高中數學(xué)教案15篇
作為一位無(wú)私奉獻的人民教師，有必要進(jìn)行細致的教案準備工作，教案是備課向課堂教學(xué)轉化的關(guān)節點(diǎn)。如何把教案做到重點(diǎn)突出呢？以下是小編收集整理的高中數學(xué)教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
高中數學(xué)教案1
教學(xué)目標
�。�1）正確理解排列的意義。能利用樹(shù)形圖寫(xiě)出簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列；
�。�2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列；
�。�3）掌握排列數公式，并能根據具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列數；
�。�4）會(huì )分析與數字有關(guān)的排列問(wèn)題，培養學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；
�。�5）通過(guò)對排列應用問(wèn)題的學(xué)習，讓學(xué)生通過(guò)對具體事例的觀(guān)察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學(xué)生嚴謹的學(xué)習態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識結構
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本小節的重點(diǎn)是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數的應用問(wèn)題。難點(diǎn)是導出排列數的公式和解有關(guān)排列的應用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問(wèn)題當中。
從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列。因此，兩個(gè)相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同。排列數是指從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數。排列與排列數是兩個(gè)概念，前者是具有m個(gè)元素的排列，后者是這種排列的不同種數。從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的有序集，相當于一個(gè)排列，而這種有序集的個(gè)數，就是相應的排列數。
公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來(lái)講解。要重點(diǎn)分析好的推導。
排列的應用題是本節教材的難點(diǎn)，通過(guò)本節例題的分析，應注意培養學(xué)生解決應用問(wèn)題的能力。
在分析應用題的解法時(shí)，教材上先畫(huà)出框圖，然后分析逐次填入時(shí)的種數，這樣解釋比較直觀(guān)，教學(xué)上要充分利用，要求學(xué)生作題時(shí)也應盡量采用。
在教學(xué)排列應用題時(shí)，開(kāi)始應要求學(xué)生寫(xiě)解法要有簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明，防止單純的只寫(xiě)一個(gè)排列數，這樣可以培養學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求。
三、教法建議
�、僭谥v解排列數的概念時(shí)，要注意區分“排列數”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念。一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中，任取出m個(gè)元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個(gè)數，而是具體的一件事；排列數是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數”，它是一個(gè)數。例如，從3個(gè)元素a，b，c中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一種都叫一個(gè)排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數。
�、谂帕械亩x中包含兩個(gè)基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。
從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。
在定義中“一定順序”就是說(shuō)與位置有關(guān)，在實(shí)際問(wèn)題中，要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件來(lái)決定，這一點(diǎn)要特別注意，這也是與后面學(xué)習的.組合的根本區別。
在排列的定義中，如果有的書(shū)上叫選排列，如果，此時(shí)叫全排列。
要特別注意，不加特殊說(shuō)明，本章不研究重復排列問(wèn)題。
�、坳P(guān)于排列數公式的推導的教學(xué)。公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來(lái)講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導，，…，再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學(xué)生是不難理解的。
導出公式后要分析這個(gè)公式的構成特點(diǎn)，以便幫助學(xué)生正確地記憶公式，防止學(xué)生在“n”、“m”比較復雜的時(shí)候把公式寫(xiě)錯。這個(gè)公式的特點(diǎn)可見(jiàn)課本第229頁(yè)的一段話(huà)：“其中，公式右邊第一個(gè)因數是n，后面每個(gè)因數都比它前面一個(gè)因數少1，最后一個(gè)因數是，共m個(gè)因數相乘�！边@實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn)：第一個(gè)因數是什么？最后一個(gè)因數是什么？一共有多少個(gè)連續的自然數相乘。
公式是在引出全排列數公式后，將排列數公式變形后得到的公式。對這個(gè)公式指出兩點(diǎn)：
(1)在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個(gè)公式，而要對含有字母的排列數的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個(gè)公式，教材中第230頁(yè)例2就是用這個(gè)公式證明的問(wèn)題；
(2)為使這個(gè)公式在時(shí)也能成立，規定，如同時(shí)一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋。
�、芙ㄗh應充分利用樹(shù)形圖對問(wèn)題進(jìn)行分析，這樣比較直觀(guān)，便于理解。
�、輰W(xué)生在開(kāi)始做排列應用題的作業(yè)時(shí)，應要求他們寫(xiě)出解法的簡(jiǎn)要說(shuō)明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí)。隨著(zhù)學(xué)生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。
高中數學(xué)教案2
一、教材分析
1、教材地位和作用：二面角是我們日常生活中經(jīng)常見(jiàn)到的、很普通的一個(gè)空間圖形�！岸娼恰笔侨私贪妗稊祵W(xué)》第二冊（下B）中9.7的內容。它是在學(xué)生學(xué)過(guò)兩條異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)和平面所成角、又要重點(diǎn)研究的一種空間的角，它是為了研究?jì)蓚�(gè)平面的垂直而提出的一個(gè)概念，也是學(xué)生進(jìn)一步研究多面體的基礎。因此，它起著(zhù)承上啟下的作用。通過(guò)本節課的學(xué)習還對學(xué)生系統地掌握直線(xiàn)和平面的知識乃至于創(chuàng )新能力的培養都具有十分重要的意義。
2、教學(xué)目標:
知識目標：（1）正確理解二面角及其平面角的概念，并能初步運用它們解決實(shí)際問(wèn)題。
�。�2）進(jìn)一步培養學(xué)生把空間問(wèn)題轉化為平面問(wèn)題的化歸思想。
能力目標：(1)突出對類(lèi)比、直覺(jué)、發(fā)散等探索性思維的培養，從而提高學(xué)生的創(chuàng )新能力。（2）通過(guò)對圖形的觀(guān)察、分析、比較和操作來(lái)強化學(xué)生的動(dòng)手操作能力。
德育目標：(1)使學(xué)生認識到數學(xué)知識來(lái)自實(shí)踐，并服務(wù)于實(shí)踐，增強學(xué)生應用數學(xué)的意識(2)通過(guò)揭示線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的內在聯(lián)系，進(jìn)一步培養學(xué)生聯(lián)系的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。
情感目標：在平等的教學(xué)氛圍中，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價(jià)，拉近學(xué)生之間、師生之間的情感距離。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：“二面角”和“二面角的平面角”的概念
難點(diǎn)：“二面角的平面角”概念的形成過(guò)程
二、教法分析
1、教學(xué)方法：在引入課題時(shí)，我采用多媒體、實(shí)物演示法，在新課探究中采用問(wèn)題啟導、活動(dòng)探究和類(lèi)比發(fā)現法，在形成技能時(shí)以訓練法、探究研討法為主。
�。�、教學(xué)控制與調節的措施：本節課由于充分運用了多媒體和實(shí)物教具，預計學(xué)生對二面角及二面角平面角的概念能夠理解，根據學(xué)生及教學(xué)的實(shí)際情況，估計二面角的具體求法一節課內完成有一定的困難，所以將其放在下節課。
3、教學(xué)手段：教學(xué)手段的現代化有利于提高課堂效益，有利于創(chuàng )新人才的培養，根據本節課的教學(xué)需要，確定利用多媒體課件來(lái)輔助教學(xué)；此外，為加強直觀(guān)教學(xué)，還要預先做好一些二面角的模型。
三、學(xué)法指導
1、樂(lè )學(xué)：在整個(gè)學(xué)習過(guò)程中學(xué)生要保持強烈的好奇心和求知欲，不斷強化自己的創(chuàng )新意識，全身心地投入到學(xué)習中去，成為學(xué)習的主人。
2、學(xué)會(huì )：在掌握基礎知識的同時(shí)，學(xué)生要注意領(lǐng)會(huì )化歸、類(lèi)比聯(lián)想等數學(xué)思想方法的運用，學(xué)會(huì )建立完善的認知結構。
3、會(huì )學(xué)：通過(guò)自己親身參與，學(xué)生要領(lǐng)會(huì )復習類(lèi)比和深入研究這兩種知識創(chuàng )新的方法，從而既學(xué)到知識，又學(xué)會(huì )創(chuàng )新，既能解決問(wèn)題，更能發(fā)現問(wèn)題。
四、教學(xué)過(guò)程
心理學(xué)研究表明，當學(xué)生明確數學(xué)概念的學(xué)習目的和意義時(shí)，就會(huì )對概念的學(xué)習產(chǎn)生濃厚的興趣。創(chuàng )設問(wèn)題情境，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng )新意識，營(yíng)造了創(chuàng )新思維的氛圍。
�。ㄒ唬�、二面角
1、揭示概念產(chǎn)生背景。
問(wèn)題情境1、在平面幾何中“角”是怎樣定義的？
問(wèn)題情境2、在立體幾何中我們還學(xué)習了哪些角？
問(wèn)題情境3、運用多媒體和身邊的實(shí)例，展示我們遇到的另一種空間的角——二面角（板書(shū)課題）。
通過(guò)這三個(gè)問(wèn)題，打開(kāi)了學(xué)生的原有認知結構，為知識的創(chuàng )新做好了準備；同時(shí)也讓學(xué)生領(lǐng)會(huì )到，二面角這一概念的產(chǎn)生是因為它與我們的生活密不可分，激發(fā)學(xué)生的求知欲。2、展現概念形成過(guò)程。
問(wèn)題情境4、那么，應該如何定義二面角呢？
創(chuàng )設這個(gè)問(wèn)題情境，為學(xué)生創(chuàng )新思維的展開(kāi)提供了空間。引導學(xué)生回憶平面幾何中“角”這一概念的引入過(guò)程。教師應注意多讓學(xué)生說(shuō)，對于學(xué)生的創(chuàng )新意識和創(chuàng )新結果，教師要給與積極的評價(jià)。
問(wèn)題情境5、同學(xué)們能舉出一些二面角的實(shí)例嗎？通過(guò)實(shí)際運用，可以促使學(xué)生更加深刻地理解概念。
�。ǘ�、二面角的平面角
