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數學(xué)研究教學(xué)探討的論文
中學(xué)教學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程常發(fā)現：部分數學(xué)優(yōu)等生對課堂教學(xué)常感到“吃不飽”，無(wú)目的超前學(xué)習教師尚未講授的新課，但實(shí)際上對教師正講授的內容卻未能深入挖掘，出現掌握欠牢，理解欠透現象。另外，少數在中學(xué)階段數學(xué)成績(jì)優(yōu)秀的學(xué)生，進(jìn)入大學(xué)后，對大學(xué)教師講課不適應，至少要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才逐漸適應，總希望大學(xué)教師講課象中學(xué)教師講得那么“細”。這就對中學(xué)教師提出以下問(wèn)題：如何使學(xué)生的求知欲得到滿(mǎn)足，使學(xué)生的思維充分發(fā)展，使中學(xué)生到大學(xué)學(xué)習的適應期盡量縮短？將大學(xué)中的研究式教學(xué)方法結合中學(xué)特點(diǎn)加以應用，我認為很有必要。數學(xué)優(yōu)秀生（誠然，優(yōu)與差是相對而言，但每個(gè)學(xué)校、班級總存在一部分數學(xué)成績(jì)突出，培育前途大的這類(lèi)學(xué)生）都有較旺盛的求知欲，較廣泛的興趣，較敏銳的觀(guān)察力，較集中注意力，較強的進(jìn)取心和一定的探索精神。應該充分發(fā)揮他們的智能潛力。使之冒尖，這對為四化輸送人才是非常重要的。
大學(xué)少年班是優(yōu)秀生集中的地方，少年班教師探索的研究性教學(xué)法，很有借鑒作用�！霸诮虒W(xué)方式的改進(jìn)中，我們正在模索所謂研究性教學(xué)方法。研究性教學(xué)就是講演課上和其他類(lèi)型的課上，不斷地提出問(wèn)題，研究分析問(wèn)題和必要的課堂討論等方式講授，以幫助學(xué)生掌握知識、提高分析能力”
既是教學(xué)中心又是科研中心的大學(xué)，必然在著(zhù)重加強基礎訓練同時(shí)，又要使教學(xué)過(guò)程帶有研究性質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中，提出學(xué)生覺(jué)得需要解決的問(wèn)題，加以適當引導，學(xué)習研究。在解決問(wèn)題的同時(shí)，提高學(xué)生思維能力，使教學(xué)與科研相結合。那么研究式教學(xué)就有著(zhù)必然性，成為調動(dòng)大學(xué)生學(xué)習的積極性、主動(dòng)性、創(chuàng )造性和辯證思維能力的重要手段。
在中學(xué)教學(xué)中，為了有目的性，針對性調動(dòng)學(xué)生學(xué)習積極性、主動(dòng)性，引導他們在教學(xué)大綱范圍內鞏固基礎知識，提高能力，發(fā)展智力，將來(lái)適應大學(xué)的研究性教學(xué)形式，我認為，中學(xué)教學(xué)教育中，也可以根據中學(xué)生特點(diǎn)，采取“提問(wèn)質(zhì)疑--自學(xué)求索--討論研究--總結提高”的中學(xué)教學(xué)研究式教學(xué)方法。
提問(wèn)質(zhì)疑。在課堂上，課外活動(dòng)中或數學(xué)講座上，根據學(xué)生水平，教材內容，提出需要解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生興趣，引起對學(xué)習某種知識的需要，產(chǎn)生學(xué)習研究的動(dòng)機，對求知欲旺盛的學(xué)生來(lái)說(shuō)，也起到引導他們正確學(xué)習方向的把關(guān)作用，防止無(wú)目的不切實(shí)際的“亂學(xué)”，即一是“引趣”二是“定向”。
