淺談數學(xué)的教學(xué)設計
一、我國社會(huì )發(fā)展對數學(xué)課程的要求
促進(jìn)數學(xué)課程發(fā)展的眾多動(dòng)力中，沒(méi)有比社會(huì )發(fā)展這一動(dòng)力更大的了，社會(huì )發(fā)展的需要主要包括：社會(huì )生產(chǎn)力發(fā)展的需要，經(jīng)濟和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和政治方面的要求。
我國社會(huì )發(fā)展對數學(xué)課程提出了以下要求。
（一）目的性
教育必須為社會(huì )主義經(jīng)濟建服務(wù)。這就要求數學(xué)課程要有明確的目的性，即要為社會(huì )主義經(jīng)濟建設培養各級人才奠定基礎，為提高廣大勞動(dòng)者的素質(zhì)做出貢獻。當今社會(huì )正由工業(yè)社會(huì )向信息社會(huì )過(guò)渡，在信息社會(huì )里多數人將從事信息管理和生產(chǎn)工作；社會(huì )財富增加要更多地依靠知識；知識更新、技術(shù)進(jìn)步周期和人的職業(yè)壽命都在日益縮短，要適應日新月異的社會(huì )，必須把勞動(dòng)者的素質(zhì)、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學(xué)習的能力。
（二）實(shí)用性
數學(xué)課程的內容應具有應用的廣泛性，可以運用于解決社會(huì )生產(chǎn)、社會(huì )生活以及其他學(xué)科中的大量實(shí)際問(wèn)題；運用于訓練人的思維。應該精選現代社會(huì )生和生活中廣泛應用的數學(xué)知識作為數學(xué)課程的內容。另外，還要考慮其他學(xué)科對數學(xué)的要求。數學(xué)課程還應滿(mǎn)足現代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，加進(jìn)其中廣泛應用的數學(xué)知識，如計算機初步知識、統計初步知識離散概率空間、二項分布等概率初步知識。
數學(xué)不僅是解決實(shí)際問(wèn)題的工具，而且也廣泛用來(lái)訓練人的思維，培養有數學(xué)素養的社會(huì )成員，要使學(xué)生懂得數學(xué)的價(jià)值，對自己的數學(xué)能力有信心，有解決數學(xué)問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì )數學(xué)交流，學(xué)會(huì )數學(xué)思想方法。
（三）思想性和教育性
我們培養的人應該有理想、有道德、有文化、有紀律、熱愛(ài)社會(huì )主義祖國和社會(huì )主義事業(yè)，具有國家興旺發(fā)達而艱苦奮斗的精神；應當不斷追求新知、實(shí)事求是、獨立思考、勇于創(chuàng )新，具有辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。這就要求數學(xué)課程適當介紹中國數學(xué)史，以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)來(lái)闡述課程內容，有意識地體現數學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。體現運動(dòng)、變化、相互聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)。
《實(shí)驗教材》用“精簡(jiǎn)實(shí)用”的選材標準來(lái)滿(mǎn)足這些要求。
二、數學(xué)的發(fā)展對數學(xué)課程的要求
�。ㄒ唬┲袑W(xué)數學(xué)課程應當是代數、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體
數學(xué)研究對象是現實(shí)世界的數量關(guān)系和空間形式�；A數學(xué)的對象是數、空間、函數，相應的是代數、幾何、分析等學(xué)科，它們是各成體系但又密切聯(lián)系的�，F代數學(xué)中出現了許多綜合性數學(xué)分支，都是在它們的基礎上產(chǎn)生并發(fā)展起來(lái)的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運用。代數、幾何、分析在相鄰學(xué)科和解決各種實(shí)際問(wèn)題中都有廣泛應用，所以中學(xué)數學(xué)課程應當是它們恰當配合的整體。曾經(jīng)出現過(guò)的把中學(xué)課程代數結構化（如“新數”）的設計方案�！耙院瘮禐榫V”使中學(xué)數學(xué)課程分析化的設計方案都不成功，正是沒(méi)有滿(mǎn)足這一要求。
�。ǘ┻m當增加應用數學(xué)的內容
應用數學(xué)近年來(lái)蓬勃發(fā)展，出現了許多新的分支和領(lǐng)域，應用范圍也在日益擴大，這種形勢也要求在中學(xué)數學(xué)課程中有所反映。從“新數運動(dòng)”開(kāi)始，各國數學(xué)課程內容中陸續增加了概率統計和計算機的初步知識。這一方面說(shuō)明概率統計和計算機知識在社會(huì )生產(chǎn)和社會(huì )生活中的廣泛應用，另一方面也說(shuō)明數學(xué)的發(fā)展擴大了它的基礎，對中學(xué)數學(xué)課程提出了新的要求。
