秋天的風(fēng)景小學(xué)作文5篇

　　總結是指對某一階段的工作、學(xué)習或思想中的經(jīng)驗或情況加以總結和概括的書(shū)面材料，他能夠提升我們的書(shū)面表達能力，為此我們要做好回顧，寫(xiě)好總結。那么我們該怎么去寫(xiě)總結呢？以下是小編為大家整理的數學(xué)培訓總結，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

數學(xué)培訓總結1

　　通過(guò)近期網(wǎng)絡(luò )上的遠程教育學(xué)習，使我明白了《新課程指導綱要》提出教學(xué)改革要著(zhù)重從教師教的角度研究變革教的方式轉為從學(xué)生學(xué)的角度研究變革學(xué)的方式。也就是說(shuō)基礎教育課程改革既要加強學(xué)生的基礎性學(xué)習又要提高學(xué)生的發(fā)展性學(xué)習和創(chuàng )造性學(xué)習從而培養學(xué)生終身學(xué)習的愿望和能力讓學(xué)生享受“快樂(lè )數學(xué)”。因此本人通過(guò)對新就改變學(xué)生的學(xué)習方式作了如下幾方面的探索。

　　一、提高學(xué)習興趣

　　在平時(shí)的教學(xué)中我注意根據不同的教學(xué)內容、不同的教學(xué)目標結合學(xué)生的特點(diǎn)選用不同的教學(xué)方法努力創(chuàng )設一種和諧、愉悅的教學(xué)氛圍和各種教學(xué)情境精心設計教學(xué)過(guò)程和練習。在課堂上給予學(xué)生自主探索、合作交流、動(dòng)手操作的權利讓學(xué)生充分發(fā)表自己的意見(jiàn)。久而久之學(xué)生體會(huì )到成功的喜悅激發(fā)了對數學(xué)的好奇心、求知欲以及學(xué)習數學(xué)的興趣覺(jué)得數學(xué)不再是那些枯燥、乏味的公式、計算、數字從思想上變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”了。例如教學(xué)“因數與倍數”時(shí)我給每一位同學(xué)都編了一個(gè)號然后根據因數與倍數的特點(diǎn)組織游戲大家很快就掌握了。同學(xué)們學(xué)習興趣非常濃上課發(fā)言也非常積極。

　　二、自創(chuàng )新型教學(xué)

　　當今人類(lèi)進(jìn)入了信息時(shí)代以計算機和網(wǎng)絡(luò )為核心的現代教育技術(shù)的不斷發(fā)展使我們的教育由一支粉筆、一本教材、一塊黑板的課堂教學(xué)走向“屏幕教學(xué)”由講授型教學(xué)向創(chuàng )新型教學(xué)發(fā)展。如在教學(xué)“分數大小的'比較”一課時(shí)采用故事導入生動(dòng)形象的畫(huà)面伴以美妙的音樂(lè )很快讓學(xué)生進(jìn)入教學(xué)過(guò)程�！疤粕畮熗剿娜巳ノ魈烊〗�(jīng)。一天天氣特別炎熱師徒四人口渴難忍讓八戒去找西瓜解渴。不大一會(huì )八戒抱著(zhù)一個(gè)大西瓜回來(lái)了。孫悟空說(shuō)?把西瓜平均分成四份每人一份。?八戒聽(tīng)了不高興了叫喊說(shuō)?西瓜是我找來(lái)的不給我六分之一也得給我五分之一。?悟空樂(lè )了趕緊切了五分之一給八戒。八戒吃完西瓜拍著(zhù)肚皮說(shuō)?我真傻為什么比先前分得的還少呢?大家聽(tīng)了都笑了而八戒卻還是莫名其妙�！蓖瑢W(xué)們都笑了這時(shí)教師停止故事的播放問(wèn)“同學(xué)們你們想知道是什么原因嗎？想學(xué)了今天這節課的知識你就知道了�！�

　　在小學(xué)數學(xué)教學(xué)中適時(shí)恰當地選用現代教育技術(shù)來(lái)輔助教學(xué)以逼真、生動(dòng)的畫(huà)面動(dòng)聽(tīng)悅耳的音響來(lái)創(chuàng )造教學(xué)的文體化情景使抽象的教學(xué)內容具體化、清晰化使學(xué)生的思維活躍興趣盎然地參與教學(xué)活動(dòng)使其重視實(shí)踐操作科學(xué)地記憶知識并且有助于學(xué)生發(fā)揮學(xué)習的主動(dòng)性積極思考使教師以教為主變成學(xué)生以學(xué)為主從而提高教學(xué)質(zhì)量?jì)?yōu)化教學(xué)過(guò)程增強教學(xué)效果。

　　三、主合作探究

　　新課程倡導建立自主合作探究的學(xué)習方式對我們教師的職能和作用提出了強烈的變革要求即要求傳統的居高臨下的教師地位在課堂教學(xué)中將逐漸消失取而代之的是教師站在學(xué)生中間與學(xué)生平等對話(huà)與交流過(guò)去由教師控制的教學(xué)活動(dòng)的那種沉悶和嚴肅要被打破取而代之的是師生交往互動(dòng)、共同發(fā)展的真誠和激情。因而教師的職能不再僅僅是傳遞、訓導、教育而要更多地去激勵、幫助、參謀師生之間的關(guān)系不再是以知識傳遞為紐帶而是以情感交流為紐帶教師的作用不再是去填滿(mǎn)倉庫而是要點(diǎn)燃火炬。學(xué)生學(xué)習的靈感不是在靜如止水的深思中產(chǎn)生而多是在積極發(fā)言中相互辯論中突然閃現。學(xué)生的主體作用被壓抑本有的學(xué)習靈感有時(shí)就會(huì )消遁。

　　在教學(xué)中我大膽放手給學(xué)生充足的時(shí)間讓學(xué)生成為學(xué)習的主角成為知識的主動(dòng)探索者。我經(jīng)常告訴學(xué)生“課堂是你們的數學(xué)課本是你們的三角板、量角器、圓規等這些學(xué)具也是你們的這節課的學(xué)習任務(wù)也是你們的。老師和同學(xué)都是你們的助手想學(xué)到更好的知識就要靠你們自己�！崩�如在教學(xué)“長(cháng)方形和正方形的特征”時(shí)我在學(xué)生舉出長(cháng)方形正方形的實(shí)物后根據學(xué)生回答“長(cháng)方形和正方形都是有四條線(xiàn)段圍成的圖形”。話(huà)音剛落馬上有學(xué)生站起來(lái)說(shuō)“老師你說(shuō)錯了應該是有四條邊圍成的圖形他們都有四條邊�！钡人麆傄徽f(shuō)完另外一個(gè)學(xué)生提出反對意見(jiàn)“應該是四條線(xiàn)段圍成的圖形每條線(xiàn)段都叫做邊�！薄八麄冞�都有四個(gè)角而且都是直角�！蔽乙恢痹谝慌晕⑿Φ穆�(tīng)著(zhù)最后說(shuō)“嗯這幾位同學(xué)說(shuō)得很好老師希望每個(gè)同學(xué)都能積極思考踴躍發(fā)言。把自己知道的和與我們學(xué)習有關(guān)的說(shuō)出來(lái)大家互相促進(jìn)�！蹦且欢螘r(shí)間這幾位學(xué)生學(xué)習興趣非常濃而其他的學(xué)生受其影響上課發(fā)言也非常積極。當然不是說(shuō)亂成一團才為妙，但一個(gè)開(kāi)放的、體現學(xué)生主體作用的課應該有他們自由表達意見(jiàn)的空間。適度的“亂”在教師控制之中的“亂”在一定程度上可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性讓他們真正參加到教學(xué)中讓他們去創(chuàng )造性的學(xué)。

　　總之通過(guò)這段時(shí)間遠程學(xué)習，使我學(xué)習了很多新的教育教學(xué)理論知識，面對新課程改革的挑戰我們必須轉變教育觀(guān)念多動(dòng)腦筋多想辦法密切數學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系使學(xué)生從生活經(jīng)驗和客觀(guān)事實(shí)出發(fā)在研究現實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中做數學(xué)、理解數學(xué)和發(fā)展數學(xué)讓學(xué)生享受“快樂(lè )數學(xué)”。

數學(xué)培訓總結2

　　20xx年8月7日至9日，我校分科組織了開(kāi)學(xué)前為期三天的集中培訓，在這三天中高二數學(xué)備課組全體教師全員參與。這次培訓對我們來(lái)說(shuō)是一次難得的充電機會(huì )，我們接觸到了四位從省城來(lái)的優(yōu)秀老師的教育新理念，他們豐富的知識內涵及精湛的闡述使我們的思想煥發(fā)了激情，燃起了斗志，確實(shí)感到收獲頗多，下面把我們感觸最深的幾點(diǎn)總結如下:

　　一、課前要吃透教材、熟悉課標

　　作為一名高中數學(xué)教師，對每一冊的教材都要熟練，每一個(gè)單元的教學(xué)目標，重點(diǎn)、難點(diǎn)，甚至細到哪一個(gè)例題、練習應該培養學(xué)生什么能力，達到什么教學(xué)目標都要解讀得非常清楚，我們知道了教材的內涵，對于自己以后的教學(xué)有很大的幫助。熟悉新課標，我們才能轉變教學(xué)觀(guān)念、改變教學(xué)方式、改變教學(xué)評價(jià)方式，這樣我們在復習備考中才不會(huì )走彎路。

　　二、改變教學(xué)觀(guān)念和教學(xué)方式。

　　課堂上要以學(xué)生為主體，積極推進(jìn)“自主、合作、探究”的教學(xué)模式，消除由于教師講得過(guò)多、學(xué)生參與過(guò)少而導致的靠大量課后作業(yè)來(lái)完成教學(xué)任務(wù)的問(wèn)題，逐步解決忽視學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)目標實(shí)現的問(wèn)題。

　　三、認真備課，尤其要認真備學(xué)生。

　　平時(shí)自己在備課時(shí)，只習慣于備教學(xué)內容，而忽視備學(xué)生。因為我們所教的學(xué)生各不相同，基礎也完全不同，如果不去研究學(xué)生對所教內容的掌握情況，不去研究學(xué)生的個(gè)體差異，一切從本本出發(fā)，課堂教學(xué)的適切性就會(huì )大打折扣，課堂教學(xué)的高效就無(wú)從談起。

　　四、認真研究和設計好課堂提問(wèn)。

　　在真實(shí)、常態(tài)的課堂教學(xué)中，經(jīng)常發(fā)現自己所提的問(wèn)題本身就有問(wèn)題，無(wú)效問(wèn)題、假問(wèn)題、無(wú)價(jià)值問(wèn)題充斥課堂，這樣的提問(wèn)耽誤了學(xué)生寶貴的課堂學(xué)習時(shí)間，也影響了課堂教學(xué)效率的提高。因此，今后要高效地完成課堂教學(xué)任務(wù)，就必須注重對課堂提問(wèn)的研究，所提的問(wèn)題必須是有價(jià)值的、有啟發(fā)性的、有一定難度的，整個(gè)課堂的問(wèn)題設計必須遵循循序漸進(jìn)的原則。

　　五、關(guān)注學(xué)生，讓學(xué)生成為問(wèn)題的發(fā)現者和解決者。

　　好的數學(xué)課堂是充滿(mǎn)問(wèn)題的課堂，在上課伊始，當學(xué)生顯得比較沉悶，啟而不發(fā)時(shí)，老師把自己當成學(xué)生的一份子，去提問(wèn)，這樣學(xué)生慢慢地活躍起來(lái)，大膽地提問(wèn)題，并主動(dòng)地解決問(wèn)題，到最后不啟也發(fā)，真正成為了學(xué)習的主人。

　　六、學(xué)會(huì )等待。

　　在開(kāi)課伊始，學(xué)生很拘束，老師很耐心地等待第一個(gè)學(xué)生舉手，第一個(gè)學(xué)生提出問(wèn)題。在學(xué)生發(fā)言時(shí)，老師學(xué)會(huì )等待，等待學(xué)生回答完整個(gè)問(wèn)題。在與學(xué)生交往過(guò)程中，老師尊重每一個(gè)學(xué)生，尊重他們的'個(gè)性，學(xué)會(huì )等待，以身作則，潛移默化，學(xué)生能從老師身上學(xué)到傾聽(tīng)別人的發(fā)言，學(xué)會(huì )尊重別人。這是我覺(jué)得現在課堂需要培養的學(xué)生的一個(gè)良好的習慣。

　　七、加強對課堂節奏的把握和管理。

　　課堂上，有時(shí)給學(xué)生提出問(wèn)題，學(xué)生還沒(méi)來(lái)得及思考，就馬上要求其回答，這樣不僅浪費了學(xué)生課堂思考的時(shí)間，而且有效性很差。這種形式主義的教學(xué)方式使無(wú)效勞動(dòng)充斥課堂，嚴重影響了課堂教學(xué)的效率。有時(shí)讓學(xué)生閱讀教材、討論、交流、做鞏固練習等，不提任何時(shí)間和標準的要求，學(xué)生漫無(wú)目的地閱讀與交流，課堂組織松散，時(shí)間利用率低。有時(shí)只對學(xué)生提出比較籠統的要求，學(xué)生不明白教師要他們干什么和要他們怎么干，這樣，學(xué)生就失去了教師的有效指導。因此，要給學(xué)生一定的思考時(shí)間和思維空間，要減少“講與聽(tīng)”，增加“說(shuō)與做”，嘗試“教與評”。

