圓面積公式的推導分析論文

　　教學(xué)圓面積公式的推導，我曾聽(tīng)過(guò)三種不同的教法，現分別簡(jiǎn)介過(guò)程及稍作評點(diǎn)。

　　〔第一種教法〕

　�。ǎ保�復習長(cháng)方形面積計算公式。

　�。ǎ玻┳寣W(xué)生自學(xué)課本中推導圓面積計算公式的過(guò)程。

　�。ǎ常┙處熯呌媒叹哐菔�，邊要求學(xué)生回答：

　�、倨闯傻膱D形近似于什么圖形？想一想，如果等分的份數越多，拼成的圖形會(huì )怎么樣？

　�、谄闯傻膱D形與原來(lái)圓的面積相等嗎？

　�、圻@個(gè)近似長(cháng)方形的長(cháng)相當于圓的什么？它的寬相當于圓的什么？

　�。ǎ矗┙處熞�求學(xué)生說(shuō)出由長(cháng)方形面積計算公式，推導出圓面積計算公式的方法（可按課本說(shuō)）。

　�。ǎ担┙沂緢A的面積公式。

　　〔評：這種教法，看起來(lái)是引導學(xué)生自學(xué)，并結合演示讓學(xué)生回答問(wèn)題，似乎學(xué)生學(xué)得較主動(dòng)，實(shí)際上學(xué)生未有實(shí)踐、思考的過(guò)程，只是“依樣畫(huà)葫蘆”，對其中的道理不能弄懂、弄通，這屬于機械的學(xué)習�！�

　　〔第二種教法〕

　�。�、導入新課。

　　教師讓學(xué)生回憶一下，以前學(xué)習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算時(shí)，是用什么方法推導它們的計算公式的。（用割、拼法拼成長(cháng)方形或平行四邊形進(jìn)行計算，教師出示割、拼教具分別作簡(jiǎn)單的演示。）接著(zhù)，出示一張圓形硬紙片，問(wèn)：“怎樣計算它的面積呢？”（揭示課題）教師指出：我們仍可用以前學(xué)過(guò)的割、拼法，把圓轉化為已學(xué)過(guò)的圖形，運用此圖形的面積計算方法，推導出圓面積的計算方法。

　�。�、實(shí)際操作。

　　要求學(xué)生拿出圓面積的割拼圖形學(xué)具，在教師的指導下，邊操作，邊回答以下問(wèn)題：

　�、侔岩粋�(gè)圓平分成兩半，每一個(gè)半圓形的哪一部分長(cháng)度相當于圓周長(cháng)的１／２？再把每一個(gè)半圓形平均分成８等份（如課本的切割圖），那么哪一段的長(cháng)度相當于圓的半徑？

　�、谙胍幌耄耗懿荒馨堰@些等分出的圖形，拼成近似于我們以前學(xué)過(guò)的圖形？怎樣拼？（要求學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，并指名演示拼出的幾種不同的圖形。如：長(cháng)方形、平行四邊形、梯形等。）

　�、鬯�拼出的圖形面積與原來(lái)圓面積相等嗎？

　�。常�推導公式。

　　先以拼出的近似長(cháng)方形的圖形為例，教師引導學(xué)生弄清，若平分的份數越多，拼成的圖形越接近長(cháng)方形。進(jìn)而，教師要求學(xué)生據圖回答：割拼后的長(cháng)方形的長(cháng)相當于圓的哪一部分的長(cháng)度？寬相當于圓的哪一部分的長(cháng)度？從而

　　由長(cháng)方形的面積＝長(cháng)×寬

　　↓↓

　　得圓的面積＝πｒ×ｒ＝πｒ［２］。

　　然后，出示拼出的近似的平行四邊形或梯形，再次推導看能否得出上面的圓面積公式（略）。這樣就得到了證實(shí)，使學(xué)生確信無(wú)疑。

　　〔評：這種教法比第一種教法有很大的改進(jìn)，教師首先通過(guò)復習舊知，提出解決問(wèn)題的辦法，把新舊知識有機結合起來(lái)，明確了本課中心內容，然后讓學(xué)生親手操作割拼成幾種已學(xué)過(guò)的圖形，引導學(xué)生觀(guān)察、思考、比較、推導，其間不囿于課本中的推導方法，讓學(xué)生思維得以發(fā)散，從而強化了轉化思想，多渠道地推得圓面積計算公式。學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中，始終處于積極主動(dòng)的狀態(tài)，這種學(xué)習是有意義的學(xué)習，不僅使他們“學(xué)會(huì )”，而且使他們“會(huì )學(xué)”，且有助于發(fā)展學(xué)生的智能�！�

　　〔第三種教法〕

　�。�、引入新課。

　　教師開(kāi)導：圓在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐及科學(xué)實(shí)驗中，有著(zhù)廣泛的應用。上節課我們學(xué)習了圓的周長(cháng)計算，但仍不夠，還要學(xué)會(huì )計算圓的面積。如計算一個(gè)雷達圓形屏幕的面積，一個(gè)圓形花圃的面積等。怎樣才能算出它的面積呢？（揭示、板書(shū)課題）。

　�。�、創(chuàng )設情境。

　　教師用幾張相等的圓紙片，運用折紙、剪紙的方法，分別折剪成正四邊形、正八邊形、正十六邊形，然后再分別與原來(lái)的圖紙片疊在一起，見(jiàn)下圖：

　�。ǜ綀D{圖}）

　　折四等份剪成折八等份剪成折十六等份剪成

　　正四邊形正八邊形正十六邊形

　　引導學(xué)生觀(guān)察、對比三個(gè)內接正多邊形與圓的面積差（陰影部分）誰(shuí)大誰(shuí)小，并啟發(fā)學(xué)生歸結出：折成的等份數越多，剪成的正多邊形邊數越多，它就越接近圓。其中正多邊形的每等份（三角形）就越接近圓的每等份。

　�。�、推導公式。

　　師：同學(xué)們現在要計算圓的面積，選用哪種正多邊形為好？為什么？

　　生［，１］：選正十六邊形為好，因為它較接近圓。

　　生［，２］：選邊數越多的正多邊形更好，因為它更接近圓。

　　師：回答得很好，根據現有的右圖，怎樣計算圓的面積呢？請大家思考以下問(wèn)題：

　�。ǎ保﹫A的面積相當于多少個(gè)三角形面積之和？

　�。ǎ玻┻@些三角形的底邊之和相當于圓的什么？

　�。ǎ常┟總�(gè)三角形的高相當于圓的什么？

　　學(xué)生邊回答，教師邊板書(shū)：

　　正十六邊形的面積＝Ｓ［，三角形］×１６

　　↓

　�。降走叀粮摺拢病粒保�

　�。降走叀粒保丁粮摺拢�

　　↓↓

　　圓的面積＝２πｒ×ｒ÷２

　�。溅校颍郏玻�

　　最后讓學(xué)生自學(xué)課本中的推導方法，質(zhì)疑解難。進(jìn)而教師小結：推導圓的面積公式與以前推導有關(guān)圖形面積公式一樣，把圓轉化為已學(xué)過(guò)的圖形進(jìn)行計算，同學(xué)們課后如有興趣，還可將圓割拼為平行四邊形、梯形，看是否仍能推出Ｓ［，圓］＝πｒ［２］。

　　〔評：這種教法具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

　�。�、導入新課開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，使學(xué)生感到學(xué)習圓的面積是實(shí)際中的需要，從而激發(fā)了學(xué)生的求知欲望。

　�。�、在推導圓面積公式前，教師創(chuàng )設情境，讓學(xué)生領(lǐng)悟隱含于直觀(guān)演示中的初步“極限”思想，有助于發(fā)展學(xué)生空間想象力和空間觀(guān)念，從而為推導公式作好鋪墊。這是前兩種教法所不及的。

　�。�、運用“整體－部分－整體”，分割求和的方法推導圓面積公式，新穎獨特，學(xué)生易于接受，又以課本中的方法及其他方法作驗證，使學(xué)生加深理解，記憶牢固。

　�。�、小結中能促使新知與原有認知結構中有關(guān)觀(guān)念建立起聯(lián)系，學(xué)生的學(xué)習是“有意義”的學(xué)習。

　　總評：教學(xué)圓面積公式的推導，要充分運用直觀(guān)手段，引發(fā)學(xué)生積極思考，不僅使學(xué)生知其然，還要知其所以然，要把教材本身的內在聯(lián)系揭示出來(lái)，促使學(xué)生運用已學(xué)知識主動(dòng)地去獲取新知；既使學(xué)生“學(xué)會(huì )”，又使學(xué)生“會(huì )學(xué)”，讓他們在學(xué)習中同時(shí)學(xué)到科學(xué)的方法，提高學(xué)習能力，這樣才能取得較好的教學(xué)效果。由此可見(jiàn)，后兩種教法是可取的，且教法三更佳。

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