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2017考研高數考點(diǎn)：多元函數微分法的七大定理
2017年考研正在如火如荼地進(jìn)行中，為了幫助考生們更有準備地參加數學(xué)考試，下面YJBYS小編為大家搜索整理了關(guān)于高數多元函數微分法考點(diǎn)的七大定理，歡迎參考學(xué)習，希望對大家有所幫助!想了解更多相關(guān)信息請持續關(guān)注我們應屆畢業(yè)生培訓網(wǎng)!
▶極限存在條件
●極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時(shí)，函數都無(wú)限接近于A(yíng)，如果P(x,y)以某一特殊方式，例如沿著(zhù)一條定直線(xiàn)或定曲線(xiàn)趨于P0(x0,y0)時(shí)，即使函數無(wú)限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數極限存在。反過(guò)來(lái)，如果當P(x,y)以不同方式趨于P0(x0,y0)時(shí)，函數趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不存在。例如函數：f(x,y)={0 (xy)/(x^2+y^2) x^2+y^2≠0}
▶連續性
●定義設函數f(x,y)在開(kāi)區域(或閉區域)D內有定義，P0(x0,y0)是D的內點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D，如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱(chēng)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續。
●性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上一定有最大值和最小值。
●性質(zhì)(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。
▶連續與可導
●如果一元函數在某點(diǎn)具有導數，則它在該點(diǎn)必定連續，但對于多元函數來(lái)說(shuō)，即使各偏導數在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數在該點(diǎn)連續。這是因為各偏導數存在只能保證點(diǎn)P沿著(zhù)平行于坐標軸的方向趨于P0時(shí)，函數值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時(shí)，函數值f(P)都趨于f(P0)。
▶可微的必要條件
●一元函數在某點(diǎn)的導數存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數各偏導數存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。
▶可微的充分條件
●定理(充分條件)如果函數z=f(x,y)的偏導數存在且在點(diǎn)(x,y)連續，則函數在該點(diǎn)可微分。
▶極值存在的必要、充分條件
●定理(必要條件)設函數z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導數，且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導數必為零。
●定理(充分條件)設函數z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C，則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：
1、AC-B2>0時(shí)具有極值，且當A<0時(shí)有極大值，當a>0時(shí)有極小值;
2、AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值;< p="">
3、AC-B2=0時(shí)可能有也可能沒(méi)有。
▶多元函數極值存在的解法
1、解方程組fx(x,y)=0，fy(x,y)=0求的一切實(shí)數解，即可求得一切駐點(diǎn)。
2、對于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求出二階偏導數的值A、B、C。
3、定出AC-B2的符號，按充分條件進(jìn)行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。
注意：在考慮函數的極值問(wèn)題時(shí)，除了考慮函數的駐點(diǎn)外，如果有偏導數不存在的點(diǎn)，那么對這些點(diǎn)也應當考慮在內。
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