淺談數學(xué)美與數學(xué)教學(xué)論文

　　學(xué)生對數學(xué)的態(tài)度有驚人的差異，這很大程度上歸因于對數學(xué)美的領(lǐng)悟和鑒賞。數學(xué)美是一種極其嚴肅、雅致和含蓄的美，學(xué)生受到基礎知識和審美能力的限制，并不都具有理想的鑒賞能力。因此，喚醒他們對數學(xué)的美好情感，倡導對數學(xué)美的崇尚是數學(xué)教育的任務(wù)之一

　　一、數學(xué)知識的結構美與教學(xué)

　　數學(xué)基礎知識主要包括數學(xué)概念、命題、法則以及內容所反映出來(lái)的數學(xué)思想方法。數學(xué)知識的和諧美和簡(jiǎn)練美是數學(xué)知識結構美的兩個(gè)主要方面。

　　數學(xué)知識的和諧美是數學(xué)的普遍形式。教學(xué)時(shí)，教師不但要對這種美有較深刻的領(lǐng)悟，且要能藝術(shù)地表現出來(lái)。例如，在推導橢圓的標準方程時(shí)，由定義“到兩定點(diǎn)F(c,0)和F(-c,0)距離之和為定長(cháng)2a的點(diǎn)的軌跡”可直接寫(xiě)出方程：。這個(gè)方程能正確地表達橢圓的代數形式，但比較復雜，更不便于計算，故化簡(jiǎn)整理成。方程中的b開(kāi)始似乎純粹是為了追求方程的和諧美而引進(jìn)的，但在研究橢圓性質(zhì)時(shí)，可進(jìn)一步發(fā)現a、b恰好為橢圓的長(cháng)、短半軸長(cháng)，b竟有鮮明的幾何解釋。人們內心世界所追求的美恰好在外部世界得到如此完美的表現，這實(shí)際上也體現了美與美之間和諧的統一。教師在推導過(guò)程中的示范，喚醒了學(xué)生的審美意識，學(xué)生也進(jìn)入到美的境界，得到美的享受。在此基礎上，讓學(xué)生根據定義畫(huà)出橢圓，且要求他們用生動(dòng)形象的數學(xué)語(yǔ)言表達自己的思維活動(dòng)。這樣，再讓學(xué)生感受和體驗美的同時(shí)，激勵他們創(chuàng )造美，使數學(xué)美在教學(xué)中的作用發(fā)揮得淋漓盡致。

　　數學(xué)知識的簡(jiǎn)練美是數學(xué)的主要藝術(shù)特色�！皵档恼�除”一章是《初等數論》中的一部分，為了照顧小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，教材進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，結構如下圖：

　　附圖

　　由圖看出，本章以倍數、約數為核心構建了知識的結構美。事實(shí)上，對簡(jiǎn)練美的追求是數學(xué)研究的一部分，它促進(jìn)了數學(xué)理論的發(fā)展，也有益于知識的系統化。而數學(xué)知識的系統性，成為知識發(fā)展的主要特點(diǎn)：數學(xué)內容的發(fā)生和發(fā)展都是與它的知識點(diǎn)的形成分不開(kāi)的，若干個(gè)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，既具有縱向的順序性，又具有橫向的層次性。

　　二、數學(xué)思維的協(xié)同美與教學(xué)

　　數學(xué)思維是人腦和數學(xué)對象交互作用并按一般的思維規律認識數學(xué)規律的過(guò)程。數學(xué)思維的協(xié)同美大體上可從以下兩個(gè)方面表現出來(lái)。

　　歸納和演繹的相互作用。數學(xué)中大量地需要歸納，同時(shí)也需要演繹，在許多情況下兩者互為作用的。在數學(xué)教學(xué)中，總是既用歸納又用演繹。盡管兩者有各自不同的特點(diǎn)，但演繹推理的大前提——表示一般原理的全稱(chēng)判斷要靠歸納推理來(lái)提供。為了增強歸納推理的可靠性，不管是以一般原理作指導還是對歸納推理的前提進(jìn)行分析，都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運行過(guò)程中這種辯證統一正體現了兩者之間是交互為用的。

　　在小學(xué)數學(xué)中，限于兒童的認知水平，數學(xué)知識的出現，較多地依賴(lài)于直觀(guān)、實(shí)驗和歸納，適當地進(jìn)行演繹，以不斷提高學(xué)生的邏輯推理能力。例如加法交換律，最早出現在一年級，顯然不可能進(jìn)行演繹論證，只能通過(guò)計算實(shí)踐，由8+5=13,5+8=13等歸納出加法交換律，但在對加法交換律的反復應用中又讓學(xué)生領(lǐng)會(huì )演繹思想，因此，在教學(xué)中要貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則。

