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高等數學(xué)教學(xué)中的數學(xué)哲學(xué)思考論文
摘要：本文探討了數學(xué)和哲學(xué)之間的關(guān)系，數學(xué)對哲學(xué)的影響，以及當代數學(xué)哲學(xué)發(fā)展的困境，并指出了數學(xué)哲學(xué)發(fā)展的新途徑。
關(guān)鍵詞：數學(xué)；哲學(xué)；數學(xué)哲學(xué)
一、早期的數學(xué)家為什么都是哲學(xué)家？
在古希臘，哲學(xué)家都格外重視數學(xué)。最早的唯物主義哲學(xué)家泰勒斯，提出了原子唯物論的德謨克利特，最早的唯心主義哲學(xué)家畢達哥拉斯，都曾到埃及學(xué)習幾何。畢達哥拉斯學(xué)派認為世界的本源是數：“萬(wàn)物皆數”，雖然這個(gè)看法現在看來(lái)可笑，但畢達哥拉斯學(xué)派是第一次抽象的處理數學(xué)概念的人，使得數學(xué)理論從大地測量、計算等活動(dòng)中抽象出來(lái)，他們在研究中發(fā)現了畢達哥拉斯（九章算術(shù)稱(chēng)勾股定理）定理。比畢達哥拉斯學(xué)派更廣為人知的是柏拉圖學(xué)院，該院學(xué)生以亞里士多德最為出名。這些學(xué)生大多是那個(gè)時(shí)代最出名的數學(xué)家、哲學(xué)家和天文學(xué)家。后來(lái)這許多學(xué)派和個(gè)人的工作，被歐幾里得總結在《幾何原本》中，在《幾何原本》中，歐幾里得從幾條公理出發(fā)，演繹了500多條希臘大師的定理、結論。
唯理論的兩位大家——笛卡爾和萊布尼茨正是兩位數學(xué)大家。勒奈·笛卡爾（1596～1650），偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數學(xué)家。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話(huà)：“為人類(lèi)爭取并保證理性權利的第一人——笛卡爾�！�1628年，他從巴黎移居荷蘭，先后發(fā)表了許多在數學(xué)和哲學(xué)上有重大影響的論著(zhù)：《論世界》（1634）、《行而上學(xué)的沉思》（1641）、《哲學(xué)原理》（1644）等。1637年，笛卡爾的《幾何學(xué)》，創(chuàng )立了直角坐標系，使幾何曲線(xiàn)與代數方程相結合。笛卡爾的變數是數學(xué)中的轉折點(diǎn)。變數使得運動(dòng)走入數學(xué)，變數使得辨證法走數學(xué)，變數使得微分和積分也就立刻成為必要。笛卡爾的成就，為后來(lái)一大批數學(xué)家的新發(fā)現開(kāi)辟了道路。
作為微積分的創(chuàng )始人之一的德國著(zhù)名數學(xué)家、科學(xué)家、哲學(xué)家——萊布尼茨發(fā)明了微積分符號，一直沿用到今。著(zhù)名的哲學(xué)家羅素、布勞威爾等也都研究數學(xué)，而著(zhù)名的數學(xué)家希爾伯特也研究哲學(xué)，這樣的例子無(wú)法一一列舉。這些著(zhù)名的學(xué)者都同時(shí)精通數學(xué)和哲學(xué)，一方面原因是因為早期的學(xué)科分類(lèi)沒(méi)有像今天這樣分得如此詳細；另一方面也說(shuō)明，數學(xué)和哲學(xué)有著(zhù)不可分割的內在聯(lián)系�！皼](méi)有數學(xué)我們無(wú)法看穿哲學(xué)的深度，沒(méi)有哲學(xué)，人們也無(wú)法看穿數學(xué)的深度，而沒(méi)有這兩者，人們就什么也看不透�！钡履炙迹˙.Demofhns）這句格言深刻地表明了數學(xué)與哲學(xué)的深厚關(guān)系。自從有哲學(xué)以來(lái)，數學(xué)就成為哲學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要來(lái)源，為哲學(xué)的思考與發(fā)展提供了豐富的實(shí)踐環(huán)境。
二、數學(xué)對哲學(xué)的影響
數學(xué)始終影響著(zhù)哲學(xué)。
