實(shí)用的平行四邊形教案合集10篇
作為一名默默奉獻的教育工作者，通常需要用到教案來(lái)輔助教學(xué)，教案是教學(xué)活動(dòng)的總的組織綱領(lǐng)和行動(dòng)方案。優(yōu)秀的教案都具備一些什么特點(diǎn)呢？以下是小編幫大家整理的平行四邊形教案10篇，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。
平行四邊形教案 篇1
一、教學(xué)目標：
1．使學(xué)生掌握平行四邊形的意義及特征，了解它的特性。
2．通過(guò)觀(guān)察、動(dòng)手，培養學(xué)生抽象概括能力和初步的空間觀(guān)念。
3．滲透事物是相互聯(lián)系的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。培養學(xué)生觀(guān)察和認識周?chē)鷪D形的興趣和認識。
二、教學(xué)重點(diǎn)：平行四邊形的意義。
三、教學(xué)難點(diǎn)：抽象概括平行四邊形的意義。
四、教學(xué)過(guò)程：
（一）、老師出示一個(gè)長(cháng)方形框架．
1、老師動(dòng)手拉它的一組相對的角，請同學(xué)們觀(guān)察：這個(gè)框架還是長(cháng)方形嗎？為什么？
(這個(gè)圖形不是長(cháng)方形了，因為它的四個(gè)角不是直角)
我們把這樣的圖形叫做平行四邊形．在黑板右上角貼出一個(gè)平行四邊形．
2.請同學(xué)們觀(guān)察：黑板上還有哪些平行四邊形？
(分類(lèi)中的“其它四邊形”都是平行四邊形)老師把黑板上的“其它四邊形”改寫(xiě)成“平行四邊形”)
問(wèn)：同學(xué)們平時(shí)見(jiàn)過(guò)平行四邊形嗎？請舉例來(lái)說(shuō)．(有一種防盜網(wǎng)上的圖形、籬笆上的圖形，有的編織圖案)
3.平行四邊形和長(cháng)方形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？(老師又一次演示長(cháng)方形活動(dòng)框架)
(它們的相同點(diǎn)是都有四條邊且對邊相等、它們都有四個(gè)角；不同點(diǎn)是：長(cháng)方形的四個(gè)角必須是直角)
今天，我們又認識了一個(gè)圖形——平行四邊形．
（二）通過(guò)活動(dòng)，再次感知平行四邊形。
1. 小朋友看過(guò)魔術(shù)表演嗎？咱們來(lái)變個(gè)魔術(shù)，請打開(kāi)1號紙袋�？匆豢�，里面有什么？（6根硬紙條，4個(gè)圖釘）
師：咱們要圍一個(gè)長(cháng)方形框，得用幾根硬紙條？4根什么樣的硬紙條？請小組的同學(xué)討論選出來(lái)。
學(xué)生討論篩選后，教師提問(wèn)：你們選了什么樣的？為什么這樣選？
最后小組合作用圖釘固定出長(cháng)方形框。
圍好后，請小朋友推一推，拉一拉，看圖形變了沒(méi)有？（學(xué)生操作）
在日常生活中我們經(jīng)常見(jiàn)到這種圖形。請看屏幕。（課件顯示“紡織圖案”、“樓梯扶手”、“籬笆”，并閃動(dòng)其中的幾何圖形再抽象出來(lái)。）
2. 學(xué)生自己發(fā)現平行四邊形與長(cháng)方形、正方形的共同點(diǎn)。觀(guān)察后交流。
3． 分組操作、研究平行四邊形的特征。
�。�1）回憶研究長(cháng)方形、正方形特點(diǎn)的方法。（量一量、折一折、比一比）
�。�2）打開(kāi)2號紙袋（里面有兩張平行四邊形紙片），用剛才的方法，也可以想別的辦法，也可以觀(guān)察變平行四邊形框的過(guò)程，小組討論平行四邊形4條邊和 4個(gè)角的特點(diǎn)。
�。�3）分組交流，教師小結。
4． 辨認平行四邊形。
完成課本練習三十九第2題，指生訂正并說(shuō)出理由。
(三)鞏固練習
1、判斷題：
(1)長(cháng)方形、正方形和平行四邊形都是四邊形．( )
(2)四個(gè)角都是直角的四邊形一定是正方形．( )
(3)一個(gè)四邊形，它的四條邊相等，這個(gè)四邊形一定是正方形．( )
(4)對邊相等的四邊形都是長(cháng)方形．( )
(5)有個(gè)四邊形，它的四個(gè)角都是直角，那么，這個(gè)四邊形不是正方形就是長(cháng)方形．( )
2．思考題：
有兩個(gè)大小一樣的長(cháng)方形，長(cháng)都是4分米，寬都是2分米．
(1)把這兩個(gè)長(cháng)方形拼成一個(gè)正方形，你是怎樣拼的？
(2)把這兩個(gè)長(cháng)方形拼成一個(gè)大的長(cháng)方形，它的長(cháng)是多少？寬是多少？你是怎樣拼的？
（四）全課總結
通過(guò)今天的學(xué)習你有什么收獲？談一談。
教學(xué)反思：
在整節課的設計中，我注重將游戲、活動(dòng)引入教學(xué)。如在導入新課時(shí)，創(chuàng )設問(wèn)題情境，利用教具有熟悉的長(cháng)方形一拉動(dòng)變成了要學(xué)的內容平行四邊形，既復習了舊知識長(cháng)方形，又很自然地過(guò)渡到新知識，使學(xué)生體會(huì )到數學(xué)知識都有內在聯(lián)系。在探索階段，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中，經(jīng)歷、體驗數學(xué)知識的形成過(guò)程。在鞏固拓展時(shí)，創(chuàng )始了讓學(xué)生“辨、拼、說(shuō)”的'活動(dòng)，課堂上學(xué)生始終樂(lè )此不疲，興趣盎然。
在教學(xué)設計中，我注重把思考貫穿教學(xué)的全過(guò)程，將實(shí)踐與思考貫穿教學(xué)的全過(guò)程，讓學(xué)生在觀(guān)察實(shí)踐交流中思考，尤其是特別注重為學(xué)生創(chuàng )設獨立思考的空章。然后通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作，最大限度地調動(dòng)學(xué)生多種感觀(guān)，讓他們的手、眼、腦等都參與到學(xué)習活動(dòng)中去。教學(xué)時(shí)有意識地為學(xué)生提供具有充分再創(chuàng )造的通道，激勵了學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng )造的活動(dòng)。設計學(xué)生喜歡又富有挑戰性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考和創(chuàng )造的欲望。通過(guò)"變魔術(shù)＂引出平行四邊形,激發(fā)了學(xué)生的觀(guān)察興趣，從而使學(xué)生認識平行四邊形的特性，在輕松學(xué)習中學(xué)習數學(xué)。
教學(xué)中感到不足的是設計的練習不很多，題的類(lèi)型不夠新穎，在練習的設計中，應能引起學(xué)生的興趣，使學(xué)生樂(lè )于探究。
教學(xué)反思:
學(xué)生的數學(xué)學(xué)習內容應當是現實(shí)的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀(guān)察、實(shí)驗、驗證、推理與交流等數學(xué)活動(dòng)。因此，本節課我讓學(xué)生把自己制作的長(cháng)方形框架拿出來(lái)拉動(dòng)后可以得到一個(gè)平行四邊形引入新課，激起探究的興趣。在探究平行四邊形的特征時(shí)，引導學(xué)生小組討論：一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形的框架，比較一下，它們之間有什么不同。再引導學(xué)生觀(guān)察平行四邊形，歸納、概括平行四邊形的特征。讓每個(gè)學(xué)生都有觀(guān)察、操作、分析、思考的機會(huì )，提供給學(xué)生一個(gè)廣泛的、自由的活動(dòng)空間。當學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，在探索中初步發(fā)現平行四邊形的特征。學(xué)生學(xué)得非常積極主動(dòng)：數學(xué)教學(xué)活動(dòng)要幫助學(xué)生在自主探究和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數學(xué)思想和方法，因此在數平行四邊形時(shí)，引導學(xué)生有序地進(jìn)行觀(guān)察，主動(dòng)探究規律，滲透有序思維的方法。整節課從實(shí)際出發(fā)運用現代教學(xué)手段，突破了教學(xué)的難點(diǎn)。反思整個(gè)教學(xué)過(guò)程，我認為教學(xué)的益處在于有效地引導了學(xué)生在活動(dòng)中享受到學(xué)習的樂(lè )趣，體驗到合作、交流的成功，從而大大提高了教學(xué)效果。 不足：課中的練習量還是不夠，可以多做些練習突出平行四邊形的特征。
平行四邊形教案 篇2
四年級數學(xué)上冊《平行四邊形、梯形特征》教學(xué)設計教學(xué)目標：
1、學(xué)生理解平行四邊形和梯形的概念及特征。
2、使學(xué)生了解學(xué)過(guò)的所有四邊形之間的關(guān)系，并會(huì )用集合圖表示。
3、通過(guò)操作活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷認識平行四邊形和梯形的全過(guò)程，掌握它們的特征。
4、通過(guò)活動(dòng)，讓學(xué)生從中感受到學(xué)習的樂(lè )趣，體會(huì )到成功的喜悅，從而提高學(xué)習的興趣。
教學(xué)重點(diǎn)：理解平行四邊形和梯形的概念及特征。了解學(xué)過(guò)的所有四邊形之間的關(guān)系，并會(huì )用集合圖表示。
教學(xué)難點(diǎn)：理解平行四邊形和梯形的'概念及特征。用集合圖表示學(xué)過(guò)的所有四邊形之間的關(guān)系。
教具準備：圖形、剪子、七巧板。
教學(xué)過(guò)程：
一、創(chuàng )設情景 感知圖形
�。�、出示校園圖（７０頁(yè)）在我們美麗的校園中，你能找到那些四邊形？
�。�、畫(huà)出你喜歡的一個(gè)四邊形。說(shuō)一說(shuō)什么樣的圖形是四邊形？
展示學(xué)生畫(huà)出的四邊形，請學(xué)生標出它們的名稱(chēng)。
長(cháng)方形 平行四邊形
梯形 正方形