自學(xué)求索。教師引導學(xué)生對課本或有關(guān)課外閱讀材料，書(shū)籍，學(xué)習與研究問(wèn)題有關(guān)的知識，要求學(xué)生精讀教材或課外書(shū)。掌握有關(guān)知識或提出不懂問(wèn)題。
討論研究。在課堂上（提出的問(wèn)題在教材范圍內且與大多數學(xué)生必須掌握的基礎有關(guān)）或在課外（提出的問(wèn)題有一定難度）由集體（小組或教師與個(gè)別有關(guān)學(xué)生）進(jìn)行探索研究，介紹自己的學(xué)習體會(huì )或解決問(wèn)題的方法。
總結提高。由老師或學(xué)生總結解決問(wèn)題的方法或結論，進(jìn)行歸納小結，可采用老師在課堂上或數學(xué)講座中總結規律，解答疑難，也可由學(xué)生寫(xiě)讀書(shū)筆記或小論文。用自己的語(yǔ)言進(jìn)行歸納，談出自己學(xué)習心得或獨立見(jiàn)解。
在《不等式》一章教學(xué)中，課本對基本不等式“A=≥=G”的證明，只要求對n=2.3的情況進(jìn)行證明，當學(xué)生運用公式達到一定熟悉程度時(shí)，便對數學(xué)成績(jì)好的學(xué)生（對成績(jì)中等以下則要求不要去研究，以免加重負擔），提出怎樣證明公式一般情形，介紹有關(guān)學(xué)生閱讀華羅庚的《數學(xué)歸納法》或其他教學(xué)參考書(shū)，數學(xué)成績(jì)好的學(xué)生興趣很濃，翻閱有關(guān)書(shū)籍學(xué)習，并對常見(jiàn)兩種證法提出不懂問(wèn)題進(jìn)行熱烈討論。最后，教師在數學(xué)講座中給以講解，并對教學(xué)歸納法證明中的一些技巧或“變著(zhù)”進(jìn)行介紹，加深了數學(xué)愛(ài)好者對數學(xué)歸納法的深入理解。其中有一個(gè)學(xué)生在一本課外書(shū)上看到關(guān)于這個(gè)公式證明的簡(jiǎn)單介紹：可用“如果a1a2…=a=1（a1a2…an∈R+）則a1+a2+an≥n”（實(shí)際上是公式A≥G的特例）證明公式“A≥G”而前者則可用數學(xué)歸納法證明。當他學(xué)習研究有困難，教師加以指導。這個(gè)學(xué)生終于解決這一問(wèn)題，則讓他歸納總結，寫(xiě)成小論文，后發(fā)表在《中學(xué)生數學(xué)報》1985年第5期。這種證法介紹給其他學(xué)生，學(xué)生感到較前面兩種證明方法易懂。通過(guò)這樣做，使學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題，圍繞當前學(xué)的基礎知識去自學(xué)研究，使知識面擴寬，有利于培養學(xué)生的創(chuàng )造性思維。
“什么是創(chuàng )造性思維？”它是主動(dòng)地，獨創(chuàng )性地發(fā)現新事物，提出新的見(jiàn)解，解決新的問(wèn)題的一種思維形式，就是我們平常說(shuō)的能做到舉一反三聞一知十。這里的創(chuàng )造，不是指科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng )造，科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng )造是說(shuō)他們所發(fā)現和解決的問(wèn)題往往是人類(lèi)不曾發(fā)現和解決的新事物，而學(xué)生的發(fā)現、創(chuàng )造和解決問(wèn)題僅僅是對于他本人來(lái)說(shuō)是一種新鮮事物。學(xué)生創(chuàng )造性思維的培養和發(fā)展，有助于他們將來(lái)進(jìn)行更大的創(chuàng )造�！埃ㄕ掠郎骸督逃睦砼c教學(xué)法》）誠然培養中學(xué)生的創(chuàng )造性思維，首先會(huì )有利于中學(xué)生將來(lái)到大學(xué)深造時(shí)主動(dòng)地有創(chuàng )見(jiàn)性的學(xué)習。