導數在函數中的應用

【摘  要】新課程利用導數求曲線(xiàn)的切線(xiàn)，判斷或論證函數的單調性，函數的極值和最值。導數是分析和解決問(wèn)題的有效工具。
【關(guān)鍵詞】導數  函數的切線(xiàn)  單調性  極值和最值
        導數（導函數的簡(jiǎn)稱(chēng)）是一個(gè)特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著(zhù)函數思想。新課程增加了導數的內容，隨著(zhù)課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題時(shí)的不可缺少的工具。函數是中學(xué)數學(xué)研究導數的一個(gè)重要載體，函數問(wèn)題涉及高中數學(xué)較多的知識點(diǎn)和數學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過(guò)研究其圖像性質(zhì)，來(lái)考查學(xué)生的創(chuàng )新能力和探究能力的試題。本人結合教學(xué)實(shí)踐，就導數在函數中的應用作個(gè)初步探究。
        有關(guān)導數在函數中的應用主要類(lèi)型有：求函數的切線(xiàn)，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用函數的單調性證明不等式，這些類(lèi)型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn)，是高中數學(xué)學(xué)習的重點(diǎn)之一，預計也是“新課標”下高考的重點(diǎn)。
        一、用導數求函數的切線(xiàn)
        例1.已知曲線(xiàn)y=x3-3x2-1，過(guò)點(diǎn)（1，-3）作其切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程。
        分析：根據導數的幾何意義求解。
        解：y′ = 3x2-6x   ， 當x=1時(shí)y′= - 3，即所求切線(xiàn)的斜率為-3.故所求切線(xiàn)的方程為y+3 = -3(x-1)，即為：y = -3x.
        1、方法提升：函數y=f(x)在點(diǎn)x0處的導數的幾何意義，就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P（x0， y=f(x0)）處的切線(xiàn)的斜率。既就是說(shuō)，曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P（x0， y=f(x0)）處的切線(xiàn)的斜率是f′(x0) ，相應的切線(xiàn)方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。
        二、用導數判斷函數的單調性
        例2．求函數y=x3-3x2-1的單調區間。
        分析：求出導數y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。
        解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。
        由y′<0  得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。
        故 所求單調增區間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調減區間為 (0 ，2 )。
        2、方法提升：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導數f′(x)；（3）在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調區間.若在函數式中含字母系數，往往要分類(lèi)討論。
        三、用導數求函數的極值
        例3．求函數f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值
        解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.                  
        當x變化時(shí)，y′、y的變化情況如下：
        當x=－2時(shí)，y有極大值f(-2)=－（28/3），當x=2時(shí)，y有極小值f(2)=－(4/3).
        3、方法提升：求可導函數極值的步驟是：（1）確定函數定義域，求導數f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有實(shí)數根；（3）對每個(gè)實(shí)數根進(jìn)行檢驗，判斷在每個(gè)根（如x0）的左右側，導函數f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側符號不變，則f(x0)不是極值。

      四、用導數求函數的最值
        
        五、證明不等式
       
        5、方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點(diǎn)題型。其方法可以歸納為“構造函數，利用導數研究函數最值”。
        總之，導數作為一種工具，在解決數學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便，尤其是可以利用導數來(lái)解決函數的單調性，極值，最值以及切線(xiàn)問(wèn)題。在導數的應用過(guò)程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學(xué)思想方法的應用，達到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，進(jìn)一步加深對函數的深刻理解和直觀(guān)認識。
參考資料：
1、普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)（北京師范大學(xué)出版社）
2、高中數學(xué)教學(xué)參考

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