�。�、小組交流：從四邊形的特點(diǎn)來(lái)看，四邊形可以分成幾類(lèi)？學(xué)生討論交流。
二、探究新知
1、歸納平行四邊形和梯形的概念。
有什么特點(diǎn)的圖形是平行四邊形？（兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。）
強調說(shuō)明：只要四邊形的每組對邊分別平行，就能確定它的每組對邊相等。因此平行四邊形的定義是兩組對邊分別平行的四邊形。
提問(wèn)：生活中你見(jiàn)過(guò)這樣的圖形嗎？它們的外形像什么？
這些圖形有幾條邊？幾個(gè)角？是什么圖形？
這幾個(gè)四邊形有邊有什么特點(diǎn)？
它是平行四邊形嗎？
你們在量這些圖形時(shí)，是否發(fā)現它們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)？如果有，是什么？
只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。
�。�、現在你有什么問(wèn)題嗎？
長(cháng)方形和正方形是平行四邊形嗎？為什么？
�。�、用集合圖表示四邊形之間的關(guān)系。我們學(xué)過(guò)的長(cháng)方形、正方形、平行四邊形、剛剛認識的梯形，你能用這個(gè)集合圈來(lái)表示他們的關(guān)系嗎？
�。�、判斷：
長(cháng)方形是特殊的平行四邊形。（ ）
兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。（ ）
一個(gè)梯形中只有一組對邊平行。（ ）
三、鞏固練習。
1、在梯形里畫(huà)兩條線(xiàn)段，把它分割成三個(gè)三角形。你有幾種畫(huà)法？學(xué)生展示
2、七巧板拼一拼
用兩塊拼一個(gè)梯形
用三塊拼一個(gè)梯形
用一套七巧板拼一個(gè)平行四邊形
�。�、 下面的圖形中有（ ）個(gè)大小不同的梯形。
�。�、 用兩個(gè)完全一樣的梯形，能拼成一個(gè)平行四邊形嗎？
把１張梯形紙剪一次，再拼成一個(gè)平行四邊形。
拿一張長(cháng)方行紙，不對折，剪一次，再拼出一個(gè)梯形。
四、課堂小結：通過(guò)這節課的學(xué)習，你有何體會(huì )和收獲？
五、作業(yè)：
�。�、把一個(gè)平行四邊形剪成兩個(gè)圖形，然后拼成一個(gè)三角形，這個(gè)三角是什么三角形？有幾種剪拼的方法？
�。�、把一張平行四邊形的紙剪一下，分成兩個(gè)梯形，有多少種剪法？
平行四邊形教案 篇3
教材分析：
平行四邊形的面積計算教學(xué)是在學(xué)生掌握了平行四邊形的特征以及長(cháng)方形、正方形面積計算的基礎上進(jìn)行的，它同時(shí)又是進(jìn)一步學(xué)習三角形面積、梯形面積、圓的面積和立體圖形表面積計算的基礎。教材以平行四邊形的面積計算為重點(diǎn)，先用數方格方法計算圖形的面積，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解面積和面積單位的含義，為推導平行四邊形的面積計算公式提供感性材料。再是通過(guò)割補實(shí)驗，把一個(gè)平行四邊形轉化為一個(gè)與它面積相等的長(cháng)方形，把新舊知識聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生明確圖形之間的內在聯(lián)系，便于從已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形面積計算公式推導出新的圖形面積計算公式，使學(xué)生明確面積計算公式的意義和。在引導學(xué)生動(dòng)手操作的基礎上，初步培養學(xué)生的空間想象力和思維能力。使他們從“學(xué)會(huì )”到“會(huì )學(xué)”，培養學(xué)生良好的學(xué)習習慣和學(xué)習品質(zhì)。教學(xué)中以長(cháng)方形的面積公式為基礎，通過(guò)學(xué)生比一比、看一看、動(dòng)一動(dòng)、想一想得出平行四邊形的面積公式，并來(lái)在實(shí)際生活中用一用。
幾何初步知識的教學(xué)是培養學(xué)生抽象概括能力、思維能力和發(fā)展空間觀(guān)念的重要途徑。本節教學(xué)中向學(xué)生滲透了平移旋轉的思想，為將來(lái)學(xué)習圖形的變換積累一些感性認識。
教學(xué)目標：
1、通過(guò)剪、拼、擺等活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)探究平行四邊形的面積計算公式。
2、掌握平行四邊形面積計算公式并能解決實(shí)際問(wèn)題。
3、培養學(xué)生初步的空間觀(guān)念。
4、培養學(xué)生積極參與、團結合作、主動(dòng)探索的精神。
教學(xué)重點(diǎn)：平行四邊形面積的計算。
教學(xué)難點(diǎn)：平行四邊形面積公式的推導過(guò)程。
教學(xué)準備：學(xué)具。
教學(xué)過(guò)程：
一、質(zhì)疑引新
1、顯示長(cháng)方形圖
長(cháng)方形的面積怎樣求？
2、電腦展示長(cháng)方形變形為平行四邊形。
原來(lái)的長(cháng)方形變成了什么圖形？它的面積怎樣求呢？
二、引導探究
�。ㄒ唬�、鋪墊導引
出示第42頁(yè)三幅圖，先讓學(xué)生說(shuō)出一個(gè)小正方形的邊長(cháng)是幾厘米，然后數出它們的面積。
小結：用數方格的方法求面積比較麻煩，用什么方法可以很快求出它們的面積呢？
實(shí)驗、操作（小組合作）：把后兩幅圖轉化成長(cháng)方形
電腦在學(xué)生感到有困難的時(shí)候提示，利用閃爍功能，先把兩個(gè)小長(cháng)方形比較，表明兩個(gè)小長(cháng)方形形狀相同。根據學(xué)生討論結果，演示剪、移、拼過(guò)程。
集體交流，重點(diǎn)討論第二幅圖的多種剪、移、拼方法（根據學(xué)生回答電腦演示不同的剪拼過(guò)程）
討論：
剪拼前后，圖形的形狀變了沒(méi)有？面積有沒(méi)有變？
做了這個(gè)實(shí)驗你想到了什么？
�。ǘ�、實(shí)驗探索
剛才用剪、移、拼的方法解決一個(gè)求圖形面積的問(wèn)題，用這樣的方法，你能不能探索出平行四邊形面積的計算方法呢？
學(xué)生實(shí)驗操作
1、提出實(shí)驗要求：在平行四邊形上找到一條線(xiàn)段，沿這條線(xiàn)段剪開(kāi)，移一移、拼一拼，把它拼成一個(gè)長(cháng)方形。
2、分小組實(shí)驗操作，把實(shí)驗結果填在書(shū)上表格內，鼓勵多種剪拼法。
3、集體交流，展示不同的剪拼結果。根據學(xué)生的回答，電腦分別演示不同的剪拼過(guò)程。
結合學(xué)生發(fā)言提問(wèn)：
你在平行四邊形上沿哪條線(xiàn)段剪開(kāi)的？
這條線(xiàn)段實(shí)際上是平行四邊形的什么？
在學(xué)生回答的基礎上小結：沿著(zhù)平行四邊形底邊上的任意一條高，都可以把一個(gè)平行四邊形剪拼成一個(gè)長(cháng)方形。
�。ㄈ┛偨Y歸納
問(wèn)：
1、平行四邊形剪拼成長(cháng)方形后，兩種圖形的面積有什么關(guān)系？
2、剪拼成的長(cháng)方形的長(cháng)和寬分別與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？（電腦演示比較長(cháng)方形的長(cháng)與平行四邊形的底的長(cháng)度、長(cháng)方形的寬分別與平行四邊形的.高的長(cháng)度。）
得出：平行四邊形面積=底×高
追問(wèn)：要求平行四邊形的面積，必須知道哪兩個(gè)條件？
用字母表示公式
學(xué)生自學(xué)P44~P45有關(guān)內容
集體交流：S=a×h
S=a·h
S=ah
教師強調乘號的簡(jiǎn)寫(xiě)與略寫(xiě)的方法
三、深化認識
1、驗證公式
學(xué)生利用公式計算P43表格平行四邊形的面積，看結果是否和實(shí)驗結果一樣。
2、應用公式
a） 例題
學(xué)生列式解答，并說(shuō)出列式的根據。
b） 做練一練
四、鞏固練習
1、求下列圖形的面積是多少？
底5厘米，高3。5厘米 底6厘米，高2厘米
2、計算下面圖形的面積哪個(gè)算式正確？（單位：米）
3×8 3×6 4×8 6×8 3×4 4×6
3、求平行四邊形的高是多少？
面積：56平方厘米
底：8厘米
4、開(kāi)放題：山西地形圖。先根據信息猜測是哪個(gè)省市的地形圖，山西南北大約590千米，東西大約310千米，估計它的土地面積。
以小組為單位探討多種想法
五、總結全課（電腦顯示、學(xué)生口答）
把一個(gè)平行四邊形沿著(zhù)高剪成兩部分，通過(guò)（ ）法，可以把這兩部分拼成一個(gè)（ ）形。這個(gè)長(cháng)方形的（ ）等于平行四邊形的（ ），這個(gè)長(cháng)方形的（ ）等于平行四邊形的（ ），因為長(cháng)方形的面積=長(cháng)×寬，所以平行四邊形的面積等于（ ）， 用字母表示平行四邊形的面積公式（ ）。
平行四邊形教案 篇4
【學(xué)習目標】
1．能運用勾股定理解決生活中與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題；
2．能從實(shí)際問(wèn)題中建立數學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，同時(shí)滲透方程、轉化等數學(xué)思想。
3．進(jìn)一步發(fā)展有條理思考和有條理表達的能力，體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值
【學(xué)習重、難點(diǎn)】
重點(diǎn)：勾股定理的應用
難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題
【新知預習】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長(cháng).
【導學(xué)過(guò)程】
一、情境創(chuàng )設
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計算各條拉索的長(cháng)？
二、探索活動(dòng)
活動(dòng)一 如圖，起重機吊運物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長(cháng).