由于計算機科學(xué)研究的需要，“離散數學(xué)”越來(lái)越顯得重要。因此，中學(xué)數學(xué)課程中應當增加離散數學(xué)的比重。
�。ㄈ┫到y性
基礎數學(xué)，包括代數、幾何、分析到19世紀末都相繼奠定了嚴格的邏輯基礎。到本世紀30年代法國布爾巴基學(xué)派用公理化方法，使整個(gè)數學(xué)結構化。任何一個(gè)數學(xué)系統都可以歸結為代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構的復合。經(jīng)過(guò)用公理化方法的整理，使數學(xué)成為一個(gè)邏輯嚴密、系統的整體結構。因此，作為符合數學(xué)知識結構要求的中學(xué)數學(xué)課程就必須具有一定的系統性和邏輯嚴密性。
�。ㄋ模┩怀鰯祵W(xué)思想和數學(xué)方法
現代數學(xué)進(jìn)行著(zhù)不同領(lǐng)域的思想、方法的相互滲透。許多曾經(jīng)認為沒(méi)有任何共同之處的數學(xué)分支，現在已建立在共同的統一的思想基礎上了。
數學(xué)思想和方法把數學(xué)科學(xué)聯(lián)結成一個(gè)統一的有結構的整體。所以，我們應該體現突出數學(xué)思想和數學(xué)方法。
《實(shí)驗教材》以“反璞歸真”的指導思想來(lái)滿(mǎn)足數學(xué)學(xué)科發(fā)展的要求。
三、教育、心理學(xué)發(fā)展對數學(xué)課程的要求
教育、心理學(xué)的發(fā)展，對教學(xué)規律和學(xué)生的心理規律有了更深入的認識。數學(xué)課程的設計要符合學(xué)生認知發(fā)展的規律。認知發(fā)展，要經(jīng)歷多種水平，多種階段。認知的發(fā)展呈現一定的規律�；谶@些規律，要求數學(xué)課程具有：
（一）可接受性
教學(xué)內容、方法都要適合學(xué)生的認知發(fā)展水平。獲得新的數學(xué)知識的過(guò)程，主要依賴(lài)于數學(xué)認知結構中原有的適當概念，通過(guò)新舊知識的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數學(xué)認知結構的過(guò)程，它包括輸入、同化、操作三個(gè)階段。因此，作為數學(xué)課程內容要同學(xué)生已有的數學(xué)基礎有密切聯(lián)系。其抽象性與概括性不能過(guò)低或過(guò)高，要處于同級發(fā)展水平。這樣才能使數學(xué)課程內容被學(xué)生理解，被他們接受，才能產(chǎn)生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數學(xué)認知結構。
（二）直觀(guān)性
皮亞杰的認知發(fā)展階段的理論認為，中學(xué)生的認知發(fā)展水平已由具體運算進(jìn)入了抽象運算階段，但是即使他們在整體上認知水平已經(jīng)達到了抽象運算的水平，在每個(gè)新數學(xué)概念的學(xué)習過(guò)程中仍然要經(jīng)歷從具體到抽象的轉化，他們在學(xué)習新的數學(xué)概念時(shí)仍采用具體或直觀(guān)的方式去探索新概念。因此，數學(xué)課程應向學(xué)生提供豐富的直觀(guān)背景材料。不拘泥于抽象的形式，著(zhù)重于向學(xué)生提示抽象概念的來(lái)龍去脈和其本質(zhì)。也就是要“反璞歸真”。
（三）啟發(fā)性
蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基認為兒童心理機能“最近發(fā)展區”的水平。表現為發(fā)展程序尚未成熟，正處于形成狀態(tài)。兒童還不能獨立地解決一定的靠智力解決的任務(wù)，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務(wù)。數學(xué)課程的啟發(fā)性就在于激發(fā)、誘導那些正待成熟的心理機能的發(fā)展，不斷地使“最近發(fā)展區”的矛盾得到轉化，而進(jìn)入更高一級的數學(xué)認知水平。
要使數學(xué)課程真正具有啟發(fā)性，需要克服兩種偏向：第一，內容過(guò)于簡(jiǎn)單，缺乏思考余地。沒(méi)有挑戰性，不能激發(fā)學(xué)生思維，甚至不能滿(mǎn)足學(xué)生學(xué)習愿望。第二，內容過(guò)于復雜、抽象。超過(guò)了學(xué)生數學(xué)認知結構中“最近發(fā)展區”的水平，學(xué)生將會(huì )由于不能理解它，產(chǎn)生畏懼心理，最后厭惡學(xué)習數學(xué)。
布魯納曾指出，向成長(cháng)中的兒童提出難題，激勵他們向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導下，他的數學(xué)課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內容啟發(fā)性的體現。
《實(shí)驗教材》用“順理成章、深入淺出”的指導思想來(lái)體現以上諸要求。
四、三方面需求的和諧統一
上面分別考查了三個(gè)方面對數學(xué)課程提出的要求，這些要求有時(shí)互為前題，互相補充，而有時(shí)卻是彼此矛盾的。這導致了數學(xué)課程設計的復雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統一呢？從《實(shí)驗教材》11年的實(shí)驗中形成了16字指導數學(xué)課程設計的思想，比較恰當的統一了以上三方面的需求。這16字的指導思想是“精簡(jiǎn)實(shí)用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。
