世界七大數學(xué)難題
這七個(gè)“世界難題”是：NP完全問(wèn)題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊·米爾斯理論、納衛爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個(gè)問(wèn)題都被懸賞一百萬(wàn)美元。
[1]NP完全問(wèn)題
例：在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì )。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認識的人。宴會(huì )的主人向你提議說(shuō)，你一定認識那位正在甜點(diǎn)盤(pán)附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現宴會(huì )的主人是正確的。然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認識的人。
生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗證一個(gè)給定的解時(shí)間花費要多得多。這是這種一般現象的一個(gè)例子。與此類(lèi)似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫(xiě)成兩個(gè)較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計算器容易驗證這是對的。
人們發(fā)現，所有的完全多項式非確定性問(wèn)題，都可以轉換為一類(lèi)叫做滿(mǎn)足性問(wèn)題的邏輯運算問(wèn)題。既然這類(lèi)問(wèn)題的所有可能答案，都可以在多項式時(shí)間內計算，人們于是就猜想，是否這類(lèi)問(wèn)題，存在一個(gè)確定性算法，可以在多項式時(shí)間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢?這就是著(zhù)名的NP=P?的猜想。不管我們編寫(xiě)程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內部知識來(lái)驗證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計算機科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一。它是斯蒂文·考克于1971年陳述的。
[2]霍奇猜想
二十世紀的數學(xué)家們發(fā)現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法�；鞠敕ㄊ菃�(wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過(guò)把維數不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣;最終導致一些強有力的工具，使數學(xué)家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進(jìn)行分類(lèi)時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件�；羝娌孪霐嘌�，對于所謂射影代數簇這種特別完美的空間類(lèi)型來(lái)說(shuō)，稱(chēng)作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱(chēng)作代數閉鏈的幾何部件的(有理線(xiàn)性)組合。
[3]龐加萊猜想
如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對應問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數學(xué)家們就在為此奮斗。
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預印本，并聲稱(chēng)證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發(fā)表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特;哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛;以及理海大學(xué)的曹懷東和中山大學(xué)的朱熹平。
2006年8月，第25屆國際數學(xué)家大會(huì )授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學(xué)界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
[4]黎曼假設
有些數具有不能表示為兩個(gè)更小的數的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱(chēng)為素數;它們在純數學(xué)及其應用中都起著(zhù)重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式;然而，德國數學(xué)家黎曼(1826~1866)觀(guān)察到，素數的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態(tài)。著(zhù)名的黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線(xiàn)上。這點(diǎn)已經(jīng)對于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗證過(guò)。證明它對于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來(lái)光明。
[5]楊-米爾斯存在性和質(zhì)量缺口
量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對宏觀(guān)世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學(xué)之間的令人注目的關(guān)系�；跅�-米爾斯方程的預言已經(jīng)在如下的全世界范圍內的實(shí)驗室中所履行的高能實(shí)驗中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學(xué)上嚴格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被大多數物理學(xué)家所確認、并且在他們的對于“夸克”的不可見(jiàn)性的解釋中應用的“質(zhì)量缺口”假設，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數學(xué)上令人滿(mǎn)意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀(guān)念。
[6]納衛爾-斯托可方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著(zhù)我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著(zhù)我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉-斯托克斯方程的解，來(lái)對它們進(jìn)行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫(xiě)下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉-斯托克斯方程中的奧秘。
[7]BSD猜想
數學(xué)家總是被諸如x²+y²=z²那樣的代數方程的所有整數解的刻畫(huà)問(wèn)題著(zhù)迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方程是否有一個(gè)整數解。當解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通-戴爾猜想認為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認為，如果z(1)等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在著(zhù)有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。