　　形式邏輯與辯證邏輯的并重和統一。一方面，數學(xué)中大量存在相對穩定的狀態(tài)，我們能用形式邏輯思維的方法進(jìn)行分析和研究數學(xué)對象。另一方面，也存在顯著(zhù)的運動(dòng)狀態(tài)，如有限與無(wú)限的相互轉化，代數、幾何、三角各學(xué)科之間的轉化以及數學(xué)各種相關(guān)運算方法的發(fā)展與對立統一等，故能用辯證思維的方法認識數學(xué)概念的形成和關(guān)系的不斷發(fā)展變化。因此，在教學(xué)時(shí)要貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統一的原則，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)思維能力。以數學(xué)概念教學(xué)為例，按形式邏輯思維規律，對于每一個(gè)數學(xué)概念的認識要前后一致，而且不容許存在不相容。如果存在著(zhù)兩個(gè)互相排斥的認識，那么其中必有一真一假，概念數學(xué)必須遵循上述邏輯規則進(jìn)行。但同時(shí)也應指出，用運動(dòng)和發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)來(lái)思考，數學(xué)概念也是隨著(zhù)學(xué)生學(xué)習的數學(xué)知識的結構的發(fā)展而發(fā)展的。許多對立的概念可以統一起來(lái)（如實(shí)數和虛數同處于復數中），一個(gè)概念在不同的場(chǎng)合或不同的條件下可能有不同的認識（如三角函數的概念，最初學(xué)習的是銳角的正弦、余弦、正切和余切，被理解為直角三角形中一個(gè)銳角的對邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對邊比鄰邊和鄰邊比對邊，以后發(fā)展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割），即使在小學(xué)數學(xué)的發(fā)展中也是這樣。我們知道，數學(xué)的發(fā)展歸根到底是數學(xué)概念的不斷發(fā)展，這種發(fā)展又有自身的規律。人們常說(shuō)的概念是在發(fā)展中形成，而且又是在形成后不斷發(fā)展的，所以一個(gè)數學(xué)概念具有確定性和靈活性?xún)蓚�(gè)特點(diǎn)。就像“乘法”這個(gè)概念在整數和分數中具有不同的數學(xué)含義一樣。正如列寧所說(shuō)“所有的定義都只有有條件的、相對的意義，永遠也不能包括充分發(fā)展的現象的各方面聯(lián)系”。這正是辯證邏輯思維在數學(xué)中的體現，與形成邏輯思維相比更高一級。

　　三、數學(xué)方法的奇異美與教學(xué)

　　恩格斯認為，數學(xué)是一門(mén)研究思想事物的抽象的科學(xué)。確實(shí)，數學(xué)具有兩重屬性，這兩重性可簡(jiǎn)單地概括為：一是數學(xué)知識，二是數學(xué)思想方法。而數學(xué)方法是數學(xué)中最本質(zhì)的東西，數學(xué)方法的奇異美常常成為產(chǎn)生新思想、新方法和新理論的起點(diǎn)，使規律化、程式化的世界出現意外的、帶有獨創(chuàng )性的成果，令人興奮和激動(dòng)。

　　如：“凸n(n＞4)邊形的對角線(xiàn)最多有幾個(gè)交點(diǎn)？”這個(gè)問(wèn)題，按照習慣，也許會(huì )從四邊形開(kāi)始，逐步通過(guò)五邊形、六邊形……來(lái)構造對角線(xiàn)的交點(diǎn)，從中歸納出一般規律。當一次次構造的嘗試都未獲得理想的結果時(shí)，我們要敢于放棄傳統方法，另辟蹊徑：一個(gè)交點(diǎn)是由兩條對角線(xiàn)相交而成，兩條對角線(xiàn)由四個(gè)頂點(diǎn)確定，而凸n邊形任意四個(gè)頂點(diǎn)都能且只能確定一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉化為“在n個(gè)頂點(diǎn)中任意取四個(gè)，共有幾種取法？”新穎的方法帶來(lái)了意想不到的效果，這便是化歸法的奇異美所在。我們在傳授數學(xué)知識的同時(shí)，更應注重數學(xué)方法的滲透，要求學(xué)生掌握方法的同時(shí)，能構造出解題模式，使數學(xué)美得到升華。

　　數和形是數學(xué)中最基本的兩大概念，是數學(xué)研究的兩個(gè)重要側面，所以數形結合法是數學(xué)研究的重要思想方法。教學(xué)時(shí)，可利用數形結合來(lái)啟發(fā)學(xué)生的直覺(jué)思維。如對于具有極限意義的問(wèn)題學(xué)生很難理解其結果，可以這樣做：讓學(xué)生觀(guān)察下圖，先將單位正方形分成100個(gè)小正方形，將99個(gè)涂上陰影；再將剩下的一個(gè)分成100個(gè)小正方形，將99個(gè)涂上陰影；如此無(wú)限下去，所有涂上陰影的小正方形的面積的和便為1，即，結果直接可從圖中得出。從這可以看出數形結合是直覺(jué)思維的橋梁，我們應利用這一橋梁，使學(xué)生從美學(xué)角度審視或整理自己掌握的知識，這樣能使他們的知識結構更完整、更充實(shí)。同時(shí)，為了使學(xué)生畫(huà)圖準確、迅速、美觀(guān)，教學(xué)時(shí)我們可以開(kāi)展構圖比賽，培養學(xué)生創(chuàng )造美的能力。

　　附圖

　　綜上所述，數學(xué)正如羅素所說(shuō)：“數學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美�！痹跀祵W(xué)教學(xué)中，要充分挖掘數學(xué)美的因素，引導學(xué)生對美的追求，使他們擺脫“苦學(xué)”的束縛，走入“樂(lè )學(xué)”的天地。

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