高考導數題型總結
高考導數題型總結【1】
1.導數的常規問(wèn)題：
(1)刻畫(huà)函數(比初等方法精確細微);
(2)同幾何中切線(xiàn)聯(lián)系(導數方法可用于研究平面曲線(xiàn)的切線(xiàn));
(3)應用問(wèn)題(初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡(jiǎn)便)等關(guān)于次多項式的導數問(wèn)題屬于較難類(lèi)型。
2.關(guān)于函數特征，最值問(wèn)題較多，所以有必要專(zhuān)項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。
3.導數與解析幾何或函數圖象的混合問(wèn)題是一種重要類(lèi)型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應引起注意。
知識整合
1.導數概念的理解。
2.利用導數判別可導函數的極值的方法及求一些實(shí)際問(wèn)題的最大值與最小值。
復合函數的求導法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內容。課本中先通過(guò)實(shí)例，引出復合函數的求導法則，接下來(lái)對法則進(jìn)行了證明。
3.要能正確求導，必須做到以下兩點(diǎn)：
(1)熟練掌握各基本初等函數的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數的求導法則。
(2)對于一個(gè)復合函數，一定要理清中間的復合關(guān)系，弄清各分解函數中應對哪個(gè)變量求導
高考導數題型總結【2】
首先，關(guān)于二次函數的不等式恒成立的主要解法：
1、分離變量;2變更主元;3根分布;4判別式法
5、二次函數區間最值求法：(1)對稱(chēng)軸(重視單調區間)
與定義域的關(guān)系(2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在
其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì )發(fā)現大部分都在解決“不等式恒成立問(wèn)題”以及“充分應用數形結合思想”，創(chuàng )建不等關(guān)系求出取值范圍。
最后，同學(xué)們在看例題時(shí)，請注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎
一、基礎題型：函數的單調區間、極值、最值;不等式恒成立;
1、此類(lèi)問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：
第一步：令得到兩個(gè)根;
第二步：畫(huà)兩圖或列表;
第三步：由圖表可知;
其中不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數的最值問(wèn)題，
2、常見(jiàn)處理方法有三種：
第一種：分離變量求最值-----用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類(lèi)討論(>0,=0,<0)
第二種：變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數)-----(已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元);
例1：設函數在區間D上的導數為，在區間D上的導數為，若在區間D上，恒成立，則稱(chēng)函數在區間D上為“凸函數”，已知實(shí)數m是常數，
(1)若在區間上為“凸函數”，求m的取值范圍;
(2)若對滿(mǎn)足的任何一個(gè)實(shí)數，函數在區間上都為“凸函數”，求的最大值.
解:由函數得
(1)在區間上為“凸函數”，
則在區間[0,3]上恒成立
解法一：從二次函數的區間最值入手：等價(jià)于
解法二：分離變量法：
∵當時(shí),恒成立,
當時(shí),恒成立
等價(jià)于的最大值()恒成立，
而()是增函數，則
(2)∵當時(shí)在區間上都為“凸函數”
則等價(jià)于當時(shí)恒成立
變更主元法
再等價(jià)于在恒成立(視為關(guān)于m的一次函數最值問(wèn)題)
請同學(xué)們參看2010第三次周考：
例2：設函數
(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值;
(Ⅱ)若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.
(二次函數區間最值的例子)
解：(Ⅰ)
令得的單調遞增區間為(a,3a)
令得的單調遞減區間為(-，a)和(3a，+)
∴當x=a時(shí)，極小值=當x=3a時(shí)，極大值=b.
(Ⅱ)由||≤a，得：對任意的恒成立①
則等價(jià)于這個(gè)二次函數的對稱(chēng)軸(放縮法)
即定義域在對稱(chēng)軸的右邊，這個(gè)二次函數的最值問(wèn)題：?jiǎn)握{增函數的最值問(wèn)題。
上是增函數.(9分)
∴
于是，對任意，不等式①恒成立，等價(jià)于
又∴
點(diǎn)評：重視二次函數區間最值求法：對稱(chēng)軸(重視單調區間)與定義域的關(guān)系
第三種：構造函數求最值
題型特征：恒成立恒成立;從而轉化為第一、二種題型
例3;已知函數圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當時(shí)，求的值域;
(Ⅲ)當時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數t的取值范圍。
解：(Ⅰ)∴，解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減
又
∴的值域是
(Ⅲ)令
思路1：要使恒成立，只需，即分離變量
思路2：二次函數區間最值
二、題型一：已知函數在某個(gè)區間上的單調性求參數的范圍
解法1：轉化為在給定區間上恒成立，回歸基礎題型
解法2：利用子區間(即子集思想);首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集;
做題時(shí)一定要看清楚“在(m,n)上是減函數”與“函數的單調減區間是(a,b)”，要弄清楚兩句話(huà)的區別：前者是后者的子集
例4：已知，函數.