活動(dòng)二 在我國古代數學(xué)著(zhù)作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(cháng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦的長(cháng)度各為多少？
活動(dòng)三 一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠(chǎng)門(mén)形狀如圖所示的某工廠(chǎng)，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠(chǎng)的廠(chǎng)門(mén)？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國道路交通安全法》規定：小汽車(chē)在城市道路上行駛速度不得超過(guò)70km/h，如圖一輛小汽車(chē)在一條城市中的直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面車(chē)速檢測儀的正前方30m處，過(guò)了2s后，測得小汽車(chē)與車(chē)速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車(chē)超速了嗎？
2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問(wèn)吸管需要多長(cháng)？
【反饋練習】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個(gè)直角三角形的模具，量得其中兩邊的長(cháng)分別為5cm，3cm，則第三邊的長(cháng)是______;
(3)甲乙兩人同時(shí)從同一地出發(fā)，甲往東走4km，乙往南走6km，這時(shí)甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm ,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．無(wú)法確定
3.如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點(diǎn)多遠處？
【課后作業(yè)】P67 習題2.7 1、4題
八年級數學(xué)競賽輔導教案：由中點(diǎn)想到什么
第十八講 由中點(diǎn)想到什么
線(xiàn)段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它關(guān)聯(lián)著(zhù)三角形中線(xiàn)、直角三角形斜邊中線(xiàn)、中心對稱(chēng)圖形、三角形中位線(xiàn)、梯形中位線(xiàn)等豐富的知識，恰當地利用中點(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，由中點(diǎn)想到什么?常見(jiàn)的聯(lián)想路徑是：
1．中線(xiàn)倍長(cháng)；
2．作直角三角形斜邊中線(xiàn)；
3．構造中位線(xiàn)；
4．構造中心對稱(chēng)全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結論：
例題求解
【例1】 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)， AB=10cm，則MD的長(cháng)為 ．
(“希望杯”邀請賽試題)
思路點(diǎn)撥 取AB中點(diǎn)N，為直角三角形斜邊中線(xiàn)定理、三角形中位線(xiàn)定理的運用創(chuàng )造條件．
注 證明線(xiàn)段倍分關(guān)系是幾何問(wèn)題中一種常見(jiàn)題型，利用中點(diǎn)是一個(gè)有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線(xiàn)定理；
(2)運用中位線(xiàn)定理；
(3)倍長(cháng)(或折半)法．
【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，一組對邊AB=CD，另一組對邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點(diǎn)M、N，連結MN．則AB與MN的關(guān)系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB (20xx年河北省初中數學(xué)創(chuàng )新與知識應用競賽試題) 思路點(diǎn)撥 中點(diǎn)M、N不能直接運用，需增設中點(diǎn)，常見(jiàn)的方法是作對角線(xiàn)的中點(diǎn)． 【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(cháng)AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連結CE、CD，求證：C D=2EC． (浙江省寧波市中考題) 思路點(diǎn)撥 聯(lián)想到與中位線(xiàn)相關(guān)的豐富知識，將線(xiàn)段倍分關(guān)系的證明轉化為線(xiàn)段相等關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是恰當添輔助線(xiàn)． 【例4】 已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分別為F、G，連結FG，延長(cháng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交，易證FG= (AB+BC+AC)． 若(1)BD、CF分別是△ABC的內角平分線(xiàn)(如圖2)； (2)BD為△ABC的內角平分線(xiàn)，CE為△ABC的外角平分線(xiàn)(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線(xiàn)段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量關(guān)系?請寫(xiě)出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明． (20xx年黑龍江省中考題) 思路點(diǎn)撥 圖1中FG與△ABC三邊的數量關(guān)系的求法(關(guān)鍵是作輔助線(xiàn))，對尋求后兩個(gè)圖形中線(xiàn)段FG與△ABC三邊的數量關(guān)系起著(zhù)重要作用，而由平分線(xiàn)、垂線(xiàn)發(fā)現中點(diǎn)，這是解題的基礎． 注 三角形與梯形的中位線(xiàn)．在位置上涉及到平行，在數量上是上下底和的一半，它起著(zhù)傳遞角的位置關(guān)系和線(xiàn)段長(cháng)度的功能，在證明線(xiàn)段倍分關(guān)系、兩直線(xiàn)位置關(guān)系、線(xiàn)段長(cháng)度的計算等方面有著(zhù)廣泛的應用． 【例5】 如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K、L分別為MN、PQ的中點(diǎn)，求證：KL∥AE且KL= AE． (20xx年天津賽區試題) 思路點(diǎn)撥 通過(guò)連線(xiàn)，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個(gè)中點(diǎn)的 利用創(chuàng )造條件，這是解本例的突破口． 注 需要什么，構造什么，構造基本圖形、構造線(xiàn)段的和差(倍分)關(guān)系、構造角的關(guān)系等，這是作輔助線(xiàn)的有效思考方法之一． 學(xué)歷訓練 1．BD、CE是△ABC的中線(xiàn)，G、H分別是BE、CD的中點(diǎn)，BC=8，則GH= ． (20xx年廣西中考題) 2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的'中點(diǎn)，則 ；若 D2、E2分別是D1B、E1C的中點(diǎn)，則 ：若 D3、E3分別是D2B、E2C的中點(diǎn).則 ……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，則DnEn= (n≥1且 n為整數). (200l年山東省濟南市中考題) 3．如圖，△ABC邊長(cháng)分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線(xiàn)AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值是 ． 4．如圖， 梯形ABCD中，AD∥BC，對角線(xiàn)AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線(xiàn)的長(cháng)等于 cm． (20xx年天津市中考題) 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=( ) A．40 B．48 C 50 D．56 6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對角線(xiàn)BD、AC的中點(diǎn)，若AD=6cm，BC=18?，則EF的長(cháng)為( ) A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm 7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點(diǎn)C落在A(yíng)B上的E點(diǎn)，DE、DF三等分∠ADC，AB的長(cháng)為6，則梯形ABCD的中位線(xiàn)長(cháng)為( ) A．不能確定 B．2 C． D． +1 (20xx年浙江省寧波市中考題) 8．已知四邊形ABCD和對角線(xiàn)AC、BD，順次連結各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個(gè)命題： �、偃羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形； �、谌羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形； �、廴羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則AC⊥BD； �、苋羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AC=BD； �、萑羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則∠BAD=90°； �、奕羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AB=AD． 以上命題中，正確的是( ) A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④ (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 9．如圖，已知△ABC中，AD是 高，CE是中線(xiàn)，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G 是CE的 中點(diǎn)；(2)∠B=2∠BCE． (20xx年上海市中考題) 10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連結BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點(diǎn)，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點(diǎn)． 11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長(cháng)線(xiàn)交BE于F． (1)求證：EF＝FB； (2)S△BCE能否為S梯形ABCD的 ?若不能，說(shuō)明理由；若能，求出AB與CD的關(guān)系． 12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長(cháng)為 ． (20xx年四川省競賽題) 13．四邊形ADCD的對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)F，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC= ． (重慶市競賽題) 1 4．四邊形ABCD中，AD>BC，C、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(cháng)線(xiàn)分別與EF的延長(cháng)線(xiàn)交于H、G，則∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”號) 15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線(xiàn)AD=2，AB+AC=3+ ，則S△ABC等于( ) A． B． C． D． 16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點(diǎn)，設∠DAQ=α，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP＝2α，則CP的長(cháng)是( ) A．1 D．2 C．3 D． 17．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系式是( ) A． B． C． D． 18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(cháng)CA、CB到E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、 CB的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE=∠PBF． (20xx年全國初中數學(xué)聯(lián)賽試題) 19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結論． (山東省競賽題) 20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結DE，設M為D正的中點(diǎn)． (1)求證：MB=MC； (2)設∠BAD=∠CAE，固定△ABD， 讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內旋轉到圖乙的位置，試問(wèn)：MB；MC是否還能成立?并證明其結論． (江蘇省競賽題) 21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線(xiàn)MN，過(guò)A、B、C、D4個(gè)頂點(diǎn)分別作MN的垂線(xiàn)AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1． (1)求證AA1+ CCl = BB1 +DDl； (2)如圖乙，直線(xiàn)MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)A與點(diǎn)B、C、D位于直線(xiàn)MN兩側，這時(shí)過(guò)A、B、C、D向直線(xiàn)MN引垂線(xiàn)，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl 之間存在什么關(guān)系? 一、學(xué)習目標 �。�、經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過(guò)程，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達能力。 2、 會(huì )進(jìn)行簡(jiǎn)單的多項式與多項式的乘法運算 二、學(xué)習過(guò)程 �。ㄒ唬┳詫W(xué)導航 1、創(chuàng )設情境 某地區在退耕還林期間，將一塊長(cháng)m米、寬a米的長(cháng)方形林區的長(cháng)、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區現在的面積。 這塊林區現在的長(cháng)為 米，寬為 米。因而面積為_(kāi)_______米2。 還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。 由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 = 如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？ 