中學(xué)的研究式的教學(xué)法與大學(xué)少年班的研究式有不少差別：如對象不同---少數數學(xué)優(yōu)等生與群體優(yōu)等生（且優(yōu)的程度差別很大）。性質(zhì)不同--解決尚未學(xué)懂的問(wèn)題與解決尚未解決的問(wèn)題。方式不同---以發(fā)揮老師主導作用解疑為主與發(fā)揮學(xué)生主體作用為主。但都是為了培養學(xué)生主動(dòng)的積極的創(chuàng )造性的學(xué)習動(dòng)機、方法和能力。前面介紹研究“A≥G”公式證明有創(chuàng )見(jiàn)（即通過(guò)學(xué)習探討獲得新知識）的學(xué)生，爾后學(xué)數學(xué)的興趣愈濃，參加1986年全國數學(xué)競賽獲自治區三等獎，他所在班級（即筆者任教并試行此法的八七理二班）學(xué)數學(xué)，研究數學(xué)的空氣很濃，參加1986年全國高中學(xué)生數學(xué)競賽時(shí)，有12人獲地區一、二、三等獎，有一人獲自治區一等獎，二人獲自治區二等獎，有一人獲自治區三等獎，體現了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，創(chuàng )造性思維能力都有很大提高。
提問(wèn)質(zhì)疑，其目和是喚起學(xué)生的興趣，求知欲，好奇心，必須難度適當，不能脫離教學(xué)大綱和學(xué)生實(shí)際，而應該是能體現教學(xué)大綱，讓學(xué)生通過(guò)自己的積極努力能理解并感到克服學(xué)習困難產(chǎn)生一種樂(lè )趣的這種適當難度�？梢赃@樣說(shuō)，讓學(xué)生跳一跳才能摘到樹(shù)上的果子。若伸手可得或高不可攀都是不可取的，適當的質(zhì)疑，讓學(xué)生經(jīng)�！疤惶闭焦�，這樣多跳幾次，“彈跳力”---自學(xué)能力，分析能力等就隨之提高了。
在“自學(xué)求索”這一階段，必須培養學(xué)生的自學(xué)習慣。讀書(shū)的方法和鉆研的精神，即自學(xué)能力。例如在立體幾何關(guān)于《直線(xiàn)與平面平行的判定定理》一節中，在課前預習提出下列問(wèn)題：1、直線(xiàn)與平面有幾種位置關(guān)系？判定方法怎樣？2、直線(xiàn)與平面判定定理怎樣證明？還有其他方法嗎？課堂上，學(xué)生都可以回答上述兩個(gè)問(wèn)題，特別是對第二問(wèn)題討論熱烈，列舉各種證法，經(jīng)過(guò)總結，提高了學(xué)生對反證法的運用能力。然而，向學(xué)生提出“直線(xiàn)與平面平行的判定方法是怎樣思考到的？”這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都無(wú)從回答，其原因是學(xué)生在“自學(xué)求索”這一過(guò)程中，學(xué)生僅在預習課本時(shí)，直接記出定理，沒(méi)有求索探因，對第一個(gè)問(wèn)題（這是本節最基本問(wèn)題）覺(jué)得似乎易懂而放棄思索研究，筆者帶領(lǐng)學(xué)生再進(jìn)一步研究直線(xiàn)與平面的直線(xiàn)在平面內，直線(xiàn)與平面相交平行三種位置的特點(diǎn)：用一支細直棍（代表直線(xiàn)）在一平面進(jìn)行“在平面內”“平行”的變化過(guò)程的演示。
將直線(xiàn)先從在平面內，再平行移動(dòng)到平面外，來(lái)找到線(xiàn)向平行的判定方法。這樣做使學(xué)生對教材深入鉆研，自學(xué)求索。過(guò)去，筆者是先從上述演示而引起線(xiàn)與平面平行判定定理，再證明，這樣做可稱(chēng)“啟發(fā)式”，而現在采取先提出問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)自學(xué)研究等階段來(lái)總結提高，可稱(chēng)“研究式”。