　　總之，這次培訓，使我們能親耳聽(tīng)到全省幾位著(zhù)名優(yōu)秀教師的課，我們覺(jué)得收獲很大，希望以后學(xué)校能多組織這樣的培訓，多請進(jìn)一些專(zhuān)家學(xué)者來(lái)給我們做示范課，作一些實(shí)質(zhì)有用的報告，讓我校的教師師能夠在專(zhuān)業(yè)發(fā)展方面得以提高。

數學(xué)培訓總結3

　　20xx年9月20日的此時(shí)，我們齊聚一堂，“國培計劃初中數學(xué)學(xué)科帶頭人”班正式啟動(dòng)，而如今，同樣的場(chǎng)景，歷時(shí)三個(gè)月的培訓學(xué)習，至此已圓滿(mǎn)結束了。在此感謝學(xué)院領(lǐng)導三個(gè)月來(lái)的悉心關(guān)懷，感謝班主任張道祥教授的貼心照顧，感謝所有教授、專(zhuān)家的傾心傳授！

　　“玉不琢，不成器；人不學(xué)，不知意�！北敬闻嘤柺斋@最大的是前輩們對我教學(xué)思想上的強烈沖擊。每一天都要面對風(fēng)格迥異的名師，每一天都能聆聽(tīng)不同類(lèi)型的講座，每一天都能感受到思想火花的碰撞，感覺(jué)幸福而又充實(shí)！

　　隨著(zhù)新課程改革的發(fā)展，很多時(shí)候的我們是無(wú)所適從的，甚至茫然過(guò)，束手無(wú)策過(guò)。而此次短暫的培訓學(xué)習猶如為我?jiàn)^斗了16年的教學(xué)事業(yè)推開(kāi)了另一扇窗，撥云見(jiàn)日，使我在一次次的感悟中豁然開(kāi)朗。雖然只有寥寥三個(gè)月，卻讓我享受到了一個(gè)全新的教學(xué)舞臺風(fēng)采。

　　第一階段理論研修，由安師大郭要紅等10多位教授、專(zhuān)家從不同的角度，給大家展示了涉及教學(xué)領(lǐng)域的精湛講座，讓我們從一個(gè)全新的視角，了解了當今數學(xué)教學(xué)最前沿的理論知識和研究成果，也為我今后的教學(xué)和研究，提供了方法上的指導以及方向上的指引。特別是聽(tīng)講了孫國正教授的《初中數學(xué)思想方法》系列講座和郭要紅教授的《數學(xué)教師自我診斷與專(zhuān)業(yè)發(fā)展規劃》后感觸頗深，聯(lián)系基層教學(xué)的實(shí)際狀況，對自己以前教學(xué)中所存在的一些困惑，有了一些明析的認識，同時(shí)也為以前在教學(xué)中遇到的一些困難，找到了合適的解決方法，并提供了一定的理論指導和幫助。教授專(zhuān)家們獨到的視角、深邃的.思考、扎實(shí)的工作作風(fēng)和積極樂(lè )觀(guān)的心態(tài)，使我深切領(lǐng)悟到“學(xué)高為師，身正為范，學(xué)無(wú)止境”的真諦，給我這個(gè)一線(xiàn)的教師留下了終生揮之不去的印象。它必將深深地影響著(zhù)我、激勵著(zhù)我，成為我今后人生的指南，事業(yè)的航標。

　　第二階段是實(shí)踐研修階段，旨在把第一階段所學(xué)到的有關(guān)理論應用于實(shí)踐。我們班學(xué)員分別深入到蕪湖市三中，十一中以及南瑞實(shí)驗中學(xué)進(jìn)行“影子教學(xué)”實(shí)踐研修。眾所周知，這三所學(xué)校都有著(zhù)自己的辦學(xué)特色，學(xué)生的綜合素質(zhì)和學(xué)校的硬件設施都比基層學(xué)校高出很多，師資水平也不例外。在與帶教老師及影子學(xué)校的領(lǐng)導進(jìn)行相關(guān)交流互動(dòng)后，我們學(xué)員的整體教學(xué)教研水平都得到了很大程度的提高。

　　第三階段是再反饋和再提高階段。實(shí)習研修結束后，我們重新回到了師大的理論課堂，對前階段所學(xué)理論知識及在實(shí)習研修中暴露的問(wèn)題進(jìn)行整理分析，以及再次的學(xué)習、總結和提高，談體會(huì )、找缺點(diǎn)、尋理論，收獲頗豐。同時(shí)，學(xué)院領(lǐng)導還給我們安排了六節外省專(zhuān)家的講座。南京師范大學(xué)教授喻平教授所教授的《數學(xué)教學(xué)的三種水平心理學(xué)依據與案例分析》，指引我們該怎樣由基本型教師向智慧型、創(chuàng )新型教師轉變；合肥市教學(xué)研究室的專(zhuān)家王道宇老師的《一節好課的案例分析》讓大家明白真正的好課該如何去上，如何使同學(xué)們進(jìn)行有效吸收；特級教師胡趙云老師的講座，更是引起我內心的震撼和共鳴，幽默風(fēng)趣的語(yǔ)言，平易近人的教學(xué)風(fēng)范，簡(jiǎn)直令人高山仰止。他所提倡的“學(xué)會(huì )傾聽(tīng)學(xué)生的聲音”思想，給我指明了今后的教學(xué)方向和教育思想。其實(shí)，培訓是一個(gè)反思進(jìn)步的過(guò)程。三個(gè)月的培訓學(xué)習是短暫的，但是給我的記憶和思考卻是永恒的。通過(guò)這次培訓，使我提高了認識，理清了思路，學(xué)到了新的教學(xué)理念，找到了自身的差距和不足。

　　綜觀(guān)以前我的教學(xué)，最注重的似乎就是學(xué)生的學(xué)習成績(jì)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是升學(xué)率，它仿佛就是教師的一種任務(wù)，帶著(zhù)這種心理，于是便造成了教師整天圍著(zhù)學(xué)生轉的狀況，課內效益低，同時(shí)又花費大量的課外時(shí)間去彌補，出現了學(xué)生累教師更累的局面。反思我的課堂，忽視不僅僅是學(xué)生的心理特點(diǎn)，還順帶遺忘了身為人師的數學(xué)理念。過(guò)去，我常常以固有不變的眼光來(lái)審視整個(gè)數學(xué)系統，并以多年習慣了的教學(xué)方式，將數學(xué)“成人化”地呈現在孩子們面前。如何使我們的數學(xué)課堂愈發(fā)顯得真實(shí)、自然、厚重而又充滿(mǎn)著(zhù)人情味成為教育最大的絆腳石。因此，作為數學(xué)老師的我們更要關(guān)注的是，如何以自身的智慧，不斷的喚醒孩子們學(xué)習熱情，點(diǎn)化孩子們的學(xué)習方法，從而豐富他們的學(xué)習經(jīng)驗，開(kāi)啟屬于自己的學(xué)習智慧。

　　“我思，故我在”！在以后的教學(xué)中，我需要做的或者說(shuō)需要改善的是：

　　第一，自我反思。從以往的實(shí)踐中總結經(jīng)驗得失。

　　第二，不斷學(xué)習。讀萬(wàn)卷書(shū)，行萬(wàn)里路，讀書(shū)是提高自我素養的良好基奠。一桶水早已不能滿(mǎn)足學(xué)生的需求了，我要不斷學(xué)習，積極爭取向探究型、專(zhuān)家型教師靠攏。

　　第三，注重交流。與同行的交流，與專(zhuān)家的交流、爭取走“學(xué)習反思研究實(shí)踐”相結合的專(zhuān)業(yè)發(fā)展之路。

　　總而言之,在課改不斷深入的今天，我們要深刻理解并落實(shí)新觀(guān)念、新思想、新方法，在學(xué)科教學(xué)過(guò)程中，我們一定要突出學(xué)生是主體的概念，用不同的教學(xué)方法和手段來(lái)激發(fā)和培養學(xué)生的學(xué)習興趣，“面向全體學(xué)生,提高數學(xué)素養,倡導探究性學(xué)習”,圓滿(mǎn)完成新一輪的課改任務(wù)。

　　培訓只是一個(gè)手段，一個(gè)開(kāi)端。對于培訓給我的清泉，我定要讓它細水長(cháng)流�！皣�培”給我補了元氣、赭山替我添了秀氣、鏡湖注我以靈氣，使我對教學(xué)事業(yè)重新勃發(fā)出無(wú)限的奮斗力。堅持了三個(gè)月的研修學(xué)習，思考背后，相信大家都和我一樣，作為資深教師，感到更多的是責任，是壓力，真正體悟到教育是一個(gè)充滿(mǎn)智慧的事業(yè)，深刻意識到作為一名基層的人民教師所肩負的重任。今后我定會(huì )學(xué)以致用，結合我校的實(shí)際情況，及時(shí)為學(xué)校的建設和發(fā)展出謀劃策，讓培訓的碩果在教育事業(yè)發(fā)展中大放光彩！

　　同學(xué)們，讓我們一起努力吧！

數學(xué)培訓總結4

　　數”的產(chǎn)生成為人類(lèi)文明發(fā)展的一個(gè)重要的標志。人類(lèi)從識別事物多寡的原始的數覺(jué)能力，到抽象的“數”概念的形成，經(jīng)歷了一個(gè)緩慢漸進(jìn)的過(guò)程。

　　第一次擴充：分數的引進(jìn)；第二次擴充：0的引進(jìn)；第三次擴充：負數的引進(jìn)；第四次擴充：無(wú)理數的引進(jìn)；第五次擴充：復數的引進(jìn)。

　　從原有數集擴充到新數集所遵循的原則：原數集是擴充后新數集的真子集；原數集定義的元素間的關(guān)系和運算在新數集中同樣地被定義；原數集中的元素在新數集中定義的運算結果與在原數集中的運算結果一致，且基本運算律保持；在原數集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數集中能夠施行；新數集是滿(mǎn)足上述四條的數集中的最小數集。擴充方法：一種是把新引進(jìn)的數加到已建立的數系中而擴充。另一種是從理論上創(chuàng )造一個(gè)集合，即通過(guò)定義等價(jià)類(lèi)來(lái)建立新數系，然后指出新數系的一個(gè)部分集合與以前數，一種新的數，也就實(shí)現了數系的一次擴張。引入了負數，就實(shí)現了這個(gè)數系關(guān)于加減運算的自封閉。

　　有理數有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋在一條水平的直線(xiàn)上，確定一段線(xiàn)段為單位長(cháng)度，把它的左、右端點(diǎn)分別標設為0和1。正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。對于分母q的有理數，就可以用把單位區間q等分的那些分點(diǎn)表示。每一個(gè)有理數都可以找到數軸上的一點(diǎn)與之對應。

　　無(wú)理數的引入正方形的邊長(cháng)和對角線(xiàn)不可公度。實(shí)現了數系的又一次擴張，可以滿(mǎn)足數學(xué)上開(kāi)方運算的需要，實(shí)現了實(shí)數系關(guān)于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個(gè)有理數都將全部有理數分為兩類(lèi)，使得第一類(lèi)中每個(gè)數都小于第二類(lèi)中的任一個(gè)數，這個(gè)分類(lèi)的有理數可以算在兩類(lèi)的任何一類(lèi)中。利用這個(gè)分割法可以得到無(wú)理數的定義。

　　所建立的數系是同構的。

　　自然數的兩大基本理論：基數理論和序數理論

　　基數理論當我們把所有表示數量的符號放在一起就得到了一個(gè)集合，我們稱(chēng)之為“數集”，為了度量“數集”當中表示數量的符號個(gè)數，我們首先要定義一個(gè)概念就是“基數”。19世紀中葉，數學(xué)家康托以集合理論為基礎提出了自然數的基數理論。等價(jià)集合的共同特征稱(chēng)為基數。對于有限集合來(lái)說(shuō)，基數就是元素的個(gè)數。自然數就有有限集合A的基數叫做自然數。記作“”。當集合是有限集時(shí)，該集合的基數就是自然數�？占�的基數就是0。而一切自然數組成的集合，我們稱(chēng)之為自然數集，記為N。

　　序數理論皮亞諾1889年建立了自然數的序數理論，進(jìn)而完全確立了數系的理論。是根據一個(gè)集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來(lái)。

　　定義非空集合N中的元素叫做自然數,如果N的元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿(mǎn)足下列公理：

　�。�1）0∈N；

　�。�2）0不是N中任何元素的后繼元素；

　�。�3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

　�。�4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；

　�。�5）（歸納公理）如果MN，而且滿(mǎn)足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構成的系統稱(chēng)為皮亞諾公理系統，它就是自然數系。

　　自然數0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數法中的空位，在位置制記數中是不可缺少的。

　　自然數系所蘊含的思想

　　對應思想（可數的集合）自然數建立在對應概念之上，而且對應的思想也成為自然數的一個(gè)重要性質(zhì)。一一對應關(guān)系是集合論中建立兩個(gè)集合“相等”關(guān)系的一個(gè)重要概念。（導致了俗稱(chēng)“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會(huì )產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過(guò)德國弗芝克爾改進(jìn)形成了一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統（ZF公理系統）。數位思想