2、概括： 多項式乘以多項式的法則： 3、計算 �。�1） （2） 4、練一練 �。�1） �。ǘ┖献鞴リP(guān) 1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設計一個(gè)準備臺，要求四面的過(guò)道寬都為x米，已知廚房的長(cháng)寬分別為8米和5米，用代數式表示該廚房過(guò)道的總面積。 2、解方程 �。ㄈ┻_標訓練 1、填空題： �。�1） = = �。�2） = 。 2、計算 �。�1） （2） �。�3） (4) �。ㄋ模┨嵘� 1、怎樣進(jìn)行多項式與多項式的乘法運算？ 2、若 的乘積中不含 和 項，則a= b= 應用題 第三十五講 應用題 在本講中將介紹各類(lèi)應用題的解法與技巧． 當今數學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會(huì )的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應用數學(xué)去觀(guān)察、分析日常生活現象，去解決日常生活問(wèn)題，成為各類(lèi)數學(xué)競賽的一個(gè)熱點(diǎn)． 應用性問(wèn)題能引導學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會(huì )，使學(xué)生充分到數學(xué)與自然和人類(lèi)社會(huì )的密切聯(lián)系，增強對數學(xué)的理解和應用數學(xué)的信心． 解答應用性問(wèn)題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì )運用數學(xué)知識去觀(guān)察、分析、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數學(xué)本質(zhì)，將其轉化為數學(xué)模型．其求解程序如下： 在初中范圍內常見(jiàn)的數學(xué)模型有：數式模型、方程模型、不等式模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等． 例題求解 一、用數式模型解決應用題 數與式是最基本的數學(xué)語(yǔ)言，由于它能夠有效、簡(jiǎn)捷、準確地揭示數學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達數學(xué)問(wèn)題的重要方法． 【例1】(20xx年安徽中考題)某風(fēng)景區對5個(gè)旅游景點(diǎn)的門(mén)票價(jià)格進(jìn)行了調整，據統計，調價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數基本不變。有關(guān)數據如下表所示： 景點(diǎn)ABCDE 原價(jià)（元）1010152025 現價(jià)（元）55152530 平均日人數（千人）11232 �。�1）該風(fēng)景區稱(chēng)調整前后這5個(gè)景點(diǎn)門(mén)票的平均收費不變，平均日總收入持平。問(wèn)風(fēng)景區是怎樣計算的？ �。�2）另一方面，游客認為調整收費后風(fēng)景區的平均日總收入相對于調價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問(wèn)游客是 怎樣計算的？ �。�3）你認為風(fēng)景區和游客哪一個(gè)的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際？ 思路點(diǎn)撥 （1）風(fēng)景區是這樣計算的： 調整前的平均價(jià)格： ，設整后的平均價(jià)格： ∵調整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數不變． ∴平均日總收入持平． �。� 2）游客是這樣計算的： 原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 現平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日總收入增加了 �。�3）游客的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際． 二、用方程模型解應用題 研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現實(shí)生恬中有關(guān)問(wèn)題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認識和理解現實(shí)世界． 【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門(mén)，其中兩道正門(mén)大小相同，兩道側門(mén)大小也相同．安全檢查中，對4道門(mén)進(jìn)行了測試：當同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和兩道側門(mén)時(shí)，2min內可以通過(guò)560名學(xué)生；當同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和一道側門(mén)時(shí)，4mln內可以通過(guò)800名學(xué)生． (1)求平均每分鐘一道正門(mén)和一道側門(mén)各可以通過(guò)多少名學(xué)生? (2)檢查中發(fā)現，緊急情況時(shí)因學(xué)生擁擠，出門(mén)的效率降低20％．安全檢查規定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應在5min內通過(guò)這4道門(mén)安全撤離．假設這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造的這4道門(mén)整否符合安全規定?請說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過(guò)的學(xué)生數量．設未知數時(shí)一般問(wèn)什么設什么．“符合安全規定”之義為最大通過(guò)量不小于學(xué)生總數． (1)設平均每分鐘一道正門(mén)可以通過(guò)x名學(xué)生，一道側門(mén)可以通過(guò)y名學(xué)生，由題意得： ,解得： (2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)． 擁擠時(shí)5min4道門(mén)能通過(guò)． 5×2(120+80)(1－20％)=1600(名), 因1600>1440，故建造的4道門(mén)符合安全規定． 三、用不等式模型解應用題 現實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問(wèn)題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對所研究的問(wèn)題有比較清楚的認識． 【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地擬建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)，決定選用A、B兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機，根據產(chǎn)品說(shuō)明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表： 日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6 日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機O≥36≥150 B型發(fā)電機O≥24≥90 根據上面的數據回答： (1)若這個(gè)發(fā)電場(chǎng)購x臺A型風(fēng)力發(fā)電機，則預計這些A型風(fēng)力發(fā)電機一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí)； (2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機每臺O.3萬(wàn)元，B型風(fēng)力發(fā)電機每臺O.2萬(wàn)元．該發(fā)電場(chǎng)擬購置風(fēng)力發(fā)電機共10臺，希望購機的費用不超過(guò)2.6萬(wàn)元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請你提供符合條件的購機方案． 根據上面的數據回答： 思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x； (2)設購A型發(fā)電機x臺，則購B型發(fā)電機(10—x)臺, 解法一根據題意得： 解得5≤x ≤6． 故可購A型發(fā)電機5臺，B型發(fā)電機5臺；或購A型發(fā)電機6臺，B型發(fā)電視4臺． 四、用函數知識解決的應用題 函數類(lèi)應用問(wèn)題主要有以下兩種類(lèi)型：(1)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)數學(xué)符號，建立函數關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數關(guān)系式． 【例4】 (揚州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng )辦了“潤楊”報刊零售點(diǎn)．對經(jīng)營(yíng)的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息： �、儋I(mǎi)進(jìn)每份0.20元，賣(mài)出每份0.30元； �、谝粋�(gè)月內(以30天計)，有20天每天可以賣(mài)出200份，其余10天每天只能賣(mài)出120份； �、垡粋�(gè)月內，每天從報社買(mǎi)進(jìn)的報紙份數必須相同．當天賣(mài)不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社； (1)填表： 一個(gè)月內每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報的份數100150 當月利潤(單位：元) (2)設每天從報社買(mǎi)進(jìn)該種晚報x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤為y元，試求出y與x的函數關(guān)系式，并求月利潤的最大值． 思路點(diǎn)撥(1)填表： 一個(gè)月內每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報的份數100150 當月利潤(單位：元)300390 (2)由題意可知，一個(gè)月內的20天可獲利潤： 20×=2x(元)；其余10天可獲利潤： 10=240—x(元)； 故y=x+240，(120≤x≤200)， 當x=200時(shí)，月利潤y的最大值為440元． 注 根據題意，正確列出函數關(guān)系式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍． 另外，初三還會(huì )提及統計型應用題，幾何型應用題． 【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成． �。�1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數． (2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時(shí)間內：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工 程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢(qián)最少? 思路點(diǎn)撥 這是一道策略?xún)?yōu)選問(wèn)題．工程問(wèn)題中：工作量=工作效率×工時(shí)． (1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據題意得： , x=30合題意， 所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天． (2)各種方案所需的費用分別為： A．請甲隊需20xx×20=40000元； B．請乙隊需1400×30=4200元； C．請甲、乙兩隊合作需(20xx+1400)×12=40800元． 所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢(qián)最少． 【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達目的地，然后在生態(tài)區考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問(wèn)：科學(xué)考察隊的生態(tài)區考察了多少天? 思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵! 設考察隊到 生態(tài)區去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60， 17x－25y=－1，即25y－17x=1． ① 這里x、y是正整數，現設 法求出①的.一組合題意的解，然后計算出z的值． 為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數)．用輾轉相除法． 25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25． 與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2． 下面再求出①的合題意的解． 由不定方程的知識可知，①的一切整數解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t， ∴ x+y=42t－5，t為整數．按題意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察隊在生態(tài)區考察的天數是23天． 注 本題涉及到的未知量多，最終轉化為二元一次不定方程來(lái)解，希讀者仔細咀嚼所用方法． 【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規定如下： (1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購物滿(mǎn)200元，但不超過(guò)500元，按標價(jià)給予九折優(yōu)惠； (3)若一次購物超過(guò)500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折 優(yōu)惠． 小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現在小亮決定一次去購 買(mǎi)小明分兩次購買(mǎi)的同樣多的物品，他需付款多少? 思路點(diǎn)撥 應付198元購物款討論： 第一次付款198元，可是所購物品的實(shí)價(jià)，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論． 情形1 當198元為購物不打折付的錢(qián)時(shí)，所購物品的原價(jià)為198元 ． 又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢(qián)，104元為購物打八折付的錢(qián)；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所購物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購買(mǎi)小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買(mǎi)應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 當198元為購物打九折付的錢(qián)時(shí)，所購物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 綜上所述，小亮一次去超市購買(mǎi)小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元 【例8】 (20xx年全國數學(xué)競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現在工程由一個(gè)隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊承包費用最少? 