在數學(xué)的發(fā)展史上，有過(guò)三次“危機”。哲學(xué)家芝諾在公元前五世紀提出了幾個(gè)著(zhù)名的悖論，加之無(wú)理數出現造成的危機，是第一次數學(xué)危機；初期微積分邏輯上有缺陷，圍繞微積分基礎展開(kāi)了的論戰是第二次數學(xué)危機；哲學(xué)家羅素在集合論中發(fā)現的“羅素悖論”，動(dòng)搖了把集合論作為整個(gè)數學(xué)的基礎的思想，這就是所謂的第三次數學(xué)危機。
第一次危機的結果建立了嚴格的實(shí)數理論。數學(xué)家回答了“什么是連續性”。第二次危機的結果建立了微積分的嚴密基礎極限理論。數學(xué)家回答了“運動(dòng)是怎么回事”。第三次數學(xué)危機的結果產(chǎn)生了“數學(xué)基礎”這個(gè)至今尚在蓬勃發(fā)展的數學(xué)領(lǐng)域。
三、哲學(xué)對數學(xué)的影響
數學(xué)也受哲學(xué)的影響，但是不如數學(xué)對哲學(xué)的影響明顯。即使數學(xué)家本身是哲學(xué)家，他的數學(xué)活動(dòng)并不一定打上哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)的烙印，他的哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)往往被后人否定，而數學(xué)成果卻與世長(cháng)存。如康托爾，他認為無(wú)窮集是客觀(guān)存在的，表現出唯心主義傾向，不過(guò)這可能更加激發(fā)了他的研究熱情。他對實(shí)無(wú)窮的研究，最終得到線(xiàn)段上的點(diǎn)要多于自然數，解決了兩千多年哲學(xué)家們都沒(méi)有解決的問(wèn)題。一些卓越的哲學(xué)家如亞里士多德、康德、萊布尼茨都堅持沒(méi)有實(shí)在的無(wú)窮，實(shí)際上認為人不可能認識實(shí)無(wú)窮，像自然數一樣。而康托爾的集合論，使數學(xué)思維進(jìn)人了無(wú)窮的王國。
所以，我們可以這樣說(shuō)：許多數學(xué)家是自覺(jué)的唯心主義與不自覺(jué)的唯物主義的結合。
四、當代數學(xué)哲學(xué)的思考
我們現在有一種思考是數學(xué)哲學(xué)需要向數學(xué)文化哲學(xué)的過(guò)渡。羅素的集合悖論造就了人們對數學(xué)的信任危機，但是仍然有大批的數學(xué)家，諸如懷特海、希爾伯特等人一直在尋求一種新的基礎，來(lái)挽救這種信任危機。也正是由于這種危機促使了數學(xué)哲學(xué)推向了一個(gè)新的階段。在不斷的研究過(guò)程中，相繼出現了邏輯主義、直覺(jué)主義、形式主義。但是，隨著(zhù)更多的數學(xué)家加入這場(chǎng)討論大戰，比如哥德?tīng)栕C明的不完全定理，使得我們對形式主義和直覺(jué)主義產(chǎn)生了懷疑并逐步放棄了形式主義和直覺(jué)主義。產(chǎn)生的后果是數學(xué)界只研究純粹的數學(xué)，哲學(xué)問(wèn)題逐步淡出了數學(xué)家的視線(xiàn)，而且他們發(fā)現這種缺失的哲學(xué)并沒(méi)有對數學(xué)研究產(chǎn)生不好的影響。后來(lái)的數學(xué)家發(fā)現數學(xué)比以前更快的速度飛速發(fā)展。這樣的結果就是不光許多以前對數學(xué)哲學(xué)感興趣的數學(xué)大師如馮·諾伊曼、外爾等以及一些新成長(cháng)起來(lái)的數學(xué)家都很少涉足數學(xué)哲學(xué)。曾經(jīng)有數學(xué)家就認為數學(xué)哲學(xué)家討論的是“前天的數學(xué)”而不是“今天的數學(xué)”。
五、數學(xué)哲學(xué)的新啟示
數學(xué)和哲學(xué)的關(guān)系究竟怎樣處理？如何是數學(xué)和哲學(xué)更加和諧的相處呢？
傳統數學(xué)哲學(xué)由于缺乏必要的學(xué)科定位，而且數學(xué)知識的框架也存在缺陷，使得數學(xué)和哲學(xué)的聯(lián)系道路越走越遠，使得我們無(wú)法面對數學(xué)文化和哲學(xué)文化具有的更深層次的不協(xié)調問(wèn)題。