　　位置制記數法，就是運用少量的符號，通過(guò)它們不同個(gè)數的排列，以表示不同的數。用十個(gè)記號來(lái)表示一切的數，每個(gè)記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進(jìn)位位置制記數之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開(kāi)的。

　　負數的數學(xué)含義至少包括如下幾個(gè)方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負

　　數學(xué)符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數學(xué)符號的意義在于：有了數學(xué)符號，才使得抽象的數學(xué)概念有了具體的表現形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數學(xué)思維能以直觀(guān)的、簡(jiǎn)約的形式表現出來(lái)。

　　字母代表數代數，原意就是指“文字代表數”的學(xué)問(wèn)。使得許多算術(shù)問(wèn)題可以轉換為代數方程問(wèn)題求解。根本的內涵是“未知數的`符號x可以和數一樣進(jìn)行四則運算。文字代表數的真正價(jià)值在于：字母能夠和數字一起進(jìn)行四則運算和乘方、開(kāi)方，進(jìn)行指數、對數、三角等運算，乃至對字母進(jìn)行微分、積分運算等等。

　　解析式數字、字母、運算符號按照一定規律有意義地結合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規律和變形規則。解析式可以區分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是只含有代數運算的解析式叫代數式，沒(méi)有開(kāi)方運算的代數式稱(chēng)為有理式，否則稱(chēng)為無(wú)理式；沒(méi)有除法運算的有理式稱(chēng)為整式，否則稱(chēng)為分式；沒(méi)有加、減運算的整式稱(chēng)為單項式，否則稱(chēng)為多項式。另一類(lèi)是包含初等超越運算的解析式統稱(chēng)為初等超越式，簡(jiǎn)稱(chēng)超越式。它包括指數式、對數式、三角函數式、反三角函數式。

　　解析式的恒等變形把一個(gè)給定的解析式變換為另一個(gè)與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫(xiě)的，因為它們對一切數，代入式都相等。但是，解方程時(shí)的同解變形，不是恒等變形，。代數式數學(xué)的符號語(yǔ)言

　　代數式是在數系基礎上發(fā)展起來(lái)的。在初等代數中，所涉及的運算可分為兩大類(lèi)：1代數運算2初等超越運算：指數是無(wú)理數的乘方、對數、三角、反三角運算。

　　定義，在一個(gè)解析式中，如果對字母只進(jìn)行有限次代數運算，那么這個(gè)解析式就稱(chēng)為代數式；如果對字母進(jìn)行了有限次的初等超越運算，那么這個(gè)解析式就稱(chēng)為初等超越式，簡(jiǎn)稱(chēng)超越式。還可以進(jìn)一步分類(lèi)：只含有加、減、乘、除、指數為整數的乘方運算的代數式稱(chēng)為有理式；其余的代數式稱(chēng)為無(wú)理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱(chēng)為整式（或多項式），其余的有理式稱(chēng)為分式。

　　“數”發(fā)展到“式”的意義導致了運算形式化、程序化及規則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數系的擴大化問(wèn)題。將抽象的符號運算應用到更一般的對象上，開(kāi)辟了構造數學(xué)的新方向，為抽象代數學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數學(xué)的顯著(zhù)特征。

　　數學(xué)符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個(gè)重要的屬性在于它的形象性。數學(xué)符號不但精確地表示數學(xué)抽象，而且是抽象內涵的簡(jiǎn)約形象。等式和方程

　�。ㄒ唬┓匠痰暮�義“含有未知數的等式叫方程”。這個(gè)定義簡(jiǎn)單明了，為大家所習用。不過(guò)，這個(gè)定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�，在未知數和已知數之間建立起來(lái)的等式關(guān)系�！卑逊匠痰暮诵膬r(jià)值提出來(lái)了，即為了尋求未知數。

　　判斷一個(gè)代數式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數。方程的概念一般用于兩個(gè)領(lǐng)域：“求某個(gè)未知數的數”和“曲線(xiàn)與方程”在這兩個(gè)領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒(méi)有變化，而是研究的問(wèn)題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個(gè)數（或解集的大�。┡c方程的存在域的大小有直接關(guān)系。

　　方程的分類(lèi)依照方程解的個(gè)數分，可將方程分為無(wú)解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個(gè)解、有無(wú)窮多個(gè)解和全體實(shí)數解等。方程按照它所含有的未知數的個(gè)數來(lái)分類(lèi)：集。兩個(gè)不等式的解集相同，則稱(chēng)這兩個(gè)不等式是同解的。

　　不等式有三個(gè)基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實(shí)際應用在運動(dòng)變化過(guò)程中，如果用函數模型刻畫(huà)運動(dòng)變化的兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫(huà)的是x、y變化過(guò)程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫(huà)的是變化過(guò)程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問(wèn)題上具有廣泛的應用。不等式蘊含的思想

　�。ㄒ唬┠Ｐ退枷肱c相等現象相比，不等現象是現實(shí)世界中更為普遍的現象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

　　方程借助用字母表示數的代數思想，將未知數同已知數一起描述問(wèn)題的代數表達形式，形成了方程的基本思想。

　　方程思想具有很豐富的含義，其核心體現在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習方程內容最主要的事情集中在兩個(gè)方面。一方面是建模，另一方面是會(huì )解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀(guān)規律都表現為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來(lái)往往就是一個(gè)方程式。初中方程的教學(xué)不能過(guò)分地停留在數學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會(huì )到數學(xué)與現實(shí)生活密不可分的聯(lián)系。體會(huì )方程是一種用數學(xué)符號提煉現實(shí)生活中的特定關(guān)系的過(guò)程。必須學(xué)會(huì )抽象將關(guān)系抽象為數學(xué)符號。

　　方程設計思想的思路先進(jìn)行生活中的提煉，然后到數學(xué)表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問(wèn)題。

　　初中數學(xué)方程的常見(jiàn)解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

　　等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來(lái)完成的。方程是一種特殊的等式，是在說(shuō)明相等是怎么回事，等式可以是數字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫(huà)的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式

　　學(xué)習的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規律。其次，研究不等式可以導致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個(gè)區域。

　　不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨立的，也是相互統一的。不等關(guān)系往往可以等價(jià)地轉化為相等關(guān)系加以解決。

　　不等式的含義兩個(gè)實(shí)數或代數式用符號連接起來(lái)的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實(shí)數代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內的實(shí)數代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實(shí)數值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數式時(shí)，稱(chēng)為代數不等式；兩邊的解析式至少有一個(gè)是超越式時(shí)，稱(chēng)為超越不等式。不等式解集表示方法

　　不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過(guò)程叫解不等式。不等式組中每一個(gè)不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

　　一個(gè)不等式的解集表示方法1數軸表示法即在數軸上把不等式的解集表示出來(lái)。2集合表示法即用集合來(lái)表示不等式的解集。3區間表示法即用區間來(lái)表示不等式的解

　　刻畫(huà)不等現象的有力模型。通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題中的數量關(guān)系，列出不等式，通過(guò)解不等式得到實(shí)際問(wèn)題的答案，這就體現了不等式的模型思想。同時(shí)，這種模型經(jīng)常與函數、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫(huà)現實(shí)世界中量與量之間變化規律的重要模型，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要合理選擇這三種重要的數學(xué)模型。（二）辯證思想通過(guò)c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價(jià)”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當地運用這種思想可以輕松地化解相當多的問(wèn)題。（三）數形結合思想根據題意可列出不等式組，運用數軸表示不等式組的解集，可以直觀(guān)形象地解決問(wèn)題。這種思想正是數形結合思想。函數

　　函數是描述客觀(guān)世界變化規律的重要數學(xué)模型。

　　1755年，歐拉首次給出了函數變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當后面的變量變化時(shí)，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱(chēng)之為后一些變量的函數�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮档摹白兞空f(shuō)”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個(gè)變量，如果對它的每一個(gè)值，都有未知量W的每一個(gè)值與之對應，則稱(chēng)W是Z的函數�！�。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進(jìn)而定義函數：

　　1）對

　　中每一個(gè)元素

　　，存在

　　，使

　��；

　�。�2）若且，則。函數記作：”分別稱(chēng)以上函數定義為變量說(shuō)、對應說(shuō)和關(guān)系說(shuō)。函數概念的核心思想

　　數學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機關(guān)系。函數研究的是兩個(gè)變量之間的數量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的，一是變量的取值是實(shí)數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號表示函數。函數的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

　　解析式是最常用的方法，適用于表示連續函數或者分段函數。解析式有利于研究函數性質(zhì)，構建數學(xué)模型，但對初學(xué)者來(lái)說(shuō)也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀(guān)地表述函數的形態(tài)，有利于分析函數的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數可因題而議。中學(xué)數學(xué)研究的函數性質(zhì)

　　數學(xué)中研究函數主要是研究函數的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數的周期性，也涉及

　　奇偶性；在高中階段主要研究函數的單調性、周期性，也討論某些函數的奇偶性。（一）函數的周期性周期性反映了函數變化周而復始的規律。是中學(xué)階段學(xué)習函數的一個(gè)基本的性質(zhì)。周期函數是刻畫(huà)周期變化的基本函數模型，使我們集中研究函數在一個(gè)周期里的變化，了解函數在整個(gè)定義域內的變化情況。

　�。ǘ�）函數的奇偶性函數的奇偶性也是我們在中學(xué)階段學(xué)習函數時(shí)要研究的函數的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應了函數圖形的對稱(chēng)性質(zhì)，可以幫助我們用對稱(chēng)思想來(lái)研究函數的變化規律。

　�。ㄈ�）函數的單調性單調性是討論函數“變化”的一個(gè)最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數圖像走勢的變化規律。函數與其它內容的聯(lián)系

　�。ㄒ唬┖瘮蹬c方程用函數的觀(guān)點(diǎn)看待方程可以把方程的根看成函數與x軸交點(diǎn)的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實(shí)現了點(diǎn)與數對的對應，將圓錐曲線(xiàn)用含有兩面三刀個(gè)求知數的方程來(lái)表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了�，F代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　人們不斷發(fā)現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數學(xué)課程中的幾何學(xué)內容

　�。ㄒ唬┲庇^(guān)幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀(guān)地表示出來(lái)，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強調幾何直觀(guān)。

　�。ǘ�）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無(wú)限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀(guān)實(shí)驗的方法，標，即零點(diǎn)的橫坐標。方程可看作函數的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數圖形與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。

　�。ǘ�）函數與數列數列是特殊的函數。它的定義域一般是指非負的正整數集，有時(shí)也可以為自然數集，或者自然數集的子集。數列通常稱(chēng)為離散函數。等差數列是線(xiàn)性函數的離散化，而等比數列是指數函數的離散化。

　�。ㄈ�）函數與不等式我們首先確定函數圖像與x軸的交點(diǎn)（方程f(x)=0的解），再根據函數的圖像來(lái)求解不等式。

　�。ㄋ模┖瘮蹬c線(xiàn)性規劃是最優(yōu)化問(wèn)題的一部分，從函數的觀(guān)點(diǎn)看，首先，要確定目標函數，用目標函數來(lái)刻畫(huà)“好、壞”或“大、小”等，接著(zhù)，需要確定目標函數的可行域。最后，討論目標函數在可行域（由約束條件確定的定義域）內的最值問(wèn)題。

　　解線(xiàn)性規劃問(wèn)題，可歸結為以下算法：第一步，確定目標函數；第二步，確定目標函數的可行域；第三步，確定目標函數在可行域內的最值。函數模型

　　函數是對現實(shí)世界數量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎，具有良好的普適性和代表意義�，F實(shí)生活中，普遍存在著(zhù)最優(yōu)化問(wèn)題----最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問(wèn)題，通過(guò)建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數建模的思想進(jìn)行解決。在運用一次函數知識和方法建模解決時(shí)，有時(shí)要涉及到多種方案，通過(guò)比較，從中挑選出最佳的方案。

　　在實(shí)際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習的函數在現實(shí)生活中有豐富的“原型”之外，還應通過(guò)實(shí)例介紹或讓學(xué)生通過(guò)運算來(lái)體驗函數模型的多樣性。

　　通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì )、感受數據擬合在預測、規劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會(huì )用數學(xué)的知識、思想方法、數學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，提高運用數學(xué)的能力．要鼓勵學(xué)生收集一些社會(huì )生活中普遍使用的函數模型的實(shí)例進(jìn)行探索實(shí)踐．第二章圖形與幾何四個(gè)基本階段。

　　實(shí)驗幾何的形成和發(fā)展

　　人們在觀(guān)察、實(shí)踐、實(shí)驗的基礎上積累了豐富的幾何經(jīng)驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗幾何。理論幾何的形成和發(fā)展

　　柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統編寫(xiě)的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

　　以一些原始概念和公理為出發(fā)點(diǎn)，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進(jìn)行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀(guān)和少量代數公理，但是，主要立足邏輯進(jìn)行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。

　�。ㄈ�）度量幾何對一些圖形進(jìn)行度量，包括長(cháng)度，面積，體積，角度等，適當的延伸。（四）變換幾何也叫運動(dòng)幾何。這個(gè)領(lǐng)域主要討論平移、旋轉、反射等剛體運動(dòng)，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱(chēng)等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數、幾何關(guān)系和函數之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關(guān)系的研究了。

　　經(jīng)驗幾何所謂經(jīng)驗幾何，通常是直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何的通稱(chēng)，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動(dòng)經(jīng)驗的積累，以及幾何直覺(jué)的發(fā)展。經(jīng)驗幾何的作用

