)龍卷風(fēng)。這個(gè)效應告訴我們初始條件非常重要。我們嘗試在大學(xué)物理課堂教學(xué)上用多媒體演示各種典型混沌系統的吸引子和功率譜，運用MATLAB編程展示系統如何進(jìn)入混沌，還有混沌對初值的敏感性，許多非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統都是通過(guò)倍周期分岔從規則運動(dòng)進(jìn)人混沌運動(dòng)的，系統如果處于混沌運動(dòng)狀態(tài)，那么它以后的運動(dòng)狀態(tài)將敏感依賴(lài)初值，并且具有不可預測性。我們通過(guò)這些多媒體演示，使大學(xué)一年級學(xué)生很容易理解非線(xiàn)性混沌的知識，并取得了較好的教學(xué)效果，對大學(xué)本科學(xué)生的物理教學(xué)具有指導意義。

　　三、復雜網(wǎng)絡(luò )和自組織臨界理論

　�。ㄒ唬�復雜網(wǎng)絡(luò )

　　自然界和人類(lèi)社會(huì )中存在的大量復雜系統都可通過(guò)各種網(wǎng)絡(luò )來(lái)描述。至于用什么樣的網(wǎng)絡(luò )拓撲結構才能對實(shí)際系統進(jìn)行準確的描述，人們研究此問(wèn)題經(jīng)歷了三個(gè)時(shí)期：規則網(wǎng)絡(luò )、隨機網(wǎng)絡(luò )和復雜網(wǎng)絡(luò )。最初科學(xué)家們認為真實(shí)系統各因素間的關(guān)系可用一些規則結構表示，如歐幾里德網(wǎng)格。后來(lái)數學(xué)家們構想，兩個(gè)節點(diǎn)之間連邊與否不再具有確定性，而是由概率確定，此網(wǎng)絡(luò )稱(chēng)為隨機網(wǎng)絡(luò )。近十幾年來(lái)科學(xué)家研究得出結論：很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò )既不是隨機網(wǎng)絡(luò )，也不是規則網(wǎng)絡(luò )，而是具有與隨機網(wǎng)絡(luò )和規則網(wǎng)絡(luò )都不同性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò )，稱(chēng)之為復雜網(wǎng)絡(luò )。這些工作發(fā)表在國際頂級期刊Nature和Science上，對復雜網(wǎng)絡(luò )的研究標志著(zhù)第三個(gè)時(shí)期的網(wǎng)絡(luò )研究的來(lái)臨。Watts。D。J等經(jīng)過(guò)研究發(fā)現，復雜網(wǎng)絡(luò )具有無(wú)標度特性和小世界效應，這是復雜網(wǎng)絡(luò )與隨機網(wǎng)絡(luò )和規則網(wǎng)絡(luò )都不同的統計特征。描述網(wǎng)絡(luò )的基本參數有兩個(gè)：網(wǎng)絡(luò )的平均距離和網(wǎng)絡(luò )的簇系數。在網(wǎng)絡(luò )中，連接兩個(gè)節點(diǎn)最短路徑所包含的邊的數目稱(chēng)為它們間的距離，網(wǎng)絡(luò )的平均距離就是把所有節點(diǎn)對的距離求平均。規則網(wǎng)絡(luò )和隨機網(wǎng)絡(luò )是兩個(gè)極端。只需要在規則網(wǎng)絡(luò )上稍作隨機改動(dòng)就可以同時(shí)具備大的簇系數和小的平均距離兩個(gè)性質(zhì)。物理學(xué)家把大的簇系數和小的平均距離兩個(gè)特征統稱(chēng)為小世界效應。我們嘗試在大學(xué)物理課堂教學(xué)上用多媒體演示了復雜網(wǎng)絡(luò )和規則網(wǎng)絡(luò )、隨機網(wǎng)絡(luò )的不同之處，通過(guò)這些演示，可以使大學(xué)一年級的本科生對復雜網(wǎng)絡(luò )和規則網(wǎng)絡(luò )、隨機網(wǎng)絡(luò )有簡(jiǎn)單的了解，并取得了不錯的教學(xué)效果，也對網(wǎng)絡(luò )的認知更加全面。

　�。ǘ�）自組織臨界理論

　　社會(huì )生活和自然界中存在著(zhù)眾多的“標度不變”行為。很多不規則復雜的分形結構存在于自然界中，例如山巒、海岸線(xiàn)、云霧等，它們的基本特征共同之處都是同時(shí)具有標度不變性和自相似性。在生物學(xué)、地震學(xué)、社會(huì )學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和語(yǔ)言學(xué)里，我們也總是能找到某一個(gè)量N（S）來(lái)表示為另一個(gè)量S的冪次：N（S）∞S—τ，即這個(gè)量的概率分布在雙對數圖上基本是一條直線(xiàn)，它表明對其而言無(wú)特征尺度，各種大小的量均可出現。BakP等人提出自組織臨界理論來(lái)解釋此現象，他們用原胞自動(dòng)機模型（現在被稱(chēng)為“沙堆模型”）來(lái)闡述自組織臨界理論，其雪崩大小概率分布服從冪指規律，表明雪崩事件是高度關(guān)聯(lián)的。

