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計算機數學(xué)素養培養思路論文
一、前言
數學(xué)在人類(lèi)文明的發(fā)展歷史中發(fā)揮著(zhù)重要的作用，推動(dòng)了重大的科學(xué)技術(shù)進(jìn)步。尤其是到了二十世紀中葉以后，數學(xué)的理論研究與實(shí)際應用之間的時(shí)間差已大大縮短。當前，隨著(zhù)計算機應用的普及，信息的數字化和信息通道的大規模聯(lián)網(wǎng)，依據數學(xué)所作的創(chuàng )造設想已經(jīng)達到可即時(shí)試驗、即時(shí)實(shí)施的地步。數學(xué)技術(shù)一直是一種應用最廣泛、最直接、最及時(shí)、最富創(chuàng )造力的實(shí)用技術(shù)。數學(xué)為計算機的發(fā)明和發(fā)展壯大提供了堅實(shí)的理論基礎。早在1936年，英國數學(xué)家圖靈(Turing)發(fā)表了對計算機具有奠基意義的論文《論可計算數及其在判定問(wèn)題上的應用》，里面提出了計算的圖靈機模型，該模型即為現代計算機模型的原型。為紀念數學(xué)家圖靈，美國計算機學(xué)會(huì )于1966年設立了計算機界最負盛名的“圖靈”獎，以表彰那些對計算機事業(yè)做出重要貢獻的個(gè)人。數學(xué)是所有工科的基礎，其中離散數學(xué)已經(jīng)成為計算機科學(xué)發(fā)展的理論基礎。圖靈獎的獲得者中有不少是學(xué)數學(xué)或者數學(xué)家出身。1974年獲獎的DonaldE.Knuth被稱(chēng)為現代計算機之父，之前在加州理工獲得數學(xué)博士學(xué)位，著(zhù)有經(jīng)典著(zhù)作《計算機程序設計藝術(shù)》4卷。RichardM.Karp于1985年獲獎，之前在哈佛大學(xué)獲應用數學(xué)博士學(xué)位。1986獲獎的RobertE.Tarjan在斯坦福大學(xué)同時(shí)獲得數學(xué)和計算機的博士學(xué)位，主要研究圖論、算法和數據結構。當前計算機理論及應用的壯大和發(fā)展更是離不開(kāi)近代數學(xué)的發(fā)展，將計算機與數學(xué)的發(fā)展分割開(kāi)來(lái)既不合理也不現實(shí)，和所有學(xué)科一樣，計算機領(lǐng)域也有自己的問(wèn)題，比如什么是可計算的，什么是實(shí)際可計算的，這些計算模型本質(zhì)上是數學(xué)的應用。離散結構上的算法研究無(wú)疑是計算機科學(xué)中的重要領(lǐng)域，研究算法需有扎實(shí)的數學(xué)功底，就機器學(xué)習領(lǐng)域的研究而言，通常要對所處理的數據建立不同的數學(xué)模型如分類(lèi)模型、回歸模型和排序模型。一般地，先針對這些問(wèn)題建立特定的模型，然后采用有效的優(yōu)化算法來(lái)求解這些模型。應用數學(xué)如矩陣論、多元統計分析和最優(yōu)化理論可以為深入地研究機器學(xué)習領(lǐng)域提供理論基礎。在實(shí)際的工作中，會(huì )經(jīng)�？吹綌祵W(xué)基礎好、具有一定數學(xué)素養的人解決問(wèn)題會(huì )游刃有余且后勁足，學(xué)習新事物和新東西會(huì )比較快，會(huì )表現出一定的創(chuàng )造性。但是當前大學(xué)的課程安排普遍存在對學(xué)生的數學(xué)學(xué)習的掌握程度不是很重視，導致學(xué)生對數學(xué)課的態(tài)度停留在學(xué)習時(shí)僅了解，一學(xué)完就全忘，到用時(shí)就迷惑的一知半解狀態(tài)。教師在教授專(zhuān)業(yè)課和專(zhuān)業(yè)基礎課的過(guò)程中，沒(méi)有引導學(xué)生深入地發(fā)掘理論背后的數學(xué)本質(zhì)，導致學(xué)生對計算機科學(xué)理論的理解只能停留在表面，憑機械性記憶而沒(méi)有徹底理解。鑒于上述數學(xué)在計算機的發(fā)明發(fā)展和實(shí)際工作中的重要作用，因此，在計算機教育的過(guò)程中，迫切地需要培養學(xué)生的數學(xué)素養以滿(mǎn)足現實(shí)工作和學(xué)習中解決實(shí)際問(wèn)題的需要。
二、數學(xué)素養的培養
《算法設計與分析》是計算機專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)課，有利于培養學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生學(xué)習后續課程打下堅實(shí)的基礎。下面結合這門(mén)課程來(lái)談?wù)勗谟嬎銠C課程中如何提高學(xué)生的數學(xué)素養。
(一)結合算法的發(fā)明史來(lái)講解算法