　　幾何學(xué)是研究現實(shí)世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結構、圖形關(guān)系的學(xué)科。

　�。ㄒ唬┙�(jīng)驗幾何則是發(fā)現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺(jué)思維和創(chuàng )造性思維方面起著(zhù)重大的作用，而論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著(zhù)重要作用。（二）經(jīng)驗幾何是學(xué)習推理論證幾何的必要前提。

　　學(xué)習的內容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過(guò)直觀(guān)幾何與實(shí)驗幾何的充分學(xué)習，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺(jué)性的了解、操作性的了解，進(jìn)而形成幾何推理。

　　另一方面，我們用來(lái)作為推理基礎的幾何性質(zhì)，一部分是利用實(shí)驗歸納的方法得來(lái)的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進(jìn)行“推論”而導出的結果。

　�。ㄈ�）實(shí)驗幾何是幾何學(xué)習的一個(gè)階段和一種認知水平，更是一種幾何學(xué)習方法�？傊�，實(shí)驗幾何作為幾何學(xué)習的一個(gè)階段，在學(xué)生幾何學(xué)習過(guò)程中起到承上啟下的銜接作用；同時(shí)，實(shí)驗幾何是貫穿從直觀(guān)幾何到論證幾何學(xué)習的一種有益于發(fā)現真理、幾何直觀(guān)幾何直觀(guān)具有發(fā)現功能，同時(shí)也是理解數學(xué)的有效渠道。數學(xué)概念經(jīng)過(guò)多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀(guān)可信的數學(xué)對象為基礎進(jìn)行理性重建，從而達到思維直觀(guān)化的理想目標和可應用性要求,這要求數學(xué)的直觀(guān)與形式的統一，才使得數學(xué)的完美。

　　幾何直觀(guān)及其作用《數學(xué)課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述

　　和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復雜的數學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預測結果。

　　幾何直觀(guān)對于學(xué)生的數學(xué)發(fā)展非常重要：

　　首先，幾何直觀(guān)是一種創(chuàng )造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現過(guò)程中起到不可磨滅的作用。對于數學(xué)中的很多問(wèn)題，靈感往往來(lái)自于幾何直觀(guān)。數學(xué)家總是力求把他們研究的問(wèn)題盡量變成可借用的幾何直觀(guān)問(wèn)題，使他們成為數學(xué)發(fā)現的向導，隨著(zhù)現代科技的發(fā)展，幾何直觀(guān)在計算機圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

　　其次，幾何直觀(guān)是認識論問(wèn)題，是認識的基礎,有助于學(xué)生對數學(xué)的理解。

　　借助于幾何直觀(guān)、幾何解釋?zhuān)�能啟迪思�?可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀(guān)念、形式化語(yǔ)言的直觀(guān)背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng )造了一個(gè)自己主動(dòng)思考一般地，周長(cháng)指封閉曲線(xiàn)一周的長(cháng)度。（二）面積

　　物體的表面是一個(gè)二維的圖形，直觀(guān)地感覺(jué)它所占有的區域具有一定的大小，對一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量以后，用一個(gè)“數”標志它的大小，稱(chēng)這個(gè)數為該圖形的面積。人們約定，將邊長(cháng)為1米的正方形的面積規定為1平方米。

　　于是，對于邊長(cháng)為整數a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個(gè)邊長(cháng)為1米的正方形，進(jìn)而，這個(gè)矩形就由ab個(gè)單位正方形組成，從而，這個(gè)矩形的面積為ab平方米（整數）。如果矩形的邊長(cháng)A，B是無(wú)理數，而且仍用邊長(cháng)為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過(guò)程，用一列有理數逼近無(wú)理數，an→A,bn→B。依據anbn→AB，以及有理數邊長(cháng)的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

　　這個(gè)過(guò)程實(shí)際上論證了“邊長(cháng)相等的兩個(gè)矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長(cháng)度的的機會(huì )，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng )設不同的數學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內部源泉入手，通過(guò)自主探索、發(fā)現和再創(chuàng )造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數學(xué)發(fā)現的過(guò)程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺(jué)相互作用與矛盾中形成數學(xué)觀(guān)。

　　最后，幾何直觀(guān)是揭示現代數學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀(guān)和方法論。借助幾何直觀(guān)，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數學(xué)創(chuàng )造性工作歷程，能夠開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng )造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

　　直觀(guān)幾何主要包含哪些內容

　　以大量豐富的實(shí)例為背景，通過(guò)觀(guān)察、操作來(lái)探索認識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點(diǎn)、線(xiàn)、面、角、平行線(xiàn)、相交線(xiàn)、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規作圖、視圖和投影等。這些內容構成直觀(guān)幾何的重要組成部分。經(jīng)驗幾何的具體研究?jì)热?/p>

　　初中幾何的主要課程教學(xué)目標在于，“積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀(guān)、空間觀(guān)念，進(jìn)一步感受幾何推理的魅力，體會(huì )幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀(guān)、積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗、培養空間觀(guān)念，則是經(jīng)驗幾何的核心目標。按照初中階段的經(jīng)驗幾何認識過(guò)程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗幾何的學(xué)習內容，分成認識圖形、進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉換、在運動(dòng)與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據圖形的維數，把度量一維圖形大小的數稱(chēng)為長(cháng)度，而將二維圖形的大小用面積來(lái)表示，體積則是標志三維圖形大小的數。線(xiàn)段長(cháng)度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。

　　長(cháng)度的含義線(xiàn)段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長(cháng)度中的波長(cháng)數。1960年以后，用激光定義“米”。

　　目前，國際上采用的長(cháng)度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權度大會(huì )重新把國際標準制（SI）中的長(cháng)度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內在真空中所走的長(cháng)度，稱(chēng)為“米”。

　　如果可以用一個(gè)線(xiàn)段e衡量?jì)蓷l線(xiàn)段M，N，使得M，N都是e的整數倍，我們稱(chēng)兩個(gè)線(xiàn)段M，N是可公度的。

　　輾轉相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長(cháng)的那個(gè)線(xiàn)段減去短的那個(gè)線(xiàn)段，如此輾轉截取，直到兩個(gè)線(xiàn)段一樣長(cháng)，這個(gè)長(cháng)度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，發(fā)現正方形的邊與其對角線(xiàn)不可公度3.周長(cháng)“圓、橢圓或其它閉合的曲線(xiàn)的周界長(cháng)度�！�

　　比”。

　　海倫-秦九韶公式

　　劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無(wú)窮小分割引入了數學(xué)證明。將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差越來(lái)越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個(gè)相等的圓，把它們等分成相同的若干個(gè)全等扇形，然后把它們沿半徑剖開(kāi)（但扇形的圓弧仍然連著(zhù)）、展平成鋸齒條形然后，把兩個(gè)鋸齒形互相嵌入即成一個(gè)近似的矩形。份數分得愈多，其結果愈接近矩形，這個(gè)矩形的高為圓半徑r，底為圓周長(cháng)c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。

　�。�1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內，如果被度量的幾何體恰好被a個(gè)正方體填滿(mǎn)，那么這個(gè)幾何體的體積就等于幾個(gè)單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線(xiàn)段的長(cháng)度，再利用有關(guān)公式計算出這個(gè)幾何體的體積�！懊娣e公理”與測度公理

　　既然圖形是一個(gè)集合，而相應的圖形的面積是一個(gè)數，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個(gè)函數。這個(gè)集合函數顯然是非負函數，而且正方形的面積是1。當然，兩個(gè)不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個(gè)圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)、旋轉、反射，其面積應該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內容。對于周長(cháng)一定的矩形來(lái)說(shuō)，邊長(cháng)相等時(shí)矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來(lái)說(shuō)，邊長(cháng)相等時(shí)矩形周長(cháng)最小，即正方形的周長(cháng)最小。事實(shí)上，這個(gè)結論可以推廣為：在周長(cháng)相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節變換幾何

　　變換就是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射。幾何變換、變換群的概念

　　幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過(guò)程。它對于幾何學(xué)的研究有重要作用。

　　變換群。實(shí)際上是滿(mǎn)足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個(gè)群，就有相應的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應幾何學(xué)的主要內容。

　　在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

　　全等變換

　　如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點(diǎn)A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個(gè)映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個(gè)圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個(gè)全等的圖形上每?jì)蓚�(gè)對應三角形有相反的方向，并且每?jì)蓚�(gè)對應的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個(gè)圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個(gè)相似圖形的每對對應三角形有同一的方向,每對對應角有同一方向。反演變換

　　在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)P，將其變從認知規律看，幾何學(xué)習的基本途徑,主要是四步：直觀(guān)感知→操作確認→演繹推理→度量計算。

　　歐幾里得與演繹幾何

　　公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

　　希臘數學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書(shū)。這本書(shū)內容豐富，結構嚴謹，對于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽(yù)為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說(shuō)有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀(guān)、演繹推理進(jìn)行處理的利弊得失

　　《原本》作為教科書(shū)使用了兩千多年。在形成文字的教科書(shū)之中，無(wú)疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類(lèi)似的東西黯然失色。該書(shū)問(wèn)世之后，很快取代了以前的幾何教科書(shū)，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓練人的邏輯推理思維方面，換成該射線(xiàn)OP上一點(diǎn)P/，且使OP/OP=R，這個(gè)變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過(guò)反演中心的射線(xiàn)變成自身，且在此射線(xiàn)上建立對合對應，它使位于圓內的點(diǎn)變成圓外的點(diǎn),位于圓外的點(diǎn)變成圓內的點(diǎn)，反演中心變成平面內的無(wú)限遠點(diǎn)。而反演圓上的點(diǎn)則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過(guò)反演中心的直線(xiàn)或平面，分別變成過(guò)反演中心的圓或球面；將不過(guò)反演中心的圓或球面，分別變成另一個(gè)不過(guò)反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線(xiàn)（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉，反射平移、旋轉與反射的初步描述

　　圖形相似的思想方法體現在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問(wèn)題的手段之中。我們可以將其歸結為如下五個(gè)方面：

　�。�1）圖形相似問(wèn)題的核心往往在于三角形相似與成比例線(xiàn)段，體現出化歸思想

　�。�2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個(gè)窗口，圖形相似在自然、社會(huì )和人類(lèi)生活中具有廣泛的普適性。

　�。�3）結構相同，即“同構”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來(lái)研究整體。

　�。�4）圖形相似提供了認識三角形的另一個(gè)途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構成元素的認識。

　�。�5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┢揭�、旋轉、反射變換是全等變換

　�。ǘ�）平移、旋轉都可以由若干次反射（軸對稱(chēng)）的復合而得到。

　　對于平移、旋轉和軸對稱(chēng)（反射）來(lái)說(shuō)，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現，其中，軸對稱(chēng)（變換）更為基本。

　�。�1）對同一個(gè)圖形連續進(jìn)行兩次軸對稱(chēng)，如果兩個(gè)對稱(chēng)軸互相平行，那么，這兩次軸對稱(chēng)的結果等同于一次平移；

　�。�2）對同一個(gè)圖形連續進(jìn)行兩次軸對稱(chēng)，如果兩個(gè)對稱(chēng)軸相交，那么，這兩次軸對稱(chēng)的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱(chēng)軸的交點(diǎn)。反過(guò)來(lái)，對一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過(guò)連續的兩次軸對稱(chēng)來(lái)替代完成；對一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉，可以通過(guò)連續的兩次軸對稱(chēng)來(lái)完成。

　�。�3）任意一個(gè)合同變換至多可表示為三個(gè)反射的乘積。第五節演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著(zhù)作影響都大得多。在完整的演繹推理結構方面，這是一個(gè)十分杰出的典范。正因為如此，自本書(shū)問(wèn)世以來(lái)，思想家們?yōu)橹�而傾倒。公正地說(shuō)，歐幾里得的這本著(zhù)作是現代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素�？茖W(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過(guò)細心觀(guān)察的東西和小心概括出來(lái)的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗同試驗進(jìn)行結合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理�？梢钥隙ǖ卣f(shuō)，這并非偶然。毫無(wú)疑問(wèn)，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類(lèi)拔革的人物都出現在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個(gè)明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來(lái)的數學(xué)知識。對于歐洲人來(lái)講，只要有了幾個(gè)基本的物理原理，其他都可以由此推演而來(lái)的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。

　　歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數學(xué)原理》一書(shū)，就是按照類(lèi)似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫(xiě)成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說(shuō)明他們的結論是如何從最初的幾個(gè)假設邏輯地推導出來(lái)的。許多數學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進(jìn)行比較，情況尤為令人矚目。多少個(gè)世紀以來(lái)，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來(lái)沒(méi)有出現一個(gè)可以同歐幾里得對應的中國數學(xué)家。其結果是，中國從未擁有過(guò)歐洲人那樣的數學(xué)理論體系（中國人對實(shí)際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來(lái)。此后，又用了幾個(gè)世紀的時(shí)間，他的演繹幾何體系才在受過(guò)教育的中國人之中普遍知曉。

　　如今，數學(xué)家們已經(jīng)認識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設計出來(lái)的惟一的一種內在統一的幾何體系。在過(guò)去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng )立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛(ài)因斯坦的廣義相對論被接受以來(lái)，人們的確已經(jīng)認識到，在實(shí)際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周?chē)�，引力�?chǎng)極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無(wú)法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現實(shí)世界的結論。不管怎樣，人類(lèi)知識的這些最新進(jìn)展都不會(huì )水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會(huì )因此貶低他在數學(xué)發(fā)展和建立現代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛(ài)因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家�！庇纱丝梢�(jiàn)，《原本》一書(shū)對人類(lèi)科學(xué)思維的影響是何等巨大。