　　復雜網(wǎng)絡(luò )可廣泛用來(lái)描述自然與社會(huì )領(lǐng)域的眾多現象，網(wǎng)絡(luò )是包含大量個(gè)體及個(gè)體之間相互作用的系統，“節點(diǎn)”代表系統的組成元素，“邊”說(shuō)明元素之間的關(guān)系。物理學(xué)家研究發(fā)現很多真實(shí)網(wǎng)絡(luò )的度分布也呈現無(wú)標度特性。復雜網(wǎng)絡(luò )的無(wú)標度特性表明它與自組織臨界性存在著(zhù)極其密切的關(guān)系。ArcangelisLDe等以沙堆模型為背景研究了二維小世界網(wǎng)絡(luò )的自組織臨界性，對于任意的重連概率，系統均展示自組織臨界行為。網(wǎng)絡(luò )拓撲結構是否會(huì )影響沙堆模型中的雪崩動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)家爭論的一個(gè)焦點(diǎn)，周濤等對無(wú)標度網(wǎng)絡(luò )上自組織臨界沙堆模型的研究表明，沙堆模型的雪崩動(dòng)力學(xué)性質(zhì)對復雜網(wǎng)絡(luò )特殊的拓撲結構非常敏感。潘貴軍等研究了復雜網(wǎng)絡(luò )上定向沙堆模型的自組織臨界行為，發(fā)現網(wǎng)絡(luò )的方向性顯著(zhù)影響了復雜網(wǎng)絡(luò )上的動(dòng)力學(xué)行為。孫凡等還研究了復雜網(wǎng)絡(luò )上地震模型的自組織臨界行為，發(fā)現不同的不均勻性、倒塌規則和驅動(dòng)機制一定會(huì )影響系統的臨界行為，改變模型的普適類(lèi)。

　　這些工作對復雜系統研究都具有積極的意義。我們嘗試在大學(xué)物理課堂教學(xué)上用計算機編程演示了自組織臨界沙堆模型，通過(guò)這些演示，可以使大學(xué)一年級的學(xué)生對自組織臨界理論有簡(jiǎn)單的了解。通過(guò)這些多媒體演示，使大學(xué)一年級學(xué)生很容易理解自組織臨界理論的一些基本概念和基本觀(guān)點(diǎn)，并取得了較好的教學(xué)效果。

　　四、分形

　　分形理論是非線(xiàn)性物理的一個(gè)重要分支。分形（Fractal）概念是由MandclbrotBB在Science上發(fā)表的一篇論文中提出的。目前分形理論已經(jīng)應用于很多領(lǐng)域，如數學(xué)、材料學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)和計算機科學(xué)等。

　�。ㄒ唬┲x爾賓斯基“地毯”

　　謝爾賓斯基“地毯”是一種規則分形，此分型的形成方法是取一正方形，將它等分為九個(gè)正方形，我們去掉中間的正方形，隨后把留下來(lái)的八個(gè)正方形彼此再均分成為更微小的九個(gè)正方形，然后我們再去掉彼此中央的正方形。我們按照這個(gè)規則一直分至無(wú)窮小，它的極限圖就構成了謝爾賓斯基“地毯”。這個(gè)極限圖形的面積是接近零的，但是小正方形的數量接近無(wú)窮打，作為小正方形邊的線(xiàn)段總長(cháng)度趨于無(wú)窮大。它的圖形則具有嚴格的無(wú)標度性和自相似性，圖形的空間維數處于1和2之間。

　�。ǘ�）科契雪花曲線(xiàn)

　　“科契雪花”曲線(xiàn)的構造規則是，以一個(gè)正三角形作為源多邊形，即為初始元。將正三角形的每一條邊三等分，舍去中間的1/3，而改變成夾角為60°的兩端等長(cháng)的折線(xiàn)。從該三角形一條邊出發(fā)進(jìn)行演變的過(guò)程：首先將正三角形的一條邊的直線(xiàn)部分按生成元來(lái)變形，形成折線(xiàn)，照這樣不斷繼續下去，一直到無(wú)窮，它的極限圖形就形成了科契曲線(xiàn)的一部分。再將該部分曲線(xiàn)順、逆時(shí)針各旋轉300°，拼接組合，即形成科契曲線(xiàn)。因為它的形狀很像雪花，所以我們稱(chēng)之為“科契雪花”曲線(xiàn)。我們在課堂上介紹了兩種基本規則分形圖形謝爾賓斯基“地毯”和“科契雪花”曲線(xiàn)的形成過(guò)程，計算了它們各自的分維值，并用MATLAB程序進(jìn)行了模擬繪制。我們通過(guò)多媒體演示，使大學(xué)一年級的學(xué)生很容易掌握分形的知識，并取得了很好的教學(xué)效果。

　　五、結語(yǔ)

　　在大學(xué)物理課堂上引入混沌、復雜網(wǎng)絡(luò )及自組織臨界理論和分形等非線(xiàn)性物理知識，通過(guò)介紹混沌、復雜的網(wǎng)絡(luò )及自組織臨界理論和分形的基本理論，以及在課堂上用多媒體演示混沌吸引子、復雜網(wǎng)絡(luò )和自組織臨界沙堆模型、分形圖形的形成過(guò)程，使大學(xué)一年級的學(xué)生對非線(xiàn)性物理的知識有一個(gè)簡(jiǎn)單的了解，可使大學(xué)一年級學(xué)生對物理規律的認識更加深入和全面，并取得了不錯的教學(xué)效果。

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