1、揭示概念產(chǎn)生背景。平面幾何中可以把角理解為是一個(gè)旋轉量，同樣一個(gè)二面角也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉而成的，也是一個(gè)旋轉量。說(shuō)明二面角不僅有大小，而且其大小是唯一確定的。平面
與平面的位置關(guān)系，總的說(shuō)來(lái)只有相交或平行兩種情況，為了對相交平面的相互位置作進(jìn)一步的探討，我們有必要來(lái)研究二面角的度量問(wèn)題。
問(wèn)題情境6、二面角的大小應該怎么度量？能否轉化為平面角來(lái)處理？這樣就從度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念產(chǎn)生的背景。
2、展現概念形成過(guò)程
�。�1）、類(lèi)比。教師啟發(fā)，尋找類(lèi)比聯(lián)想的對象。
問(wèn)題情境7、我們以前碰到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題嗎？引導學(xué)生回憶前面所學(xué)過(guò)的兩種空間角的定義，電腦演示以提高效率。
問(wèn)題情境8、兩定義的共同點(diǎn)是什么？生：空間角總是轉化為平面的角，并且這個(gè)角是唯一確定的。
問(wèn)題情境9、這個(gè)平面的角的頂點(diǎn)及兩邊是如何確定的？
�。�2）、提出猜想：二面角的大小也可通過(guò)平面的角來(lái)定義。對學(xué)生提出的猜想，教師應該給予充分的肯定，以培養他們大膽猜想的意識和習慣，這對強化他們的創(chuàng )新意識大有幫助。
問(wèn)題情境10、那么，這個(gè)角的頂點(diǎn)及兩邊應如何確定呢？生：頂點(diǎn)放在棱上，兩邊分別放在兩個(gè)面內。這也是學(xué)生直覺(jué)思維的結果。
�。�3）、探索實(shí)驗。通過(guò)實(shí)驗，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習興趣，培養了學(xué)生的動(dòng)手操作能力。
�。�4）、繼續探索，得到定義。
問(wèn)題情境11、那么，怎樣使這個(gè)角的.大小唯一確定呢？師生共同探討后發(fā)現，角的頂點(diǎn)確定后，要使此角的大小唯一確定，只須使它的兩條邊在平面內唯一確定，聯(lián)想到平面內過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)的垂線(xiàn)的唯一性，由此發(fā)現二面角的大小的一種描述方法。
�。�5）、自我驗證：要求學(xué)生閱讀課本上的定義。并說(shuō)明定義的合理性，教師作適當的引導，并加以理論證明。
�。ㄈ�、二面角及其平面角的畫(huà)法
主要分為直立式和平臥式兩種，用電腦《幾何畫(huà)板》作圖。
�。ㄋ模�、范例分析
為鞏固學(xué)生所學(xué)知識，由于時(shí)間的關(guān)系設置了一道例題。來(lái)源于實(shí)際生活，不但培養了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，也讓學(xué)生領(lǐng)會(huì )到數學(xué)概念來(lái)自生活實(shí)際，并服務(wù)于生活實(shí)際，從而增強他們應用數學(xué)的意識。
例：一張邊長(cháng)為10厘米的正三角形紙片ABc，以它的高AD為折痕，折成一個(gè)1200二面角，求此時(shí)B、c兩點(diǎn)間的距離。
分析：涉及二面角的計算問(wèn)題，關(guān)鍵是找出（或作出）該二面角的平面角。引導學(xué)生充分利用已知圖形的性質(zhì)，最后發(fā)現可由定義找出該二面角的平面角�？勺寣W(xué)生先做，為調動(dòng)學(xué)生的積極性，并增加學(xué)生的參與感，活躍課堂的氣氛，教師可給學(xué)生板演的機會(huì )。教師講評時(shí)強調解題規范即必須證明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。
變式訓練：圖中共有幾個(gè)二面角？能求出它們的大小嗎？根據課堂實(shí)際情況，本題的變式訓練也可作為課后思考題。
題后反思：（1）解題過(guò)程中必須證明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。
�。�2）求二面角的平面角的方法是：先找（或作）——后證——再解（三角形）
�。ㄎ澹�、練習、小結與作業(yè)
練習：習題９．７的第３題
小結在復習完二面角及其平面角的概念后，要求學(xué)生對空間中三種角加以比較、歸納，以促成學(xué)生建立起空間中角這一概念系統。同時(shí)要求學(xué)生對本節課的學(xué)習方法進(jìn)行總結，領(lǐng)會(huì )復習類(lèi)比和深入研究這兩種知識創(chuàng )新的方法。
作業(yè)：習題９．７的第４題
思考題：見(jiàn)例題
五、板書(shū)設計（見(jiàn)課件）
以上是我對《二面角》授課的初步設想，不足之處，懇請大家批評指正，謝謝！
高中數學(xué)教案3
教學(xué)目標：
1．結合實(shí)際問(wèn)題情景，理解分層抽樣的必要性和重要性；
2．學(xué)會(huì )用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本；
3．并對簡(jiǎn)單隨機抽樣、系統抽樣及分層抽樣方法進(jìn)行比較，揭示其相互關(guān)系．
教學(xué)重點(diǎn)：
通過(guò)實(shí)例理解分層抽樣的方法．
教學(xué)難點(diǎn)：
分層抽樣的步驟．
教學(xué)過(guò)程：
一、問(wèn)題情境
1．復習簡(jiǎn)單隨機抽樣、系統抽樣的概念、特征以及適用范圍．
2．實(shí)例：某校高一、高二和高三年級分別有學(xué)生名，為了了解全校學(xué)生的視力情況，從中抽取容量為的樣本，怎樣抽取較為合理？
二、學(xué)生活動(dòng)
能否用簡(jiǎn)單隨機抽樣或系統抽樣進(jìn)行抽樣，為什么？
指出由于不同年級的學(xué)生視力狀況有一定的差異，用簡(jiǎn)單隨機抽樣或系統抽樣進(jìn)行抽樣不能準確反映客觀(guān)實(shí)際，在抽樣時(shí)不僅要使每個(gè)個(gè)體被抽到的機會(huì )相等，還要注意總體中個(gè)體的層次性．
由于樣本的容量與總體的個(gè)體數的比為100∶2500＝1∶25，
所以在各年級抽取的個(gè)體數依次是，，，即40，32，28．
三、建構數學(xué)
1．分層抽樣：當已知總體由差異明顯的'幾部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀(guān)地反映總體的情況，常將總體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫“層”．
說(shuō)明：①分層抽樣時(shí)，由于各部分抽取的個(gè)體數與這一部分個(gè)體數的比等于樣本容量與總體的個(gè)體數的比，每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是相等的；
�、谟捎诜謱映闃映浞掷昧宋覀兯莆盏男畔�，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時(shí)可以根據具體情況采取不同的抽樣方法，所以分層抽樣在實(shí)踐中有著(zhù)非常廣泛的應用．
2．三種抽樣方法對照表：
類(lèi)別
共同點(diǎn)
各自特點(diǎn)
相互聯(lián)系
適用范圍
簡(jiǎn)單隨機抽樣
抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是相同的
從總體中逐個(gè)抽取
總體中的個(gè)體數較少
系統抽樣
將總體均分成幾個(gè)部分，按事先確定的規則在各部分抽取
在第一部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機抽樣
總體中的個(gè)體數較多
分層抽樣
將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取
各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機抽樣或系統
總體由差異明顯的幾部分組成
3．分層抽樣的步驟：
�。�1）分層：將總體按某種特征分成若干部分．
�。�2）確定比例：計算各層的個(gè)體數與總體的個(gè)體數的比．
�。�3）確定各層應抽取的樣本容量．
�。�4）在每一層進(jìn)行抽樣（各層分別按簡(jiǎn)單隨機抽樣或系統抽樣的方法抽�。�，綜合每層抽樣，組成樣本．
四、數學(xué)運用
1．例題．
例1（1）分層抽樣中，在每一層進(jìn)行抽樣可用_________________．
�。�2）①教育局督學(xué)組到學(xué)校檢查工作，臨時(shí)在每個(gè)班各抽調2人參加座談；
�、谀嘲嗥谥锌荚囉�15人在85分以上，40人在60-84分，1人不及格．現欲從中抽出8人研討進(jìn)一步改進(jìn)教和學(xué)；
�、勰嘲嘣┚蹠�(huì )，要產(chǎn)生兩名“幸運者”．
對這三件事，合適的抽樣方法為（）
A．分層抽樣，分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機抽樣
B．系統抽樣，系統抽樣,簡(jiǎn)單隨機抽樣
C．分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機抽樣，簡(jiǎn)單隨機抽樣
D．系統抽樣，分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機抽樣
例2某電視臺在因特網(wǎng)上就觀(guān)眾對某一節目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調查，參加調查的總人數為12000人，其中持各種態(tài)度的人數如表中所示：
很喜愛(ài)
喜愛(ài)
一般
不喜愛(ài)
2435
4567
3926
1072
電視臺為進(jìn)一步了解觀(guān)眾的具體想法和意見(jiàn)，打算從中抽取60人進(jìn)行更為詳細的調查，應怎樣進(jìn)行抽樣？
解：抽取人數與總的比是60∶12000＝1∶200，
則各層抽取的人數依次是12.175，22.835，19.63，5.36，
取近似值得各層人數分別是12，23，20，5．
然后在各層用簡(jiǎn)單隨機抽樣方法抽�。�
答用分層抽樣的方法抽取，抽取“很喜愛(ài)”、“喜愛(ài)”、“一般”、“不喜愛(ài)”的人
數分別為12，23，20，5．
說(shuō)明：各層的抽取數之和應等于樣本容量，對于不能取整數的情況，取其近似值．
�。�3）某學(xué)校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的某意見(jiàn)，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本．
分析：（1）總體容量較小，用抽簽法或隨機數表法都很方便．
�。�2）總體容量較大，用抽簽法或隨機數表法都比較麻煩，由于人員沒(méi)有明顯差異，且剛好32排，每排人數相同，可用系統抽樣．
�。�3）由于學(xué)校各類(lèi)人員對這一問(wèn)題的看法可能差異較大，所以應采用分層抽樣方法．
五、要點(diǎn)歸納與方法小結
本節課學(xué)習了以下內容：
1．分層抽樣的概念與特征；
2．三種抽樣方法相互之間的區別與聯(lián)系．
高中數學(xué)教案4
教材分析：
三角函數的誘導公式是普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)(人教B版)數學(xué)必修四，第一章第二節內容，其主要內容是公式(一)至公式(四)。本節課是第二課時(shí)，教學(xué)內容是公式(三)。教材要求通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數定義和公式(一)(二)的基礎上，發(fā)現他們與單位圓的交點(diǎn)坐標之間關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現三角函數值的關(guān)系。同時(shí)教材滲透了轉化與化歸等數學(xué)思想方法。
教案背景：
通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數定義和公式(一)(二)的基礎上，發(fā)現他們與單位圓的交點(diǎn)坐標之間關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現三角函數值的關(guān)系。同時(shí)教材滲透了轉化與化歸等數學(xué)思想方法，為培養學(xué)生養成良好的學(xué)習習慣提出了要求。因此本節內容在三角函數中占有非常重要的地位.
教學(xué)方法：
以學(xué)生為主題，以發(fā)現為主線(xiàn)，盡力滲透類(lèi)比、化歸、數形結合等數學(xué)思想方法，采用提出問(wèn)題、啟發(fā)引導、共同探究、綜合應用等教學(xué)模式。
教學(xué)目標：
借助單位圓探究誘導公式。
能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角三角函數。
教學(xué)重點(diǎn)：
誘導公式(三)的推導及應用。
教學(xué)難點(diǎn)：
誘導公式的應用。
教學(xué)手段：
多媒體。
教學(xué)情景設計：
一.復習回顧：
1. 誘導公式(一)(二)。
2. 角 (終邊在一條直線(xiàn)上)
3. 思考：下列一組角有什么特征?( )能否用式子來(lái)表示?
二.新課：
已知 由
可知
而 (課件演示，學(xué)生發(fā)現)
所以
于是可得： (三)
設計意圖：結合幾何畫(huà)板的演示利用同一點(diǎn)的坐標變換，導出公式。
由公式(一)(三)可以看出，角 角 相等。即：
.