　　從數學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結構是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節都那么重要，一節學(xué)不好，繼續前進(jìn)的路就斷了，更令人頭痛的是它沒(méi)有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線(xiàn)，從而幾何被公認為難學(xué)的一門(mén)課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數學(xué)課程教學(xué)改革的焦點(diǎn)�！对�本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習的平面幾何、立體幾何的全部?jì)热�。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，最為激進(jìn)的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄?jiàn)W東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來(lái)改去，歐幾里得幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學(xué)數學(xué)幾何部分的主要內容。有人稱(chēng)之為“不倒翁現象”。這是因為，歐氏幾何從數學(xué)的視角，提供了現實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀(guān)地反映了我們人類(lèi)的生存空間，刻畫(huà)了我們視覺(jué)所觀(guān)察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個(gè)模型的基本內容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應用廣泛的基礎知識。它比三種幾何的關(guān)系

　　歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個(gè)嚴密的公理體系，各公理之間滿(mǎn)足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀(guān)實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準確一些。

　　義務(wù)教育階段幾何課程內容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設計的特點(diǎn)簡(jiǎn)析義務(wù)教育階段幾何課程設計的特點(diǎn)與以往的綜合幾何課程設計風(fēng)格相比，《數學(xué)課程標準》下的幾何已經(jīng)將直觀(guān)幾何和實(shí)驗幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級，同時(shí)歐氏幾何的體系和內容整體上還是基本保留的。只不過(guò)，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習，也有利于引導中小學(xué)生從形的角度去認識我們周?chē)�的物體和生活空間。

　　盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習價(jià)值，但在以往的教學(xué)中，它又確實(shí)逐步暴露出一些問(wèn)題，例如，內容體系比較封閉，脫離實(shí)際，教學(xué)代價(jià)太大等等。①這些問(wèn)題需要數學(xué)課程的設計者與數學(xué)教學(xué)的實(shí)踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進(jìn)。首先是內容的精簡(jiǎn)與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實(shí)用價(jià)值和對繼續學(xué)習發(fā)揮基礎作用的內容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實(shí)與幾何應用，重視幾何直觀(guān)，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現代數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，高屋建瓴地處理傳統的內容。其中幾何圖形的運動(dòng)變換觀(guān)點(diǎn)就是這樣的重要觀(guān)點(diǎn)之一。

　　從國際上數學(xué)課程改革的歷程來(lái)看，第二次世界大戰以后，特別是在上世紀60年代的“新數學(xué)”改革的浪潮中，將運動(dòng)觀(guān)點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。確實(shí)，圖形的變換是研究幾何問(wèn)題的有效工具，引進(jìn)變換能使圖形動(dòng)起來(lái)，有助于發(fā)現圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實(shí)驗，有的因觀(guān)點(diǎn)太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉以及軸對稱(chēng)、中心對稱(chēng)等觀(guān)念已被不少?lài)�家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說(shuō)，集合與對應思想的滲透，在某種意義上給傳統算術(shù)與代數注入了新的血液，那么，運動(dòng)變換觀(guān)點(diǎn)的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學(xué)觀(guān)點(diǎn)和更新的研究視野。

　　對第五公設是否獨立的研究導致了非歐幾何的發(fā)現。

　　非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門(mén)大的數學(xué)分支，一般來(lái)講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

　　家羅巴切夫斯基發(fā)現非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設與歐氏系統的其余公理是獨立無(wú)關(guān)的。黎曼幾何

　　歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內任何兩條直線(xiàn)都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認平行線(xiàn)的存在，它的另一條公設講：直線(xiàn)可以無(wú)限延長(cháng)，但總的長(cháng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當“改進(jìn)”的球面。制，另一方面體現在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時(shí)，弱化了的部分也還會(huì )在高中繼續出現。

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設計的突出特點(diǎn)體現為：以“立體平面立體”為主要線(xiàn)索，強調與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當地拓寬活動(dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡(jiǎn)單推理為具體處理方式，強調學(xué)生的直觀(guān)體驗學(xué)習的方法；注重發(fā)展的空間觀(guān)念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發(fā)現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀(guān)和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗基礎之上的幾何推理的學(xué)習。

　　幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復雜的數學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預測結果。幾何直觀(guān)不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習中，而且在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中都發(fā)揮著(zhù)重要作用。

　　推理能力的發(fā)展應貫穿在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中。推理是數學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規定的法則證明（包括邏輯和運算）結論。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路，發(fā)現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。

　　直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程設計特點(diǎn)與綜合幾何的差異

　　與綜合幾何相比，直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何有著(zhù)更現實(shí)的意義和課程設計的特色：

　　1．不同的課程目標和價(jià)值取向

　　從課程設計的角度看，直觀(guān)幾何與實(shí)驗幾何更接近于認知發(fā)展取向的課程設計模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價(jià)值取向的課程設計模式。

　　2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎和不同的師生關(guān)系

　　以論證為主的綜合幾何課程設計，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程設計觀(guān)認為，有意義的幾何教學(xué)應當建立在學(xué)生的主觀(guān)意愿和知識、經(jīng)驗基礎之上，依賴(lài)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應該定位在學(xué)習的組織者、引導者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應該努力構建一種和諧、互動(dòng)的新關(guān)系。

　　3．不同的課程設計風(fēng)格

　　在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗型課程外，大多數課程介于兩者之間。直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何屬于典型的經(jīng)驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當前，我國實(shí)行的義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之間，只不過(guò)，有的更靠近后者，即比較“前衛”，而有的更靠近前者，“中規中矩”。

　　4．不同的教學(xué)要求

　　在直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程實(shí)施過(guò)程中，學(xué)生的直觀(guān)感受和幾何活動(dòng)經(jīng)驗是學(xué)習的基本出發(fā)點(diǎn)和必不可少的載體，而且直觀(guān)教學(xué)變得十分重要。在這種課程設計時(shí)，有的是在抽象的學(xué)科主線(xiàn)中不斷閃現出內容豐富的情景問(wèn)題，有的是把豐富的情景問(wèn)題沿幾何的主線(xiàn)逐步鑲嵌與展開(kāi)。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養和提高學(xué)生識圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節。因而，在直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何課程設計模式下，采用直觀(guān)教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開(kāi)始便進(jìn)入到直觀(guān)教學(xué)所創(chuàng )設的情盡管全國初中數學(xué)課程標準實(shí)驗教科書(shū)彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀(guān)與推理

　　能力是普遍趨勢。第三章統計與概率

　　準確理解數學(xué)、概率、統計之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┭芯繂�(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同數學(xué)研究的對象是從現實(shí)生活中抽象出來(lái)的數和圖形。數學(xué)研究問(wèn)題必須有定義，即數學(xué)研究問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是定義，沒(méi)有定義無(wú)法進(jìn)行數學(xué)的研究。統計研究所依賴(lài)的是模型，構建一些模型的基礎上進(jìn)行研究。但是，統計與數學(xué)有著(zhù)密切的聯(lián)系，我們拿來(lái)數學(xué)的很多知識、思想方法作為統計分析的工具。

　�。ǘ�）研究問(wèn)題的立論基礎不同從數量和數量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數學(xué)是建立在概念和符號的基礎上的。而統計學(xué)是建立在數據和模型的基礎上，雖然概念和符號對于統計學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統計學(xué)在本質(zhì)上是通過(guò)數據和模型進(jìn)行推斷的。

　　境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀(guān)，便可展現情景，給學(xué)生以鮮明生動(dòng)的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設計的突出特點(diǎn)體現為：以“立體平面立體”為主要線(xiàn)索，強調與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當地拓寬活動(dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡(jiǎn)單推理為具體處理方式，強調學(xué)生的直觀(guān)體驗（幾何課與實(shí)際活動(dòng)課有天然的聯(lián)系）學(xué)習的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀(guān)念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發(fā)現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀(guān)和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗基礎之上的幾何推理的學(xué)習。

　　初中階段屬于從直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何逐步過(guò)渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀(guān)幾何、實(shí)驗幾何，但包含一點(diǎn)點(diǎn)說(shuō)理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

　　在義務(wù)教育數學(xué)課程標準下，“圖形與幾何”主要內容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類(lèi)和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱(chēng)、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動(dòng)。

　　在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀(guān)念，注重培養學(xué)生的幾何直觀(guān)與推理能力。

　　如何理解初中幾何的核心目標發(fā)展幾何直觀(guān)與推理能力

　　在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應幫助學(xué)生建立空間觀(guān)念，注重培養學(xué)生的幾何直觀(guān)與推理能力�？臻g觀(guān)念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動(dòng)和變化；依據語(yǔ)言描述畫(huà)出圖形等。幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復雜的數學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預測結果。幾何直觀(guān)不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習中，而且在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中都發(fā)揮著(zhù)重要作用。推理能力的發(fā)展應貫穿在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程中。推理是數學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，按照規定的法則證明結論。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路，發(fā)現結論；演繹推理用于證明結論的正確性�；�于此，《數學(xué)課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線(xiàn)索展開(kāi)空間與圖形的內容。

　�。ㄈ�）研究問(wèn)題的方法不同與概念和符號相對應，數學(xué)的推理依賴(lài)的是公理和假設，是一個(gè)從一般到特殊的方法，而統計學(xué)的推斷依賴(lài)的是數據和數據產(chǎn)生的背景，強調根據背景尋找合適的推斷方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。

　�。ㄋ模┭芯繂�(wèn)題的判斷原則不同數學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結果的判斷標準是對與錯，從這個(gè)意義上說(shuō)，數學(xué)是一門(mén)科學(xué)，而統計學(xué)是通過(guò)數據來(lái)推斷數據產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數據，也允許人們根據自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結果，統計學(xué)對結果的判斷標準是好與壞，從這個(gè)意義上說(shuō)，統計學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué)，也是一門(mén)藝術(shù)。

　　數理統計方法的基本步驟建立數學(xué)模型，收集整理數據，進(jìn)行統計推斷、預測和決策。當然，這些環(huán)節不能截然分開(kāi)，也不一定按上述次序，有時(shí)是互相交錯的。

　�。�1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規定一定的類(lèi)型。建立模型要依據概率的知識、所研究問(wèn)題的專(zhuān)業(yè)知識、以往的經(jīng)驗以及從總體中抽取的樣本。

　�。�2）數據的收集。其方法主要包括全面觀(guān)測、抽樣觀(guān)測和安排特定的實(shí)驗3種方式。全面觀(guān)測又稱(chēng)普查，即對總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀(guān)測，測定所需要的指標。抽樣觀(guān)測又稱(chēng)抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標值。這方面的研究?jì)热輼嫵蓴道斫y計的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調查。

　�。�3）安排特定實(shí)驗以收集數據，這些特定的實(shí)驗要有代表性，并使所得數據便于進(jìn)行分析。

　�。�4）數據整理。目的是把包含在數據中的有用信息提取出來(lái)。一種形式是制定適當的圖表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數據中的粗略的規律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數字特征，以刻畫(huà)樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡(jiǎn)單描述性統計量。

　�。�5）統計推斷。指根據總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數據的收集和整理是進(jìn)行統計推斷的必要準備，統計推斷是數理統計學(xué)的主要任務(wù)。

　�。�6）統計預測。統計預測的對象，是隨機變量在未來(lái)某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設想在某種條件下對該變量進(jìn)行觀(guān)測時(shí)將取的值。

　�。�7）統計決策。依據所做的統計推斷或預測，并考慮到行動(dòng)的后果而制定的一種行動(dòng)方案。初中統計與概率的課程內容主要內容包括：

　　描述統計的進(jìn)一步擴展----描述統計的基本目標在于以最簡(jiǎn)單而直觀(guān)的形式最大限度地容納有用的數據。

　　滲透數理統計思想----數理統計與描述統計的根本區別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過(guò)對樣本的分析來(lái)推斷總體的特性。這部分的一個(gè)核心的內容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過(guò)程、樣本的多少是收集數據的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。學(xué)習概率的初步內容-----包括運用列表、畫(huà)樹(shù)狀圖、制作面積模型、簡(jiǎn)單計算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過(guò)實(shí)驗，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復實(shí)驗時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值；通過(guò)大量豐富的實(shí)例，進(jìn)一步豐富對概率的認識，并能解決一些實(shí)際的問(wèn)題。

　　普查：為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調查，稱(chēng)為普查.總體：所考察對象的全體稱(chēng)為總體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對象稱(chēng)為個(gè)體。抽樣調查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調查，這種調查稱(chēng)為抽樣調查。樣本：從總體中抽取部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的數量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間

　　在一定條件實(shí)現后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現象，人們稱(chēng)之為隨機現象。具備以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗稱(chēng)為隨機試驗：

　　信息。眾數只與其在數據中重復的次數有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數據信息，而且當各個(gè)數據的重復次數大致相等時(shí)，眾數往往沒(méi)有特別的意義。數據的離散程度

　　極差是指一組數據中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數據的變化范圍。方差是指一組數據中的平均數與每一個(gè)數據之差的平方和的平均數。

　　樣本數據的方差和標準差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動(dòng)就越大。加權平均數的概念

