在考研數學(xué)考試中，有關(guān)中值定理的證明問(wèn)題是歷年出題的一個(gè)熱點(diǎn)，將中值定理和介值定理或積分中值定理結合命題是比較常見(jiàn)的命題形式。首先復習一下各大定理：

　　1、介值定理

　　設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在該區間的端點(diǎn)取不同的函數值f(a)=A及f(b)=B，那么對于A(yíng)與B之間的任意一個(gè)數C，在開(kāi)區間(a,b)內至少有一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=C(a < ξ < b).

　　Ps:c是介于A(yíng)、B之間的，結論中的ξ取開(kāi)區間。

　　介值定理的推論：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,則必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。

　　2、零點(diǎn)定理

　　設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)與f(b)異號，即f(a).f(b) < 0,那么在開(kāi)區間內至少存在一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=0.

　　Ps:注意條件是閉區間連續，端點(diǎn)函數值異號，結論是開(kāi)區間存在點(diǎn)使函數值為0.

　　3、羅爾定理

　　如果函數f(x)滿(mǎn)足：

　　(1)、在閉區間[a,b]上連續;

　　(2)、在開(kāi)區間(a,b)內可導;

　　(3)、在區間端點(diǎn)處函數值相等，即f(a)=f(b).

　　那么在(a,b)內至少有一點(diǎn)ξ(a < ξ < b),使得f`(x)=0;

　　PS：在用羅爾定理時(shí)，關(guān)鍵是找出輔助函數，且結論成立前提為開(kāi)區間內取值

　　4、拉格朗日中值定理

　　如果函數f(x)滿(mǎn)足：

　　(1)、在閉區間[a,b]上連續;

　　(2)、在開(kāi)區間(a,b)內可導;

　　那么在(a,b)內至少有一點(diǎn)ξ(a < ξ < b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).

　　5、柯西中值定理

　　如果函數f(x)及g(x)滿(mǎn)足

　　(1)、在閉區間[a,b]上連續;

　　(2)、在開(kāi)區間(a,b)內可導;

　　(3)、對任一x(a < x < b),g`(x)≠0,

　　那么在(a,b)內至少存在一點(diǎn)ξ,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)

　　Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理結論都是開(kāi)開(kāi)區間內取值。

　　題設或證明結論中含有一般的a,b,f(a),f(b)時(shí)，經(jīng)�？煽紤]直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理證明。

　　對于“存在兩個(gè)點(diǎn)”的問(wèn)題，一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理)，然后再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理)。

　　6、積分中值定理

　　若函數f(x)在[a,b]上連續，則至少存在一點(diǎn)ξ(a≤ξ≤b)使

　　Ps：該定理課本中給的結論是在閉區間上成立，如果想在開(kāi)區間內使用，我們便構造該函數，運用拉格朗日中值定理來(lái)證明下使其在開(kāi)區間內成立即可。千萬(wàn)不可直接運用。

　　通過(guò)上面對各個(gè)定理的簡(jiǎn)單介紹，可以看出“恰當構造輔助函數”成為靈活運用中值定理的關(guān)鍵。下面將介紹幾種常見(jiàn)的輔助函數構造方法：

　　1、原函數法：先將ξ化為x，然后將式子恒等變形以便于積分，按照常微分方程求解后，所得式子F(x,f(x))=C,則F(x,f(x))即為所需的輔助函數。

　　2、常數比值法：它適用于常數已分離的命題。

　　3、觀(guān)察要證明的結論形式，如果與以下等式的右邊式子較為類(lèi)似，則往往可以直接寫(xiě)出輔助函數：