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淺談數學(xué)的幾個(gè)方面
張存浩先生要我講點(diǎn)數學(xué)，這么短的時(shí)間，而數學(xué)這么大，只好舉幾個(gè)要點(diǎn)談?wù)�。數學(xué)是什么？數學(xué)是根據某些假設，用邏輯的推理得到結論，因為用這么簡(jiǎn)單的方法，所以數學(xué)是一門(mén)堅固的科學(xué)，它得到的結論是很有效的。這樣的結論自然 對學(xué)問(wèn)的各方面都很有應用，不過(guò)有一點(diǎn)很奇怪的，就是這種應用的范圍非常大。最初你用幾個(gè)數或畫(huà)幾個(gè)圖就得到的一些結論，而由此引起的發(fā)展卻常常令人難以想象。在這個(gè)發(fā)展過(guò)程中，我認為不僅在數學(xué)上最重要，而且在人類(lèi)文化史上也非常突出的就是Euclid在《幾何原本》。這是第一本系統性的書(shū)，主要的目的是研究空間的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以從很簡(jiǎn)單的公理用邏輯的推理得到。這是一本關(guān)于整個(gè)數學(xué)的書(shū)，不僅僅限于幾何學(xué)。例如，Euclid書(shū)上首先證明素數的個(gè)數是無(wú)窮的，這便是一個(gè)算術(shù)的結論。隨著(zhù)推理的復雜化，便有許多“深刻”的定理，需要很長(cháng)的證明。例如，有些解析數論定理的證明，便需幾十條引理。最初，用簡(jiǎn)單的方法證明幾個(gè)結果，大家很欣賞，也很重要。后來(lái)方法發(fā)展了，便產(chǎn)生很復雜的推理，有些定理需要幾十頁(yè)才能證明�，F在有的結果的證明甚至上百頁(yè)，上千頁(yè)�？吹竭@么復雜的證明，我們固然驚嘆某些數學(xué)家高超的技巧和深厚的功力，但心中難免產(chǎn)生一些疑問(wèn)，甚或有些無(wú)所適從的感覺(jué)。所以我想，日后數學(xué)的重要進(jìn)展，在于引進(jìn)觀(guān)念，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。
先講講有限單群的問(wèn)題。
1.有限單群
我們知道，數學(xué)的發(fā)展中有一個(gè)基本觀(guān)念—群。群也是數學(xué)之中各方面的最基本的觀(guān)念。怎樣研究群的結構呢？最簡(jiǎn)單的方法是討論它的子群，再由小的群的結構慢慢構造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個(gè)難極了的題目，需要有特別的方法，特別的觀(guān)念去研究。
命G為群，g∈G為一子群，如對任何g∈G，gH-1g ∈H，則稱(chēng)H為正規的(nomal)。正規子群存在，可使G的研究變?yōu)樽尤篐及商群G/H的研究。這樣就有一個(gè)很自然的問(wèn)題，有哪些有限的單群(simple group)。單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒(méi)有其他的非平凡的正規子群(normal subgroup)。數學(xué)上稱(chēng)其為簡(jiǎn)單群，其實(shí)一點(diǎn)也不簡(jiǎn)單。有限群論的一個(gè)深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交換單群的階(數)(即群中元素的個(gè)數)是偶數。更不尋常的是除了某些大類(lèi)(素數階循環(huán)群Zp,交錯群An(n>=5)，Lie型單群)外，后來(lái)發(fā)現了26個(gè)零零碎碎的有限單群(散在單群，離散單群)，現在知道，最大的散在單群的階是
41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=1054