(Ⅰ)如果函數是偶函數，求的極大值和極小值;
(Ⅱ)如果函數是上的單調函數，求的取值范圍.
解：.
(Ⅰ)∵是偶函數，∴.此時(shí)，，
令，解得：.
列表如下：
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
可知：的極大值為，的極小值為.
(Ⅱ)∵函數是上的單調函數，
∴，在給定區間R上恒成立判別式法
則解得：.
綜上，的取值范圍是.
例5、已知函數
(I)求的單調區間;
(II)若在[0，1]上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想
(I)
1、
當且僅當時(shí)取“=”號，單調遞增。
2、
單調增區間：
單調增區間：
(II)當則是上述增區間的子集：
1、時(shí)，單調遞增符合題意
2、，
綜上，a的取值范圍是[0，1]。
三、題型二：根的個(gè)數問(wèn)題
題1函數f(x)與g(x)(或與x軸)的交點(diǎn)======即方程根的個(gè)數問(wèn)題
解題步驟
第一步：畫(huà)出兩個(gè)圖像即“穿線(xiàn)圖”(即解導數不等式)和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;
第二步：由趨勢圖結合交點(diǎn)個(gè)數或根的個(gè)數寫(xiě)不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關(guān)系;
第三步：解不等式(組)即可;
例6、已知函數，，且在區間上為增函數.
求實(shí)數的取值范圍;
若函數與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數的取值范圍.
解：(1)由題意∵在區間上為增函數，
∴在區間上恒成立(分離變量法)
即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為
(2)設，
令得或由(1)知，
�、佼敃r(shí)，，在R上遞增，顯然不合題意…
�、诋敃r(shí)，，隨的變化情況如下表：
—
↗
極大值
↘
極小值
↗
由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即∴，解得
綜上，所求的取值范圍為
根的個(gè)數知道，部分根可求或已知。
例7、已知函數
(1)若是的極值點(diǎn)且的圖像過(guò)原點(diǎn)，求的極值;
(2)若，在(1)的條件下，是否存在實(shí)數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)?若存在，求出實(shí)數的取值范圍;否則說(shuō)明理由。高1考1資1源2網(wǎng)
解：(1)∵的圖像過(guò)原點(diǎn)，則，
又∵是的極值點(diǎn)，則
(2)設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個(gè)不同交點(diǎn)，
等價(jià)于有含的三個(gè)根，即：
整理得：
即：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根
(計算難點(diǎn)來(lái)了：)有含的根，
則必可分解為，故用添項配湊法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含的三個(gè)不等實(shí)根
等價(jià)于有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。
題2：切線(xiàn)的條數問(wèn)題====以切點(diǎn)為未知數的方程的根的個(gè)數
例7、已知函數在點(diǎn)處取得極小值-4，使其導數的的取值范圍為，求：(1)的解析式;(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，求實(shí)數的取值范圍.
(1)由題意得：
∴在上;在上;在上
因此在處取得極小值
∴①，②，③
由①②③聯(lián)立得：，∴
(2)設切點(diǎn)Q，
過(guò)
令，
求得：，方程有三個(gè)根。
需：
故：;因此所求實(shí)數的范圍為：
題3：已知在給定區間上的極值點(diǎn)個(gè)數則有導函數=0的根的個(gè)數
解法：根分布或判別式法
例8、
解：函數的定義域為(Ⅰ)當m=4時(shí)，f(x)=x3-x2+10x，
=x2-7x+10，令，解得或.
令，解得
可知函數f(x)的單調遞增區間為和(5，+∞)，單調遞減區間為.
