四色定理又稱(chēng)四色猜想、四色問(wèn)題，是世界三大數學(xué)猜想之一。四色定理是一個(gè)著(zhù)名的數學(xué)定理，通俗的說(shuō)法是：每個(gè)平面地圖都可以只用四種顏色來(lái)染色，而且沒(méi)有兩個(gè)鄰接的區域顏色相同。1976年借助電子計算機證明了四色問(wèn)題，問(wèn)題也終于成為定理，這是第一個(gè)借助計算機證明的定理。四色定理的本質(zhì)就是在平面或者球面無(wú)法構造五個(gè)或者五個(gè)以上兩兩相連的區域。
問(wèn)題的提出
1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里(FrancisGuthrie)來(lái)到一家科研單位搞地圖著(zhù)色工作時(shí)，發(fā)現每幅地圖都可以只用四種顏色著(zhù)色。這個(gè)現象能不能從數學(xué)上加以嚴格證明呢?他和他正在讀大學(xué)的弟弟決心試一試，但是稿紙已經(jīng)堆了一大疊，研究工作卻是沒(méi)有任何進(jìn)展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請教了他的老師、著(zhù)名數學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，于是寫(xiě)信向自己的好友、著(zhù)名數學(xué)家哈密頓爵士請教，但直到1865年哈密頓逝世為止，問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決。
1872年，英國當時(shí)最著(zhù)名的數學(xué)家凱利正式向倫敦數學(xué)學(xué)會(huì )提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題，世界上許多一流的數學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì )戰。
從此，這個(gè)問(wèn)題在一些人中間傳來(lái)傳去，當時(shí)，三等分角和化圓為方問(wèn)題已在社會(huì )上“臭名昭著(zhù)”，而“四色瘟疫”又悄悄地傳播開(kāi)來(lái)了。
四色原理的一種邏輯證明
地圖上任何一個(gè)區域必將存在鄰域，且又通過(guò)鄰域與其他非鄰域發(fā)生間接聯(lián)系，我們可以將任何一個(gè)地圖以圖論圖形的表示出來(lái)。
假設存在一張至少需要m種著(zhù)色的地圖，那么決定該地圖必須要用m種著(zhù)色的條件有且只有一個(gè)，即該地圖至少存在這樣一個(gè)區域Q，與該區域相鄰的所有區域必須滿(mǎn)足m-1著(zhù)色。首先滿(mǎn)足這個(gè)條件后，Q只能用第m種顏色，其次如果這個(gè)推論一是錯誤的，對于m著(zhù)色地圖不存在這樣的區域，那么地圖上任何一個(gè)區域的鄰域只能滿(mǎn)足少于m-1的著(zhù)色，那么整個(gè)地圖勢必不需要m中顏色，這與假設相矛盾，所以這是一個(gè)充分必要條件。(推論一)
假設隨意取一張任意結構的至少m著(zhù)色的地圖M，其上滿(mǎn)足上述條件的區域有n個(gè)，那么將圖論圖形中的這n個(gè)區域及其與鄰域的關(guān)系線(xiàn)我們可以全部去掉，這樣我們就將構建一個(gè)至少m著(zhù)色地圖M的問(wèn)題轉化成了一個(gè)在至少需要m-1著(zhù)色地圖上添加n個(gè)滿(mǎn)足推論一條件的區域問(wèn)題。
如果五著(zhù)色地圖存在且能構建成功，那么必然存在構建這樣五著(zhù)色的四著(zhù)色模型圖，而要存在這樣的四著(zhù)色模型圖必然存在構建該四著(zhù)色的三著(zhù)色模型圖，同理要存在這樣的三著(zhù)色模型圖必然要存在構建它的二著(zhù)色模型圖，那么我們來(lái)構建一下五色圖是否存在：
二著(zhù)色地圖是由一著(zhù)色而來(lái)的一種簡(jiǎn)單的著(zhù)色地圖模型，我們很容易得到滿(mǎn)足二著(zhù)色的地圖僅有的兩種類(lèi)型的結構，一種是不閉合的鏈狀結構，如圖一;另一種是由第一種衍生出來(lái)的閉合的環(huán)狀結構且環(huán)所聯(lián)系的區域為偶數個(gè)，稱(chēng)為偶數環(huán)，如圖二。
我們看下二著(zhù)色結構特點(diǎn)發(fā)現，圖一圖二都是一個(gè)原理就是奇偶位置決定著(zhù)色，任何兩個(gè)區域的任何聯(lián)系鏈條只有相隔偶數個(gè)區域才滿(mǎn)足兩區域著(zhù)色不同，我們定義這兩個(gè)區域為偶隔域。