這是很大的單群，由B.Fisher和R.L.Griess兩位數學(xué)家所發(fā)現，數學(xué)家稱(chēng)它為魔群(怪物，Monster)。單群的權威數學(xué)家D.Gorenstein相信有限單群都在這里了，這當然是數學(xué)上一個(gè)很好的結果。把單群都確定了，就像化學(xué)家把元素都確定了，物理學(xué)家把核子的結構都確定了一樣�？蛇@里有個(gè)缺點(diǎn)，Gorenstein并未將證明寫(xiě)出來(lái)。他講若將證明寫(xiě)出來(lái)至少有1000頁(yè)，而1000頁(yè)的證明無(wú)論如何很容易有錯誤�？墒荊orenstein又說(shuō)，不要緊，若有錯誤，這個(gè)錯誤一定可以補救。你相信不相信？數學(xué)界有些人懷疑這樣的證明是否必要�，F在計算機的出現，許多問(wèn)題可以驗證到很大的數，是否還需要嚴格的證明，已變成數學(xué)上一個(gè)有爭論的問(wèn)題。這個(gè)爭論看來(lái)一時(shí)無(wú)法解決。段學(xué)復先生是我的老朋友，是有限群論的專(zhuān)家，也許我們可以問(wèn)一下他的意見(jiàn)。我個(gè)人覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很難回答。不過(guò)數學(xué)家有個(gè)自由，當你不能做或不喜歡做一個(gè)問(wèn)題時(shí)，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜歡做的問(wèn)題。
2. 四色問(wèn)題
把地圖著(zhù)色，使得鄰國有不同的顏色，需要幾種顏色？經(jīng)驗告訴我們，四色夠了。但是嚴格的證明極難。這就是有各的四色問(wèn)題。地圖不一定在球面上，也可在虧格高的的曲面上(一個(gè)虧格高為g的曲面在拓撲上講是球面加g個(gè)把手；虧格為1的曲面可設想為環(huán)面)�？审@奇的是，這個(gè)著(zhù)色問(wèn)題，對于g>=1的曲面完全解決了�？梢宰C明：有整數χ(g),滿(mǎn)足條件：在虧格為g的曲面上任何地圖都可用χ(g)種顏色著(zhù)色，使鄰國有不同顏色，且有地圖至少需要χ(g)種顏色。這個(gè)數在g>=1時(shí)可以完全確定。我們知道χ(1)=7，即環(huán)面上的地圖可用七色著(zhù)色，四 色不夠。
令人費解的是，證明地球上四色定理，困難多了�，F有的證明，需要計算機的幫助，與傳統的證明不同。而我們覺(jué)得最簡(jiǎn)單的情況，即我們住的地球球面上的著(zhù)色問(wèn)題反而特別復雜。把擴充的問(wèn)題解決了，得到了很有意思的結論。但是回到基本問(wèn)題，反而更難。這種現象不止這一個(gè)，還有很多，一個(gè)例子是所謂的低維拓撲，即推廣的問(wèn)題更簡(jiǎn)單，而本身核心的問(wèn)題反而不易克服，這確是數學(xué)神秘性的一面。
3.橢圓曲線(xiàn)
最近的數學(xué)進(jìn)展，最受人注意的結果就是Fermat大定理的證明。Fermat大定理說(shuō)：方程式xn+yn=zn ,n>2沒(méi)有非平凡的整數解(即xyz≠0)。這個(gè)傳說(shuō)了300年的結果的證明，最近由 Princeton大學(xué)的教授A(yíng)ndrew J.Wiles(英國數學(xué)家)給出。但證明中缺一段，是由他的學(xué)生Richard Tarlor補充的。因此，Fermat定理現在已經(jīng)有了一個(gè)完全的證明。整個(gè)文章發(fā)表在最近一期的“Annals of Mathematics"(Prinston大學(xué)雜志，1996，第一期)整個(gè)一期登的是Wiles與Taylor的論文，證明Fermat定理 (Wiles 為此同Robert Langlands 獲得了1996年的Wolf獎與National Academy Science Award in Mathematics)。
有意思的是，證明這個(gè)定理的關(guān)鍵是橢圓曲線(xiàn)。這是代數數論的一個(gè)分支。有以下一則 故事。英國的大數學(xué)家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去醫院探望他的朋友，印度天才數學(xué)家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽車(chē)號是1729。他向 Ramanujan說(shuō)，這個(gè)數目沒(méi)有意思。Ramanujan說(shuō)，不然，這是可以用兩種不同方法寫(xiě)為2個(gè)立方之和的最小的數，如1729=13+123=93+103。這結果可用橢圓曲線(xiàn)論來(lái)證明。我們知道，要找一個(gè)一般方程的解不容易的，而要找一個(gè)系數為整數的多項式方程P(x,y)=0(傳統上叫Diophantine方程)的整數解更困難。因為普通的解不會(huì )是整數，這是數論中的一個(gè)主要問(wèn)題。