“精簡(jiǎn)實(shí)用”是個(gè)基本的指導思想，它恰當地表現了理論和實(shí)際的正確關(guān)系。由實(shí)際到理論，就是由繁精簡(jiǎn)，把實(shí)際中多樣的事物、現象，經(jīng)過(guò)分析、綜合，歸納出簡(jiǎn)單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡(jiǎn)的理論才能用來(lái)“以簡(jiǎn)馭繁”。所以“精簡(jiǎn)實(shí)用”在科學(xué)上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡(jiǎn)明扼要的理論。要做到精簡(jiǎn)，必須抓住重點(diǎn)。教材中普遍實(shí)用的最基礎部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點(diǎn)。中學(xué)數學(xué)課程內容應是代數、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體，這樣做既可滿(mǎn)足社會(huì )的需要、數學(xué)知識結構的要求，又可滿(mǎn)足可接受性的要求。其中普遍實(shí)用的最基礎部分是代數中的數系，最普遍有用的是數系的運算律（“數系通性”）；解代數方程；多項式運算；待定系數法。幾何中的重要內容是教導學(xué)生研習演繹法，要點(diǎn)在于讓學(xué)生逐步體會(huì )空間基本性質(zhì)的本質(zhì)與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說(shuō)是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結構全面代數化的理論基礎。用向量把幾何學(xué)全面代數化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點(diǎn)。分析的重要內容除函數、極限、連續等分析學(xué)的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。
“反璞歸真”就是著(zhù)重于教學(xué)生以基礎數學(xué)的本質(zhì)，而不拘泥于抽象的形式。初等代數最基本的思想、最重要的本質(zhì)就是那些非常簡(jiǎn)單的數的運算律，它們是整個(gè)代數學(xué)的根本所在。把它形式化，也就是多項式的運算和理論。傳統的代數教學(xué)從多項式的形式理論開(kāi)始，學(xué)生不解其義，感到枯燥�！秾�(shí)驗教材》反璞歸真，先講代數的基本原理就是靈活運用運算律，首先用以解決一次方程的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生自然地覺(jué)得應該有一個(gè)多項式理論，然后再講多項式，這樣學(xué)生易于理解多項式的來(lái)源與本質(zhì)�！斑@就是反璞歸真”的一個(gè)實(shí)例。
基本的數學(xué)思想與數學(xué)方法是基礎數學(xué)的本質(zhì)，突出其教學(xué)是把知識教學(xué)與能力訓練統一起來(lái)的重要一環(huán)。把知識看作一個(gè)過(guò)程，弄清它的來(lái)龍去脈，掌握思想脈絡(luò )，學(xué)生的數學(xué)才能才發(fā)展起來(lái)，要學(xué)生“會(huì )學(xué)”數學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本的數學(xué)思想和方法，會(huì )“數學(xué)地”提出問(wèn)題，思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。
《實(shí)驗教材》一開(kāi)始就突出了用符號（字母）表示數的基本思想和方法。
集合的思考方法，在幾何和代數中都十分重視。經(jīng)常訓練學(xué)生從考慮具體的數學(xué)對象到考慮對象的集合，進(jìn)而考慮分類(lèi)等問(wèn)題。
函數的思考方法，考慮對應，考慮運動(dòng)的變化、相依關(guān)系，由研究狀態(tài)過(guò)渡到研究過(guò)程。分解和組合的方法。對數學(xué)問(wèn)題的分析與綜合、轉化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類(lèi)比、遞推、歸納等基本的數學(xué)思想與方法都分別得到強調。
“順理成間”就是要從歷史發(fā)展程序和認識規律出發(fā)，“順理成間”地設計數學(xué)課程。數學(xué)是一種演繹體系，有時(shí)甚至本末倒置。這正是數學(xué)本身的要求和學(xué)生心理發(fā)展的要求相矛盾的所在。正確處理這個(gè)矛盾，使這兩方面的要求和諧統一，課程設計就既不能違背邏輯次序。更要符合認識程序。因此，要參照數學(xué)發(fā)展歷史，用數學(xué)概念的逐步進(jìn)化演變過(guò)程作為明鏡，用基礎數學(xué)的層次與脈絡(luò )作為依據來(lái)設計數學(xué)課程。
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