(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函數y=f(x)在(1，+∞)有兩個(gè)極值點(diǎn),=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)
根分布問(wèn)題：
則，解得m>3
例9、已知函數，(1)求的單調區間;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.
解：(1)
當時(shí)，令解得，令解得，
所以的遞增區間為，遞減區間為.
當時(shí)，同理可得的遞增區間為，遞減區間為.
(2)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)
=0有3個(gè)根，則或，
方程有兩個(gè)非零實(shí)根，所以
或
而當或時(shí)可證函數有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)
其它例題：
1、(最值問(wèn)題與主元變更法的例子).已知定義在上的函數在區間上的最大值是5，最小值是-11.
(Ⅰ)求函數的解析式;
(Ⅱ)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數的取值范圍.
解：(Ⅰ)
令=0,得
因為，所以可得下表：
0
+
0
-
↗
極大
↘
因此必為最大值,∴因此，，
即，∴，∴
(Ⅱ)∵，∴等價(jià)于，
令，則問(wèn)題就是在上恒成立時(shí)，求實(shí)數的取值范圍，
為此只需，即，
解得，所以所求實(shí)數的取值范圍是[0，1].
2、(根分布與線(xiàn)性規劃例子)
(1)已知函數
(Ⅰ)若函數在時(shí)有極值且在函數圖象上的點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,求的解析式;
(Ⅱ)當在取得極大值且在取得極小值時(shí),設點(diǎn)所在平面區域為S,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線(xiàn)L的方程.
解：(Ⅰ).由,函數在時(shí)有極值,
∴
∵∴
又∵在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,
∴故
∴…………………….7分
(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,
∴即令,則
∴∴故點(diǎn)所在平面區域S為如圖△ABC,
易得,,,,,
同時(shí)DE為△ABC的中位線(xiàn),
∴所求一條直線(xiàn)L的方程為:
另一種情況設不垂直于x軸的直線(xiàn)L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設直線(xiàn)L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,則,
由得點(diǎn)F的橫坐標為:
由得點(diǎn)G的橫坐標為:
∴即
解得:或(舍去)故這時(shí)直線(xiàn)方程為:
綜上,所求直線(xiàn)方程為:或.…………….………….12分
(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,
∴即令,則
∴∴故點(diǎn)所在平面區域S為如圖△ABC,
易得,,,,,
同時(shí)DE為△ABC的中位線(xiàn),∴所求一條直線(xiàn)L的方程為:
另一種情況由于直線(xiàn)BO方程為:,設直線(xiàn)BO與AC交于H,
由得直線(xiàn)L與AC交點(diǎn)為:
∵,,
∴所求直線(xiàn)方程為:或
3、(根的個(gè)數問(wèn)題)已知函數的圖象如圖所示。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函數的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求函數f(x)的解析式;
(Ⅲ)若方程有三個(gè)不同的根，求實(shí)數a的取值范圍。
解：由題知：
(Ⅰ)由圖可知函數f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,3)，且=0
得
(Ⅱ)依題意=–3且f(2)=5
解得a=1,b=–6
所以f(x)=x3–6x2+9x+3
(Ⅲ)依題意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)
=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①
若方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根，當且僅當滿(mǎn)足f(5)<8a
由①②得–25a+3<8a<7a+3
所以當
4、(根的個(gè)數問(wèn)題)已知函數
(1)若函數在處取得極值，且，求的值及的單調區間;
(2)若，討論曲線(xiàn)與的交點(diǎn)個(gè)數.
解：(1)
………………………………………………………………………2分
令得
令得
∴的單調遞增區間為，，單調遞減區間為…………5分
(2)由題得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
當即時(shí)
-
此時(shí)，，，有一個(gè)交點(diǎn);…………………………9分
當即時(shí)，
+
—
,
∴當即時(shí),有一個(gè)交點(diǎn);
當即時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn);
當時(shí)，，有一個(gè)交點(diǎn).………………………13分
綜上可知，當或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn);
當時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn).…………………………………14分
5、(簡(jiǎn)單切線(xiàn)問(wèn)題)已知函數圖象上斜率為3的兩條切線(xiàn)間的距離為，函數.
(Ⅰ)若函數在處有極值，求的解析式;
(Ⅱ)若函數在區間上為增函數，且在區間上都成立，求實(shí)數的取值范圍.
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