思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問(wèn)題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮： 設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成． 則 ，解得 再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元， 則 ，解得 于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)． 由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)． 而丙隊不能在一周內完成．所以由乙隊承包費用最少． 學(xué)歷訓練 �。ˋ級） 1．(河南)在防治“SARS”的戰役中，為防止疫情擴散，某制藥廠(chǎng)接到了生產(chǎn)240箱過(guò)氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來(lái)多生產(chǎn)15箱，結果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液? 2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水，對自來(lái)水妁收費標準作如下規定：每月每戶(hù)用水中不超過(guò)10t部分按0.45元／噸收費；超過(guò)10t而不超過(guò)20t部分按每噸0.8元收費；超過(guò)20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶(hù)比乙戶(hù)多繳水費7.10元，乙戶(hù)比丙戶(hù)多繳水費3.75元，問(wèn)甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來(lái)水按整噸收費) 3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問(wèn)：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題? 4．某人從A地到B地乘坐出租車(chē)有兩種方案，一種出租車(chē)收費標準是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車(chē)收費標準是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問(wèn)選擇哪一種出租車(chē)比較合適? (提示：根據目前出租車(chē)管理條例，車(chē)型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少) �。˙級） 1．(全國初中數學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機 臺． 2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價(jià)：800元／臺．甲商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)： 購買(mǎi)臺數1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上 每臺價(jià)格760元720元680元640元600元 乙商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)：每次購買(mǎi)1~8臺，每臺打九折；每次購買(mǎi)9~16臺，每臺打八五折； 每次購買(mǎi)17~24臺，每臺打八折；每次購買(mǎi)24臺以上，每臺打七五折． �。�1）請仿照甲商場(chǎng)的促銷(xiāo)列表，列出到乙商場(chǎng)購買(mǎi)VCD的購買(mǎi)臺數與每臺價(jià)格的對照表； (2)現在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買(mǎi)10臺VCD，B單位要買(mǎi)16臺VCD，C單位要買(mǎi)20臺VCD，問(wèn)他們到哪家商場(chǎng)購買(mǎi)花費較少? 3．(河北創(chuàng )新與知識應用競賽題)某錢(qián)幣收藏愛(ài)好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據此設計兌換方案． 4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級數是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問(wèn)： (1)扶梯露在外面的部分有多少級? (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數和扶梯的級數相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級臺階? 5．某化肥廠(chǎng)庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問(wèn)在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍． 6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場(chǎng)，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場(chǎng)．問(wèn)建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產(chǎn)量，直線(xiàn)段上的字母a、b、d表示距離，且b < a 多邊形的邊角與對角線(xiàn) j.Co M 第十四講 多邊形的邊角與對角線(xiàn) 邊、角、對角線(xiàn)是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數 、內外角度數、對角線(xiàn)條數是解與多邊形相關(guān)的基本問(wèn)題，常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識． 多邊形 的內角和定理反映出一定的規律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規律；360°是一個(gè)常數，把內角問(wèn)題轉化為外角問(wèn)題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問(wèn)題的常用技巧． 將多邊形問(wèn)題轉化為三角形問(wèn)題來(lái)處理是解多邊形問(wèn)題的基本策略，連對角線(xiàn)或向外補形、對內分割是轉化的常用方法，從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線(xiàn)把 凸 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出 對角線(xiàn)． 例題求解 【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內角外，其余內角之和為20xx°，則這個(gè)多邊形的邊數是 ． (江蘇省競賽題) 思路點(diǎn)撥 設除去的角為°，y°，多邊形的邊數 為 ，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0° 鏈接 世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過(guò)程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線(xiàn)、線(xiàn)生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些幾何圖形． 【例2】 在凸10邊形的所有內角中，銳角的個(gè)數最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全國初中數學(xué)競賽題) 思路點(diǎn)撥 多邊形的內角和是隨著(zhù)多邊形的邊數變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內角為銳角的個(gè)數討論轉化為 外角為鈍角的個(gè)數的探討． 【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開(kāi)成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫(huà)出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫(xiě)出所拼四邊形的對角線(xiàn)的長(cháng)． (烏魯木齊市中考題) 思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線(xiàn)有不同情形． 注 教學(xué)建模是當今教學(xué)教育、考試改革最熱門(mén)的一個(gè)話(huà)題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，“數學(xué)建�！本褪峭ㄟ^(guò)數學(xué)化(引元、畫(huà)圖等)把實(shí)際問(wèn)題特化為一個(gè)數學(xué)問(wèn)題，再運用相應的數學(xué)知識方法(模型)解決問(wèn)題． 本例通過(guò)設元，把“沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙”轉譯成等式，通過(guò)不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，觀(guān)察各種建筑物的地板，就能發(fā)現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內角大小有關(guān)，當圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形． (1)請根據下列圖形，填寫(xiě)表中空格： (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形? (3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說(shuō)明你的理由． (陜西省中考題) 思路點(diǎn)撥 本例主要研究?jì)蓚�(gè)問(wèn)題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開(kāi)放性，又具有探索性．假定正n邊形滿(mǎn)足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內角的和為360°，這樣，將問(wèn)題的討論轉化為求不定方程的正整數解． 【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線(xiàn)沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'． �。�1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說(shuō)明理由． (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長(cháng)比五邊形ABCD正的周長(cháng)至少增加25個(gè)單位． (江蘇省競賽題) 思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿(mǎn)足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點(diǎn)分別共線(xiàn)；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長(cháng)等于A(yíng)'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長(cháng)逼近估算． 1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長(cháng)為16cm、寬為12cm的長(cháng)方形，再沿對角線(xiàn)把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來(lái)，其中周長(cháng)最大的是 ?，周長(cháng)最小的是 cm． (選6《莢國中小學(xué)數學(xué)課程標準》) 2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線(xiàn)段AD的取值范圍是 ． 4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個(gè)圖案： (1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊； (2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊． (江西省中考題) 5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內角為鈍角，則n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀請賽試題) 6．一個(gè)凸多邊 形的每一內角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線(xiàn)的條數是( ) A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條 7．有一個(gè)邊長(cháng)為4m的正六邊形客廳，用邊長(cháng)為50cm的正三角形瓷磚鋪滿(mǎn)，則需要這種瓷磚( ) A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊 ( “希望杯”邀請賽試題) 8．已知△ABC是邊長(cháng)為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD． �。�1）)畫(huà)出四邊形ABCD； (2)求出四邊形ABCD的對角線(xiàn)BD的長(cháng)． (上海市閔行區中考題) 9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數． (北京市競賽題) 10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點(diǎn)，連結A1B1，我們稱(chēng)A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對線(xiàn)，如果五邊形的每條中對線(xiàn)都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線(xiàn)和它平行． (安徽省中考題) 11．如圖，凸四邊形有 個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重慶市競賽題) 12．如圖，延長(cháng)凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長(cháng)凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于 ． ( “希望杯”邀請賽試題) 13．設有一個(gè)邊長(cháng)為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線(xiàn)段上向外作正三角形，去掉中間的線(xiàn)段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過(guò)程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復上述過(guò)程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長(cháng)是 ；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍． (全國初中數學(xué)聯(lián)賽題) 14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題) 15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內角外，其余(n一1)個(gè)內角的和為2750°，則這個(gè)內角的度數為( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長(cháng)為( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題) 注 按題中的方法'不斷地做下去，就會(huì )成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱(chēng)——雪花曲線(xiàn)或 科克曲線(xiàn)(瑞典數學(xué)家)，這類(lèi)圖形稱(chēng)為“分形”，大量的物理、生物與數學(xué)現象都導致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支． 