需要說(shuō)明的，在Wiles完成這個(gè)證明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet，他有重要的貢獻。他證明了一日本數學(xué)家Yutaka Taniyama的某一個(gè)關(guān)于橢圓曲線(xiàn)的假設包含Fermat定理。于是可將Fermat定理變?yōu)橐粋�(gè)關(guān)于橢圓曲線(xiàn)的定理。Wiles根據Ribet的結果又繼續經(jīng)過(guò)了許多步驟，以至達到最后的證明。即在復平面內得到曲線(xiàn)。由復變函數論知道，復平面內的曲線(xiàn)就成為一個(gè)Riemann曲面。Riemann曲面為定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一個(gè)最簡(jiǎn)單的情形，就是一個(gè)球加上一個(gè)把手，即一個(gè)環(huán)面。環(huán)面是個(gè)群，且為可交換群。所謂橢圓曲線(xiàn)，就是把這個(gè)曲線(xiàn)看成復平面內虧格(genus)等于1的復曲線(xiàn)。虧格等于1的曲線(xiàn)有一個(gè)非常深刻而巧妙的性質(zhì)。即它上面的點(diǎn)有一個(gè)可交換群的構造。兩個(gè)點(diǎn)可以加起來(lái)，且有群的性質(zhì)。這是很重要的性質(zhì)。橢圓曲線(xiàn)與橢圓無(wú)關(guān)。原因是，若所有曲線(xiàn)的虧格大于1，相當于Riemann曲面有一個(gè)Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于—1，則叫做雙曲的。虧格等于1的叫橢圓。虧格等于0的叫拋物線(xiàn)。橢圓曲線(xiàn)的研究是數論中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科學(xué)雜志(Science)，有位先生寫(xiě)了一篇關(guān)于橢圓曲線(xiàn)的文章。橢圓曲線(xiàn)在電報的密碼上有應用。而中國也有很多人在做代數幾何與代數數論方面的工作。最近在黃山有一個(gè)國際性的，題為“代數幾何與代數數論”的會(huì )議，由馮克勤先生主持。
從這個(gè)定理我們應認識到：高深的數學(xué)是必要的。Fermat定理的結論雖然簡(jiǎn)單，但它蘊藏著(zhù)許多數學(xué)的關(guān)系，遠遠超出結論中的數學(xué)觀(guān)念。這些關(guān)系日新月異，十分神妙，學(xué)問(wèn)之奧，令人拜賞。我相信，Fermat定理不能用初等方法證明，這種努力是徒勞的。數學(xué)是一個(gè)整體，一定要吸取幾千年所有的進(jìn)步。
4.拓撲與量子場(chǎng)論
1995年初的一天晚上，我在家看晚間電視新聞。突然，我聽(tīng)到自己的名字，大吃一驚。 原來(lái)加利福尼亞發(fā)一種，頭彩300萬(wàn)美元，若無(wú)人中彩的話(huà)，可以積累到下一次抽彩。我從前的一個(gè)學(xué)生，名Robert Uomini，中了頭彩美金2200萬(wàn)元。他曾選過(guò)我的本科課，當時(shí)還對微分幾何很有興趣。他很念舊，以100萬(wàn)美元捐贈加州大學(xué)，設立“陳省身講座”。學(xué)校決定，以此講座邀請名學(xué)者為訪(fǎng)問(wèn)教授。第一位應邀的為英國數學(xué)家Sir Michael Atiyah。他到中國不止一次。他是英國影響最大的數學(xué)家，劍橋大學(xué)三一學(xué)院的院長(cháng)，則卸任的英國皇家協(xié)會(huì )會(huì )長(cháng)。Atiyah很會(huì )講學(xué)，也很博學(xué)，他的報告有很大的吸引力。他作了八講，講題是“拓撲與量子場(chǎng)論”。