隨后的數學(xué)家從數學(xué)文化哲學(xué)的角度進(jìn)行研究，為我們提供了一個(gè)新的角度，他們注重研究數學(xué)活動(dòng)本身的內在聯(lián)系的外部機制的關(guān)系。美國數學(xué)家威爾德的兩部著(zhù)作《數學(xué)概念演化的初步研究》和《數學(xué)，一種文化體系》就是從這一角度研究數學(xué)文化的。他在書(shū)中所提到的觀(guān)點(diǎn)受到大部分數學(xué)界人士的贊同，認為威爾德提及的數學(xué)需要作為一種文化體系進(jìn)行研究的觀(guān)點(diǎn)，是第一個(gè)比較成熟的數學(xué)哲學(xué)觀(guān)。
作為普通民眾，由于缺乏必要的數學(xué)素養，他們對數學(xué)存在質(zhì)疑；這種情況的出現使得數學(xué)文化哲學(xué)進(jìn)一步引起了數學(xué)家的關(guān)注。從純粹的數學(xué)知識體系來(lái)看，數學(xué)有著(zhù)脫離社會(huì )并遠離哲學(xué)文化的危險，這樣的結果就是會(huì )導致孤立主義的傾向。而且這種孤立主義使普通民眾產(chǎn)生一種錯誤地感覺(jué)，那就是他們認為數學(xué)只是少數數學(xué)天才的事情，是他們自己腦子里想象出來(lái)的創(chuàng )造物，社會(huì )的發(fā)展和進(jìn)步和數學(xué)的發(fā)展是沒(méi)有關(guān)系的，而且數學(xué)的真理性無(wú)須社會(huì )的實(shí)踐來(lái)檢驗。隨著(zhù)純粹的數學(xué)知識體系內的各個(gè)領(lǐng)域的劃分越來(lái)越細致，導致的結果就是不同數學(xué)分支的數學(xué)家們沒(méi)有辦法進(jìn)行必要的交流，統攬數學(xué)全局的大家已經(jīng)很久沒(méi)有出現了。數學(xué)就象失去方向盤(pán)的汽車(chē)，不知將奔向何處。
從數學(xué)知識體系所處的外部環(huán)境，也就是數學(xué)與社會(huì )文化的關(guān)系來(lái)看，也出現了不協(xié)調的情況。從古典數學(xué)分析演變到近代數學(xué)分析，數學(xué)越來(lái)越嚴密化，使得數學(xué)出現了嚴密的推導過(guò)程，而且這樣具有嚴格邏輯的推導備受數學(xué)界崇尚，直接后果就是他們不管數學(xué)的結果是否有用，對現實(shí)世界及其他學(xué)科是否有意義。英國數學(xué)家哈代在代表作《一個(gè)數學(xué)家的辯白》中就宣稱(chēng)：“我從未做過(guò)有用的事，在我的發(fā)現中，從未有過(guò)或可能有過(guò)，直接或間接地、好的或不好的，對現實(shí)世界稍微有益的東西�！�
數學(xué)內部和外部共同作用的結果就是使得數學(xué)界出現了孤立主義傾向，大部分數學(xué)家其孤芳自賞，并且拒人于千里之外，普通民眾更加的不理解數學(xué)，對數學(xué)望而生畏，更不用說(shuō)理解數學(xué)了。
但是不可否認的是數學(xué)是社會(huì )發(fā)展，尤其是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的基礎和工具，孤立于人類(lèi)文化使得我們失去了原動(dòng)力。這種原動(dòng)力是推動(dòng)社會(huì )進(jìn)步和人類(lèi)思想解放的基本，失去它將使得社會(huì )的發(fā)展變?yōu)闊o(wú)源之水。以哲學(xué)的眼光來(lái)考察和監督數學(xué)的發(fā)展，把把數學(xué)放在數學(xué)文化哲學(xué)的大背景下，力圖將人類(lèi)文化融入數學(xué)，讓我們意識到到數學(xué)是為社會(huì )服務(wù)的。數學(xué)文化哲學(xué)的研究或許是人類(lèi)真正理解數學(xué)的一把鑰匙。從數學(xué)哲學(xué)走向數學(xué)文化哲學(xué)，讓我們認識數學(xué)的本來(lái)面目，推動(dòng)數學(xué)哲學(xué)進(jìn)一步向前發(fā)展。
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