公式(一)(二)(三)都叫誘導公式。利用誘導公式可以求三角函數式的值或化簡(jiǎn)三角函數式。
設計意圖：結合學(xué)過(guò)的公式(一)(二)，發(fā)現特點(diǎn)，總結公式。
1. 練習
(1)
設計意圖：利用公式解決問(wèn)題，發(fā)現新問(wèn)題，小組研究討論，得到新公式。
(學(xué)生板演，老師點(diǎn)評，用彩色粉筆強調重點(diǎn)，引導學(xué)生總結公式。)
三.例題
例3：求下列各三角函數值：
(1)
(2)
(3)
(4)
例4：化簡(jiǎn)
設計意圖：利用公式解決問(wèn)題。
練習：
(1)
(2) (學(xué)生板演，師生點(diǎn)評)
設計意圖：觀(guān)察公式特點(diǎn)，選擇公式解決問(wèn)題。
四.課堂小結：將任意角三角函數轉化為銳角三角函數，體現轉化化歸，數形結合思想的應用，培養了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，熟練應用解決問(wèn)題。
五.課后作業(yè)：課后練習A、B組
六.課后反思與交流
很榮幸大家來(lái)聽(tīng)我的課，通過(guò)這課，我學(xué)習到如下的東西：
1.要認真的研讀新課標，對教學(xué)的目標，重難點(diǎn)把握要到位
2.注意板書(shū)設計，注重細節的東西，語(yǔ)速需要改正
3.進(jìn)一步的學(xué)習網(wǎng)頁(yè)制作，讓你的網(wǎng)頁(yè)更加的完善，學(xué)生更容易操作
4.盡可能讓你的學(xué)生自主提出問(wèn)題，自主的思考，能夠化被動(dòng)學(xué)習為主動(dòng)學(xué)習，充分享受學(xué)習數學(xué)的樂(lè )趣
5.上課的生動(dòng)化，形象化需要加強
聽(tīng)課者評價(jià)：
1.評議者：網(wǎng)絡(luò )輔助教學(xué)，起到了很好的效果;教態(tài)大方，作為新教師，開(kāi)設校際課，勇氣可嘉!建議：感覺(jué)到老師有點(diǎn)緊張，其實(shí)可以放開(kāi)點(diǎn)的，相信效果會(huì )更好的!重點(diǎn)不夠清晰，有引導數學(xué)時(shí)，最好值有個(gè)側重點(diǎn);網(wǎng)絡(luò )設計上，網(wǎng)頁(yè)上公開(kāi)的推導公式為上，留有更大的空間讓學(xué)生來(lái)思考。
2.評議者：網(wǎng)絡(luò )教學(xué)效果良好，給學(xué)生自主思考，學(xué)習的空間發(fā)揮，教學(xué)設計得好;建議：課堂講課聲音，語(yǔ)調可以更有節奏感一些，抑揚頓挫應注意課堂例題練習可以多兩題。
3.評議者：學(xué)科網(wǎng)絡(luò )平臺的使用;建議：應重視引導學(xué)生將一些唾手可得的有用結論總結出來(lái)，并形成自我的經(jīng)驗。
4.評議者：引導學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行探究。
建議：課件制作在線(xiàn)測評部分，建議不能重復選擇，應全部做完后，顯示結果，再重復測試;多提問(wèn)學(xué)生。
( 1)給學(xué)生思考的時(shí)間較長(cháng)，語(yǔ)調相對平緩，總結時(shí)，給學(xué)生一些激勵的語(yǔ)言更好
( 2)這樣子的教學(xué)可以提高上課效率，讓學(xué)生更多的時(shí)間思考
( 3)網(wǎng)絡(luò )平臺的使用，使得學(xué)生的.參與度明顯提高，存在問(wèn)題：1.公式對稱(chēng)性的誘導，點(diǎn)與點(diǎn)的對稱(chēng)的誘導，終邊的關(guān)系的誘導，要進(jìn)一步的修正;2.公式的概括要注意引導學(xué)生怎么用，學(xué)習這個(gè)誘導公式的作用
( 4)給學(xué)生答案，這個(gè)網(wǎng)頁(yè)要進(jìn)一步的修正，答案能否不要一點(diǎn)就出來(lái)
( 5)1.板書(shū)設計要進(jìn)一步的加強，2.語(yǔ)速相對是比較快的3.練習量比較少
( 6)讓學(xué)生多探究，課堂會(huì )更熱鬧
( 7)注意引入的過(guò)程要帶有目的，帶著(zhù)問(wèn)題來(lái)教學(xué)，學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題來(lái)學(xué)習
( 8)教學(xué)模式相對簡(jiǎn)單重復
( 9)思路較為清晰，規范化的推理
高中數學(xué)教案5
教學(xué)目標：
1．理解流程圖的選擇結構這種基本邏輯結構．
2．能識別和理解簡(jiǎn)單的框圖的功能．
3. 能運用三種基本邏輯結構設計流程圖以解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
教學(xué)方法：
1. 通過(guò)模仿、操作、探索，經(jīng)歷設計流程圖表達求解問(wèn)題的過(guò)程，加深對流程圖的感知．
2. 在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中，掌握基本的流程圖的畫(huà)法和流程圖的三種基本邏輯結構．
教學(xué)過(guò)程：
一、問(wèn)題情境
1．情境：
某鐵路客運部門(mén)規定甲、乙兩地之間旅客托運行李的費用為
其中（單位：）為行李的重量．
試給出計算費用（單位：元）的一個(gè)算法，并畫(huà)出流程圖．
二、學(xué)生活動(dòng)
學(xué)生討論，教師引導學(xué)生進(jìn)行表達．
解 算法為：
輸入行李的重量；
如果，那么，
否則；
輸出行李的'重量和運費．
上述算法可以用流程圖表示為：
教師邊講解邊畫(huà)出第10頁(yè)圖1-2-6．
在上述計費過(guò)程中，第二步進(jìn)行了判斷．
三、建構數學(xué)
1．選擇結構的概念：
先根據條件作出判斷，再決定執行哪一種
操作的結構稱(chēng)為選擇結構．
如圖：虛線(xiàn)框內是一個(gè)選擇結構，它包含一個(gè)判斷框，當條件成立（或稱(chēng)條件為“真”）時(shí)執行，否則執行．
2．說(shuō)明：（1）有些問(wèn)題需要按給定的條件進(jìn)行分析、比較和判斷，并按判
斷的不同情況進(jìn)行不同的操作，這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)現就要用到選擇結構的設計；
�。�2）選擇結構也稱(chēng)為分支結構或選取結構，它要先根據指定的條件進(jìn)行判斷，再由判斷的結果決定執行兩條分支路徑中的某一條；
�。�3）在上圖的選擇結構中，只能執行和之一，不可能既執行，又執
行，但或兩個(gè)框中可以有一個(gè)是空的，即不執行任何操作；
�。�4）流程圖圖框的形狀要規范，判斷框必須畫(huà)成菱形，它有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和
兩個(gè)退出點(diǎn)．
3．思考：教材第7頁(yè)圖所示的算法中，哪一步進(jìn)行了判斷？
高中數學(xué)教案6
1.課題
填寫(xiě)課題名稱(chēng)（高中代數類(lèi)課題）
2.教學(xué)目標
(1)知識與技能：
通過(guò)本節課的學(xué)習，掌握......知識，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力；
(2)過(guò)程與方法：
通過(guò)......（討論、發(fā)現、探究），提高......（分析、歸納、比較和概括）的能力；
(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：
通過(guò)本節課的學(xué)習，增強學(xué)生的學(xué)習興趣，將數學(xué)應用到實(shí)際生活中，增加學(xué)生數學(xué)學(xué)習的樂(lè )趣。
3.教學(xué)重難點(diǎn)
(1)教學(xué)重點(diǎn)：本節課的知識重點(diǎn)
(2)教學(xué)難點(diǎn)：易錯點(diǎn)、難以理解的知識點(diǎn)
4.教學(xué)方法（一般從中選擇3個(gè)就可以了）
(1)討論法
(2)情景教學(xué)法
(3)問(wèn)答法
(4)發(fā)現法
(5)講授法
5.教學(xué)過(guò)程
(1)導入
簡(jiǎn)單敘述導入課題的方式和方法（例：復習、類(lèi)比、情境導出本節課的課題）
(2)新授課程（一般分為三個(gè)小步驟）
�、俸�(jiǎn)單講解本節課基礎知識點(diǎn)（例：奇函數的定義）。
�、跉w納總結該課題中的重點(diǎn)知識內容，尤其對該注意的一些情況設置易錯點(diǎn)，進(jìn)行強調�？梢栽O計分組討論環(huán)節（分組判斷幾組函數圖像是否為奇函數，并歸納奇函數圖像的特點(diǎn)。設置定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的函數是否為奇函數的易錯點(diǎn)）。
�、弁卣寡由�，將所學(xué)知識拓展延伸到實(shí)際題目中，去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。
�。ㄔ谛率谡n里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過(guò)詳細。）
(3)課堂小結
教師提問(wèn)，學(xué)生回答本節課的收獲。
(4)作業(yè)提高
布置作業(yè)（盡量與實(shí)際生活相聯(lián)系，有所創(chuàng )新）。
6.教學(xué)板書(shū)
2.高中數學(xué)教案格式
一．課題（說(shuō)明本課名稱(chēng)）
二．教學(xué)目的（或稱(chēng)教學(xué)要求，或稱(chēng)教學(xué)目標，說(shuō)明本課所要完成的教學(xué)任務(wù)）
三．課型（說(shuō)明屬新授課，還是復習課）
四．課時(shí)（說(shuō)明屬第幾課時(shí)）
五．教學(xué)重點(diǎn)（說(shuō)明本課所必須解決的關(guān)鍵性問(wèn)題）
六．教學(xué)難點(diǎn)（說(shuō)明本課的學(xué)習時(shí)易產(chǎn)生困難和障礙的知識傳授與能力培養點(diǎn)）
七．教學(xué)方法要根據學(xué)生實(shí)際，注重引導自學(xué)，注重啟發(fā)思維
八．教學(xué)過(guò)程（或稱(chēng)課堂結構，說(shuō)明教學(xué)進(jìn)行的內容、方法步驟）
九．作業(yè)處理（說(shuō)明如何布置書(shū)面或口頭作業(yè)）
十．板書(shū)設計（說(shuō)明上課時(shí)準備寫(xiě)在黑板上的內容）
十一．教具（或稱(chēng)教具準備，說(shuō)明輔助教學(xué)手段使用的工具）
十二．教學(xué)反思：（教者對該堂課教后的感受及學(xué)生的收獲、改進(jìn)方法）
3.高中數學(xué)教案范文
【教學(xué)目標】
1.知識與技能
(1)理解等差數列的定義，會(huì )應用定義判斷一個(gè)數列是否是等差數列：
(2)賬務(wù)等差數列的通項公式及其推導過(guò)程：
(3)會(huì )應用等差數列通項公式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。
2.過(guò)程與方法
在定義的理解和通項公式的推導、應用過(guò)程中，培養學(xué)生的觀(guān)察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數與方程的思想。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
通過(guò)教師指導下學(xué)生的自主學(xué)習、相互交流和探索活動(dòng)，培養學(xué)生主動(dòng)探索、用于發(fā)現的求知精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，讓學(xué)生感受到成功的喜悅。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，使學(xué)生養成細心觀(guān)察、認真分析、善于總結的良好習慣。
【教學(xué)重點(diǎn)】
�、俚炔顢盗械母拍�;
�、诘炔顢盗械耐椆�
【教學(xué)難點(diǎn)】
�、倮斫獾炔顢盗小暗炔睢钡奶攸c(diǎn)及通項公式的含義;
�、诘炔顢盗械耐椆降耐茖н^(guò)程.
【學(xué)情分析】
我所教學(xué)的學(xué)生是我校高一(7)班的學(xué)生(平行班學(xué)生)，經(jīng)過(guò)一年的高中數學(xué)學(xué)習，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學(xué)生的基礎較弱，學(xué)習數學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類(lèi)學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。
【設計思路】
1、教法
�、賳l(fā)引導法：這種方法有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動(dòng)建構;有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn);有利于調動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng )造性.
�、诜纸M討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現問(wèn)題，解決問(wèn)題，調動(dòng)學(xué)生的.積極性.
�、壑v練結合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn).
2、學(xué)法
引導學(xué)生首先從三個(gè)現實(shí)問(wèn)題(數數問(wèn)題、水庫水位問(wèn)題、儲蓄問(wèn)題)概括出數組特點(diǎn)并抽象出等差數列的概念;接著(zhù)就等差數列概念的特點(diǎn)，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學(xué)引導認識多元的推導思維方法.
【教學(xué)過(guò)程】
一、創(chuàng )設情境，引入新課
1、從0開(kāi)始，將5的倍數按從小到大的順序排列，得到的數列是什么?
2、水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚(yú)類(lèi)有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚(yú).如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開(kāi)始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位(單位：m)組成一個(gè)什么數列?
3、我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元錢(qián)，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和(單位：元)組成一個(gè)什么數列?
教師：以上三個(gè)問(wèn)題中的數蘊涵著(zhù)三列數.
學(xué)生：
�、�0，5，10，15，20，25，….
�、�18，15.5，13，10.5，8，5.5.
�、�10072，10144，10216，10288，10360.
(設置意圖：從實(shí)例引入,實(shí)質(zhì)是給出了等差數列的現實(shí)背景,目的是讓學(xué)生感受到等差數列是現實(shí)生活中大量存在的數學(xué)模型.通過(guò)分析,由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習探究知識的自主性，培養學(xué)生的歸納能力.
二、觀(guān)察歸納，形成定義
�、�0，5，10，15，20，25，….
�、�18，15.5，13，10.5，8，5.5.
�、�10072，10144，10216，10288，10360.
思考1上述數列有什么共同特點(diǎn)?
思考2根據上數列的共同特點(diǎn)，你能給出等差數列的一般定義嗎?
思考3你能將上述的文字語(yǔ)言轉換成數學(xué)符號語(yǔ)言嗎?
教師：引導學(xué)生思考這三列數具有的共同特征，然后讓學(xué)生抓住數列的特征，歸納得出等差數列概念.
學(xué)生：分組討論，可能會(huì )有不同的答案：前數和后數的差符合一定規律;這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定.
教師引導歸納出：等差數列的定義;另外，教師引導學(xué)生從數學(xué)符號角度理解等差數列的定義.
(設計意圖：通過(guò)對一定數量感性材料的觀(guān)察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性;使學(xué)生體會(huì )到等差數列的規律和共同特點(diǎn);一開(kāi)始抓�。骸皬牡诙椘�，每一項與它的前一項的差為同一常數”，落實(shí)對等差數列概念的準確表達.)
