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淺談傅氏變換與拉氏變換的物理解釋
【摘要】在信號與系統學(xué)習中，傅里葉變換、拉普拉斯變換是基礎知識，本文詳細解釋了什么是傅氏變換、拉氏變換。攜手20XX大綱解析人第一時(shí)間解讀大綱，點(diǎn)擊免費報名。
?傅氏變換
傅里葉變換在物理學(xué)、數論、組合數學(xué)、信號處理、概率論、統計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結構動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著(zhù)廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。
傅里葉變換能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線(xiàn)性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。
傅里葉變換是一種解決問(wèn)題的方法，一種工具，一種看待問(wèn)題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個(gè)連續的信號可以看作是一個(gè)個(gè)小信號的疊加，從時(shí)域疊加與從頻域疊加都可以組成原來(lái)的信號，將信號這么分解后有助于處理。
我們原來(lái)對一個(gè)信號其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺(jué)中，其實(shí)是按照時(shí)間把信號進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對應一個(gè)信號值，一個(gè)信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問(wèn)題，只不過(guò)是從頻率的角度去疊加，只不過(guò)每個(gè)小信號是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區間的信號，但他確有固定的周期，或者說(shuō)，給了一個(gè)周期，我們就能畫(huà)出一個(gè)整個(gè)區間上的分信號，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫(huà)出其對應的曲線(xiàn)，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號值一樣，不過(guò)如果信號是周期的話(huà)，頻域的更簡(jiǎn)單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數值。
傅里葉變換就是將一個(gè)信號的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個(gè)信號的不同表示形式。它的公式會(huì )用就可以，當然把證明看懂了更好。
對一個(gè)信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅度是表示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時(shí)域的相位有關(guān)系嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關(guān)系。
傅里葉變換就是把一個(gè)信號，分解成無(wú)數的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說(shuō)，用無(wú)數的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。
想一想這個(gè)問(wèn)題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的信號呢？答案是要兩個(gè)條件，一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度，另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之間的相位差。所以現在應該明白了吧，頻域上的相位，就是每個(gè)正弦波之間的相位。
傅里葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時(shí)間域的數學(xué)模型，而數字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過(guò)傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性。
傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的信號中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機故障時(shí)，通過(guò)傅里葉變換做頻譜分析，根據各級齒輪轉速、齒數與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。
拉氏變換
拉普拉斯變換，是工程數學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡(jiǎn)化計算而建立的實(shí)變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個(gè)實(shí)變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數域中的相應結果，往往比直接在實(shí)數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線(xiàn)性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來(lái)處理，從而使計算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。
引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數代替微分方程來(lái)描述系統的特性。這就為采用直觀(guān)和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統的整個(gè)特性（見(jiàn)信號流程圖、動(dòng)態(tài)結構圖）、分析控制系統的運動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見(jiàn)控制系統校正方法）提供了可能性。
拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應用：應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號從時(shí)域上，轉換為復頻域（s域）上來(lái)表示；在線(xiàn)性系統，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應用。
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