我們隨意取一張任意結構的二著(zhù)色的地圖M，來(lái)構建一個(gè)具有n個(gè)滿(mǎn)足推論一條件區域的地圖Q，構建方式有且只有一個(gè)，就是在圖論圖形中我們如何去掉的這n個(gè)區域及其與鄰域的關(guān)系線(xiàn)，我們接怎么給它添加回去。我們任取這n個(gè)區域中一個(gè)區域q為例，只要我們在M地圖上將必須滿(mǎn)足二著(zhù)色的幾個(gè)區域W直接聯(lián)系到q上，這樣就滿(mǎn)足推論一中的條件而使Q必須為三著(zhù)色。而W要滿(mǎn)足二著(zhù)色則必定含有偶隔域，如果W有x個(gè)區域和q發(fā)生直接聯(lián)系，則q上出去的關(guān)系線(xiàn)有x個(gè)，那么我們一定可以將該復雜的聯(lián)系分解成x-1個(gè)不可分解關(guān)系環(huán)，其中至少有一個(gè)不可再分的關(guān)系環(huán)是M中的偶隔域與q聯(lián)系的，(推論二)假設這個(gè)推論是錯誤的，所有不可再分的環(huán)全部是奇隔域，那么這些環(huán)拼接回去時(shí)滿(mǎn)足每個(gè)小環(huán)的間隔區域數相加再減去共用的區域，仍舊是奇隔域，這樣W便不滿(mǎn)足二著(zhù)色，所以這些不可再分環(huán)中一定有偶隔域和q發(fā)生聯(lián)系而構成奇數環(huán)(環(huán)連的區域為奇數)，并且導致q必須使用第三色的就是這些不可再分的奇數環(huán)。由于滿(mǎn)足二著(zhù)色的只有偶隔域一種條件，那么構造的三著(zhù)色地圖中決定三著(zhù)色的條件也只有一種，存在不可再分的奇數環(huán)。
在上面構建的三色著(zhù)色地圖Q基礎上我們再來(lái)構建四著(zhù)色地圖P，假如P存在滿(mǎn)足推論一條件的區域有k個(gè)，同樣的方法，我們任取k中一個(gè)區域p，只要我們在Q地圖上將必須滿(mǎn)足三著(zhù)色的幾個(gè)區域R直接聯(lián)系到q上，這樣就滿(mǎn)足推論一中的條件而使P必須為四著(zhù)色。而R要滿(mǎn)足三著(zhù)色則必定含有奇數環(huán)并且組成奇數環(huán)的區域都能夠與p發(fā)生聯(lián)系(保證奇數環(huán)沒(méi)有被包圍在其他閉合環(huán)內的部分)，如果R有y個(gè)區域和p發(fā)生直接聯(lián)系，則p上出去的關(guān)系線(xiàn)有y個(gè)，那么導致p為第四色原因是可發(fā)生聯(lián)系的奇數環(huán)，既只要有一個(gè)這樣的奇數環(huán)存在就一定會(huì )導致p使用第四色(推論三)，假設這一推論不成立那么沒(méi)有這樣的奇數環(huán)存在，則由前面二著(zhù)色建立三著(zhù)色正經(jīng)得到，除了奇數環(huán)再沒(méi)有能使地圖為三著(zhù)色的條件了，或者當奇數環(huán)區域不能全部與p發(fā)生聯(lián)系，這樣p必然的不需要第四色了。故我們的推論三成立。由于三著(zhù)色條件唯一而使得p四著(zhù)色的條件唯一，我們來(lái)看四著(zhù)色條件的特點(diǎn)，當p與R發(fā)生聯(lián)系后，不管R有多少滿(mǎn)足條件的奇數環(huán)，勢必最終只能有包括p在內的三個(gè)區域能與外界區域發(fā)生聯(lián)系。因為p和R上的任何兩個(gè)區域都可以構成一個(gè)封閉的三角形，而當我們選的R上這倆區域與p關(guān)系線(xiàn)是最外側的關(guān)系線(xiàn)時(shí)，則R上其他區域一定不能在三角形外，不然或造成以上兩根關(guān)系線(xiàn)不再是最外側或者有關(guān)系線(xiàn)出現交叉，所以R上剩余區域必定在三角形內而造成四著(zhù)色圖最多只有三個(gè)區域能與外界發(fā)生聯(lián)系。
那么我們在構建五著(zhù)色地圖時(shí)，四著(zhù)色結構最多提供三種不同著(zhù)色，不能滿(mǎn)足推論一的條件，而決定將無(wú)法構建五著(zhù)色地圖。
四色問(wèn)題的簡(jiǎn)單幾何圖形證明如下(對錯不保證，如果方法錯誤請刪除以下內容)
0 這個(gè)證明是一個(gè)近似的證明。
1 對于二維平面，用無(wú)限分割三邊形來(lái)證明。(必須)
2 為了方便說(shuō)明，所有三邊形為相同大小的等邊三角形為例。(并非必須)
3 因為等邊三角形最多只有三個(gè)邊，最多只能與三個(gè)相同的等邊三角形接壤，算上自己最多就是四種顏色復雜度，也不可能出現第五種!
4 而地圖上各個(gè)國家的邊界就是這些三角形邊的近似組成，而領(lǐng)土就是這些三角形的近似拼合。這些三角形同樣具備上述顏色屬性。
a 類(lèi)似的證明方法還有采用無(wú)限等邊多邊形分割等腰三角形的圓周率計算。
b 也有采用無(wú)限四邊形矩陣組合成的計算機屏幕上的像素，這些像素可以組合成任意幾何圖形。(圓的，方的，三角的，最好是矢量圖。)