三、舉一反三，鞏固定義
1、判定下列數列是否為等差數列?若是，指出公差d.
(1)1,1,1,1,1;
(2)1,0,1,0,1;
(3)2,1,0,-1,-2;
(4)4,7,10,13,16.
教師出示題目,學(xué)生思考回答.教師訂正并強調求公差應注意的問(wèn)題.
注意：公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0.
(設計意圖：強化學(xué)生對等差數列“等差”特征的理解和應用).
2、思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1，該數列是等差數列嗎?為什么?
(設計意圖：強化等差數列的證明定義法)
四、利用定義，導出通項
1、已知等差數列：8，5，2，…，求第200項?
2、已知一個(gè)等差數列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢?
教師出示問(wèn)題，放手讓學(xué)生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據學(xué)生在課堂上的具體情況進(jìn)行具體評價(jià)、引導，總結推導方法，體會(huì )歸納思想以及累加求通項的方法;讓學(xué)生初步嘗試處理數列問(wèn)題的常用方法.
(設計意圖：引導學(xué)生觀(guān)察、歸納、猜想，培養學(xué)生合理的推理能力.學(xué)生在分組合作探究過(guò)程中，可能會(huì )找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點(diǎn)評，并及時(shí)肯定、贊揚學(xué)生善于動(dòng)腦、勇于創(chuàng )新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng )造意識.鼓勵學(xué)生自主解答，培養學(xué)生運算能力)
五、應用通項，解決問(wèn)題
1、判斷100是不是等差數列2，9，16，…的項?如果是，是第幾項?
2、在等差數列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.
3、求等差數列3,7,11，…的第4項和第10項
教師：給出問(wèn)題，讓學(xué)生自己操練，教師巡視學(xué)生答題情況.
學(xué)生：教師叫學(xué)生代表總結此類(lèi)題型的解題思路，教師補充：已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式
(設計意圖：主要是熟悉公式,使學(xué)生從中體會(huì )公式與方程之間的聯(lián)系.初步認識“基本量法”求解等差數列問(wèn)題.)
六、反饋練習：教材13頁(yè)練習1
七、歸納總結：
1、一個(gè)定義：
等差數列的定義及定義表達式
2、一個(gè)公式：
等差數列的通項公式
3、二個(gè)應用：
定義和通項公式的應用
教師：讓學(xué)生思考整理，找幾個(gè)代表發(fā)言，最后教師給出補充
(設計意圖：引導學(xué)生去聯(lián)想本節課所涉及到的各個(gè)方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學(xué)生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念.)
【設計反思】
本設計從生活中的數列模型導入，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性，增強學(xué)生學(xué)習數列的興趣.在探索的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)分析、觀(guān)察，歸納出等差數列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過(guò)程，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本節課教學(xué)采用啟發(fā)方法，以教師提出問(wèn)題、學(xué)生探討解決問(wèn)題為途徑，以相互補充展開(kāi)教學(xué)，總結科學(xué)合理的知識體系，形成師生之間的良性互動(dòng)，提高課堂教學(xué)效率.
高中數學(xué)教案7
教學(xué)目的：
�。�1）使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數集的概念及記法
�。�2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義
�。�3）使學(xué)生初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義
教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法
教學(xué)難點(diǎn)：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡(jiǎn)單的集合
授課類(lèi)型：新授課
課時(shí)安排：1課時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
內容分析：
集合是中學(xué)數學(xué)的一個(gè)重要的基本概念 在小學(xué)數學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進(jìn)一步應用集合的語(yǔ)言表述一些問(wèn)題 例如，在代數中用到的有數集、解集等；在幾何中用到的有點(diǎn)集 至于邏輯，可以說(shuō)，從開(kāi)始學(xué)習數學(xué)就離不開(kāi)對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學(xué)習、工作中，也是認識問(wèn)題、研究問(wèn)題不可缺少的工具 這些可以幫助學(xué)生認識學(xué)習本章的意義，也是本章學(xué)習的基礎把集合的初步知識與簡(jiǎn)易邏輯知識安排在高中數學(xué)的最開(kāi)始，是因為在高中數學(xué)中，這些知識與其他內容有著(zhù)密切聯(lián)系，它們是學(xué)習、掌握和使用數學(xué)語(yǔ)言的基礎 例如，下一章講函數的概念與性質(zhì)，就離不開(kāi)集合與邏輯。
本節首先從初中代數與幾何涉及的集合實(shí)例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實(shí)例對集合的概念作了說(shuō)明 然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫(huà)圖表示集合的例子。
這節課主要學(xué)習全章的引言和集合的基本概念 學(xué)習引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，使學(xué)生認識學(xué)習本章的意義 本節課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念集合是集合論中的原始的、不定義的概念 在開(kāi)始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過(guò)實(shí)例，對概念有一個(gè)初步認識 教科書(shū)給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集 ”這句話(huà)，只是對集合概念的描述性說(shuō)明。
教學(xué)過(guò)程：
一、復習引入：
1、簡(jiǎn)介數集的發(fā)展，復習最大公約數和最小公倍數，質(zhì)數與和數；
2、教材中的章頭引言；
3、集合論的創(chuàng )始人——康托爾（德國數學(xué)家）（見(jiàn)附錄）；
4．“物以類(lèi)聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）
二、講解新課：
閱讀教材第一部分，問(wèn)題如下：
�。�1）有那些概念？是如何定義的？
�。�2）有那些符號？是如何表示的？
�。�3）集合中元素的特性是什么？
�。ㄒ唬┘系挠嘘P(guān)概念：
由一些數、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的。我們說(shuō)，每一組對象的全體形成一個(gè)集合，或者說(shuō)，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集。集合中的每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素。
定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合．
1、集合的概念
�。�1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個(gè)集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）
�。�2）元素：集合中每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素
2、常用數集及記法
�。�1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的'集合 記作N，
�。�2）正整數集：非負整數集內排除0的集 記作N*或N+
�。�3）整數集：全體整數的集合 記作Z ，
�。�4）有理數集：全體有理數的集合 記作Q ，
�。�5）實(shí)數集：全體實(shí)數的集合 記作R
注：（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說(shuō)，自然數集包括數0
�。�2）非負整數集內排除0的集 記作N*或N+ Q、Z、R等其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z*
3、元素對于集合的隸屬關(guān)系
�。�1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A(yíng)，記作a∈A
�。�2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A(yíng)，記作
4、集合中元素的特性
�。�1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，或者不在，不能模棱兩可
�。�2）互異性：集合中的元素沒(méi)有重復
�。�3）無(wú)序性：集合中的元素沒(méi)有一定的順序（通常用正常的順序寫(xiě)出）
5、⑴集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
�、啤啊省钡拈_(kāi)口方向，不能把a∈A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě)
三、練習題：
1、教材P5練習1、2
2、下列各組對象能確定一個(gè)集合嗎？
�。�1）所有很大的實(shí)數 （不確定）
�。�2）好心的人 （不確定）
�。�3）1，2，2，3，4，5．（有重復）
3、設a，b是非零實(shí)數，那么 可能取的值組成集合的元素是_—2，0，2__
4、由實(shí)數x，－x，｜x｜， 所組成的集合，最多含（ A ）
�。ˋ）2個(gè)元素 （B）3個(gè)元素 （C）4個(gè)元素 （D）5個(gè)元素
5、設集合G中的元素是所有形如a＋b （a∈Z， b∈Z）的數，求證：
�。�1） 當x∈N時(shí)， x∈G；
�。�2） 若x∈G，y∈G，則x＋y∈G，而 不一定屬于集合G
證明（1）：在a＋b （a∈Z， b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，則x= x＋0* = a＋b ∈G，即x∈G
證明（2）：∵x∈G，y∈G，
∴x= a＋b （a∈Z， b∈Z），y= c＋d （c∈Z， d∈Z）
∴x+y=（ a＋b ）+（ c＋d ）=（a+c）+（b+d）
∵a∈Z， b∈Z，c∈Z， d∈Z
∴（a+c） ∈Z， （b+d） ∈Z
∴x+y =（a+c）+（b+d） ∈G，
又∵ ＝且 不一定都是整數，
∴ ＝ 不一定屬于集合G
四、小結：本節課學(xué)習了以下內容：
1、集合的有關(guān)概念：（集合、元素、屬于、不屬于）
2、集合元素的性質(zhì)：確定性，互異性，無(wú)序性
3、常用數集的定義及記法
高中數學(xué)教案8
教學(xué)目標：
1、理解并掌握曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)的概念；
2、理解并掌握曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率的定義以及切線(xiàn)方程的求法；
3、理解切線(xiàn)概念實(shí)際背景，培養學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和培養學(xué)生轉化
問(wèn)題的能力及數形結合思想。
教學(xué)重點(diǎn)：
理解并掌握曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率的定義以及切線(xiàn)方程的求法。
教學(xué)難點(diǎn)：
用“無(wú)限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率。
教學(xué)過(guò)程：
一、問(wèn)題情境
1、問(wèn)題情境。
如何精確地刻畫(huà)曲線(xiàn)上某一點(diǎn)處的變化趨勢呢？
如果將點(diǎn)P附近的曲線(xiàn)放大，那么就會(huì )發(fā)現，曲線(xiàn)在點(diǎn)P附近看上去有點(diǎn)像是直線(xiàn)。
如果將點(diǎn)P附近的曲線(xiàn)再放大，那么就會(huì )發(fā)現，曲線(xiàn)在點(diǎn)P附近看上去幾乎成了直線(xiàn)。事實(shí)上，如果繼續放大，那么曲線(xiàn)在點(diǎn)P附近將逼近一條確定的`直線(xiàn)，該直線(xiàn)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的所有直線(xiàn)中最逼近曲線(xiàn)的一條直線(xiàn)。
因此，在點(diǎn)P附近我們可以用這條直線(xiàn)來(lái)代替曲線(xiàn)，也就是說(shuō)，點(diǎn)P附近，曲線(xiàn)可以看出直線(xiàn)（即在很小的范圍內以直代曲）。
2、探究活動(dòng)。
如圖所示，直線(xiàn)l1，l2為經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)P的兩條直線(xiàn)，
�。�1）試判斷哪一條直線(xiàn)在點(diǎn)P附近更加逼近曲線(xiàn)；
�。�2）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)l3嗎？
�。�3）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)嗎？
二、建構數學(xué)
切線(xiàn)定義： 如圖，設Q為曲線(xiàn)C上不同于P的一點(diǎn)，直線(xiàn)PQ稱(chēng)為曲線(xiàn)的割線(xiàn)。 隨著(zhù)點(diǎn)Q沿曲線(xiàn)C向點(diǎn)P運動(dòng)，割線(xiàn)PQ在點(diǎn)P附近逼近曲線(xiàn)C，當點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線(xiàn)PQ最終就成為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P處最逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)l，這條直線(xiàn)l也稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)。這種方法叫割線(xiàn)逼近切線(xiàn)。
思考：如上圖，P為已知曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程？
三、數學(xué)運用
例1 試求在點(diǎn)（2，4）處的切線(xiàn)斜率。
解法一 分析：設P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），
則割線(xiàn)PQ的斜率為：
當Q沿曲線(xiàn)逼近點(diǎn)P時(shí)，割線(xiàn)PQ逼近點(diǎn)P處的切線(xiàn)，從而割線(xiàn)斜率逼近切線(xiàn)斜率；
當Q點(diǎn)橫坐標無(wú)限趨近于P點(diǎn)橫坐標時(shí)，即xQ無(wú)限趨近于2時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數4。
從而曲線(xiàn)f（x）＝x2在點(diǎn)（2，4）處的切線(xiàn)斜率為4。
解法二 設P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線(xiàn)PQ的斜率為：
當？x無(wú)限趨近于0時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數4，從而曲線(xiàn)f（x）＝x2，在點(diǎn)（2，4）處的切線(xiàn)斜率為4。
練習 試求在x＝1處的切線(xiàn)斜率。
解：設P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線(xiàn)PQ的斜率為：
當？x無(wú)限趨近于0時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數2，從而曲線(xiàn)f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線(xiàn)斜率為2。
小結 求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率的一般步驟：
�。�1）找到定點(diǎn)P的坐標，設出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標；
�。�2）求出割線(xiàn)PQ的斜率；
�。�3）當時(shí)，割線(xiàn)逼近切線(xiàn)，那么割線(xiàn)斜率逼近切線(xiàn)斜率。
思考 如上圖，P為已知曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程？
解 設
所以，當無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。
變式訓練
1。已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程；
2。已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程；
3。已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程。
課堂練習
已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程。
四、回顧小結
1、曲線(xiàn)上一點(diǎn)P處的切線(xiàn)是過(guò)點(diǎn)P的所有直線(xiàn)中最接近P點(diǎn)附近曲線(xiàn)的直線(xiàn)，則P點(diǎn)處的變化趨勢可以由該點(diǎn)處的切線(xiàn)反映（局部以直代曲）。
2、根據定義，利用割線(xiàn)逼近切線(xiàn)的方法， 可以求出曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率和方程。
五、課外作業(yè)
高中數學(xué)教案9
教學(xué)目標：1．進(jìn)一步理解線(xiàn)性規劃的概念；會(huì )解簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃問(wèn)題；
2．在運用建模和數形結合等數學(xué)思想方法分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中；提高解決問(wèn)題的能力；
3．進(jìn)一步提高學(xué)生的合作意識和探究意識。
教學(xué)重點(diǎn)：線(xiàn)性規劃的概念及其解法
教學(xué)難點(diǎn)：
代數問(wèn)題幾何化的過(guò)程
教學(xué)方法：啟發(fā)探究式
教學(xué)手段：運用多媒體技術(shù)
教學(xué)過(guò)程：1．實(shí)際問(wèn)題引入。
問(wèn)題一：小王和小李合租了一輛小轎車(chē)外出旅游.小王駕車(chē)平均速度為每小時(shí)70公里，平均耗油量為每小時(shí)6公升；小李駕車(chē)平均速度為每小時(shí)50公里，平均耗油量為每小時(shí)4公升.現知道油箱內油量為60公升，兩人駕車(chē)時(shí)間累計不能超過(guò)12小時(shí).問(wèn)小王和小李分別駕車(chē)多少時(shí)間時(shí)，行駛路程最遠？
2．探究和討論下列問(wèn)題。
(1)實(shí)際問(wèn)題轉化為一個(gè)怎樣的數學(xué)問(wèn)題？
(2)滿(mǎn)足不等式組①的條件的點(diǎn)構成的區域如何表示？
(3)關(guān)于x、y的一個(gè)表達式z＝70x＋50y的幾何意義是什么？
(4)z的幾何意義是什么？
(5)z的最大值如何確定？
讓學(xué)生達成以下共識：小王駕車(chē)時(shí)間x和小李駕車(chē)時(shí)間y受到時(shí)間(12小時(shí))和油量(60公升)的限制，即
x＋y≤12
6x＋4y≤60 ①
x≥0
y≥0
行駛路程可以表示成關(guān)于x、y的一個(gè)表達式：z＝70x＋50y 由數形結合可知：經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6，6)的直線(xiàn)所對應的z最大.
