用量子力學(xué)計算氫原子
下面是小編整理的用量子力學(xué)計算氫原子的論文，歡迎各位物理學(xué)畢業(yè)的同學(xué)借鑒哦!
摘 要：氫原子是最簡(jiǎn)單的原子，在量子力學(xué)建立過(guò)程中有著(zhù)特殊地位，有必要對其進(jìn)行詳細的求解。該論文用量子力學(xué)理論，通過(guò)求解氫原子在庫倫勢場(chǎng)中的定態(tài)薛定諤方程，得到氫原子的能量及能量本征函數。
關(guān)鍵詞：量子力學(xué) 氫原子 能量 本征函數
從17世紀牛頓力學(xué)出現以后，直到19世紀，電動(dòng)力學(xué)，熱力學(xué)和統計力學(xué)也陸續被建立，從而形成了一個(gè)完整的經(jīng)典物理學(xué)體系�？墒�，在解決黑體輻射、光電效應等實(shí)驗時(shí)，經(jīng)典物理學(xué)遇到了空前的挑戰，需建立全新的理論來(lái)解決面臨的困難。1900年，普朗克假說(shuō)在黑體輻射上有新的突破，1905年，愛(ài)因斯坦用量子化解釋了光電效應，1913年，玻爾建立“玻爾理論”。但玻爾理論具有一定的局限性，十年之后，量子力學(xué)體系逐步建立起來(lái)，才完全解釋了原子問(wèn)題。而氫原子是最簡(jiǎn)單的原子。因此，有必要用量子力學(xué)的方法對其進(jìn)行嚴格的求解。
1 理論計算
氫原子是最簡(jiǎn)單的原子，它是由一個(gè)電荷為的原子核與一個(gè)電荷為的電子構成的。如果取無(wú)窮遠為勢能的零點(diǎn)，則質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V(r)=。則根據定態(tài)薛定諤方程可求出氫原子的能量及能量本征函。在以下的計算中，采用自然單位。為方便，給出氫原子的自然單位：長(cháng)度的自然單位：，能量的自然單位：。氫原子的約化質(zhì)量為，質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V(r)=�？紤]到V(r)的球對稱(chēng)性，我們采用球極坐標系。而因為[]=0，所以角動(dòng)量是守恒的，在球極坐標系下，薛定諤方程可表示為：
[]=E (1)
由于的各分量是守恒的，而各分量不對易，則根據簡(jiǎn)并定理可知能級有簡(jiǎn)并。是守恒量，且與的每一個(gè)分量都對易，因此體系的守恒量完全集可以方便的選為()，方程(1)的解同時(shí)選為的本征態(tài)，即：
…… (2)
代入式(1)，可得出徑向波函數滿(mǎn)足方程：
=0 (3)
和滿(mǎn)足方程：而為的本征值，待定。
對于式(3)，若令，則在自然單位下滿(mǎn)足：
(4)
r=0，是微分方程的兩個(gè)奇點(diǎn)。
當時(shí)，按照波函數的統計詮釋?zhuān)谌魏误w積元中找到粒子的概率都應為有限值。因此，求解徑向方程(3)時(shí)，只有漸進(jìn)行為是∝的解才是物理上可接受的解。
當r時(shí)，我們只限于討論束縛態(tài)(E﹤0)，則方程(4)可化為：
(5)
該方程屬合流超幾何方程。方程(5)在鄰域有界的解為合流超幾何函數：(6)
當時(shí)，無(wú)窮級數解～不滿(mǎn)足在無(wú)窮遠處的束縛態(tài)邊條件。為了得到物理上允許的解，只要等于0或負整數，可以滿(mǎn)足這一條件。按式(6)并將其添上能量的自然單位，得出氫原子的能量本征值：(…)，其中：。與相應的徑向波函數可表示為：～其中(添上長(cháng)度的自然單位)，歸一化的徑向函數為：，
(7)
對于式(4)，在球坐標系下，可表示成：
(8)
將式(7)，(8)代入方程(4)，并成為勒讓德方程得：
(9)
在-1≤≤1的區域內，有兩個(gè)正則奇點(diǎn)，其余各點(diǎn)均為常數。由此可知，只當(…)時(shí)，方程就有一個(gè)多項式解，即勒讓德多項式：(≤m≤)，它在-1≤≤1區域中是有界的，利用正交歸一性公式，可以定義一個(gè)歸一化的部分的波函數(實(shí))：()。滿(mǎn)足。這樣，(10)
由此可得，氫原子的束縛能量本征函數為：其中為式(8)，為式(11)。
2 結語(yǔ)
本文運用量子理論，求解了氫原子在庫倫勢場(chǎng)中的定態(tài)薛定諤方程，得到了氫原子的能量及能量本征函數：
(1)氫原子的能量為：，其中：…(主量子數);(2)能量本征函數為，其中：，。
參考文獻
[1] 曾謹言.量子力學(xué)導論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1998.
[2] 周世勛.量子力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1979.
[3] 李鈺.一維、二維、三維氫原子能級和電子分布概率[J].廣西物理，1998(19).
[4] 張愛(ài)軍，耿延珍，呂正山.對氫原子光譜線(xiàn)的討論[J].大學(xué)物理實(shí)驗，1999(12).
[5] 羅任遠.如何理解量子力學(xué)中氫原子的能級[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報，1999(6).
【用量子力學(xué)計算氫原子】相關(guān)文章：
計算工具的認識教案01-18
大班計算活動(dòng)教案11-30
關(guān)于計算實(shí)習報告11-16
計算機教案07-04
小學(xué)計算教學(xué)隨筆05-24
計算機教案12-10
計算機實(shí)習報告02-19
計算機專(zhuān)業(yè)的簡(jiǎn)歷09-21
計算機調研報告12-25