　　加權平均數是不同比重數據的平均數，加權平均數就是把原始數據按照合理的比例來(lái)計算，即一組數據的每個(gè)數乘以它的權重后所得積的總和。平均數稱(chēng)之為算術(shù)平均數，是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術(shù)平均數，

　　(1)可在相同條件下重復進(jìn)行；

　　〔2)每次試驗可出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定；

　　(3)事先知道試驗可能出現的全部結果。隨機事件隨機試驗的每一個(gè)可能的結果稱(chēng)為一個(gè)隨機事件

　　樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應的一切隨機事件。數據的收集

　　數據收集方法有兩種：調查和實(shí)驗。在現實(shí)生活中原來(lái)就有的數據，人們通過(guò)調查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調查；抽樣調查，即為一特定目的而對部分考察對象作調查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統抽樣法。

　　數據的隨機性主要有兩層涵義：

　　一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會(huì )是不同的；

　　另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現規律。數據的整理和分析

　　數據分析觀(guān)念主要體現在三個(gè)方面：

　　第一，了解在現實(shí)生活中有許多問(wèn)題應當先做調查研究，收集數據，通過(guò)分析作出判斷，體會(huì )數據中是蘊含著(zhù)信息的；

　　第二，了解對于同樣的數據可以用多種分析的方法，需要根據問(wèn)題的背景選擇合適的方法；

　　第三，通過(guò)數據分析體驗隨機性。

　　理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來(lái)估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）和離散程度（極差、方差、標準差）來(lái)估計總體的集中程度和離散程度。頻數和頻率

　　我們稱(chēng)每個(gè)對象出現的次數為頻數，也稱(chēng)次數。頻數也稱(chēng)“次數”，對總數據按某種標準進(jìn)行分組，統計出各個(gè)組內含個(gè)體的個(gè)數。而頻率則每個(gè)小組的頻數與數據總數的比值。數據的集中趨勢在統計學(xué)中是指一組數據向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數據中心點(diǎn)的位置所在。反映數據集中趨勢的度量包括平均數、中位數、眾數等。平均數一組數據的平均數就是用這組數據的總和除以這組數據的總個(gè)數得到的值。中位數，就是將這組數據從小到達排列后，位于正中間的數（或中間兩個(gè)數的平均數）。眾數，是指一組數據的眾數就是這組數據中出現頻數最多的數。平均數、中位數和眾數的聯(lián)系與區別

　　聯(lián)系：從不同角度描述了一組數據的集中趨勢。區別：計算平均數時(shí)，所有數據都參加運算，它能充分利用數據所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應用最為廣泛。中位數的優(yōu)點(diǎn)是計算簡(jiǎn)單，只與其在數據中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數據當加權平均數中的權相等時(shí)，就是算術(shù)平均數。

　　統計表不僅反映某一類(lèi)事物的具體數據，而且還能說(shuō)明有關(guān)數據之間的關(guān)系。統計圖是借助于幾何線(xiàn)、形(線(xiàn)段、長(cháng)方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數據信息，直觀(guān)地反映其規模、水平、構成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據統計數據所繪制的圖形。條形圖是以簡(jiǎn)單的幾何圖形，即等寬條形的長(cháng)短或高低來(lái)比較數據所隱含信息的統計圖示法分為單式條形圖、復式條形圖、分段條形圖、對稱(chēng)條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

　　直方圖有兩種，頻數直方圖和頻率直方圖。頻數直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區別。

　　扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分數據的統計圖叫做扇形統計圖。扇形圖能直觀(guān)地、生動(dòng)地反映各部分在總體中所占的比例。

　　扇形統計圖具有四個(gè)特點(diǎn)：

　　一是利用圓和扇形來(lái)表示總體和部分的關(guān)系，

　　二是圓代表總體，各個(gè)扇形分別表示總體中不同的部分；

　　三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，

　　四是各個(gè)扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統計圖中，不能簡(jiǎn)單地根據百分比的大小來(lái)比較部分量的大小。折線(xiàn)統計圖

　　用一個(gè)單位長(cháng)度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線(xiàn)段順次連接起來(lái)，折線(xiàn)統計圖不但可以表示出數量的多少，還能夠清楚地表示出數量的增減變化情況，并且可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的預測。折線(xiàn)統計圖可分為單式折線(xiàn)圖或復式折線(xiàn)圖。統計是對隨機現象統計規律歸納的研究，而概率是對隨機現象統計規律演繹的研究，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的

　　隨機事件的概率，實(shí)質(zhì)上是指在客觀(guān)世界中，這個(gè)事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數量刻畫(huà)。

　　概率的定義

　　頻率是指事件發(fā)生的次數在全部試驗次數中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復進(jìn)行同一試驗時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個(gè)常數，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點(diǎn)全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率

　�。�1）隨機性和規律性。

　�。�2）概率和機會(huì )。從某種意義說(shuō)來(lái)，概率描述了某件事

　　情發(fā)生的機會(huì )

　�。�3）有些概率是無(wú)法精確推斷的。

　�。�4）有些概率是可以估計的。隨機結果也具有規律，而且有可能通過(guò)試驗等方法來(lái)推測其規律。我們就是要通過(guò)觀(guān)測數據，在隨機性中尋找用概率和數學(xué)模型描述的規律性

　　小概率原理是統計檢驗（統計中的反證法）的基礎和依據。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊祵W(xué)課程標準》認為，“統計與概率”應當是初中課程內容的重要組成部分。不僅如此，《數學(xué)課程標準》將“統計與概率”內容從第一學(xué)段連續編排到初中，并且規定，在初中，學(xué)生將從事數據的收集、整理與描述的過(guò)程，體會(huì )抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進(jìn)一步學(xué)習描述數據的方法，進(jìn)一步體會(huì )概率的意義，能計算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率�！洞缶V》沒(méi)有涉及“概率”內容，僅僅在初中階段引入“統計初步”，并且將“統計初步”放入“代數的第（十三）部分”在《大綱》中，“統計初步”的定位是：使學(xué)生了解統計的展這一活動(dòng)，有以下幾個(gè)步驟：

　　第一，學(xué)生觀(guān)察一件物體或一種現象，或者操作某些學(xué)具。

　　第二，學(xué)生在研究所觀(guān)察的物體或現象的過(guò)程中進(jìn)行思考，與同伴進(jìn)行討論和交流，以彌補他們在單純的觀(guān)察和操作活動(dòng)中的不足。

　　第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動(dòng)，學(xué)生可從中作出選擇并實(shí)施這些活動(dòng)，學(xué)生在選擇中有較強的自主性。

　　第四，這一活動(dòng)可以以課內外相結合的形式進(jìn)行，學(xué)生每周至少花兩個(gè)小時(shí)進(jìn)行同一個(gè)主題的活動(dòng)，并應保證這些活動(dòng)在整個(gè)學(xué)習進(jìn)程中的持續性和穩定性。

　　第五，每個(gè)學(xué)生都記錄活動(dòng)過(guò)程。通過(guò)這一活動(dòng)，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì )操作，同時(shí)加強和鞏固口頭和書(shū)面表達能力，發(fā)展解決問(wèn)題的能力，增進(jìn)對數學(xué)的理解力。如何理解數學(xué)研究性學(xué)習

　　思想，掌握一些常用的數據處理方法，能夠用統計的初步知識解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。簡(jiǎn)單的平均數和加權平均數

　　所謂加權平均數，是指各個(gè)數據的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權重”表示，即加上各個(gè)數據在全體數據中占有的比例（頻率）再作和。數學(xué)期望的定義事前預期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實(shí)踐與綜合

　　設置“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現其橋梁作用（即，數學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價(jià)值，綜合運用數學(xué)知識、技能、思想、方法等解決現實(shí)問(wèn)題，幫助學(xué)生積累直接的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實(shí)踐與綜合”的教育價(jià)值和課程目標

　　教育價(jià)值實(shí)踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現實(shí)世界中的數學(xué)與課堂上的數學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應用數學(xué)解決問(wèn)題也必將給學(xué)生的學(xué)習方式帶來(lái)改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運用數學(xué)進(jìn)行思考和交流的能力。

　　課程目標《全日制義務(wù)教育數學(xué)課程標準》對這個(gè)領(lǐng)域的課程設計提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰性和綜合性的問(wèn)題，以發(fā)展他們解決問(wèn)題的能力，加深對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”內容的理解，體會(huì )各部分內容之間的聯(lián)系�！皩�(shí)踐與綜合”在不同階段不同的呈現形式第一學(xué)段以“實(shí)踐活動(dòng)”為主題，第二學(xué)段以“綜合應用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習”為主題。

　　在初中數學(xué)中，課題學(xué)習的主要形式有三種基本方式：

　　數學(xué)小調查。數學(xué)小調查是指學(xué)生在教師指導下，從學(xué)習生活和社會(huì )生活中選擇和確定調查專(zhuān)題，主動(dòng)獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習活動(dòng)。數學(xué)調查可以包括三個(gè)階段，第一，進(jìn)入問(wèn)題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動(dòng)具有開(kāi)放性、問(wèn)題性和社會(huì )性的特點(diǎn)。

　　小課題研究�；顒�(dòng)基本過(guò)程如下：各小組確定活動(dòng)目標；根據目標確定本組活動(dòng)內容；在老師指導下實(shí)際調查。合作交流。

　　動(dòng)手做(Handson)的活動(dòng)。意思是動(dòng)手活動(dòng)，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習知識，尤其強調對學(xué)生學(xué)習方法、思維方法、學(xué)習態(tài)度的培養�；�本過(guò)程是：提出問(wèn)題動(dòng)手做實(shí)驗觀(guān)察記錄解釋討論得出結論表達陳述。具體地說(shuō)，開(kāi)

　　數學(xué)研究性學(xué)習主要針對我國中學(xué)教育中出現的若干弊端，為實(shí)施以創(chuàng )新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育而提出來(lái)的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過(guò)程，獲得對客觀(guān)世界的體驗和正確認識，通過(guò)自由、自主的探究過(guò)程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習的重點(diǎn)在“學(xué)習”，研究是手段、途徑，而不是目的。數學(xué)研究性學(xué)習的內涵

　　以培養學(xué)生的數學(xué)創(chuàng )新意識和實(shí)踐能力為目的，它主要通過(guò)與數學(xué)學(xué)科內容相關(guān)的課題，在教師的指導下，學(xué)生為主體地參與、體驗問(wèn)題提出和解決的全過(guò)程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數學(xué)科學(xué)研究的基本過(guò)程和方法，提高學(xué)生的科數學(xué)研究性學(xué)習的目的

　　1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過(guò)程，獲得親身參與研究和探索的體驗。

　　2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

　　3.學(xué)會(huì )與人溝通和合作，學(xué)會(huì )分享。合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習提供了一個(gè)有利于人際溝通與合作的良好空間。

　　4.增強探究和創(chuàng )新意識，培養科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習的過(guò)程中，學(xué)生不可避免地會(huì )遇到一系列的問(wèn)題和困難，學(xué)生必須學(xué)會(huì )從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)認真踏實(shí)地探究，事實(shí)求是地得出結論，并且養成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時(shí)培養不斷追求的進(jìn)取精神、嚴謹的科學(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。

　　5.培養學(xué)生對社會(huì )的責任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。

　　6.促進(jìn)學(xué)生學(xué)習，掌握和運用一種現代學(xué)習方式。

　　7.激活各科學(xué)習中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運用。8.促進(jìn)教師教學(xué)觀(guān)念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養學(xué)生創(chuàng )新精神和實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。

　　初中數學(xué)研究性學(xué)習主題分為建模探究型、圖表探究型、調查探究型、開(kāi)放探究型四種類(lèi)型。

　�。�1）建模探究型：以學(xué)生動(dòng)手操作、合作探討、設計制作模型為主，教師給予指導、總結、評價(jià)。

　�。�2）圖表探究型：以學(xué)生觀(guān)察、分析數學(xué)圖表、探究解決問(wèn)題的方法為主，教師提示結合相關(guān)知識分析、探究、解決問(wèn)題。例如，數學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。

　�。�3）開(kāi)放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數學(xué)問(wèn)題：猜想、證明、拓廣。

　�。�4）調查探究型：以學(xué)生調查實(shí)踐、自主分析、探究實(shí)踐的方式和方法為主，教師適時(shí)引導、提示、總結。數學(xué)研究性學(xué)習的特點(diǎn)

　　1.探究性。探究是人類(lèi)認識世界的一種基本方式，處于基礎教育階段的初中生對外部

　　世界仍充滿(mǎn)強烈的新奇感和探究欲，數學(xué)研究性學(xué)習正好適應學(xué)習者個(gè)體發(fā)展的需要和認識規律。

　　2.全員參與性。研究性學(xué)習主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習的組織形式是獨立學(xué)習與合作學(xué)習的結合，其中合作學(xué)習占有重要的地位。

　　3.開(kāi)放性。數學(xué)研究性學(xué)習是一種開(kāi)放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數學(xué)問(wèn)題或從數學(xué)角度對其它學(xué)科中出現的問(wèn)題進(jìn)行研究。

　　4.過(guò)程性。要求學(xué)生把自己所得出的結論運用到現實(shí)生活中去，解決現實(shí)生活中涉及到的數學(xué)問(wèn)題，強調學(xué)生參與的過(guò)程。

　　5.應用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習的又一基本特征。研究性學(xué)習重在知識技能的應用，而不在于掌握知識的量。