研究式的教學(xué)方法可應用于課堂教學(xué)（如立幾的線(xiàn)面平行判定定理一節）中，可與其他教學(xué)形式有機結合在一起進(jìn)行課堂教學(xué)，也可應用于課外研究，數學(xué)講座，數學(xué)課外活動(dòng)小組，指導個(gè)別數學(xué)優(yōu)等生學(xué)習。（如公式“A≥G”的證明）
對某個(gè)數學(xué)問(wèn)題的研究，不應畢其功于一役，而應該結合學(xué)生掌握知識的程度的不斷提高而引導學(xué)生在“自學(xué)求索”“討論研究”兩個(gè)階段中逐漸深入研究問(wèn)題。
在解析幾何《橢圓》一節中有這樣一個(gè)例題：我國發(fā)射的第一顆人造地球衛星的運行軌道，是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面439公里，遠地點(diǎn)B距地面2384公里，地球半徑為6371公里，求衛星軌道方程。
此題計算不難，學(xué)生很容易掌握，但下課前，提出問(wèn)題，為什么地球的近地點(diǎn)和遠地點(diǎn)分別在橢圓長(cháng)軸兩端點(diǎn)（實(shí)際上，在預習此課時(shí)，已有少數養成研究習慣的學(xué)生提出此問(wèn)題），并結合題目分析歸納成一個(gè)極值問(wèn)題：為什么橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最遠點(diǎn)和最近點(diǎn)分別這橢圓長(cháng)軸的兩端點(diǎn)？
課后，有的學(xué)生利用代數方法解決這一問(wèn)題，但不少學(xué)生在遇到函數自變量為二個(gè)變量x.y時(shí)忘記了，“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標必滿(mǎn)足這曲線(xiàn)方程”這一基本概念，或者運算化簡(jiǎn)過(guò)程中配方法不熟練。
當學(xué)習到圓錐曲線(xiàn)統一定義時(shí)，第二次提出此問(wèn)題讓學(xué)生研究，掌握用“求圓錐曲線(xiàn)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可化這點(diǎn)到準線(xiàn)距離”來(lái)解決，減少變量個(gè)數。
當學(xué)習參數方程時(shí)，第三次提出此問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì )利用以角為參數方程，使代數極值問(wèn)題化為三角函數極值問(wèn)題來(lái)解決。
當學(xué)習極坐標時(shí)，第四次提出此問(wèn)題，讓學(xué)生找到更簡(jiǎn)便解法。
在總結階段，讓學(xué)生歸納對比這些解法，總結提高解決這類(lèi)極值問(wèn)題的基本方法，使這個(gè)問(wèn)題的討論研究貫穿于整個(gè)解析幾何的學(xué)習過(guò)程中，使學(xué)生在實(shí)踐中深刻認識鉆研教材的重要性，克服淺嘗輒止的不良習慣。鼓勵學(xué)生發(fā)展求異思維，引導學(xué)生從不同的方面不同角度探索多種解法，使研究的空氣更濃，興趣更強烈，調動(dòng)了學(xué)生學(xué)習數學(xué)的主動(dòng)性、自覺(jué)性，不少學(xué)生主動(dòng)圍繞課本定理、例題進(jìn)行深入研究，對課本習題加以引伸推廣，感到研究數學(xué)其樂(lè )無(wú)窮。
誠然，中學(xué)數學(xué)研究式教學(xué)方法的可行性還在探索，如何完善，如何與其教學(xué)方法有機結合也在模索，筆者從改革教學(xué)方法提高教學(xué)質(zhì)量出發(fā)，僅僅是作為一個(gè)初步的嘗試和探討。
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