17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山東省競賽題) 18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線(xiàn)上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內角不超過(guò)45°． 19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長(cháng)都是整數，求n． (上海市競賽題) 20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長(cháng)分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長(cháng)． 21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面上的情況，如果折疊起來(lái)，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其折疊過(guò)程可由圖2的變換反映出來(lái)． 如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長(cháng)時(shí)，才能實(shí)現上述的折疊變化? (淄博市中考題) 22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長(cháng)為1的正方形或正三角形無(wú)重疊、無(wú)間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內角的大小，并畫(huà)出這樣的 凸n邊形的草圖． 圖形的平移與旋轉 前蘇聯(lián)數學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科． 幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱(chēng)為合同變換，平移、旋轉是常見(jiàn)的合同變換． 如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換． 平移前后的圖形全等，對應線(xiàn)段平行且相等，對應角相等． 如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉變換，其中定點(diǎn)叫旋轉中心，定角叫旋轉角． 旋轉前后的圖形全等，對應線(xiàn)段相等，對應角相等，對應點(diǎn)到旋轉中心的距離相等． 通過(guò)平移或旋轉，把部分圖形搬到新的位置，使問(wèn)題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關(guān)系明朗化，促使問(wèn)題的解決． 注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線(xiàn)段間的比例關(guān)系，而線(xiàn)段本身的大小要改變． 例題求解 【例1】如圖，P為正方形ABCD內一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ． 思路點(diǎn)撥 通過(guò)旋轉，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線(xiàn)段集中到同一個(gè)三角形． 【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線(xiàn) 段x、m、n為邊長(cháng)的三角形的形狀是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變 思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線(xiàn)上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可． 注 下列情形，常實(shí)施旋轉變換： (1)圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°； (2)圖形中有線(xiàn)段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉180°，構造中心對稱(chēng)全等三角形； (3)圖形中出現有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段，將含有相等線(xiàn)段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉兩相等線(xiàn)段的夾角后與另一相等線(xiàn)段重合． 【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等． (全俄數學(xué)奧林匹克競賽題) 思路點(diǎn)撥 設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換． 注 平移變換常與平行線(xiàn)相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線(xiàn)段移到適當的位置，使分散的條件相對集中，促使問(wèn)題的解決． 【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題) 思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過(guò)平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中． 注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識： (1)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，垂線(xiàn)段最短； (2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； (3)同一個(gè)三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內角． 【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長(cháng)為 ，點(diǎn)P是△ABC內的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長(cháng)． (“希望杯”邀請賽試題) 思路點(diǎn)撥 題設條件滿(mǎn)足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形，不能直接應用，通過(guò)旋轉變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵． 學(xué)歷訓練 1．如圖，P是正方形ABCD內一點(diǎn)，現將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針?lè )较蛐D能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ． 2．如圖，P是等邊△ABC內一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ． 3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長(cháng)為 ． 4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( ) A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題) 5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 當∠EPF在△ABC內繞頂點(diǎn)P旋轉時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè) (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長(cháng)為( ) A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題) 7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(cháng)分別為 和 ，對角線(xiàn)BD、FH都在直線(xiàn) 上，O1、O2分別為正方形的中心，線(xiàn)段O1O2的長(cháng)叫做兩個(gè)正方形的中心距，當中心O2在直線(xiàn) 上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有變化． (1)計算：O1D= ，O2F= ； (2)當中心O2在直線(xiàn) 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ； (3)隨著(zhù)中心O2在直線(xiàn) 上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫(xiě)出計算過(guò)程)． (徐州市中考題) 8．圖形的操做過(guò)程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長(cháng)均為a，豎直 方向的邊長(cháng)均為b）： 在圖a中，將線(xiàn)段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）； 在圖b中， 將折線(xiàn)A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）； �。�1）在圖c中,請你類(lèi)似地畫(huà)一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線(xiàn),同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線(xiàn)畫(huà)出陰影； �。�2）請你分別寫(xiě)出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ； �。�3）聯(lián)想與探索： 如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說(shuō)明你的猜想是正確的． (20xx年河北省中考題) 9．如圖，已知點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM． 說(shuō)明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現要求： (1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè )较蛐D180°，使A點(diǎn)落在CB上，請對照原題圖在圖中畫(huà)出符合要求的圖形(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)． (2)在①所得的圖形中，結論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說(shuō)明理由． (3)在①得到的圖形中，設MA的延長(cháng)線(xiàn)與BN相交于D點(diǎn)，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論． 10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè )较蛐D90°至△DEF，則旋轉前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2． 11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長(cháng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ． (紹興市中考題) 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無(wú)法確定 13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( ) A． B． C ．5 D．6 (20xx年武漢市選拔賽試題) 14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長(cháng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC． 15．如圖，P為等邊△ABC內一點(diǎn)，PA、PB、PC的長(cháng)為正整數，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實(shí)數，滿(mǎn) ，求△ABC的面積． 16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著(zhù)兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門(mén)，B為分校大門(mén)，為方便人員來(lái)往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來(lái)往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來(lái)往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題) 17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ． (1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題) 18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長(cháng)為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長(cháng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度為定值． (2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長(cháng)的扇形紙板的圓心放在邊長(cháng)為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉， 當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度為定值a；當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度也為定值a． (3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長(cháng)的扇形紙板的圓心放在邊長(cháng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉．當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長(cháng)度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫(xiě)出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請說(shuō)明理由． 教學(xué)內容： 人教版小學(xué)數學(xué)教材五年級上冊第87～88頁(yè)例1及相關(guān)練習。 教學(xué)目標： 1．通過(guò)操作、觀(guān)察、比較等活動(dòng)，自主探索平行四邊形面積計算公式，滲透轉化思想。 2．能正確地應用公式計算平行四邊形的面積。 教學(xué)重點(diǎn)： 探索并掌握平行四邊形面積計算公式。 教學(xué)難點(diǎn)： 理解平行四邊形面積計算公式的推導過(guò)程，體會(huì )轉化思想。 