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解讀高中數學(xué)中的抽象函數
抽象函數問(wèn)題是高中函數中的一類(lèi)綜合性比較強的問(wèn)題，學(xué)生往往感到無(wú)從下手。解決這類(lèi)問(wèn)題要求學(xué)生抽象思維能力、綜合運用數學(xué)知識的能力較強，但是，教師只要引導學(xué)生準確掌握所學(xué)基本初等函數的圖象和性質(zhì)，分清是哪一類(lèi)函數的抽象，可以?xún)?yōu)化思路，使問(wèn)題難度降低，從而得以解決。以下是小編整理的解讀高中數學(xué)中的抽象函數，歡迎閱讀。
解讀高中數學(xué)中的抽象函數
下面舉例說(shuō)明:
形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m為常數)
思路:看作 一次函數的抽象，聯(lián)想一次函數的圖象及性質(zhì)。特例:m=0時(shí)，聯(lián)想過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。
例1.函數f(x)對任意的a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當x>0時(shí)，f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數;
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)證明:設x10，
∵x>0時(shí)，f(x)>1
∴f(x2-x1)>1，
∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0
(2) ∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5，∴f(2)=3.
又f(x)是R上的增函數，
∴f(3m2-m-2)<3 f(3m2-m-2)
∴f(x)是R上的增函數.∴f(3m2-m-2)<3
f(3m2-m-2)
3m2-m-2<2 -1
解得不等式解集為{m|-1
點(diǎn)評 1.回歸定義，充分運用已知條件:x>0時(shí)，f(x)>0 △x=x2-x1>0，f(x2-x1)>1
2.等價(jià)轉化思想:運用函數的單調性，去掉函數符號，轉化為解關(guān)于m的不等式。
思路:聯(lián)想冪的運算性質(zhì)，可看作指數函數的抽象，結合指數函數的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題。
抽象函數問(wèn)題，需要綜合運用函數的奇偶性，單調性，周期性，對稱(chēng)性等性質(zhì)，應用分析，邏輯推理，聯(lián)想類(lèi)比等數學(xué)思想方法。
常見(jiàn)題型有:
�、偾蟪橄蠛瘮档哪骋缓瘮抵�:根據函數結構特征，用賦值法。
�、谂�(證)抽象函數的單調性:類(lèi)比所學(xué)具體函數，充分運用已知條件，對變量合理賦值。
�、劢怅P(guān)于抽象函數的不等式:一看定義域，一看單調性。
只要掌握相應的解題策略，問(wèn)題便會(huì )化難為易，迎刃而解。
抽象函數解析
一、求抽象函數的定義域
1. 若已知函數f [g(x)]的定義域為x∈(a，b)，求函數f(x)。
解決這類(lèi)問(wèn)題的方法是：利用a 例1. 已知函數f(x+1)的定義域是[-2，3]，求y=f(x)的定義域。
解：因為函數f(x+1)的定義域是[-2，3]，所以-2≤x≤3
所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定義域是[-1，4]
2. 若已知函數f(x)的定義域為x∈(a，b)，求f [g(x)]函數的定義域。
解決這類(lèi)問(wèn)題的方法是：a 例2. 已知函數f(x)的定義域為(0，1]，求函數g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 解：因為函數f(x)的定義域為(0，1]
所以0 由于- 所以不等式組(Ⅰ)的解為-a 即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-
二、抽象函數的周期性和奇偶性
1. 抽象函數的周期性
例3. 定義在R上的函數f(x)滿(mǎn)足f(x)=-f(x+2)，且當x∈(-1，1]時(shí)，f(x)=x2+2x，
求當x∈(3，5]時(shí)，f(x)的解析式。
解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4為周期的周期函數
設x∈(3，5]時(shí)，則-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3 評注：若對函數f(x)定義域內的任意，恒有下列條件之一成立(以下式子分母不為零，a≠0)
�、賔(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-
�、躥(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)
則函數f(x)是以2a為周期的周期函數①
2. 抽象函數的奇偶性
奇、偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據，有時(shí)為了便于判斷函數的奇偶性，也往往需要先將函數進(jìn)行化簡(jiǎn)，或運用定義的等價(jià)形式，但對于抽象函數的奇偶性的判斷主要是用賦值法，構造出定義的形式。
例4. 已知定義在上的函數f(x)，對于任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判斷函數f(x)的奇偶性
解：(1)令x=y=0，則有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)這說(shuō)明函數f(x)是偶函數。
三、抽象函數圖像的對稱(chēng)變換
結論1：①函數y=f(-x)與函數y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱(chēng);
�、诤瘮祔=-f(x)與函數y=f(x)的圖像關(guān)于軸對稱(chēng);
�、酆瘮祔=-f(-x)與函數y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)軸對稱(chēng);
�、芎瘮祔=f-1(x)與函數y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x軸對稱(chēng)。
結論2：若對定義域內的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，則函數y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x= 對稱(chēng)。
結論3：函數y=f(x+a)與y=f(-x+b)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=對稱(chēng)(a，b為常數)。
例5. 設函數y=f(x)的定義域為，則函數y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像關(guān)于( )
A. 直線(xiàn)y=0對稱(chēng) B. 直線(xiàn)x=0對稱(chēng)
C. 直線(xiàn)y=1對稱(chēng) D. 直線(xiàn)x=1對稱(chēng)
錯解：因為函數y=f(x)的定義域為R，且f(x-1)=f(1-x)，所以函數y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=0對稱(chēng)，故選擇B。
錯解分析：錯誤的原因是將兩個(gè)不同的對稱(chēng)問(wèn)題混為一談，即將兩個(gè)不同函數圖像的對稱(chēng)問(wèn)題，錯誤地當成一個(gè)函數的圖像對稱(chēng)問(wèn)題，從而導致錯誤。
正解：因為函數y=f(x)的定義域為R，而y=f(x-1)的圖像是y=f(x)圖像向右平移1個(gè)單位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的圖像是y=f(-x)圖像向右平移1個(gè)單位而得到的，又因為f(x)與f(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱(chēng)，因此函數y=f(x-1)與y=f(1-x的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=1對稱(chēng)，故應該選擇D。
四、求抽象函數的解析式
解決抽象函數解析式的問(wèn)題，關(guān)鍵是構造出函數f(x)。通常采取賦值法，賦予恰當的數值或代數式后，通過(guò)合理運算推理，最后得出結論。
例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函數f(x)的解析式。
解：令a=0，則 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1
再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1
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