這是當前一個(gè)熱門(mén)的課題，把高深的數學(xué)和物理聯(lián)系起來(lái)了，導出了深刻的結果�，F在拓撲在物理上有非常重要的應用，這跟楊振寧的Yang-Mills場(chǎng)方程有很密切的關(guān)系。楊先生喜歡說(shuō)，你們數學(xué)家寫(xiě)的東西，我們學(xué)物理的人看不懂，等于另外一種文字。我想我們搞數學(xué)的人有責任把我們的結果，寫(xiě)成不是本行的人也至少知道你講的是怎么一回事。物理學(xué)，量子力學(xué)，尤其是量子場(chǎng)論與數學(xué)的關(guān)系其實(shí)并不復雜。說(shuō)到數學(xué)的應用，講一下矢量空間，Euclid空間就是一個(gè)矢量空間。再進(jìn)一步，多個(gè)矢量空間構成一個(gè)拓撲空間，這就是所謂的矢量叢，即一束這樣的空間。這樣的空間有一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)。比如說(shuō)，局部來(lái)講，這種矢量空間是一個(gè)chart，是一個(gè)集，可用坐標來(lái)表示。結果發(fā)現矢量叢這種空間在物理上很有用。物理學(xué)的一個(gè)基本觀(guān)念是“場(chǎng)”。最簡(jiǎn)單的場(chǎng)是電磁場(chǎng)，尤為近代生活的一部分。電磁場(chǎng)的“勢”適合Maxwell方程。Hermann Weyl第一個(gè)看出這個(gè)勢不是一個(gè)確定的函數。它可以變化。這在物理上叫做規范(gauge，不完全確定的，可以變化的)，這就是物理上規范場(chǎng)論的第一個(gè)情形。
物理上有4種場(chǎng)：電磁場(chǎng)，引力場(chǎng)，強作用場(chǎng)和弱作用場(chǎng)�，F在知道，這些場(chǎng)都是規范場(chǎng)。即數學(xué)系上是一束矢量空間，用一個(gè)線(xiàn)性群來(lái)縫住的。電磁場(chǎng)的重要推廣，是Yang-Mills的規范場(chǎng)論。楊先生的偉大貢獻就是在SU(2)(special unitary group in two variables)情形下得到物理意義明確的規范場(chǎng)，即同位旋(isospin)規范場(chǎng)，這種將數學(xué)現象給以物理的解釋?zhuān)羌瞬黄鸬墓ぷ�，因為以往的Maxwell 場(chǎng)論是一個(gè)可交換的群�，F在變?yōu)樵赟U(2),群是不能交換的。而實(shí)際上，物理中找到了這樣的場(chǎng)，這是科學(xué)上一個(gè)偉大的發(fā)展。數學(xué)家可以自豪的是，物理學(xué)家所需的幾何觀(guān)念和工 具，在數學(xué)上已經(jīng)發(fā)展了。
楊先生之所以有這么大的成就，其中一個(gè)很重要的，很了不起的原因是除了物理的感覺(jué)以外，他有很堅實(shí)的數學(xué)基礎。他能夠在這大堆復雜的方程中看出某些規律，它們具有某種基本的數學(xué)性質(zhì)。Yang-Mills方程的數學(xué)基礎是纖維叢。這種觀(guān)念Dirac就曾有過(guò)。Dirac的一篇基本論文中就講到這種數學(xué)。但Dirac沒(méi)有數學(xué)的工具。所以他在講這種觀(guān)念時(shí)，不但數學(xué)家不懂，就連物理學(xué)家也不懂。不過(guò)，其中有一個(gè)到現在還未解決的物理含義，即有否磁單極(magnetic monople)�？赡軙�(huì )有。就是說(shuō)，有否這樣的場(chǎng)，它的曲率不等于0(曲率是度量場(chǎng)的復雜性的)?物理上要是發(fā)現了這種場(chǎng)，會(huì )是件不得了的事實(shí)。這些觀(guān)念的數學(xué)不簡(jiǎn)單。