教學(xué)準備： 課件，一個(gè)框架式可以活動(dòng)的平行四邊形教具，為學(xué)生準備一張底為6 cm、高為4 cm的平行四邊形紙張。 教學(xué)過(guò)程： 一、激趣引入 1．游戲。面積比大�。耗隳芎芸毂容^出下面每組圖中陰影部分面積的大小嗎？ 你怎么知道它們的面積一樣大的？（反饋重點(diǎn)：①數方格；②轉化成長(cháng)方形。） 2．（出示平行四邊形）這個(gè)圖形是？（平行四邊形）。關(guān)于平行四邊形，大家已經(jīng)知道了哪些知識？ 3．揭示課題：今天，這節課我們要來(lái)研究平行四邊形的面積，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)平行四邊形的面積指的是哪部分呢？ 【設計意圖】轉化的思想是推導平面圖形面積計算方法的指導思想，作為本單元的起始課，通過(guò)面積比大小的游戲，讓學(xué)生意識到不僅可以通過(guò)數方格來(lái)比較圖形的大小，還可以通過(guò)剪拼轉化成熟悉的圖形進(jìn)行大小比較，既富有趣味性，又能為新知的探究做好鋪墊。 二、新知探究 �。ㄒ唬┖侠聿孪� 1．確實(shí)，由四條邊圍成的封閉圖形的大小就是平行四邊形的面積。那么同學(xué)們猜想一下，這個(gè)平行四邊形的面積可能會(huì )怎么計算？并說(shuō)說(shuō)你的理由。 預設1：鄰邊相乘； 預設2：底邊乘高。 2．同桌互相說(shuō)一說(shuō)，你同意哪一種猜想？理由是什么？ 3．反饋想法。 預設1：長(cháng)方形的面積是長(cháng)乘寬，所以平行四邊形的面積是底乘鄰邊。把平行四邊形拉一拉就可以變成長(cháng)方形。 預設2：用底邊乘高來(lái)計算�？梢酝ㄟ^(guò)剪一剪、拼一拼，把平行四邊形轉化為長(cháng)方形，再計算面積。 �。ǘ炞C猜想 同學(xué)們都想到將平行四邊形的面積轉化成長(cháng)方形的`面積來(lái)計算，那么這兩種方法有什么不同？哪種方法更合理呢？ 1．鄰邊相乘的想法 教師：就讓我們先來(lái)研究一下拉的方法。（出示教具）請看，我們再次慢慢地把原來(lái)的平行四邊形拉成長(cháng)方形，仔細觀(guān)察拉動(dòng)前后什么沒(méi)有變，什么發(fā)生了變化？ 學(xué)生：邊的長(cháng)短沒(méi)變，高和面積變了。 教師追問(wèn)：周長(cháng)變了嗎？面積變大了還是變小了？能在圖上更直觀(guān)地表示出來(lái)嗎？ 教師：現在誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)這種拉的方法合理嗎？為什么？ 教師小結：是的，在拉動(dòng)前后平行四邊形的面積與長(cháng)方形的面積不相等。用底乘鄰邊算出的不是平行四邊形的面積，而是拉動(dòng)后的長(cháng)方形的面積。所以用拉的方法計算平行四邊形的面積是不正確的。 【設計意圖】利用教具進(jìn)行操作對比，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察自覺(jué)修正自己的想法。 2．底邊乘高的想法 �。�1）數格子驗證 教師：這里的一些不是整格的怎么數？ 學(xué)生：可以通過(guò)拼一拼，變成整格的再數。 教師：拼一拼后，就變成了什么形狀？這個(gè)長(cháng)方形的長(cháng)和寬分別是多少？所以面積是多少？ �。�2）剪拼驗證 教師：誰(shuí)來(lái)展示你是如何進(jìn)行剪接的？ 學(xué)生：沿高剪下，補到另一邊，拼成長(cháng)方形。 教師：拼成的是一個(gè)怎樣的長(cháng)方形？（長(cháng)6 cm，寬4 cm） 那這個(gè)長(cháng)方形的面積怎么算？（平行四邊形的面積是24 cm2）。 【設計意圖】讓學(xué)生大膽提出假設，并讓學(xué)生自主思考通過(guò)數格子、剪拼等實(shí)踐操作進(jìn)行驗證。在操作反饋中，讓他們在和同學(xué)、老師的交流過(guò)程中，展示自己的想法，完善自己的思考，對于知識的獲取是很有益處的。 �。ㄈ┕酵茖� 教師：仔細觀(guān)察， 拼成的長(cháng)方形的長(cháng)和寬分別相當于原來(lái)的平行四邊形中的哪兩部分？ 學(xué)生：長(cháng)方形的長(cháng)與平行四邊形的底相等，長(cháng)方形的寬與原來(lái)平行四邊形的高相等。 教師：那么根據長(cháng)方形的面積計算公式，平行四邊形的面積該怎么計算呢？ 教師：如果我們用 表示平行四邊形的面積，用 表示平行四邊形的底，用 表示平行四邊形的高，那么平行四邊形的面積計算公式可以用 來(lái)表示。 �。ㄋ模┗仡櫩偨Y 回顧剛才的學(xué)習過(guò)程，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)我們是怎樣學(xué)習平行四邊形的面積的計算方法的？ 【設計意圖】通過(guò)觀(guān)察對比，讓學(xué)生發(fā)現轉化前后圖形之間的相同點(diǎn)之后，溝通兩個(gè)圖形之間的內在聯(lián)系，順利地把新知轉化為舊知，從而順利推導出平行四邊形面積的計算公式。 三、練習鞏固 �。ㄒ唬┗A練習 1．完成練習十九第1題。 �。�1）請學(xué)生計算，并進(jìn)行訂正。 �。�2）反饋小結：在計算時(shí)，可以先寫(xiě)出面積公式，再進(jìn)行計算。 2．完成練習十九第2題。 �。�1）請學(xué)生計算，并進(jìn)行反饋。 �。�2）反饋側重：最后一小題引導學(xué)生注意找準相對應的底和高。教師還可以根據學(xué)生的學(xué)習情況進(jìn)行補充練習。 【設計意圖】教材本身就提供了多層次的練習，教師在這里進(jìn)行合理選擇，通過(guò)基礎題、變化題練習，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確計算平行四邊形面積所需要的條件，鞏固所學(xué)的知識。 �。ǘ┩卣固嵘� 一塊平行四邊形木板，底是4 cm ，高是3 cm 。它的面積是多少？ 1．引導學(xué)生算出它的面積； 2．請學(xué)生在方格紙上畫(huà)出這樣的平行四邊形； 3．教師：像這樣的平行四邊形你能畫(huà)出多少個(gè)？（無(wú)數個(gè)）它們的面積相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。 4．教師小結：是的，像這樣的平行四邊形剪拼之后都可以轉化成一個(gè)長(cháng)4 cm，寬3 cm 的長(cháng)方形，它們的面積都相等。由此，可以得到等底等高的平行四邊形面積一定相等。 5．思考：面積相等的平行四邊形一定等底等高嗎？為什么？ 【設計意圖】從已知條件求面積到根據條件畫(huà)圖形，讓學(xué)生在畫(huà)圖反饋的過(guò)程中感受到等底等高的平行四邊形面積相等，既提升了所學(xué)知識，又關(guān)注了學(xué)生的思考，培養學(xué)生的分析歸納能力。 四、總結提示 教師：回憶一下，今天這節課有什么收獲？ 總結：我們用把平行四邊形轉化成長(cháng)方形的方法推導出了平行四邊形的面積計算方法，這種轉化的思想對于我們的數學(xué)學(xué)習很重要。 【設計意圖】在本節課的最后，教師通過(guò)回憶幫學(xué)生把本節課得到的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗進(jìn)行總結，引導學(xué)生在后續的學(xué)習中也利用轉化的思想對圖形的面積進(jìn)行自主探索。 教學(xué)目標： 1．使學(xué)生在理解的基礎上掌握平行四邊形面積的計算公式，并會(huì )運用公式正確地計算平行四邊形的面積． 2．通過(guò)操作、觀(guān)察、比較，發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念，培養學(xué)生運用轉化的思考方法解決問(wèn)題的能力和邏輯思維能力． 3．對學(xué)生進(jìn)行辯詐唯物主義觀(guān)點(diǎn)的啟蒙教育． 教學(xué)重點(diǎn)：理解公式并正確計算平行四邊形的面積． 教學(xué)難點(diǎn)：理解平行四邊形面積公式的推導過(guò)程． 學(xué)具準備：每個(gè)學(xué)生準備一個(gè)平行四邊形。 教學(xué)過(guò)程： 1、什么是面積？ 2、請同學(xué)翻書(shū)到80頁(yè)，請觀(guān)察這兩個(gè)花壇，哪一個(gè)大呢？假如這塊長(cháng)方形花壇的長(cháng)是3米，寬是2米，怎樣計算它的面積呢？ 二、導入新課 根據長(cháng)方形的面積=長(cháng)×寬（板書(shū)），得出長(cháng)方形花壇的面積是6平方米，平行四邊形面積我們還沒(méi)有學(xué)過(guò)，所以不能計算出平行四邊形花壇的面積，這節課我們就學(xué)習平行四邊形面積計算。 三、講授新課 �。ㄒ唬�、數方格法 用展示臺出示方格圖 1、這是什么圖形？（長(cháng)方形）如果每個(gè)小方格代表1平方厘米，這個(gè)長(cháng)方形的面積是多少？（18平方厘米） 2、這是什么圖形？（平行四邊形）每一個(gè)方格表示1平方厘米，自己數一數是多少平方厘米？ 請同學(xué)認真觀(guān)察一下，平行四邊形在方格紙上出現了不滿(mǎn)一格的，怎么數呢？可以都按半格計算。然后指名說(shuō)出數得的結果，并說(shuō)一說(shuō)是怎樣數的。 2、請同學(xué)看方格圖填80頁(yè)最下方的表，填完后請學(xué)生回答發(fā)現了什么？ �。喝绻L(cháng)方形的長(cháng)和寬分別等于平行四邊形的底和高，則它們的面積相等。 �。ǘ┮敫钛a法 以后我們遇到平行四邊形的地、平行四邊形的零件等等平行四邊形的東西，都像這樣數方格的方法來(lái)計算平行四邊形的面積方不方便？那么我們就要找到一種方便、又有規律的計算平行四邊形面積的方法。 �。ㄈ└钛a法 1、這是一個(gè)平行四邊形，請同學(xué)們把自己準備的平行四邊形沿著(zhù)所作的高剪下來(lái)，自己拼一下，看可以拼成我們以前學(xué)過(guò)的什么圖形？ 2、然后指名到前邊演示。 3、教師示范平行四邊形轉化成長(cháng)方形的過(guò)程。 剛才發(fā)現同學(xué)們把平行四邊形轉化成長(cháng)方形時(shí)，就把從平行四邊形左邊剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右邊，拼成長(cháng)方形。在變換圖形的位置時(shí)，怎樣按照一定的規律做呢？現在看老師在黑板上演示。 �、傧妊刂�(zhù)平行四邊形的高剪下左邊的直角三角形。 �、谧笫职醋∈Ｏ碌腵梯形的右部，右手拿著(zhù)剪下的直角三角形沿著(zhù)底邊慢慢向右移動(dòng)。 �、垡苿�(dòng)一段后，左手改按梯形的左部。右手再拿著(zhù)直角三角形繼續沿著(zhù)底邊慢慢向右移動(dòng)，到兩個(gè)斜邊重合為止。 請同學(xué)們把自己剪下來(lái)的直角三角形放回原處，再沿著(zhù)平行四邊形的底邊向右慢慢移動(dòng)，直到兩個(gè)斜邊重合。（教師巡視指導。） 4、觀(guān)察（黑板上在剪拼成的長(cháng)方形左面放一個(gè)原來(lái)的平行四邊形，便于比較。） �、龠@個(gè)由平行四邊形轉化成的長(cháng)方形的面積與原來(lái)的平行四邊形的面積比較，有沒(méi)有變化？為什么？ �、谶@個(gè)長(cháng)方形的長(cháng)與平行四邊形的底有什么樣的關(guān)系？ �、圻@個(gè)長(cháng)方形的寬與平行四邊形的高有什么樣的關(guān)系？ 教師歸納：任意一個(gè)平行四邊形都可以轉化成一個(gè)長(cháng)方形，它的面積和原來(lái)的平行四邊形的面積相等，它的長(cháng)、寬分別和原來(lái)的平行四邊形的底、高相等。 5、引導學(xué)生平行四邊形面積計算公式。 這個(gè)長(cháng)方形的面積怎么求？（指名回答后，在長(cháng)方形右面板書(shū)：長(cháng)方形的面積＝長(cháng)×寬） 那么，平行四邊形的面積怎么求？（指名回答后，在平行四邊形右面板書(shū)：平行四邊形的面積＝底×高。） 6、教學(xué)用字母表示平行四邊形的面積公式。 板書(shū)：S＝a×h，告知S和h的讀音。 說(shuō)明在含有字母的式子里，字母和字母中間的乘號可以記作“”，寫(xiě)成ah，也可以省略不寫(xiě)，所以平行四邊形面積的計算公式可以寫(xiě)成S＝ah，或者S＝ah。 �。�6）完成第81頁(yè)中間的“填空”。 7、驗證公式 學(xué)生利用所學(xué)的公式計算出“方格圖中平行四邊形的面積”和用數方格的方法求出的面積相比較“相等”，加以驗證。 條件強化：求平行四邊形的面積必須知道哪兩個(gè)條件？（底和高） �。ㄋ模⿷� 1、學(xué)生自學(xué)例１后，教師根據學(xué)生提出的問(wèn)題講解。 3、判斷，并說(shuō)明理由。 (1)兩個(gè)平行四邊形的高相等，它們的面積就相等() (2)平行四邊形底越長(cháng)，它的面積就越大() 4、做書(shū)上82頁(yè)2題。 四、體驗 今天，你學(xué)會(huì )了什么？怎樣求平行四邊形的面積?平行四邊形的面積計算公式是怎樣推導的? 五、作業(yè) 練習十五第1題。 六、板書(shū)設計 平行四邊形面積的計算 長(cháng)方形的面積＝長(cháng)×寬 平行四邊形的面積＝底×高 S=a×hS=ah或S=ah 課后反思： 課型： 新授課。 教學(xué)分析： 本節課是在學(xué)生已經(jīng)認識長(cháng)方形、正方形的基礎上進(jìn)行教學(xué)。重點(diǎn)是讓學(xué)生通過(guò)親自觀(guān)察、動(dòng)手測量、比較掌握長(cháng)方形、正方形的特點(diǎn)，初步認識平行四邊形。 教學(xué)目標： �。ㄒ唬┲R與技能： 引導學(xué)生觀(guān)察長(cháng)方形、正方形的邊、角的特點(diǎn)，認識長(cháng)方形和正方形的共性及各自的特性。會(huì )在方格紙上畫(huà)長(cháng)方形、正方形，并認識平行四邊形。 �。ǘ┻^(guò)程與方法： 學(xué)生通過(guò)觀(guān)察比較、動(dòng)手操作、交流合作等活動(dòng)發(fā)現長(cháng)方形和正方形的特點(diǎn)，積累感性認識，初步認識平行四邊形。 �。ㄈ┣楦袘B(tài)度價(jià)值觀(guān)： 培養學(xué)生積極參與的學(xué)習品質(zhì)，使學(xué)生獲得成功的體驗，感受教學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，樹(shù)立學(xué)好數學(xué)的信心。 教學(xué)策略： 創(chuàng )設情景、動(dòng)手實(shí)踐、交流合作。 教具學(xué)具： 多媒體課件、長(cháng)方形、正方形、格子紙、三角板。 教學(xué)流程： 一、創(chuàng )設情景，提出問(wèn)題。 今天，我們的好朋友智慧星要帶領(lǐng)大家到圖形王國去參觀(guān)。參觀(guān)之前提一個(gè)小小的要求，請你仔細觀(guān)察、多動(dòng)腦筋。（多媒體演示圖片）你能說(shuō)出這些事物中你認識的圖形嗎？（抽出長(cháng)方形、正方形。引出課題） 二、協(xié)作探索，研究問(wèn)題。 1、教學(xué)長(cháng)方形、正方形。 �。�1）多媒體出示長(cháng)方形、正方形：請大家仔細觀(guān)察他們各有幾條邊，幾個(gè)角？ �。�2）教學(xué)對邊的概念： 在生活中我們把兩個(gè)人面對面叫做對面，在長(cháng)方形中上下兩條邊我們把它們叫做對邊、左右兩條邊也叫對邊。（多媒體演示） �。�3）小組合作研究長(cháng)方形、正方形的特點(diǎn)。 下面請大家利用你手中的工具量一量、折一折、比一比，和組內同學(xué)說(shuō)一說(shuō)。 長(cháng)方形的對邊和正方形的邊有什么特點(diǎn)，角有什么特點(diǎn)？ �。�4）指名匯報，并演示自己發(fā)現的過(guò)程。 共同總結：長(cháng)方形和正方形都是四條邊圍成的圖形，它們都是四邊形，它們的'每個(gè)角都是直角，長(cháng)方形的對邊相等，正方形的四條邊都相等。 �。�5）在方格紙上畫(huà)出長(cháng)方形、正方形 2、教學(xué)平行四邊形。 �。�1）多媒體演示：在生活中我們還會(huì )看到這樣一些圖形，它們是長(cháng)方形嗎？是正方形嗎？ 我們把這樣的四邊形叫做平行四邊形。 �。�2）平行四邊形的特點(diǎn)： 出示格子圖中平行四邊形：引導學(xué)生觀(guān)察，用數格子的方法數一數你發(fā)現平行四邊形的對邊有什么特點(diǎn)？ �。�3）總結：平行四邊形有四條邊，四個(gè)角，對邊相等。 �。�4）動(dòng)手操作：拿出活動(dòng)的四邊形：拉動(dòng)之后你發(fā)現了什么？ 動(dòng)手操作 三、運用知識，解決問(wèn)題。 1、猜一猜。（多媒體演示） 2、找一找。（多媒體演示） 3、說(shuō)一說(shuō)。 四、總結。 你今天從智慧星那里學(xué)到了什么？ 