則zmax＝6×70＋6×50＝720
結論：小王和小李分別駕車(chē)6小時(shí)時(shí)，行駛路程最遠為720公里.
解題反思：
問(wèn)題解決過(guò)程中體現了那些重要的數學(xué)思想？
3．線(xiàn)性規劃的有關(guān)概念。
什么是“線(xiàn)性規劃問(wèn)題”？涉及約束條件、線(xiàn)性約束條件、目標函數、線(xiàn)性目標函數、可行解、可行域和最優(yōu)解等概念.
4．進(jìn)一步探究線(xiàn)性規劃問(wèn)題的解。
問(wèn)題二：若小王和小李駕車(chē)平均速度為每小時(shí)60公里和40公里，其它條件不變，問(wèn)小王和小李分別駕車(chē)多少時(shí)間時(shí)，行駛路程最遠？
要求：請你寫(xiě)出約束條件、目標函數，作出可行域，求出最優(yōu)解。
問(wèn)題三：如果把不等式組①中的兩個(gè)“≤”改為“≥”，是否存在最優(yōu)解？
5．小結。
(1)數學(xué)知識；(2)數學(xué)思想。
6．作業(yè)。
(1)閱讀教材：P.60-63；
(2)課后練習：教材P.65-2，3；
(3)在自己生活中尋找一個(gè)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃問(wèn)題，寫(xiě)出約束條件，確定目標函數，作出可行域，并求出最優(yōu)解。
《一個(gè)數列的研究》教學(xué)設計
教學(xué)目標：
1．進(jìn)一步理解和掌握數列的有關(guān)概念和性質(zhì)；
2．在對一個(gè)數列的探究過(guò)程中，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
3．進(jìn)一步提高問(wèn)題探究意識、知識應用意識和同伴合作意識。
教學(xué)重點(diǎn)：
問(wèn)題的提出與解決
教學(xué)難點(diǎn)：
如何進(jìn)行問(wèn)題的探究
教學(xué)方法：
啟發(fā)探究式
教學(xué)過(guò)程：
問(wèn)題：已知{an}是首項為1，公比為 的無(wú)窮等比數列。對于數列{an}，提出你的問(wèn)題，并進(jìn)行研究，你能得到一些什么樣的結論？
研究方向提示：
1．數列{an}是一個(gè)等比數列，可以從等比數列角度來(lái)進(jìn)行研究；
2．研究所給數列的項之間的關(guān)系；
3．研究所給數列的子數列；
4．研究所給數列能構造的新數列；
5．數列是一種特殊的函數，可以從函數性質(zhì)角度來(lái)進(jìn)行研究；
6．研究所給數列與其它知識的聯(lián)系（組合數、復數、圖形、實(shí)際意義等）。
針對學(xué)生的研究情況，對所提問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，選擇部分類(lèi)型問(wèn)題共同進(jìn)行研究、分析與解決。
課堂小結：
1．研究一個(gè)數列可以從哪些方面提出問(wèn)題并進(jìn)行研究？
2．你最喜歡哪位同學(xué)的研究？為什么？
課后思考題： 1．將{an}推廣為一般的無(wú)窮等比數列：1，q，q2，…，qn－1，… ，上述一些研究結論會(huì )有什么變化？
2．若將{an}改為等差數列：1，1＋d，2＋d，…，1＋(n－1)d，… ，是否可以進(jìn)行類(lèi)比研究？
開(kāi)展研究性學(xué)習，培養問(wèn)題解決能力
一、對“研究性學(xué)習”和“問(wèn)題解決”的認識 研究性學(xué)習是一種與接受性學(xué)習相對應的.學(xué)習方式，泛指學(xué)生主動(dòng)探究問(wèn)題的學(xué)習。研究性學(xué)習也可以說(shuō)是一種學(xué)習活動(dòng)：學(xué)生在教師指導下，在自己的學(xué)習生活和社會(huì )生活中選擇課題，以類(lèi)似科學(xué)研究的方式去主動(dòng)地獲取知識、應用知識、解決問(wèn)題。
“問(wèn)題解決”(problem solving)是美國數學(xué)教育界在二十世紀八十年代的主要口號，即認為應當以“問(wèn)題解決”作為學(xué)校數學(xué)教育的中心。
問(wèn)題解決能力是一種重要的數學(xué)能力，其核心是“創(chuàng )新精神”與“實(shí)踐能力”。在數學(xué)教學(xué)活動(dòng)中開(kāi)展研究性學(xué)習是培養問(wèn)題解決能力的主要途徑。
二、“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式的建構與實(shí)踐 以研究性學(xué)習活動(dòng)為載體，以培養問(wèn)題解決能力為核心的課堂教學(xué)模式（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式）試圖通過(guò)問(wèn)題情境創(chuàng )設，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以獨立思考和交流討論的形式，發(fā)現、分析并解決問(wèn)題，培養處理信息、獲取新知、應用知識的能力，提高合作意識、探究意識和創(chuàng )新意識。
�。ㄒ唬╆P(guān)于“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式
通過(guò)實(shí)施“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式，希望能夠達到以下的功能目標：學(xué)習發(fā)現問(wèn)題的方法，開(kāi)掘創(chuàng )造性思維潛力，培養主動(dòng)參與、團結協(xié)作精神，增進(jìn)師生、同伴之間的情感交流，形成自覺(jué)運用數學(xué)基礎知識、基本技能和數學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和意識。
�。ǘ⿺祵W(xué)學(xué)科中的問(wèn)題解決能力的培養目標
數學(xué)問(wèn)題解決能力培養的目標可以有不同層次的要求：會(huì )審題，會(huì )建模，會(huì )轉化，會(huì )歸類(lèi)，會(huì )反思，會(huì )編題。
�。ㄈ皢�(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式的教學(xué)流程
�。ㄋ模皢�(wèn)題解決”課堂教學(xué)評價(jià)標準
1. 教學(xué)目標的確定；
2. 教學(xué)方法的選擇；
3. 問(wèn)題的選擇；
4. 師生主體意識的體現；
5.教學(xué)策略的運用。
�。ㄎ澹┝私鈱W(xué)生的數學(xué)問(wèn)題解決能力的途徑
�。╅_(kāi)展研究性學(xué)習活動(dòng)對教師的能力要求
高中數學(xué)教案10
猴子搬香蕉
一個(gè)小猴子邊上有100根香蕉，它要走過(guò)50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，（多了就被壓死了），它每走1米就要吃掉一根，請問(wèn)它最多能把多少根香蕉搬到家里？
解答：
100只香蕉分兩次，一次運50只，走1米，再回去搬另外50只，這樣走了1米的時(shí)候，前50只吃掉了兩只，后50只吃掉了1只，剩下48＋49只；兩米的時(shí)候剩下46＋48只；...到16米的時(shí)候剩下（50－2×16）＋（50－16）＝18＋34只；17米的時(shí)候剩下16＋33只，共49只；然后把剩下的這49只一次運回去，要走剩下的33米，每米吃一個(gè)，到家還有16個(gè)香蕉。
河岸的距離
兩艘輪船在同一時(shí)刻駛離河的兩岸，一艘從A駛往B，另一艘從B開(kāi)往A，其中一艘開(kāi)得比另一艘快些，因此它們在距離較近的岸500公里處相遇。到達預定地點(diǎn)后，每艘船要停留15分鐘，以便讓乘客上下船，然后它們又返航。這兩艘渡輪在距另一岸100公里處重新相遇。試問(wèn)河有多寬？
解答：
當兩艘渡輪在x點(diǎn)相遇時(shí)，它們距A岸500公里，此時(shí)它們走過(guò)的距離總和等于河的寬度。當它們雙方抵達對岸時(shí)，走過(guò)的總長(cháng)度
等于河寬的兩倍。在返航中，它們在z點(diǎn)相遇，這時(shí)兩船走過(guò)的距離之和等于河寬的三倍，所以每一艘渡輪現在所走的距離應該等于它們第一次相遇時(shí)所走的距離的三倍。在兩船第一次相遇時(shí)，有一艘渡輪走了500公里，所以當它到達z點(diǎn)時(shí)，已經(jīng)走了三倍的距離，即1500公里，這個(gè)距離比河的寬度多100公里。所以，河的寬度為1400公里。每艘渡輪的上、下客時(shí)間對答案毫無(wú)影響。
變量交換
不使用任何其他變量，交換a，b變量的值？
分析與解答
a = a+b
b = a-b
a= a-b
步行時(shí)間
某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁溫斯頓的家在郊區一個(gè)小鎮的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車(chē)回小鎮。小鎮車(chē)站離家還有一段距離，他的私人司機總是在同一時(shí)刻從家里開(kāi)出轎車(chē)，去小鎮車(chē)站接總裁回家。由于火車(chē)與轎車(chē)都十分準時(shí)，因此，火車(chē)與轎車(chē)每次都是在同一時(shí)刻到站。
有一次，司機比以往遲了半個(gè)小時(shí)出發(fā)。溫斯頓到站后，找不到
他的車(chē)子，又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿著(zhù)公路步行往家里走，途中遇到他的轎車(chē)正風(fēng)馳電掣而來(lái)，立即招手示意停車(chē)，跳上車(chē)子后也顧不上罵司機，命其馬上掉頭往回開(kāi)�；氐郊抑�，果不出所料，他老婆大發(fā)雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘??”。溫斯頓步行了多長(cháng)時(shí)間？
解答：
假如溫斯頓一直在車(chē)站等候，那么由于司機比以往晚了半小時(shí)出發(fā)，因此，也將晚半小時(shí)到達車(chē)站。也就是說(shuō)，溫斯頓將在車(chē)站空等半小時(shí)，等他的轎車(chē)到達后坐車(chē)回家，從而他將比以往晚半小時(shí)到家。而現在溫斯頓只比平常晚22分鐘到家，這縮短下來(lái)的8分鐘是如果總裁在火車(chē)站死等的話(huà)，司機本來(lái)要花在從現在遇到溫斯頓總裁的地點(diǎn)到火車(chē)站再回到這個(gè)地點(diǎn)上的時(shí)間。這意味著(zhù)，如果司機開(kāi)車(chē)從現在遇到總裁的地點(diǎn)趕到火車(chē)站，單程所花的時(shí)間將為4分鐘。因此，如果溫斯頓等在火車(chē)站，再過(guò)4分鐘，他的轎車(chē)也到了。也就是說(shuō)，他如果等在火車(chē)站，那么他也已經(jīng)等了30-4=26分鐘了。但是懼內的溫斯頓總裁畢竟沒(méi)有等，他心急火燎地趕路，把這26分鐘全都花在步行上了。
因此，溫斯頓步行了26分鐘。
付清欠款
有四個(gè)人借錢(qián)的'數目分別是這樣的：阿伊庫向貝爾借了10美元；
貝爾向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊庫借了40美元。碰巧四個(gè)人都在場(chǎng)，決定結個(gè)賬，請問(wèn)最少只需要動(dòng)用多少美金就可以將所有欠款一次付清？
解答：
貝爾、查理、迪克各自拿出10美元給阿伊庫就可解決問(wèn)題了。這樣的話(huà)只動(dòng)用了30美元。最笨的辦法就是用100美元來(lái)一一付清。
貝爾必須拿出10美元的欠額，查理和迪克也一樣；而阿伊庫則要收回借出的30美元。再復雜的問(wèn)題只要有條理地分析就會(huì )很簡(jiǎn)單。養成經(jīng)常性地歸納整理、摸索實(shí)質(zhì)的好習慣。
一美元紙幣
注：美國貨幣中的硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元這幾種面值。
一家小店剛開(kāi)始營(yíng)業(yè)，店堂中只有三位男顧客和一位女店主。當這三位男士同時(shí)站起來(lái)付帳的時(shí)候，出現了以下的情況：
�。�1）這四個(gè)人每人都至少有一枚硬幣，但都不是面值為1美分或1美元的硬幣。
�。�2）這四人中沒(méi)有一人能夠兌開(kāi)任何一枚硬幣。
�。�3）一個(gè)叫盧的男士要付的賬單款額最大，一位叫莫的男士要
付的帳單款額其次，一個(gè)叫內德的男士要付的賬單款額最小。
�。�4）每個(gè)男士無(wú)論怎樣用手中所持的硬幣付賬，女店主都無(wú)法找清零錢(qián)。
�。�5）如果這三位男士相互之間等值調換一下手中的硬幣，則每個(gè)人都可以付清自己的賬單而無(wú)需找零。
�。�6）當這三位男士進(jìn)行了兩次等值調換以后，他們發(fā)現手中的硬幣與各人自己原先所持的硬幣沒(méi)有一枚面值相同。
�。�7）隨著(zhù)事情的進(jìn)一步發(fā)展，又出現如下的情況：
�。�8）在付清了賬單而且有兩位男士離開(kāi)以后，留下的男士又買(mǎi)了一些糖果。這位男士本來(lái)可以用他手中剩下的硬幣付款，可是女店主卻無(wú)法用她現在所持的硬幣找清零錢(qián)。于是，這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢(qián)，但是現在女店主不得不把她的全部硬幣都找給了他。
現在，請你不要管那天女店主怎么會(huì )在找零上屢屢遇到麻煩，這三位男士中誰(shuí)用1美元的紙幣付了糖果錢(qián)？
解答：
對題意的以下兩點(diǎn)這樣理解：
�。�2）中不能換開(kāi)任何一個(gè)硬幣，指的是如果任何一個(gè)人不能有2個(gè)5分，否則他能換1個(gè)10分硬幣。
�。�6）中指如果A，B換過(guò)，并且A，C換過(guò)，這就是兩次交換。
高中數學(xué)教案11
三維目標：
1、知識與技能：正確理解隨機抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機數表法的一般步驟;
2、過(guò)程與方法：
(1)能夠從現實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價(jià)值的統計問(wèn)題;
(2)在解決統計問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)會(huì )用簡(jiǎn)單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)對現實(shí)生活和其他學(xué)科中統計問(wèn)題的提出，體會(huì )數學(xué)知識與現實(shí)世界及各學(xué)科知識之間的聯(lián)系，認識數學(xué)的重要性。
4、重點(diǎn)與難點(diǎn)：正確理解簡(jiǎn)單隨機抽樣的概念，掌握抽簽法及隨機數法的步驟，并能靈活應用相關(guān)知識從總體中抽取樣本。
教學(xué)方法：
講練結合法
教學(xué)用具：
多媒體
課時(shí)安排：
1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程：
一、問(wèn)題情境
假設你作為一名食品衛生工作人員，要對某食品店內的一批小包裝餅干進(jìn)行衛生達標檢驗，你準備怎樣做?顯然，你只能從中抽取一定數量的餅干作為檢驗的樣本。(為什么?)那么，應當怎樣獲取樣本呢?
二、探究新知
1、統計的有關(guān)概念：總體：在統計學(xué)中,所有考察對象的全體叫做總體、個(gè)體：每一個(gè)考察的對象叫做個(gè)體、樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本、樣本容量：樣本中個(gè)體的數目叫做樣本的容量、統計的基本思想：用樣本去估計總體、
2、簡(jiǎn)單隨機抽樣的概念一般地，設一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時(shí)總體內的各個(gè)個(gè)體被抽到的機會(huì )都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡(jiǎn)單隨機樣本。
下列抽樣的方式是否屬于簡(jiǎn)單隨機抽樣?為什么?
(1)從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本。
(2)箱子里共有100個(gè)零件，從中選出10個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗后，再把它放回箱子。
(3)從8臺電腦中，不放回地隨機抽取2臺進(jìn)行質(zhì)量檢查(假設8臺電腦已編好號，對編號隨機抽取)
3、常用的`簡(jiǎn)單隨機抽樣方法有：
(1)抽簽法的定義。一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號，把號碼寫(xiě)在號簽上，將號簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號簽，連續抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本。
思考?你認為抽簽法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：當總體中的個(gè)體數很多時(shí)，用抽簽法方便嗎?例1、若已知高一(6)班總共有57人，現要抽取8位同學(xué)出來(lái)做游戲，請設計一個(gè)抽取的方法，要使得每位同學(xué)被抽到的機會(huì )相等。
分析：可以把57位同學(xué)的學(xué)號分別寫(xiě)在大小，質(zhì)地都相同的紙片上，折疊或揉成小球，把紙片集中在一起并充分攪拌后，在從中個(gè)抽出8張紙片，再選出紙片上的學(xué)號對應的同學(xué)即可、基本步驟：第一步：將總體的所有N個(gè)個(gè)體從1至N編號;第二步：準備N(xiāo)個(gè)號簽分別標上這些編號，將號簽放在容器中攪拌均勻后每次抽取一個(gè)號簽，不放回地連續取n次;第三步：將取出的n個(gè)號簽上的號碼所對應的n個(gè)個(gè)體作為樣本。