　　6.體驗性。研究性學(xué)習不僅重視學(xué)習過(guò)程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學(xué)習的體驗。數學(xué)研究性學(xué)習的實(shí)施保持和進(jìn)一步提高學(xué)習數學(xué)的積極性。

　�。�3）在實(shí)施過(guò)程中，要采取有效的手段對學(xué)習活動(dòng)進(jìn)行監控；指導學(xué)生寫(xiě)好研究數學(xué)日記，及時(shí)記載研究情況，真實(shí)記錄個(gè)體體驗，為以后進(jìn)行和評價(jià)提供依據。

　�。�4）要爭取家長(cháng)和社會(huì )有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開(kāi)發(fā)對實(shí)施研究性學(xué)習有價(jià)值的校內外教育資源，為學(xué)生開(kāi)展研究性學(xué)習提供良好條件。

　�。�5）能夠根據學(xué)校與班級實(shí)施研究性學(xué)習的不同目標定位和主客觀(guān)條件，在不同時(shí)段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點(diǎn)。

　　數學(xué)模型一般是指由數字、字母或其它數學(xué)符號組成的，描述現實(shí)對象(原型)數量規律和空間特征的數學(xué)結構。數學(xué)模型可以敘述為：對于現實(shí)世界的一個(gè)特定對象，為了實(shí)施要求：

　�、偃珕T參與，而非只關(guān)注少數數學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個(gè)學(xué)生有鍛煉與參與的機會(huì )；

　�、谌蝿�(wù)驅動(dòng)。要向學(xué)生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學(xué)生學(xué)習過(guò)程的引導作用；

　�、壑卦趯W(xué)習過(guò)程而非研究的結果；

　�、苤卦谥�識技能的應用而非掌握知識的數量；

　�、葜卦谟H身參與探索性實(shí)踐活動(dòng)，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗；

　�、扌问缴响`活多樣，強調課內外結合。數學(xué)研究性學(xué)習模式有三種：

　�。�1）理論實(shí)踐模式。是指師生在共同學(xué)習研究性學(xué)習理論的基礎上，學(xué)生運用數學(xué)理論來(lái)研究、解決數學(xué)問(wèn)題，體驗研究性學(xué)習課程理論的價(jià)值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。

　�。�2）數學(xué)問(wèn)題探討模式。師生圍繞數學(xué)問(wèn)題的分析與探討展開(kāi)的教學(xué)活動(dòng)，構成了問(wèn)題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵、強化學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主體參與意識為著(zhù)眼點(diǎn)，以幫助學(xué)生學(xué)會(huì )學(xué)習，學(xué)會(huì )發(fā)現和分析問(wèn)題，培養學(xué)生創(chuàng )造性解決問(wèn)題的能力為宗旨，創(chuàng )設一種開(kāi)放而又活潑的學(xué)習氛圍。其教學(xué)策略是：將問(wèn)題或案例呈現給學(xué)生，引導學(xué)生共同探討，構建師生平等、互動(dòng)的學(xué)習環(huán)境。

　　一般來(lái)說(shuō)，教師要選擇典型的數學(xué)問(wèn)題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要創(chuàng )造性地加以取舍，主動(dòng)設疑，引導學(xué)生學(xué)會(huì )思考，提高學(xué)生的學(xué)習數學(xué)能力。

　�。�3）數學(xué)課題研究模式。數學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據興趣設計研究課題，并在教師的指導下自主探索、實(shí)施研究計劃、完成課題目標、提高社會(huì )實(shí)踐能力的一種教學(xué)模式。

　　組織形式有三種類(lèi)型：小組合作研究、個(gè)人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數學(xué)研究性學(xué)習實(shí)施的一般程序

　　一般可以分為三個(gè)階段：

　�。�1）進(jìn)入問(wèn)題情境階段（準備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準備；指導學(xué)生確定數學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。

　�。�2）實(shí)踐體驗階段（實(shí)施階段）。本階段學(xué)生要進(jìn)入具體的解決問(wèn)題過(guò)程。

　�。�3）表達交流階段（結題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過(guò)實(shí)踐、體驗所取得的收獲進(jìn)行歸納整理、總結提煉，形成書(shū)面或口頭報告材料，得出結論，并進(jìn)行成果交流和總結反思。數學(xué)研究性學(xué)習實(shí)施中的教師指導

　�。�1）在初中不同的學(xué)段和年級，教師的指導工作內容和方法應該有所不同。

　�。�2）在數學(xué)研究性學(xué)習實(shí)施過(guò)程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生開(kāi)展活動(dòng)的情況，有針對性地進(jìn)行指導、點(diǎn)撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生自我教育，幫助他們

　　一個(gè)特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設后，運用適當的數學(xué)工具，得到的一個(gè)數學(xué)結構。數學(xué)建模教學(xué)的目

　　使學(xué)生體會(huì )數學(xué)與自然及人類(lèi)社會(huì )的密切聯(lián)系，體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值，培養數學(xué)的應用意識，增進(jìn)對數學(xué)的理解和應用數學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會(huì )運用數學(xué)的思維方式去觀(guān)察、分析現實(shí)社會(huì )，去解決日常生活中的問(wèn)題，進(jìn)而形成勇于探索、勇于創(chuàng )新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會(huì )以數學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習數學(xué)的積極性，團結合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應未來(lái)社會(huì )生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數學(xué)事實(shí)以及基本的思想方法和必要的應用技能。數學(xué)建模的教學(xué)意義

　　1.培養學(xué)生合作學(xué)習的能力合作能力是信息社會(huì )中每個(gè)人必須具備的基本素質(zhì)。

　　2.培養學(xué)生處理信息的能力數學(xué)建�；顒�(dòng)則為學(xué)生學(xué)習如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個(gè)有效的途徑。

　　3.有利于學(xué)生形成正確的數學(xué)觀(guān)數學(xué)建�；顒�(dòng)的開(kāi)展使學(xué)生形成正確的數學(xué)觀(guān)成為可能。

　　4.有利于學(xué)生體驗數學(xué)與生活、數學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系

　　5.激發(fā)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習興趣

　　6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng )新意識數學(xué)建模的具體實(shí)施1.選題

　　鼓勵學(xué)生自主提出問(wèn)題，可以從以下幾個(gè)方面人手：

　�、僮寣W(xué)生了解選題的重要性和基本要求，

　�、谥笇�學(xué)生結合自己的生活經(jīng)驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點(diǎn)評，或者請本班同學(xué)介紹自己的選題計劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，

　�、劢處焺�(chuàng )設一個(gè)問(wèn)題環(huán)境，引導學(xué)生自主提出問(wèn)題、確定課題。這時(shí)教師的指導應該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開(kāi)拓問(wèn)題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問(wèn)題和解決問(wèn)題的方案。

　　2.實(shí)施

　　在課題學(xué)習的實(shí)施中，我們強調開(kāi)放學(xué)生的思維，強化過(guò)程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。

　　3.指導

　　在課題學(xué)習中，教師如何指導學(xué)生，這是一個(gè)令不少教師感到困惑甚至苦惱的問(wèn)題。課題學(xué)習過(guò)程中，問(wèn)題形式與內容的變化，問(wèn)題解決方法的多樣性、新奇性，問(wèn)題解決過(guò)程的不確定性，結果呈現層次的豐富性，無(wú)疑是對參與者創(chuàng )造力的一種激發(fā)、挑戰和有效的鍛煉。教師在陌生的問(wèn)題面前感到困難，失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現的。

　　4.評價(jià)

　　評價(jià)過(guò)程具體涉及以下幾個(gè)方面：

　�、僬{查、求解的過(guò)程和結果要合理、清楚、簡(jiǎn)捷；

　�、谝�有自己獨到的思考和發(fā)現；

　�、勰軌蚯‘數厥褂霉ぞ�(如網(wǎng)絡(luò )和計算工具)；

　�、懿捎煤侠�、簡(jiǎn)捷的算法；

　�、萏岢鲇袃r(jià)值的求解設計和有見(jiàn)地的新問(wèn)題；

　�、薨l(fā)揮每個(gè)組員的特長(cháng)，合作學(xué)習得有效果。5.建立和擴張資源

　　對教育資源的認識應該走出靜態(tài)的誤區，要看到身邊許多動(dòng)態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過(guò)查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現大批的可用資源。我們還應有意識地建立自己個(gè)性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動(dòng)過(guò)程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實(shí)物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數學(xué)符號來(lái)表示數學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個(gè)特定的數學(xué)體系中，孤立的數學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著(zhù)某種關(guān)系；這些關(guān)系稱(chēng)之為數學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數學(xué)概念系統化、公理化。簡(jiǎn)明化數學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數學(xué)符號語(yǔ)言，使得一定事物的本質(zhì)簡(jiǎn)明的形式表現出來(lái)，這種簡(jiǎn)明化使人們在較短時(shí)間內領(lǐng)會(huì )。概念的外延與內涵

　　概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

　　一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱(chēng)為這個(gè)概念的外延是指適合這個(gè)概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個(gè)概念的延用范圍。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱(chēng)為這個(gè)概念的內涵。概念的內涵是說(shuō)一個(gè)概念所反映的事物培養學(xué)生的數學(xué)應用意識、數學(xué)應用能力

　　實(shí)際教學(xué)中要強調學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實(shí)踐等學(xué)習方式。

　�。�1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習過(guò)程中，教師可以向學(xué)生推薦活動(dòng)，讓學(xué)生在選擇中有較強的自主性；同時(shí)，讓學(xué)生獨立思考和合作交流，在此基礎上教師進(jìn)行有針對性的指導。

　�。�2）強凋學(xué)生學(xué)習方法、思維方法、學(xué)習態(tài)度的養成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習過(guò)程。課題學(xué)習活動(dòng)強調學(xué)生主動(dòng)學(xué)習，不宜強調對知識的學(xué)習，而且更重要的是強調學(xué)生對學(xué)習方法、思維方法、學(xué)習態(tài)度的養成。

　�。�3）創(chuàng )設恰當的問(wèn)題情景，鼓勵學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習活動(dòng)過(guò)程中，教師應當鼓勵與尊重學(xué)生的獨立思考，引導學(xué)生進(jìn)行討論與交流，培養學(xué)生良好的思考習慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養學(xué)生的創(chuàng )新意識與創(chuàng )新思維是十分必要的。

　�。�4）對課題學(xué)習的評價(jià)應該以質(zhì)的評價(jià)為主。一般說(shuō)來(lái)，對學(xué)生實(shí)踐與綜合應用活動(dòng)的評價(jià)要強調過(guò)程性評價(jià)。重點(diǎn)在于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng )新精神的培養和實(shí)踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標簽。數學(xué)研究性學(xué)習的評價(jià)對建立學(xué)生發(fā)展性評價(jià)有哪些有益的啟示

　�。�1）研究性學(xué)習評價(jià)更重視過(guò)程。研究性學(xué)習評價(jià)學(xué)生研究成果的價(jià)值取向重點(diǎn)是學(xué)生的參與研究過(guò)程。

　�。�2）研究性學(xué)習評價(jià)更重視理解中的應用。強調的是學(xué)生把學(xué)到的基礎知識、掌握的基本技能，應用到實(shí)際問(wèn)題的提出和解決中去既促進(jìn)學(xué)生對知識價(jià)值的反思，又加深對知識內涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò )和結構。3）研究性學(xué)習評價(jià)強調學(xué)生在探究過(guò)程中的體驗。

　�。�4）研究性學(xué)習評價(jià)更重視全員參與。研究性學(xué)習的價(jià)值取向強調每個(gè)學(xué)生都有充分學(xué)習的潛能，為他們進(jìn)行不同層次的研究性學(xué)習提供了可能性，也為個(gè)別化的評價(jià)方式創(chuàng )造了條件。第五章初中數學(xué)的邏輯基礎

　　客觀(guān)事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱(chēng)為屬性。經(jīng)過(guò)比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱(chēng)為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數學(xué)研究的對象是現實(shí)世界的空間形式和數量關(guān)系。反映數學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數學(xué)概念。數學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點(diǎn)。

　　抽象化數學(xué)概念反映一類(lèi)事物在數量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀(guān)事物的空間形式和數量關(guān)系反映得來(lái)，而大多數概念排除對象具體的物質(zhì)內容，抽象出內在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數學(xué)概念的基礎上，經(jīng)過(guò)多級的抽象過(guò)程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。

　　概念的內涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統一體的概念之中。它們之間有著(zhù)相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱(chēng)為這個(gè)概念的外延。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱(chēng)為這個(gè)概念的內涵。一個(gè)概念的內涵和外延分別從質(zhì)和量?jì)蓚�(gè)方面刻劃了這個(gè)概念，每個(gè)概念都是其內涵與外延的統一體．概念的內涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內涵。概念的外延和內涵是主觀(guān)對客觀(guān)的認識，由于人們對客觀(guān)事物的認識是發(fā)展變化的，概念的外延和內涵必然相應地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過(guò)程中有其相對的穩定性．在數學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個(gè)數學(xué)概念的外延和內涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數學(xué)概念的特點(diǎn)

　　1、初中數學(xué)概念并非都是通過(guò)定義給出的

　　2.初中數學(xué)概念的層次性數學(xué)概念本身具有層次性。

　　3.數學(xué)概念是理想概念

　　4.數學(xué)概念是“過(guò)程”與“對象”的統一體數學(xué)概念之間的關(guān)系

　　1.同一關(guān)系兩個(gè)外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個(gè)判斷過(guò)程中，具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念可以互相代替。

