- 相關(guān)推薦
方程在數學(xué)建模中的思想及應用論文
1引言
數學(xué)模型的難點(diǎn)在于建模的方法和思路，目前學(xué)術(shù)界已經(jīng)有各種各樣的建模方法，例如概率論方法、圖論方法、微積分方法等，本文主要研究的是如何利用方程思想建立數學(xué)模型從而解決實(shí)際問(wèn)題。實(shí)際生活中的很多問(wèn)題都不是連續型的，例如人口數、商品價(jià)格等都是呈現離散型變化的趨勢，碰到這種問(wèn)題可以考慮采用差分方程或差分方程組的方式進(jìn)行表示。有時(shí)候人們除了想要了解問(wèn)題的起因和結果外還希望對中間的速度以及隨時(shí)間變化的趨勢進(jìn)行探索，這個(gè)時(shí)候就要用到微分方程或微分方程組來(lái)進(jìn)行表示。以上只是簡(jiǎn)單的舉兩個(gè)例子，其實(shí)方程的應用極為廣泛，只要有關(guān)變化的問(wèn)題都可以考慮利用方程的思想建立數學(xué)模型，例如常見(jiàn)的投資、軍事等領(lǐng)域。利用方程思想建立的數學(xué)模型可以更為方便地觀(guān)察到整個(gè)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，并且根據這一變化過(guò)程對未來(lái)的狀況進(jìn)行分析和預測，為決策的制定和方案的選擇提供參考依據。利用方程建立數學(xué)模型時(shí)就想前文所說(shuō)的那樣，如果是離散型變化問(wèn)題可以考慮采用差分思想建模，如果是連續型變化問(wèn)題可以考慮采用常微分方程建立模型。對于它們建模的方式方法可以根據幾個(gè)具體的實(shí)例說(shuō)明。
2方程在數學(xué)建模中的應用舉例
2．1常微分方程建模的應用舉例
正如前文所述，常微分方程的思想重點(diǎn)是對那些過(guò)程描述的變量問(wèn)題進(jìn)行數學(xué)建模，從而解決實(shí)際的變化問(wèn)題，這里舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例1人口數量變化的邏輯斯蒂數學(xué)方程模型在18世紀的時(shí)候，很多學(xué)者都對人口的增長(cháng)進(jìn)行了研究，英國的學(xué)者馬爾薩斯經(jīng)過(guò)多年的研究統計發(fā)現，人口的凈相對增長(cháng)率是不變的，也就是說(shuō)人口的凈增長(cháng)率和總人口數的比值是個(gè)常數，根據這一前提條件建立人口數量的變化模型，并且對這一模型進(jìn)行分析研究，找出其存在的問(wèn)題，并提出改進(jìn)措施。解:假設開(kāi)始的時(shí)間為t，時(shí)間的間隔為Δt，這樣可以得出在Δt的時(shí)間內人口增長(cháng)量為N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)對于這種一階常微分方程可以采用分離變量法進(jìn)行求解，最終解得N(t)=N0er(t－t0)而后將過(guò)去數據中的r、N0帶入上述式子中就可以得出最后的結果。這個(gè)式子表明人口數量在自然增長(cháng)的情況下是呈指數規律增長(cháng)的，而且把這個(gè)公式對過(guò)去和未來(lái)的人口數量進(jìn)行對比分析發(fā)現還是相當準確的，但是把這個(gè)模型用到幾百年以后，就可以發(fā)現一些問(wèn)題了，例如到2670年的時(shí)候，如果仍然根據這一模型，那么那個(gè)時(shí)候世界人口就會(huì )有3．6萬(wàn)億，這已經(jīng)大大的超過(guò)了地球可以承受的最大限度，所以這個(gè)模型是需要有前提的，前提就是地球上的資源對人口數量的限制。荷蘭的生物學(xué)家韋爾侯斯特根據邏輯斯蒂數學(xué)方法和實(shí)際的調查統計引入了一個(gè)新的常數Nm，這個(gè)常數就是用來(lái)控制地球上所能承受的最大人口數，將這一常數融入邏輯斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)該方程解為N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一個(gè)新的數學(xué)模型建立后，首先要做的就是驗證它的正確性，經(jīng)過(guò)研究發(fā)現在1930年之前的驗證中還是比較吻合的，但是到了1930年之后，用這個(gè)模型求出的人口數量就與實(shí)際情況存在很大的誤差，而且這一誤差呈現越來(lái)越大的變化趨勢。這就說(shuō)明當初設定的人口極限發(fā)生了變化，這是由于隨著(zhù)科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們可以利用的資源越來(lái)越多，導致人口極限也呈現變大的趨勢。
2．2差分方程建模的應用舉例