(2)隨機數法的定義：利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數進(jìn)行抽樣，叫隨機數表法，這里僅介紹隨機數表法。怎樣利用隨機數表產(chǎn)生樣本呢?下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明，假設我們要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標，現從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗，利用隨機數表抽取樣本時(shí)，可以按照下面的步驟進(jìn)行。第一步，先將800袋牛奶編號，可以編為000，001，799。
第二步，在隨機數表中任選一個(gè)數，例如選出第8行第7列的數7(為了便于說(shuō)明，下面摘取了附表1的第6行至第10行)。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，從選定的數7開(kāi)始向右讀(讀數的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一個(gè)三位數785，由于785<799，說(shuō)明號碼785在總體內，將它取出;
繼續向右讀，得到916，由于916>799，將它去掉，按照這種方法繼續向右讀，又取出567，199，507，依次下去，直到樣本的60個(gè)號碼全部取出，這樣我們就得到一個(gè)容量為60的樣本。
三、課堂練習
四、課堂小結
1、簡(jiǎn)單隨機抽樣的概念一般地，設一個(gè)總體的個(gè)體數為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱(chēng)這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機抽樣。
2、簡(jiǎn)單隨機抽樣的方法：抽簽法隨機數表法
五、課后作業(yè)
P57練習1、2
六、板書(shū)設計
1、統計的有關(guān)概念
2、簡(jiǎn)單隨機抽樣的概念
3、常用的簡(jiǎn)單隨機抽樣方法有：(1)抽簽法(2)隨機數表法
4、課堂練習
高中數學(xué)教案12
一、課程性質(zhì)與任務(wù)
數學(xué)是研究空間形式和數量關(guān)系的科學(xué)，是科學(xué)和技術(shù)的基礎，是人類(lèi)文化的重要組成部分。數學(xué)課程是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生必修的一門(mén)公共基礎課。本課程的任務(wù)是：使學(xué)生掌握必要的數學(xué)基礎知識，具備必需的相關(guān)技能與能力，為學(xué)習專(zhuān)業(yè)知識、掌握職業(yè)技能、繼續學(xué)習和終身發(fā)展奠定基礎。二、課程教學(xué)目標
1.在九年義務(wù)教育基礎上，使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習并掌握職業(yè)崗位和生活中所必要的數學(xué)基礎知識。2.培養學(xué)生的計算技能、計算工具使用技能和數據處理技能，培養學(xué)生的觀(guān)察能力、空間想象能力、分析與解決問(wèn)題能力和數學(xué)思維能力。
3.引導學(xué)生逐步養成良好的學(xué)習習慣、實(shí)踐意識、創(chuàng )新意識和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，提高學(xué)生就業(yè)能力與創(chuàng )業(yè)能力。三、教學(xué)內容結構
本課程的教學(xué)內容由基礎模塊、職業(yè)模塊和拓展模塊三個(gè)部分構成。
1.基礎模塊是各專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的基礎性?xún)热莺蛻_到的基本要求，教學(xué)時(shí)數為128學(xué)時(shí)。2.職業(yè)模塊是適應學(xué)生學(xué)習相關(guān)專(zhuān)業(yè)需要的限定選修內容，各學(xué)校根據實(shí)際情況進(jìn)行選擇和安排教學(xué)，教學(xué)時(shí)數為32~64學(xué)時(shí)。
3.拓展模塊是滿(mǎn)足學(xué)生個(gè)性發(fā)展和繼續學(xué)習需要的任意選修內容，教學(xué)時(shí)數不做統一規定。四、教學(xué)內容與要求
�。ㄒ唬┍敬缶V教學(xué)要求用語(yǔ)的表述1.認知要求（分為三個(gè)層次）
了解：初步知道知識的'含義及其簡(jiǎn)單應用。
理解：懂得知識的概念和規律（定義、定理、法則等）以及與其他相關(guān)知識的聯(lián)系。掌握：能夠應用知識的概念、定義、定理、法則去解決一些問(wèn)題。2.技能與能力培養要求（分為三項技能與四項能力）
計算技能：根據法則、公式，或按照一定的操作步驟，正確地進(jìn)行運算求解。計算工具使用技能：正確使用科學(xué)型計算器及常用的數學(xué)工具軟件。數據處理技能：按要求對數據（數據表格）進(jìn)行處理并提取有關(guān)信息。觀(guān)察能力：根據數據趨勢，數量關(guān)系或圖形、圖示，描述其規律。
空間想象能力：依據文字、語(yǔ)言描述，或較簡(jiǎn)單的幾何體及其組合，想象相應的空間圖形；能夠在基本圖形中找出基本元素及其位置關(guān)系，或根據條件畫(huà)出圖形。
分析與解決問(wèn)題能力：能對工作和生活中的簡(jiǎn)單數學(xué)相關(guān)問(wèn)題，作出分析并運用適當的數學(xué)方法予以解決。
數學(xué)思維能力：依據所學(xué)的數學(xué)知識，運用類(lèi)比、歸納、綜合等方法，對數學(xué)及其應用問(wèn)題能進(jìn)行有條理的思考、判斷、推理和求解；針對不同的問(wèn)題（或需求），會(huì )選擇合適的模型（模式）。
�。ǘ┙虒W(xué)內容與要求1.基礎模塊（128學(xué)時(shí)）第1單元集合（10學(xué)時(shí)）
第2單元不等式（8學(xué)時(shí)）
第3單元函數（12學(xué)時(shí)）
第4單元指數函數與對數函數（12學(xué)時(shí)）
第5單元三角函數（18學(xué)時(shí)）
第6單元數列（10學(xué)時(shí)）
第7單元平面向量（矢量）（10學(xué)時(shí)）
第8單元直線(xiàn)和圓的方程（18學(xué)時(shí)）
第9單元立體幾何（14學(xué)時(shí)）
第10單元概率與統計初步（16學(xué)時(shí)）
2.職業(yè)模塊
第1單元三角計算及其應用（16學(xué)時(shí)）
第2單元坐標變換與參數方程（12學(xué)時(shí)）
第3單元復數及其應用（10學(xué)時(shí)）
高中數學(xué)教案13
整體設計
教學(xué)分析
我們在初中的學(xué)習過(guò)程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質(zhì)。從本節開(kāi)始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類(lèi)比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進(jìn)而推廣到有理數指數，再推廣到實(shí)數指數，并將冪的運算性質(zhì)由整數指數冪推廣到實(shí)數指數冪。
教材為了讓學(xué)生在學(xué)習之外就感受到指數函數的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：GDP的增長(cháng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題。前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數指數冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數模型，并且還有思想教育價(jià)值。后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì )其中的函數模型的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究分數指數冪、無(wú)理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學(xué)習作了鋪墊。
本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學(xué)思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類(lèi)比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無(wú)理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函數的圖象研究指數函數的性質(zhì)）等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結合，體現數學(xué)的應用價(jià)值。
根據本節內容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng )設教學(xué)情境，為學(xué)生的數學(xué)探究與數學(xué)思維提供支持。
三維目標
1、通過(guò)與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類(lèi)比，理解分數指數冪的概念，進(jìn)而學(xué)習指數冪的性質(zhì)。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質(zhì)。培養學(xué)生觀(guān)察分析、抽象類(lèi)比的能力。
2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學(xué)思想。通過(guò)運算訓練，養成學(xué)生嚴謹治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習習慣，讓學(xué)生了解數學(xué)來(lái)自生活，數學(xué)又服務(wù)于生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數冪運算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，培養學(xué)生嚴謹的思維和科學(xué)正確的計算能力。
4、通過(guò)訓練及點(diǎn)評，讓學(xué)生更能熟練掌握指數冪的運算性質(zhì)。展示函數圖象，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察，進(jìn)而研究指數函數的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗數學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統一美。
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)
�。�1）分數指數冪和根式概念的理解。
�。�2）掌握并運用分數指數冪的運算性質(zhì)。
�。�3）運用有理指數冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值。
教學(xué)難點(diǎn)
�。�1）分數指數冪及根式概念的理解。
�。�2）有理指數冪性質(zhì)的靈活應用。
課時(shí)安排
3課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
第1課時(shí)
作者：路致芳
導入新課
思路1.同學(xué)們在預習的過(guò)程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學(xué)家是通過(guò)對生物化石的研究來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問(wèn)題我們不太清楚）考古學(xué)家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書(shū)本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
思路2.同學(xué)們，我們在初中學(xué)習了平方根、立方根，那么有沒(méi)有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
�。�1）什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數的平方根有幾個(gè)，立方根呢？
�。�2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢？
�。�3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？
�。�4）可否用一個(gè)式子表達呢？
活動(dòng)：教師提示，引導學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的，對照類(lèi)比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問(wèn)題(2)的結論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問(wèn)題一般化，歸納類(lèi)比出n次方根的概念，評價(jià)學(xué)生的思維。
討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒(méi)有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數的立方根只有一個(gè)，如：-8的立方根為-2.
�。�2）類(lèi)比平方根、立方根的定義，一個(gè)數的四次方等于a，則這個(gè)數叫a的四次方根。一個(gè)數的五次方等于a，則這個(gè)數叫a的五次方根。一個(gè)數的六次方等于a，則這個(gè)數叫a的六次方根。
�。�3）類(lèi)比(2)得到一個(gè)數的n次方等于a，則這個(gè)數叫a的n次方根。
�。�4）用一個(gè)式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書(shū)n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。
可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問(wèn)題
�。�1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
�、�4的平方根；②±8的立方根；③16的.4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
�。�2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特點(diǎn)？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質(zhì)的數，有什么特點(diǎn)？
�。�3）問(wèn)題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個(gè)的，也有兩個(gè)的，你能否總結一般規律呢？
�。�4）任何一個(gè)數a的偶次方根是否存在呢？
活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數a的n次方根，就是求出的那個(gè)數的n次方等于a，及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數的分類(lèi)考慮，可以把具體的數寫(xiě)出來(lái)，觀(guān)察數的特點(diǎn)，對問(wèn)題(2)中的結論，類(lèi)比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P，對回答不準確的學(xué)生提示引導考慮問(wèn)題的思路。
討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
�。�2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數和偶數�？偟膩�(lái)看，這些數包括正數，負數和零。
�。�3）一個(gè)數a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數a的偶次方根有兩個(gè)，是互為相反數。0的任何次方根都是0.
�。�4）任何一個(gè)數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒(méi)有一個(gè)數的偶次方是一個(gè)負數。
類(lèi)比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：
�、佼攏為偶數時(shí)，正數a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫(xiě)成±na(a>0)。
�、趎為奇數時(shí)，正數的n次方根是一個(gè)正數，負數的n次方根是一個(gè)負數，這時(shí)a的n次方根用符號na表示。
�、圬摂禌](méi)有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示：
a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個(gè)為na，n為偶數，a的n次方根有兩個(gè)為±na.
a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個(gè)為na，n為偶數，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。
思考
根據n次方根的性質(zhì)能否舉例說(shuō)明上述幾種情況？
活動(dòng)：教師提示學(xué)生對方根的性質(zhì)要分類(lèi)掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時(shí)巡視學(xué)生，隨機給出一個(gè)數，我們寫(xiě)出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀(guān)察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過(guò)程中的問(wèn)題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類(lèi)似于na的形式，現在我們給式子na一個(gè)名稱(chēng)——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開(kāi)方數，n叫做根指數。