Yang-Mills方程反過(guò)來(lái)影響到拓撲�，F在的基礎數學(xué)中，所謂低維拓撲(二維，三維，四維)非常受人注意。因為物理空間是四維空間。而四維空間有許多奇妙的性質(zhì)。我們知道代數幾何，曲線(xiàn)論，復變函數論等許多基礎數學(xué)理論是二維拓撲。而現在必到四維，四維有spinor理論，有quantum結構。四維與物理更接近。它的結構是Lorentz結構，而不是Riemann結構。這方面有很多工作可做。根據Yang-Mills方程，對于四維拓撲，Atiyah的學(xué)生英國數學(xué)家Simon Donaldson有很重要的貢獻。其中有一個(gè)結果就是利用Yang-Mills方程證明四維Euclid空間R4有無(wú)數微分結構與其標準結構不同。這一結果最近又由Seiberg-Witten的新方程大大的簡(jiǎn)化了。這是最近拓撲在微分幾何，理論物理應用方面最引人注意的進(jìn)展。
二維流形的發(fā)展有一段光榮的歷史，牽涉到許多深刻的數學(xué)�？梢詳嘌�，三維，四維流形將更為豐富和神妙。
5.球裝問(wèn)題(Sphere Packing)
如何把一定的空間裝得最緊，顯然是一個(gè)實(shí)際而重要的問(wèn)題。項武義教授最近在這方面做了很重要的工作。這里先介紹一個(gè)有關(guān)的問(wèn)題：圍著(zhù)一個(gè)球，可以放幾個(gè)同樣大小的球？我們不妨假定球的半徑為一，即單位球。在平面情形，繞一單位圓我們顯然可以放6個(gè)單位圓。而在三維空間的情況則更為復雜。如果把單位球繞單位球相切，不難證明，12個(gè)球是放得進(jìn)的。這時(shí)雖然還剩下許多空間，但不可能放進(jìn)第13個(gè)球。要證明這一結論并不容易。當年Newton與Gregory有個(gè)討論。Newton 說(shuō)第13個(gè)球裝不進(jìn)，Gregory說(shuō)也許可以。這個(gè)爭論長(cháng)期懸而未決。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才給了一個(gè)證明。這個(gè)證明是很復雜的。
一個(gè)更自然的問(wèn)題是怎樣把一個(gè)立方體空間用大小相同的球裝得最緊。衡量裝得是否緊湊的尺度是密度(density)，即所裝的球的總的體積和立方體空間的體積的比例。Kepler于1611年提出了一個(gè)猜想：他認為立方體的球裝的密度不會(huì )大于π/(18^1/2)。項武義說(shuō)他證明了這個(gè)猜想�？墒怯腥�(Gabor Fejes Toth)認為他的證明不完全，甚至有人(Thomas L.Hales)說(shuō)是錯誤的。"Mathematical Intelligencer"這個(gè)雜 志上(1995年)，有關(guān)于這一問(wèn)題的討論，項武義有個(gè)答復。Toth是匈牙利數學(xué)家，三代人搞同一個(gè)課題。匈牙利數學(xué)很發(fā)達，在首都布達佩斯有個(gè)200多人的幾何研究所。我不知道幾何中是否有這么多重要的問(wèn)題需要這么多人去做。最年輕的Toth在“Mathematics Reviews"中有篇關(guān)于項的文章的評論。他說(shuō)項的文章有些定理沒(méi)有詳細的證明。天下的事情就是這樣。做重要工作有爭議的時(shí)候，便產(chǎn)生一些有趣的現象。不過(guò)他覺(jué)得項的意思是對的。不但項的意思是對的，甚至表示這個(gè)意思他從前也有。最近項武義把他認為沒(méi)有的證明都有寫(xiě)出來(lái)了。
最主要的，我要跟大家說(shuō)的是立體幾何在數學(xué)中是很重要而因難的部分。即使平面幾何也可能很難。到了立體時(shí)，則更為復雜。近年來(lái)對碳60(C60)的研究顯示了幾何在化學(xué)中的應用。多面體圖形的幾何性質(zhì)對固態(tài)物理也有重大的作用。球裝不過(guò)是立體幾何的一個(gè) 問(wèn)題。立體幾何是大有前途的。
6.Finsler幾何
最近經(jīng)我鼓勵，Finsler幾何有重大發(fā)展，作簡(jiǎn)要報告如下：在(x,y)平面上設積分s=∫ab F(x,y,dy/dx)dx，其中y是x的未知函數。求這個(gè)積分的極小值，就是第一個(gè)變分學(xué)的問(wèn)題。稱(chēng)積分s為弧長(cháng)，把觀(guān)念幾何化，即得Finsler幾何。Gauss看出，在特別情形：F2=E(x,y)+F(x,y)y#39;2+G(x,y)y#39;2，y#39;=dy/dx，其中E,F,G為x,y的函數，幾何性質(zhì)特別簡(jiǎn)單。1854年，Riemann的講演討論了整個(gè)情形，創(chuàng )立了Riemann-Finsler幾何。百余年來(lái)，Riemann幾何在物理中有重要的應用，而整體Riemann幾何的發(fā)展更是近代數學(xué)的核心部分。