板書(shū)設計： 長(cháng)方形正方形和平行四邊形 邊：4條 4條4條 對邊相等全都相等對邊相等 角：4個(gè)直角4個(gè)直角4個(gè) 【教學(xué)內容】 人教版《義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)數學(xué)》四年級上冊70頁(yè)至71頁(yè)。 【教學(xué)目標】 1、通過(guò)操作和討論掌握平行四邊形和梯形的特征。 2、通過(guò)活動(dòng)，在對各種四邊形分類(lèi)整理中，了解平行四邊形與長(cháng)方形和正方形的關(guān)系。 3、注意培養學(xué)生的空間觀(guān)念和想像力。 【教學(xué)重點(diǎn)】 通過(guò)操作和討論掌握平行四邊形和梯形的特征。 【教學(xué)難點(diǎn)】 了解平行四邊形與長(cháng)方形和正方形的關(guān)系。 【教學(xué)準備】 教師準備：直尺，三角板，課件。 學(xué)生準備：直尺，三角板，白紙，鉛筆。 【教學(xué)過(guò)程】 一、通過(guò)觀(guān)察，加深學(xué)生對四邊形特點(diǎn)的了解。 1、用課件出示一組（三角形和四邊形）平面圖形，讓學(xué)生認識四邊形的特點(diǎn)。 �。�1） （2） （3） �。�4） （5） （6） 師：請同學(xué)們看電腦，上面有6個(gè)圖形，你知道它們叫什么圖形嗎？ 生：（1）、（4）、（5）是三角形（同學(xué)們很熟悉），（2）、（3）（6）是四邊形（部分學(xué)生回答不出來(lái)，原因是對四邊形的概念不怎么理解）。 師：你知識三角形和四邊形有什么特點(diǎn)嗎？ 生1：三角形有三條邊，三個(gè)角。 生2：四邊形有四條邊，四個(gè)角。 師：對，今天我們來(lái)學(xué)習兩種特殊的四邊形。 [設計說(shuō)明：通過(guò)這部分的教學(xué)活動(dòng)，加深學(xué)生對三角形和四邊形的理解，為下一步學(xué)習平行四邊形和梯形作準備。] 二、通過(guò)觀(guān)察討論，讓學(xué)生發(fā)現平行四邊形和梯形的特點(diǎn)。 1、通過(guò)讓學(xué)生觀(guān)察討論，認識平行四邊形和長(cháng)方形的定義。 出示課件：在電腦上出示一組四邊形。 �。�1） （2） （3） �。�4） （5） （6） 師：電腦上的這組圖形都是什么圖形? 生:四邊形。（有前面的知識作鋪墊，學(xué)生很容易回答出來(lái)） 師：你能把它們分類(lèi)嗎？ 生：能。（引導學(xué)生思考問(wèn)題，從而發(fā)現平行四邊形和梯形的特征。） 生1：我覺(jué)得圖（1）、（3）、（6）可以分為一組，圖（2）、（4）、（5）可以分為一組。 師：你能說(shuō)說(shuō)把圖（1）、（3）、（6）分為一組道理嗎？ 生1:因為圖（1）、（3）、（6）有兩組平行線(xiàn)。 師：同學(xué)們，這位同學(xué)說(shuō)得有道理嗎？用你學(xué)過(guò)的方法驗證圖（1）、（3）、（6）這三個(gè)圖形有兩組平行線(xiàn)嗎？（通過(guò)學(xué)生發(fā)現、驗證、得出結論這三個(gè)步聚，使學(xué)生探索中發(fā)現平行四邊形的特點(diǎn)，并復習了平行線(xiàn)的畫(huà)法。） 生：確實(shí)有兩組平行線(xiàn)。 師：回答得好，我們把有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（揭示平行四邊形的定義，并板書(shū)） 師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)把圖（2）、（4）、（5）分為一組的道理？ 生2：它們只有一組平行線(xiàn)。 師：對，我們把只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。（揭示梯形的定義，并板書(shū)） 2、通過(guò)學(xué)生討論，發(fā)現長(cháng)方形和正方形是特殊的平行四邊形。 師：同學(xué)們，我們已學(xué)習了平行四邊形的定義，請問(wèn)長(cháng)方形和正方形是不是平行四邊形呢？ 生1：我覺(jué)得長(cháng)方形和正方形不是平行四邊形，因為我覺(jué)得平行四邊形應該是斜的。 生2：我覺(jué)得長(cháng)方形和正方形不是平行四邊形，因為我覺(jué)得平行四邊形的四個(gè)角大小應該是不一樣的。 生3：我覺(jué)得長(cháng)方形和正方形是平行四邊形，根據平行四邊形的定義，只要有兩組對邊平行的四邊形就是平行四邊形， 師：贊成第一位同學(xué)的舉手，贊成第二位同學(xué)的舉手，贊成第三位同學(xué)的舉手�？磥�(lái)贊成第三個(gè)同學(xué)的人比較多。 師：只要符合有兩組對邊分別平行的四邊形這個(gè)條件就是平行四邊形。長(cháng)方形和正方形符合了有兩組對邊分別平行的四邊形這個(gè)條件，所以長(cháng)方形和正方形也是平行四邊形，只是它有點(diǎn)特殊吧了。我們把長(cháng)方形和正方形叫做特殊的平行四邊形。 師：你們能說(shuō)說(shuō)長(cháng)方形和正方形特殊的地方嗎？ 生：它的四個(gè)角都是直角。 師：對，這說(shuō)是平行四邊形特殊的地方。 �。ㄍㄟ^(guò)學(xué)生的討論，使學(xué)生認識到長(cháng)方形和正方形是特殊的平行四邊形，同時(shí)更進(jìn)一步理解平行四邊形的定義。） 3、進(jìn)一步認識平行四邊形和梯形的.特點(diǎn)。 師：請大家看一看這幾個(gè)平行四邊形，它們還有什么特點(diǎn)，同學(xué)們可留意它的邊和角。（老師提示，讓學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現平行四邊形的特點(diǎn)） 生1：我發(fā)現平行四邊形對邊是相等的。 師：請同學(xué)們用尺子量一量。 生2：我發(fā)現平行四邊形的對角相等。 師：請同學(xué)們用量角器量一量。 師：這兩位同學(xué)的發(fā)現正確嗎？ 生：完全正確。 師：梯形有這些特點(diǎn)嗎？請同學(xué)們量一量。 生：沒(méi)有，梯形的對邊不相等，對角也不相等。 �。ㄍㄟ^(guò)學(xué)生的操作，進(jìn)一點(diǎn)了解平行四邊形和梯形的特點(diǎn)） 師：下面我們可以用圖表表示平行四邊形和梯形的特點(diǎn)。 圖形對邊平行對邊對角 平行四邊形有兩組對邊平行相等相等 梯形只有一組對邊平行不相等不相等 �。ㄓ脠D表表示平行四邊形的特點(diǎn)，使學(xué)生更好地理解平行四邊形和梯形的區別和聯(lián)系。） 三、認識四邊形之間的關(guān)系。 師：同學(xué)們，平行四邊形和梯形是不是四邊形？ 生：是。 師：我們可以用這個(gè)圖來(lái)表示： 平行四邊形 梯形 四邊形 師：長(cháng)方形和正方形應怎樣表示呢？ 生1：應在平行四邊形圈內畫(huà)圈表示，因為它們是特殊的平行四邊形。 師：對，應這樣表示： 平行四邊形 長(cháng)方形 梯形 正方形 四邊形 四、鞏固練習。 1判斷下面那些圖形的平行四邊形，那些圖形的梯形。 �。�1） （2） (3) (4) (5) (6) (7) (8) (7) (使學(xué)生運用平行四邊形和梯形的定義，判斷那些圖形是平行四邊形和梯形，那些是梯形。增強學(xué)生對定義的理解) 2填空。 1、兩組對邊（ ）的四邊形叫做平行四邊形。 2、（ ）的四邊形叫做梯形。 3、長(cháng)方形和正方形都有兩組對邊分別（ ）且（ ），所以它們是特別的（ ）。 4、平行四邊形和梯形都是（ ）形，它們都有（ ），（ ）個(gè)角。 �。ㄍㄟ^(guò)練習，使學(xué)生更深刻理解平行四邊形和梯形的定義和特點(diǎn)） 五、全課小結。 師：今天你們學(xué)到了什么？ 生：我們今天學(xué)習了平行四邊形和梯形，并了解它們的特點(diǎn)。并了解到長(cháng)方形和正方形是特殊的平行四邊形。 [設計說(shuō)明：本設計通過(guò)學(xué)生對平行四邊形和梯形的觀(guān)察和探索，發(fā)現平行四邊形和梯形的特點(diǎn)，并動(dòng)手驗證所發(fā)現的觀(guān)點(diǎn)，從而了解平行四邊形和梯形的定義。再通過(guò)學(xué)生的討論，得出長(cháng)方形和正方形是特殊的平行四邊形的結論。本設計體現了探索-發(fā)現-驗證的學(xué)習過(guò)程，使學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦和動(dòng)口的過(guò)程中掌握本節課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。] 目標： 1.在理解的基礎上掌握平行四邊形的面積計算公式，能正確地計算平行四邊形的面積。 2、通過(guò)操作、觀(guān)察、比較等實(shí)踐活動(dòng)，經(jīng)歷主動(dòng)探索面積計算公式的過(guò)程，培養分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 3、滲透轉化的數學(xué)思想，激發(fā)探索的興趣，增強數學(xué)應用意識，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形面積的計算公式，會(huì )利用公式正確計算平行四邊形的面積。 教學(xué)難點(diǎn)：理解平行四邊形面積公式的推倒過(guò)程，會(huì )利用公式正確計算平行四邊形的面積。 教學(xué)準備：多媒體、平行四邊形紙片. 剪刀、三角尺 一、創(chuàng )設情境 同學(xué)們，你們喜歡聽(tīng)故事嗎？（喜歡）。今天老師說(shuō)的故事發(fā)生在動(dòng)物村。這是小熊家，它的菜地是這塊；這是小兔家，它的菜地是這塊。它們覺(jué)得這樣跑來(lái)跑去干活很不方便，于是，小熊就說(shuō)：“我們倆換塊菜地怎么樣”？小兔說(shuō)：“好啊，可我不知道這兩塊地的面積是否相等？”同學(xué)們，你們能幫小兔解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 師：你們準備怎樣解決呢？ 生：分別算出長(cháng)方形和平行四邊形的面積就行了。 師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)怎樣計算長(cháng)方形的面積？ 生：長(cháng)方形的面積等于長(cháng)乘寬。 師：怎樣列式？（10×6＝60平方米） 師：求長(cháng)方形的面積有公式很方便，那你會(huì )算平行四邊形的面積嗎？ 生：------- 師：那么今天我們就來(lái)研究怎樣求平行四邊形的面積.(板書(shū)課題：平行四邊形的面積) 二、探究新知 �。�、學(xué)生嘗試解決， 師：同學(xué)們，仔細觀(guān)察這塊平行四邊形的菜地，你能想辦法把它的面積算出來(lái)嗎？老師相信你們一定行。 學(xué)生活動(dòng)，獨立嘗試解決。 教師巡視， �。�、反饋學(xué)生嘗試計算結果。 師：同學(xué)們有結果了嗎？ 學(xué)生匯報結果。 師：求一個(gè)圖形的面積出現了這么多的結果，可能嗎？（不可能） 到底哪個(gè)結果正確呢？讓我們一起來(lái)驗證一下。請同學(xué)們拿出平行四邊形紙，通過(guò)剪、拼的方法把這個(gè)平行四邊形轉化成我們已學(xué)過(guò)的圖形。老師有一個(gè)小小的提示：應該沿哪里剪才能把它拼成我們已學(xué)過(guò)的圖形。同桌合作。 3、學(xué)生匯報驗證過(guò)程。 師：請你上臺把這過(guò)程演示一遍。 學(xué)生演示。 師：我想問(wèn)一下，你這一剪是隨便剪的嗎？ 生：不是，是沿高剪的。 師：哦，這位同學(xué)是這樣剪的。 師：不錯，誰(shuí)還有不同的剪法？ 學(xué)生匯報。 師：大家聽(tīng)明白了嗎？這兩個(gè)同學(xué)都是沿著(zhù)平行四邊形的一條高剪開(kāi)，將平行四邊形轉化成一個(gè)長(cháng)方形�？磥�(lái)，沿著(zhù)平行四邊形的任意一條高剪開(kāi)，都可以通過(guò)平移把平行四邊形轉化成一個(gè)長(cháng)方形。 師：現在，我請一位同學(xué)用老師的教具把平行四邊形轉化的過(guò)程再演示一遍。誰(shuí)來(lái)上臺演示？ 師：大家邊看邊想：轉化后的長(cháng)方形和原來(lái)的平行四邊形比，什么變了？什么不變？ 生：形狀變了，面積沒(méi)有變。 師：面積沒(méi)有變，也就是――（轉化后長(cháng)方形的面積與原來(lái)的平行四邊形的面積相等。） 師：非常正確！ 師：謝謝你開(kāi)了個(gè)好頭。接下來(lái)，請小組討論：轉化后，長(cháng)方形的長(cháng)和寬分別與原來(lái)的平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？ 師演示教具。 生：轉化后的長(cháng)方形，長(cháng)與原來(lái)的平行四邊形的底相等，寬與原來(lái)平行四邊形的高相等。 師：說(shuō)得真好。那現在平行四邊形的面積你們會(huì )算了嗎？ 生：平行四邊形的面積等于底乘高。 師：不錯。如果用S表示平行四邊形的面積，用a 表示底，用h表示高，平行四邊形的面積公式用字母怎樣表示呢？ 學(xué)生說(shuō)完，師完成板書(shū)：長(cháng)方形的面積＝長(cháng)×寬 平行四邊形的面積＝底×高 用字母表示：S＝a×h=ah 師：同學(xué)們真不簡(jiǎn)單，經(jīng)過(guò)努力你們終于發(fā)現并驗證了平行四邊形面積計算公式，老師為你們感到驕傲 請同學(xué)們打開(kāi)數學(xué)書(shū)81頁(yè)，把平行四邊形的面積公式補充完整。這個(gè)面積公式適用于所有的平行四邊形。 師：剛才這三位同學(xué)都表現得很好。接下來(lái)，我再請一位同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)平行四邊形的面積是怎樣推導出來(lái)的，（出示課件）你會(huì )填嗎？ 4、解決問(wèn)題 師：通過(guò)同學(xué)們的努力，我們已經(jīng)推導出了平行四邊形面積的`計算公式，我們再來(lái)看看原來(lái)同學(xué)們寫(xiě)的這幾個(gè)結果哪一個(gè)才是正確的？那現在你們能為小熊、小兔倆解決問(wèn)題了嗎？ 生：能，小熊和小兔的菜地可以交換，因為這兩塊地的面積一樣大。 師：謝謝你們?yōu)樾⌒芎托⊥媒鉀Q了交換菜地的問(wèn)題。 師：解決了小熊和小兔的問(wèn)題，接下來(lái)老師要同學(xué)們算一算我們學(xué)�；▔拿娣e。 出示例１平行四邊形花壇的底是6m，高是4m，它的面積是多少? 學(xué)生嘗試練習，生上臺板演。 師：通過(guò)這道題，請大家想一想，要求平行四邊形的面積，我們必須知道哪些條件？ 生：底和高。 師：不錯，需要知道兩個(gè)條件，就是底和高。只要知道它的一組底和高就能求面積了。 三、鞏固練習 1、計算下列圖形的面積。 師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)第1個(gè)圖形的面積怎么求？第2個(gè)圖形呢？剛才這兩個(gè)圖形的面積真是太容易算了，我們來(lái)一個(gè)稍為難點(diǎn)的圖形，這個(gè)圖形有點(diǎn)不一樣。同學(xué)們有沒(méi)有信心算出它的面積？（有）請同學(xué)們寫(xiě)到課堂作業(yè)上。 生上臺板演。 師：同學(xué)們，算完了嗎？我們來(lái)看看這位同學(xué)做對了沒(méi)有？ 師：今后我們在求平行四邊形的面積時(shí)，要看清楚它的底和高一定要相對應。不能張冠李戴。 師：同學(xué)們，如果我給出底是12厘米相對應的高，你們還能用另外一種方法算出它的面積嗎？（能）誰(shuí)來(lái)說(shuō)？ 2、課本82頁(yè)第2題。 師：接下來(lái)，請同學(xué)們做課本82頁(yè)的第2題。你能想辦法求出它的面積嗎？你打算怎么做？ 女生算第1個(gè)圖形，男生算第2個(gè)圖形。我們比一比 學(xué)生上臺展示。， 3、考考你。 師：比完了，接下來(lái)老師又要出題目考你們了。 4、小小設計師。 師：同學(xué)們，想不想當設計師。如果讓你設計一個(gè)黑板報欄目，要求面積是24平方分米，那么底和高各是多少分米？（底和高都是整數） 四、小結 師：今天這節課的知識你們是怎樣學(xué)會(huì )的呢？ 師：今天同學(xué)們學(xué)得很好。好在哪里呢？同學(xué)們不是等待，而是動(dòng)腦筋，想辦法。敢于把新問(wèn)題轉化成已有的知識來(lái)解決。 【平行四邊形教案】相關(guān)文章： 平行四邊形的面積教案09-02 《平行四邊形的性質(zhì)》教案08-13 平行四邊形的面積教案07-24 平行四邊形的認識教案07-30 平行四邊形教案優(yōu)秀01-22 平行四邊形的認識教案12-09 《平行四邊形的面積》教案12-09 【精選】平行四邊形教案四篇07-25 精選平行四邊形教案五篇09-25平行四邊形教案 篇5
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