如3-27中，3叫根指數，-27叫被開(kāi)方數。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論。教師點(diǎn)撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過(guò)探究得到：n為奇數，nan=a.
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運算性質(zhì)：
�、�(na)n=a.先開(kāi)方，再乘方（同次），結果為被開(kāi)方數。
�、趎為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開(kāi)方（同次），結果為被開(kāi)方數。
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開(kāi)方（同次），結果為被開(kāi)方數的絕對值。
應用示例
思路1
例求下列各式的值：
�。�1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動(dòng)：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個(gè)題目仔細分析。觀(guān)察學(xué)生的解題情況，讓學(xué)生展示結果，抓住學(xué)生在解題過(guò)程中出現的問(wèn)題并對癥下藥。求下列各式的值實(shí)際上是求數的方根，可按方根的運算性質(zhì)來(lái)解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開(kāi)方數的符號定準，然后看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無(wú)需考慮符號，如果是偶數，開(kāi)方的結果必須是非負數。
解：(1)3(-8)3=-8;
�。�2）(-10)2=10;
�。�3)4(3-π）4=π-3;
�。�4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點(diǎn)評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問(wèn)題出現的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會(huì )用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點(diǎn)評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動(dòng)：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質(zhì)，應首先考慮根據方根的意義和運算性質(zhì)來(lái)解，既要考慮被開(kāi)方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會(huì )方根運算的實(shí)質(zhì)，學(xué)生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質(zhì)，當n為偶數時(shí)，應先寫(xiě)nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個(gè)正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個(gè)正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點(diǎn)評：本題由于考查n次方根的運算性質(zhì)與運算順序，有時(shí)極易選錯，選四個(gè)答案的情況都會(huì )有，因此解題時(shí)千萬(wàn)要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動(dòng)：讓同學(xué)們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無(wú)關(guān)，但仔細一想，我們學(xué)習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關(guān)鍵，因此將根號下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導學(xué)生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點(diǎn)評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點(diǎn)，即是對稱(chēng)根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動(dòng)：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時(shí)平方差公式也可，同學(xué)們觀(guān)察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，具有對稱(chēng)性，再考慮并交流討論，一個(gè)是“+”，一個(gè)是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時(shí)借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點(diǎn)評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個(gè)完全平方式，問(wèn)題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點(diǎn)評：利用方根的運算性質(zhì)轉化為去絕對值符號，是解題的關(guān)鍵。
知能訓練
�。ń處熡枚嗝襟w顯示在屏幕上）
1、以下說(shuō)法正確的是（）
A.正數的n次方根是一個(gè)正數
B.負數的n次方根是一個(gè)負數
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）
答案：C
2、化簡(jiǎn)下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問(wèn)題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個(gè)是恒等式，為什么？請舉例說(shuō)明。
活動(dòng)：組織學(xué)生結合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析討論，解決這一問(wèn)題要緊扣n次方根的定義。
通過(guò)歸納，得出問(wèn)題結果，對a是正數和零，n為偶數時(shí)，n為奇數時(shí)討論一下。再對a是負數，n為偶數時(shí)，n為奇數時(shí)討論一下，就可得到相應的結論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無(wú)論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個(gè)n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。
當n為奇數時(shí)，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數時(shí)，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點(diǎn)評：實(shí)質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理解。
課堂小結
學(xué)生仔細交流討論后，在筆記上寫(xiě)出本節課的學(xué)習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開(kāi)方數，n叫根指數。
�。�1）當n為偶數時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫(xiě)成±na(a>0)。
(2)n為奇數時(shí)，正數的n次方根是一個(gè)正數，負數的n次方根是一個(gè)負數，這時(shí)a的n次方根用符號na表示。
�。�3）負數沒(méi)有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個(gè)公式：n為奇數時(shí)，(na)n=a，n為偶數時(shí)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業(yè)
課本習題2.1A組1.
補充作業(yè)：
1、化簡(jiǎn)下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺(jué)得難以下筆，我們考慮只有在開(kāi)方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設計感想
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時(shí)，要結合已學(xué)內容，列舉具體實(shí)例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來(lái)進(jìn)行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類(lèi)比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學(xué)生加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)。
第2課時(shí)
作者：郝云靜
導入新課
思路1.碳14測年法。原來(lái)宇宙射線(xiàn)在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著(zhù)，它們就會(huì )不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會(huì )停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失。對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半）。引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪。
思路2.同學(xué)們，我們在初中學(xué)習了整數指數冪及其運算性質(zhì)，那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節的主講內容，教師板書(shū)本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪。
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
�。�1）整數指數冪的運算性質(zhì)是什么？
�。�2）觀(guān)察以下式子，并總結出規律：a>0，
�、�；
�、赼8=(a4)2=a4=，；
�、�4a12=4(a3)4=a3=；
�、�2a10=2(a5)2=a5= 。
�。�3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。
�。�4）你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？
�。�5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習的整數指數冪及運算性質(zhì)，仔細觀(guān)察，特別是每題的開(kāi)始和最后兩步的指數之間的關(guān)系，教師引導學(xué)生體會(huì )方根的意義，用方根的意義加以解釋?zhuān)更c(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比(2)的規律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P，其他學(xué)生鼓勵提示。
討論結果：(1)整數指數冪的運算性質(zhì)：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無(wú)意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
�。�2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實(shí)質(zhì)上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫(xiě)成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變。
根據4個(gè)式子的最后結果可以總結：當根式的被開(kāi)方數的指數能被根指數整除時(shí)，根式可以寫(xiě)成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。
�。�3）利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。
�。�5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書(shū)：
規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
提出問(wèn)題
�。�1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？
�。�2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？
�。�3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？
�。�4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？
�。�5）分數指數冪的意義中，為什么規定a>0，去掉這個(gè)規定會(huì )產(chǎn)生什么樣的后果？
�。�6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數指數冪呢？
活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習的情形，結合自己的學(xué)習體會(huì )回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來(lái)類(lèi)比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來(lái)，與整數指數冪的運算性質(zhì)類(lèi)比可得有理數指數冪的運算性質(zhì)，教師在黑板上板書(shū)，學(xué)生合作交流，以具體的實(shí)例說(shuō)明a>0的必要性，教師及時(shí)作出評價(jià)。
討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
�。�2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類(lèi)比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。
規定：正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
�。�3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒(méi)有意義。
�。�4）教師板書(shū)分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：
正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒(méi)有意義。
�。�5）若沒(méi)有a>0這個(gè)條件會(huì )怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現了截然不同的結果，這只說(shuō)明分數指數冪在底數小于零時(shí)是無(wú)意義的。因此在把根式化成分數指數時(shí)，切記要使底數大于零，如無(wú)a>0的條件，比如式子3a2=，同時(shí)負數開(kāi)奇次方是有意義的，負數開(kāi)奇次方時(shí)，應把負號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數冪，也就是說(shuō)，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。
�。�6）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
有理數指數冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質(zhì)：
�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題，來(lái)看下面的例題。
應用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動(dòng)：教師引導學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運算性質(zhì)計算出數值或化成最簡(jiǎn)根式，根據題目要求，把底數寫(xiě)成冪的形式，8寫(xiě)成23,25寫(xiě)成52，12寫(xiě)成2-1，1681寫(xiě)成234，利用有理數冪的運算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)。
解：(1) =22=4;
�。�2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
�。�4）=23-3=278.