Riemann的幾何基礎包含Finsler幾何。我們最近幾年的工作，把Riemann幾何的發(fā)展，局部的和整體的，完全推廣到Finsler幾何，而且很簡(jiǎn)單。因此，我覺(jué)得以后的微分幾何課或Riemann幾何課都應該講一般情形。最近有幾個(gè)拓撲問(wèn)題，最主要的一個(gè)是Riemann流形的一個(gè)重要性質(zhì)，即英國數學(xué)家Hodge的調和積分�，F在有2個(gè)年輕人，一個(gè)是David Bao，另一個(gè)是他的美國學(xué)生，把這個(gè)Hodge的調和積分推廣到了Finsler情 形。這將是微分幾何的一塊新園地，預料前景無(wú)限。1995年夏在美國西雅圖有一Finsler幾何的國際會(huì )議。其論文集已于今年由美國數學(xué)會(huì )出版。Finsler幾何在1900年有名的Hilbert演講中是第23個(gè)問(wèn)題。
7.中國的數學(xué)
數學(xué)研究的最高標準是創(chuàng )造性：要達到前人未到的境界，要找著(zhù)最深刻的關(guān)鍵。從另一點(diǎn)看，數學(xué)的范圍，是無(wú)垠的。我愿借此機會(huì )介紹一下科學(xué)出版社從俄文翻譯的《數學(xué)百科全書(shū)》，全書(shū)5大卷，每卷約千頁(yè)。中國能出版這樣的巨著(zhù)，即是翻譯，也是一項可喜的成就。這是一部十分完備的百科全書(shū)，值得贊揚的。對著(zhù)如此的學(xué)問(wèn)大海，入門(mén)必須領(lǐng)導，便需要權威性的學(xué)校和研究所。數學(xué)是活的，不斷有杰出的貢獻，令人贊賞佩服。但一個(gè)國家，比較可以集中某些方面，不必完全趕時(shí)髦。當年芬蘭的復變函數論，波蘭的純粹數學(xué)，都是專(zhuān)精一門(mén)而有成就的例子。中國應該發(fā)展實(shí)力較強的方面。但由百科全書(shū)的例子，可看出中國的數學(xué)是全面的。這是一個(gè)可喜的現象。中國的財富在“人民”。中國的數學(xué)政策，除了鼓勵尖端的研究以外，應該用來(lái)提高一般的數學(xué)水平。我有兩個(gè)建議：
(1)設立數學(xué)講座，待遇從優(yōu)，其資格可能是對數學(xué)發(fā)展有重大貢獻的人；
(2)設立新的數學(xué)中心，似乎成都，西安，廣州都是可能的地點(diǎn)。中心應有相當的經(jīng)費，部分可由地方負擔，或私人籌措。
近年因為國家開(kāi)放，年輕人都想經(jīng)商賺錢(qián)，當然國家社會(huì )需要這樣的人。但是做科學(xué)的樂(lè )趣是一般人不能理解的。在科學(xué)上做了基本的貢獻，有歷史的意義。我想對于許多人，這是一項了不得的成就。在崗位上專(zhuān)心學(xué)問(wèn)，提攜后進(jìn)，“得天下之英才而教育之”，應該是十分愉快的事情。 一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題，是個(gè)人應否讀數學(xué)。Hardy 說(shuō)，一個(gè)條件是看你是否比老師強。這也許太強一些。我想學(xué)習應不覺(jué)困難，讀名著(zhù)能很快與作者聯(lián)系，都是測驗。數學(xué)是小科學(xué)，可以關(guān)起門(mén)來(lái)做。在一個(gè)多面競爭的社會(huì )中，是一項有優(yōu)點(diǎn)的職業(yè)，即使你有若干能力。中國的數學(xué)有相當水平。從前一個(gè)數學(xué)家的最高標準，是從國外名大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們國家現在所需做的，是充實(shí)各大學(xué)的研究院，充實(shí)博士學(xué)位，人才由自己訓練。
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