深入學(xué)習計算機科學(xué)需要有良好的數學(xué)基礎，對于算法的學(xué)習更是如此。研究算法的圖靈獎獲得者中有很多是數學(xué)家或者學(xué)數學(xué)出身，如圖論中有很多算法是以前面提到的RobertE.Tarjan的名字命名的，著(zhù)名的Dijkstra最短路徑算法由EdsgerW.Dijkstra發(fā)明，而他2000年退休前一直是美國Taxas大學(xué)的計算機科學(xué)和數學(xué)教授。前面提到的DonaldE.Knuth則是字符串匹配算法KMP算法的發(fā)明人。給學(xué)生講解算法的發(fā)明歷史一方面幫助學(xué)生了解發(fā)明算法的背景和發(fā)明過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng )新欲望；另一方面讓學(xué)生認識到數學(xué)的重要性和其在該課程所涉及的領(lǐng)域中發(fā)揮的重要作用。
(二)結合學(xué)生所掌握的數學(xué)知識來(lái)講解算法
修讀該門(mén)課程的對象一般為大學(xué)高年級學(xué)生，他們之前應該修過(guò)其他的數學(xué)課程，如高等數學(xué)(數學(xué)分析)、線(xiàn)性代數和離散數學(xué)。通常教師在講授該課程的過(guò)程中會(huì )認識到離散數學(xué)在其中發(fā)揮的作用，會(huì )有意識地提及離散數學(xué)的知識，但實(shí)際上學(xué)生學(xué)習的高等數學(xué)或線(xiàn)性代數的知識對理解該門(mén)課程也是有幫助的。下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明數學(xué)知識對理解算法正確性的重要作用。設計完算法如何證明算法的正確性呢？對于順序結構和選擇結構比較好驗證，而對于循環(huán)結構就使用循環(huán)不變量(LoopInvariant)來(lái)證明。而循環(huán)不變量的證明實(shí)際上借鑒了數學(xué)歸納法的思想：循環(huán)發(fā)生前某個(gè)循環(huán)不變量為真，循環(huán)進(jìn)行的過(guò)程中保持為真，那么循環(huán)結束時(shí)，該循環(huán)不變量仍然為真。因此可以斷定：無(wú)論循環(huán)體循環(huán)多少次，該循環(huán)不變量總為真。其他的例子，包括：比較算法的時(shí)間復雜度時(shí)可以引入高等數學(xué)中的無(wú)窮小量來(lái)講解；計算時(shí)間復雜度也會(huì )涉及到利用無(wú)窮級數的估計等等。
(三)結合數學(xué)工具來(lái)可視化算法
理論的發(fā)明通常是從簡(jiǎn)單直觀(guān)的例子中歸納得來(lái)的，數學(xué)工具可以幫助我們理解和可視化算法。
(四)結合數學(xué)抽象思維來(lái)幫助學(xué)生理解算法
數學(xué)的抽象思維可以幫助學(xué)生站在更高的角度來(lái)看待問(wèn)題和算法之間的聯(lián)系。算法通常是針對某一類(lèi)問(wèn)題的，而如何對問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，如何選擇合適的算法解決是值得學(xué)生去探究的問(wèn)題。講解算法時(shí)，應該幫助學(xué)生抽象出問(wèn)題的本質(zhì)，同時(shí)注意算法之間的聯(lián)系與區別。計算點(diǎn)對之間的距離是算法設計中一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，如果源點(diǎn)單一，可采用Dijkstra最短路徑算法，而計算圖中任意點(diǎn)之間的最短路徑，使用Floyd-Warshall最短路徑算法會(huì )合適一些，但是如果圖上的權重存在負值，那就要用帶松弛操作的Bellman-Ford算法求解。了解了這些知識后，學(xué)生在把問(wèn)題抽象成特定的算法模型時(shí)，就可以正確地使用合適的算法了。其他問(wèn)題包括使用矩陣胚理論來(lái)證明貪心算法的正確性以及靈活應用動(dòng)態(tài)規劃來(lái)求解離散結構上的最優(yōu)化問(wèn)題等等。
三、總結
數學(xué)在計算機的發(fā)展和應用中的重要作用表明了數學(xué)素養的培養在計算機教育中的重要性。通過(guò)算法設計與分析課程的例子，第二節給出了4種方法闡述了如何在教學(xué)中培養學(xué)生的數學(xué)素養。然而，方法的最終目標是通過(guò)數學(xué)這個(gè)工具培養學(xué)生的自學(xué)能力，如同著(zhù)名的教育家陶行知指出的那樣：“我以為好的先生不是教書(shū)，不是教學(xué)生，而是教學(xué)生學(xué)”。因此，通過(guò)學(xué)生的數學(xué)素養的培養能起到鍛煉學(xué)生思維能力和自學(xué)能力的目的。從這個(gè)意義上講，在計算機教育中培養數學(xué)素養具有一定的積極作用和參考價(jià)值。
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