點(diǎn)評：本例主要考查冪值運算，要按規定來(lái)解。在進(jìn)行冪值運算時(shí)，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數指數冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質(zhì)來(lái)運算，根式化為分數指數冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵學(xué)生注意總結。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點(diǎn)評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質(zhì)進(jìn)行根式運算時(shí)，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質(zhì)來(lái)運算。對于計算的結果，不強求統一用什么形式來(lái)表示，沒(méi)有特別要求，就用分數指數冪的形式來(lái)表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。
例3計算下列各式（式中字母都是正數）。
�。�1）；
�。�2）。
活動(dòng)：先由學(xué)生觀(guān)察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質(zhì)及運算規律擴充到分數指數冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進(jìn)行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進(jìn)行計算，熟悉后可以簡(jiǎn)化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
�。�2）=m2n-3=m2n3.
點(diǎn)評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫(xiě)法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進(jìn)行運算了。
本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
�。�1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動(dòng)：先由學(xué)生觀(guān)察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡(jiǎn)便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫(xiě)出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節練習1,2,3
【補充練習】
教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答，教師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學(xué)給予表?yè)P鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
�。�2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
�。�3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
�。�4）把根式-25(a-b)-2改寫(xiě)成分數指數冪的形式為（）
A. B.
C. D.
�。�5）化簡(jiǎn)的結果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
�。�2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因為x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡(jiǎn)：。 活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察式子特點(diǎn)，考慮x的指數之間的關(guān)系可以得到解題思路，應對原式進(jìn)行因式分解，根據本題的特點(diǎn)，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 構建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示。 解： = = = = 。 點(diǎn)撥：解這類(lèi)題目，要注意運用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; �。�2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; �。�3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 點(diǎn)撥：對“條件求值”問(wèn)題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。 課堂小結 活動(dòng)：教師，本節課同學(xué)們有哪些收獲？請把你的學(xué)習收獲記錄在你的筆記本上，同學(xué)們之間相互交流。同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識要點(diǎn)： �。�1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒(méi)有意義。 �。�2）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。 �。�3）有理數指數冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質(zhì)： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， �、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， �、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 �。�4）說(shuō)明兩點(diǎn)： �、俜謹抵笖祪绲囊饬x是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒(méi)有推出關(guān)系。 �、谡麛抵笖祪绲倪\算性質(zhì)對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來(lái)計算。 作業(yè) 課本習題2.1A組2,4. 設計感想 本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學(xué)生反復理解分數指數冪的意義，教學(xué)中可以通過(guò)根式與分數指數冪的互化來(lái)鞏固加深對這一概念的理解，用觀(guān)察、歸納和類(lèi)比的方法完成，由于是硬性的規定，沒(méi)有合理的解釋?zhuān)虼硕喟才乓恍┚毩�，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)。 第3課時(shí) 作者：鄭芳鳴 導入新課 思路1.同學(xué)們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒(méi)有無(wú)理數指數冪呢？回顧數的擴充過(guò)程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實(shí)數。并且知道，在有理數到實(shí)數的擴充過(guò)程中，增添的數是無(wú)理數。對無(wú)理數指數冪，也是這樣擴充而來(lái)。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書(shū)本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無(wú)理數指數冪。 思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習了函數的知識，對函數有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對函數的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿(mǎn)足我們的需要，隨著(zhù)科學(xué)的發(fā)展，社會(huì )的進(jìn)步，我們還要學(xué)習許多函數，其中就有指數函數，為了學(xué)習指數函數的知識，我們必須學(xué)習實(shí)數指數冪的運算性質(zhì)，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實(shí)數指數冪，因此我們本節課學(xué)習：指數與指數冪的運算(3)之無(wú)理數指數冪，教師板書(shū)本節課的課題。 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 �。�1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ �。�2）多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中，能發(fā)現什么樣的規律？ 2的過(guò)剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … �。�3）你能給上述思想起個(gè)名字嗎？ �。�4）一個(gè)正數的無(wú)理數次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數呢？如，根據你學(xué)過(guò)的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ �。�5）借助上面的結論你能說(shuō)出一般性的結論嗎？ 活動(dòng)：教師引導，學(xué)生回憶，教師提問(wèn)，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋?zhuān)捎枚嗝襟w顯示輔助內容： 問(wèn)題(1)從近似值的分類(lèi)來(lái)考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。 問(wèn)題(2)對圖表的觀(guān)察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)。 問(wèn)題(3)上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近，最后是逼近。 問(wèn)題(4)對問(wèn)題給予大膽猜測，從數軸的觀(guān)點(diǎn)加以解釋。 問(wèn)題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小于2，稱(chēng)2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大于2，稱(chēng)2的過(guò)剩近似值。 �。�2）第一個(gè)表：從大于2的方向逼近2時(shí)，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二個(gè)表：從小于2的方向逼近2時(shí)，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，在數軸上近似地表示這些點(diǎn)，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實(shí)上表示這些數的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個(gè)實(shí)數，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明是一個(gè)實(shí)數。 �。�3）逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識。 �。�4）根據(2)(3)我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數，猜測一個(gè)正數的無(wú)理數次冪是一個(gè)實(shí)數。 �。�5）無(wú)理數指數冪的意義： 一般地，無(wú)理數指數冪aα（a>0，α是無(wú)理數）是一個(gè)確定的實(shí)數。 也就是說(shuō)無(wú)理數可以作為指數，并且它的結果是一個(gè)實(shí)數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過(guò)程中，我們知道有理數和無(wú)理數統稱(chēng)為實(shí)數。我們規定了無(wú)理數指數冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實(shí)數指數冪。 提出問(wèn)題 �。�1）為什么在規定無(wú)理數指數冪的意義時(shí)，必須規定底數是正數？ �。�2）無(wú)理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？ �。�3）你能給出實(shí)數指數冪的運算法則嗎？ 活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導他們用反例說(shuō)明問(wèn)題，注意類(lèi)比，歸納。 對問(wèn)題(1)回顧我們學(xué)習分數指數冪的意義時(shí)對底數的規定，舉例說(shuō)明。 對問(wèn)題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無(wú)理數指數冪aα(a>0，α是無(wú)理數）是一個(gè)確定的實(shí)數，那么無(wú)理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類(lèi)似，并且相通。 對問(wèn)題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無(wú)理數指數冪的運算法則，實(shí)數的運算法則自然就得到了。 討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無(wú)法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無(wú)理數指數冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數，就不會(huì )再造成混亂。 �。�2）因為無(wú)理數指數冪是一個(gè)確定的實(shí)數，所以能進(jìn)行指數的運算，也能進(jìn)行冪的運算，有理數指數冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無(wú)理數指數冪。類(lèi)比有理數指數冪的運算性質(zhì)可以得到無(wú)理數指數冪的運算法則： �、賏r?as=ar+s（a>0，r，s都是無(wú)理數）。 �、冢╝r)s=ars(a>0，r，s都是無(wú)理數）。 �、郏╝?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無(wú)理數）。 �。�3）指數冪擴充到實(shí)數后，指數冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數指數冪。 實(shí)數指數冪的運算性質(zhì)： 對任意的實(shí)數r，s，均有下面的運算性質(zhì)： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 �、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 �、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應用示例 例1利用函數計算器計算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活動(dòng)：教師教會(huì )學(xué)生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類(lèi)數，算出數值，對于(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最后按=，即可求得它的值； 對于(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可； 對于(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可； 對于(4)，這種無(wú)理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時(shí)也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。 學(xué)生可以相互交流，挖掘計算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點(diǎn)評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現代信息社會(huì )；用四舍五入法求近似值，若保留小數點(diǎn)后n位，只需看第(n+1)位能否進(jìn)位即可。 例2求值或化簡(jiǎn)。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； �。�2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察，思考，所謂化簡(jiǎn)，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡(jiǎn)，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質(zhì)，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來(lái)，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開(kāi)方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學(xué)生作及時(shí)的評價(jià)，注意總結解題的方法和規律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點(diǎn)評：根式的運算常�；蓛绲倪\算進(jìn)行，計算結果如沒(méi)有特殊要求，就用根式的形式來(lái)表示。 教學(xué)目的： 掌握圓的標準方程，并能解決與之有關(guān)的問(wèn)題 教學(xué)重點(diǎn)： 圓的標準方程及有關(guān)運用 教學(xué)難點(diǎn)： 標準方程的靈活運用 教學(xué)過(guò)程： 一、導入新課，探究標準方程 二、掌握知識，鞏固練習 練習： 1、說(shuō)出下列圓的方程 �、艌A心（3，—2）半徑為5 �、茍A心（0，3）半徑為3 2、指出下列圓的'圓心和半徑 �、牛▁—2）2+（y+3）2=3 �、苮2+y2=2 �、莤2+y2—6x+4y+12=0 3、判斷3x—4y—10=0和x2+y2=4的位置關(guān)系 4、圓心為（1，3），并與3x—4y—7=0相切，求這個(gè)圓的方程 三、引伸提高，講解例題 例1、圓心在y=—2x上，過(guò)p（2，—1）且與x—y=1相切求圓的方程（突出待定系數的數學(xué)方法） 練習：1、某圓過(guò)（—2，1）、（2，3），圓心在x軸上，求其方程。 2、某圓過(guò)A（—10，0）、B（10，0）、C（0，4），求圓的方程。 例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時(shí)每隔4米加一個(gè)支柱支撐，求A2P2的長(cháng)度。 例3、點(diǎn)M（x0，y0）在x2+y2=r2上，求過(guò)M的圓的切線(xiàn)方程（一題多解，訓練思維） 四、小結練習P771，2，3，4 五、作業(yè)P811，2，3，4 一、教學(xué)目標 【知識與技能】 在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的'圓心半徑，掌握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件。 【過(guò)程與方法】 通過(guò)對方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的的條件的探究，學(xué)生探索發(fā)現及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力得到提高。 【情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)】 滲透數形結合、化歸與轉化等數學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng )新，勇于探索。 二、教學(xué)重難點(diǎn) 【重點(diǎn)】 掌握圓的一般方程，以及用待定系數法求圓的一般方程。 【難點(diǎn)】 二元二次方程與圓的一般方程及標準圓方程的關(guān)系。 三、教學(xué)過(guò)程 �。ㄒ唬⿵土暸f知，引出課題 1、復習圓的標準方程，圓心、半徑。 2、提問(wèn)1：已知圓心為（1，—2）、半徑為2的圓的方程是什么？ 【高中數學(xué)教案】相關(guān)文章： 高中數學(xué)教案08-18 高中數學(xué)教案(15篇)12-17 人教版高中數學(xué)教案范文11-09 高中數學(xué)教案_等差數列的概念01-03 數學(xué)教案11-09 小學(xué)數學(xué)教案小學(xué)數學(xué)教案范文09-09 對稱(chēng)的數學(xué)教案11-01 秋游數學(xué)教案08-21高中數學(xué)教案14
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