如前文所言，對于離散型問(wèn)題可以采用差分方程的方法建立數學(xué)模型。例如以25歲為人類(lèi)的生育年齡，就可以得出以下的數學(xué)模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)，k=0，1，2，…即為yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r為固有增長(cháng)率，N為最大容量，yk表示第k代的人口數量，若yk=N，則yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡點(diǎn)。令xk=r(r+1)Nyk，記b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)這個(gè)方程模型是一個(gè)非線(xiàn)性差分方程，在解決的過(guò)程中我們只需知道x0，就可以計算出xk。如果單純的考慮平衡點(diǎn)，就會(huì )有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，則x*=rr+1=1－1bx因為f'(x*)=b(1－2x*)=2－b，當|f'(x*)|＜1時(shí)穩定，當|f'(x*)|＞1時(shí)不穩定。所以，當1＜b＜2或2＜b＜3時(shí)，xkk→仯仯仭∞x*．當b＞3時(shí)，xk不穩定。2．3偏微分方程建模的應用舉例在實(shí)際生活中如果有多個(gè)狀態(tài)變量同時(shí)隨時(shí)間不斷的變化，那么這個(gè)時(shí)候就可以考慮采用偏微分方程的方法建立數學(xué)模型，還是以人口數量增長(cháng)模型為例，根據前文分析已經(jīng)知道建立的模型都是存在一定的局限性的，對于人類(lèi)來(lái)說(shuō)必須要將個(gè)體之間的區別考慮進(jìn)去，尤其是年齡的限制，這時(shí)的人口數量增長(cháng)模型就可以用以下的式子來(lái)表示。祊(t，r)祎+祊(t，r)祌=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r);p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t時(shí)候處于r歲的人口密度分布情況，μ(t，r)表示的r歲人口死亡率，φ(t，r)表示r歲人口的遷移率，β(r，t)表示r歲的人的生育率。除此之外，式子中的積分下限r1表示能夠生育的最小歲數，r2表示能夠生育的最大歲數。根據人口數量增長(cháng)的篇微分方程可以看出實(shí)際生活中的人口數量與年齡分布、死亡率和出生率都有著(zhù)密不可分的關(guān)系，這與客觀(guān)事實(shí)正好相吻合，所以這一個(gè)人口增長(cháng)模型能夠更為準確地反應人口的增長(cháng)趨勢。當然如果把微分方程中的年齡當做一個(gè)固定的值，那么就由偏微分方程轉化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那么上述偏微分方程就變成了Verhulst模型。偏微分方程在實(shí)際生活中的應用也相當廣泛，物理學(xué)、生態(tài)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題都可以通過(guò)建立偏微分方程來(lái)求解。
3結束語(yǔ)
上世紀六七十年代，數學(xué)建模進(jìn)入一些西方大學(xué)，緊隨其后，八十年代它進(jìn)入中國的部分高校課堂。把方程式引入到數學(xué)建模中是數學(xué)建模更具體和更實(shí)際的應用，方程式的空間性和抽象性決定了它需要借助數學(xué)建模來(lái)更直觀(guān)和更立體地展示自己。20多年的本土適應和自身完善使絕大多數本科院校和許多專(zhuān)科學(xué)校都開(kāi)設了各種形式的數學(xué)建模課程、講座和競賽。方程在數學(xué)建模中的思想和應用對于數學(xué)課堂效果本身和培養學(xué)生的動(dòng)手和操作能力均有重要意義:一方面，它利于激勵學(xué)生學(xué)習方程的積極性，培養學(xué)生建立數學(xué)模型的創(chuàng )造性和行動(dòng)性;另一方面，它有效推動(dòng)數學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內容和方法的改革，為培養學(xué)生利用數學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力開(kāi)辟了一條有效的途徑。
【方程在數學(xué)建模中的思想及應用論文】相關(guān)文章：
論文：淺析應用數學(xué)建模思想04-16
建模思想在初中數學(xué)教學(xué)中的應用08-02
數學(xué)建模思想的應用與方法分析09-07
概率統計中融入數學(xué)建模思想的教學(xué)探索論文10-22
數學(xué)極限思想的應用論文06-21
數學(xué)精神和數學(xué)思想在數學(xué)教學(xué)中的應用論文08-09
論數學(xué)建模在經(jīng)濟學(xué)中的應用10-16
數學(xué)建模論文07-06