　　2.交叉關(guān)系兩個(gè)外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

　　3.從屬關(guān)系兩個(gè)外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類(lèi)概念。4.矛盾關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。

　　5.對立關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。

　　把一個(gè)屬概念分成若干個(gè)種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數學(xué)中常用劃分把概念系統化。正確的劃分應符合下列條件：

　　第一，所分成的種概念之間應是全異關(guān)系，即任兩個(gè)種概念的外延的交集應是空集；第二，劃分應是相稱(chēng)的，即是說(shuō)所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應按照同一個(gè)標準進(jìn)行。在一次劃分中用不同的根據就造成了混亂；第四，劃分不應越級。應把屬概念分為最鄰近的種概念

　　數學(xué)概念的定義與要求

　　定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)抽象，形成概念，就要借助語(yǔ)言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問(wèn)題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語(yǔ)言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:

　　1.“種+類(lèi)差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來(lái)進(jìn)行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內涵或外延，而是通過(guò)指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過(guò)程，由此來(lái)定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

　　3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時(shí)，P假；當P假時(shí)，P真。

　　2.選言判斷。選言判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上判斷用連接詞“或者”構成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

　　3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構成的判斷，表明幾個(gè)事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設和題斷，條件和結論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

　　關(guān)于數學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數學(xué)判斷。判斷要借助于語(yǔ)句，表示判斷的語(yǔ)句叫命題。

　　4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過(guò)約定的方法來(lái)定義的。

　　5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

　　此外，中學(xué)數學(xué)中還有描述性定義法(如現行中學(xué)數學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導數、n重積分的定義)，借助另一對象來(lái)進(jìn)行定義(如借助指數概念定義對數概念)等等。定義數學(xué)概念的基本要求

　　1.定義應當相稱(chēng)。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統中，不能以A概念來(lái)定義B概念，而同時(shí)又以B概念來(lái)定義A概念。

　　3.定義應清楚、簡(jiǎn)明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來(lái)說(shuō)應是必不可少的。所謂必不可少是指每一個(gè)屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

　　定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點(diǎn)。數學(xué)概念的形成

　　數學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過(guò)比較、分類(lèi)，從中找出一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，然后通過(guò)具體的例子對所發(fā)現的屬性進(jìn)行檢驗與修正，最后通過(guò)概括得到定義并用符號表達出來(lái)。

　　數學(xué)概念形成的過(guò)程有以下幾個(gè)階段：

　　1.觀(guān)察實(shí)例。

　　2.分析共同屬性。分析所觀(guān)察實(shí)例的屬性，通過(guò)比較得出各實(shí)例的共同屬性。

　　3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設。

　　4.確認本質(zhì)屬性。通過(guò)比較正例和反例檢驗假設。確認本質(zhì)屬性。

　　5.概括定義。在驗證假設的基礎上，從具體實(shí)例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類(lèi)事物，概括出概念的定義。

　　6.符號表示。

　　7.具體運用。使新概念與已有認知結構中的相關(guān)概念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應的概念體系中。

　　判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀(guān)對客觀(guān)的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實(shí)踐來(lái)檢驗，在數學(xué)中要進(jìn)行證明。如實(shí)反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個(gè)判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡(jiǎn)單判斷。簡(jiǎn)單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復合判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單判斷用連接詞構成的判斷。

　　1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類(lèi)

　　所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項、謂項、量項和聯(lián)項四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復合命題命題真值的概念。

　　對于命題A、B，如果A是一個(gè)真命題，我們就說(shuō)A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個(gè)假命題，我們就說(shuō)B的真值等于0，記成B=0。一個(gè)命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個(gè)命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

　　復合命題的分類(lèi)

　　復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

　　否定式。給定一個(gè)命題A，用連接詞“非”組成一個(gè)復合命題“非A”，

　　析取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“或”組成一個(gè)復合命題“A或B”，合取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“且”組成一個(gè)復合命題“A且B”蘊含式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個(gè)復合命題“若A則B”，記作AB

　　等值式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“等值”組成一個(gè)復合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

　　不加證明而被承認其真實(shí)性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數學(xué)理論的主要基礎。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀(guān)事物與現象中抽象出來(lái)的，符合客觀(guān)規律。

　　任何公理體系都必須滿(mǎn)足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒(méi)有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應的公理體系外，不依賴(lài)于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒(méi)有一個(gè)可以由其他公理推出。獨立性對整個(gè)公理體系而言，具有錦上添花的作用。

　　經(jīng)過(guò)證明為真實(shí)的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒(méi)有什么本質(zhì)的區別。一個(gè)定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實(shí)的，則分別稱(chēng)為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規律

　　1.同一律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過(guò)程中，所使用的概念和判斷必須確

　　定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點(diǎn)具體要求：一是思維的對象應保持同一。二是表示同一事物的概念應保持同一。

　　2.矛盾律：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過(guò)程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過(guò)程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

　　3.排中律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過(guò)程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

　　排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)是假。但如何進(jìn)一步確定誰(shuí)真誰(shuí)假，它們本身都無(wú)能為力，只有借助其他知識，進(jìn)行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由

數學(xué)培訓總結5

　　數學(xué)是一門(mén)基礎課程，在小學(xué)教學(xué)中，教師應充分了解小學(xué)生的特點(diǎn)，了解數學(xué)這門(mén)課程的教學(xué)特點(diǎn)，在此基礎上運用適當的手段，提高小學(xué)數學(xué)課堂教學(xué)效果。通過(guò)這段時(shí)間的網(wǎng)絡(luò )培訓學(xué)習，使我感受頗多，受益匪淺，很多教學(xué)中遇到的難題也在專(zhuān)家們那里得到了解決�，F將這次的培訓體會(huì )、總結如下：

　　首先，本次培訓讓我在以下幾個(gè)方面的內容收獲頗多：

　　一是小學(xué)數學(xué)教學(xué)中導入技能與提問(wèn)技能；二是小學(xué)數學(xué)課堂觀(guān)察技能與組織技能；三是小學(xué)數學(xué)課堂教學(xué)語(yǔ)言技能與溝通技能。四是講解技能與多媒體技能。這將對知識更新，能力提高具有很大的幫助。通過(guò)學(xué)習使我認識到在數學(xué)教學(xué)中，教師要關(guān)注教學(xué)目標、關(guān)注學(xué)生參與、關(guān)注課堂效益和質(zhì)量。使我認識到數學(xué)教學(xué)是數學(xué)活動(dòng)的過(guò)程。數學(xué)活動(dòng)的過(guò)程是學(xué)生收獲知識的過(guò)程，是發(fā)展思維的過(guò)程，也是培養學(xué)生創(chuàng )新能力的過(guò)程。因此，教師應努力為學(xué)生的數學(xué)活動(dòng)創(chuàng )造條件，“數學(xué)工具”則是學(xué)生數學(xué)活動(dòng)的重要媒介，它最大的價(jià)值在于可以為學(xué)生提供實(shí)踐的空間。用好“數學(xué)工具”，學(xué)生便有了“做”數學(xué)的機會(huì )，用好這些“數學(xué)工具”學(xué)生將有機會(huì )體驗數學(xué)、經(jīng)歷數學(xué)。使我認識到教師提問(wèn)的方向是為了把學(xué)生引向深入的思考。學(xué)生的提問(wèn)是深入思考問(wèn)題中發(fā)現的要不太理解的問(wèn)題。

　　其次，培訓方式新穎，交流空間廣闊。

　　遠程研修教育打破了時(shí)空限制：教育不再局限在課堂，教師可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò )媒體通訊技術(shù)進(jìn)行自主學(xué)習，可以隨時(shí)將自己的薄弱環(huán)節強化學(xué)習，直到完全鞏固．更加便于對每個(gè)知識內容的融會(huì )貫通，使原來(lái)想做而做不到的事情成為現實(shí)．通過(guò)這個(gè)平臺，與全國教育專(zhuān)家進(jìn)行了一次“零距離”的接觸，“面對面”聆聽(tīng)他們的輔導講座、鮮活的案例和豐富的知識內涵，讓我開(kāi)闊了視野。明白了新課程到底“新”在哪里。專(zhuān)業(yè)方面，通過(guò)論壇與同仁們的談數學(xué)、探迷惑，使我在思想、專(zhuān)業(yè)方面都得到很大的提高。這種平臺，使我們的距離變得更近、更方便交流。通過(guò)看視頻,與專(zhuān)家老師交流，在班級論壇中發(fā)帖、回貼，進(jìn)行論壇研討等活動(dòng),我學(xué)到了很多新知識，并為以后的教學(xué)工作奠定了厚實(shí)的基礎，真是受益匪淺。

　　再次，理論水平提升，教學(xué)方法更新。

　　通過(guò)此次遠程教育培訓，教育觀(guān)念有所更新，教學(xué)方法有所改進(jìn)，通過(guò)學(xué)習和聽(tīng)專(zhuān)家講座等環(huán)節，我感到自己的確長(cháng)了不少見(jiàn)識，教學(xué)思路靈活了，對自己的教學(xué)也有了新的目標和方向：首先在課堂的設計上一定要力求新穎，要能抓住學(xué)生的心，要講求實(shí)效性，不能為了形式而活動(dòng)多卻沒(méi)有實(shí)質(zhì)內容，整堂課熱鬧一場(chǎng)卻讓學(xué)生無(wú)所獲；教師的語(yǔ)言一定要有親和力，要充分尊重學(xué)生，讓他們有被重視的感覺(jué)，要做學(xué)生學(xué)習上的老師，生活中的朋友；在課堂上，教師只起一個(gè)引路的作用，不可以 “滿(mǎn)堂灌”，更不可以教師唱主角，學(xué)生作配角。另外教師的個(gè)人修養和素質(zhì)也需要不斷提高，要靠不斷的汲取知識，學(xué)習先進(jìn)經(jīng)驗充實(shí)自己的頭腦，要有過(guò)硬的基本功。通過(guò)這么多年的教學(xué)實(shí)踐，我深深的感 到，要讓學(xué)生喜歡你，尊重你，首先你得要在他們面前露兩手，要讓他們佩服你，對你心服口服。

　　在這一段時(shí)間的培訓中，我認真地看了各位專(zhuān)家對于小學(xué)數學(xué)專(zhuān)業(yè)知識的解讀，尤其對他們講解的小學(xué)數學(xué)教學(xué)中各個(gè)方面的問(wèn)題、今后改進(jìn)的措施、辦法進(jìn)行了認真學(xué)習，收獲不小。

　　一是重新認識了自己。

　　我要在今后的教學(xué)中繼續徹底改變自己。這次學(xué)習使我的思想有了更深層次的轉變。作為一名小學(xué)數學(xué)教師，必須具有淵博的`知識，良好的思維品質(zhì)，這些還遠遠不夠。我們要在數學(xué)學(xué)習探究過(guò)程中，不再把數學(xué)知識的傳授作為自己的主要教學(xué)任務(wù)和目的，也不再把主要精力花費在檢查學(xué)生對知識掌握的程度上，而是要成為學(xué)習集體中的成員，在問(wèn)題面前教師和學(xué)生們一起尋找答案，在探究數學(xué)的道路上教師成為學(xué)生的伙伴和朋友。

　　二是為學(xué)生全面發(fā)展奠定基礎。

　　面向全體學(xué)生我們應做到：創(chuàng )設各種情景，鼓勵學(xué)生大膽地實(shí)踐，對他們在學(xué)習過(guò)程中的失誤和錯誤采取寬容的態(tài)度；為學(xué)生提供自主學(xué)習和直接交流的機會(huì )，以及充分表現和自我發(fā)展的一個(gè)空間；鼓勵學(xué)生通過(guò)體驗、實(shí)踐、合作、探索等方式，發(fā)展聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)的綜合能力；創(chuàng )造條件讓學(xué)生能夠探究他們自己的一些問(wèn)題，并自主解決問(wèn)題。

　　三是創(chuàng )造和諧的教學(xué)氣氛。

　　學(xué)生只有對自己、對學(xué)科及其文化有積極的情態(tài)，才能保持學(xué)習的動(dòng)力并取得成績(jì)，刻板的情態(tài)，不僅會(huì )影響學(xué)習的效果，還會(huì )影響其它發(fā)展，因此我們要努力創(chuàng )造寬松民主、和諧的教學(xué)空間。關(guān)注學(xué)生我們應做到：尊重每個(gè)學(xué)生，積極鼓勵他們在學(xué)習中的嘗試，保護他們的自尊心和積極性；把教學(xué)與情態(tài)有機地結合起來(lái)，創(chuàng )造各種合作學(xué)習的活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生互相學(xué)習，互相幫助，體驗成就感，發(fā)展合作精神；關(guān)注學(xué)習有困難的或性格內向的學(xué)習，盡可能地為他們創(chuàng )造語(yǔ)言的機會(huì )；建立融洽、民主的師生交流渠道，經(jīng)常和學(xué)生一起反思學(xué)習過(guò)程和學(xué)習效果，互相鼓勵和幫助，做到教學(xué)相關(guān)。

　　新課程改革不是說(shuō)說(shuō)而已，必須要與實(shí)踐相結合，即將努力學(xué)習，積極進(jìn)取，積極參與課程改革，在課堂實(shí)踐教學(xué)中不斷摸索，不斷學(xué)習，不斷實(shí)踐，不斷反思。我樂(lè )于參與遠程研修，我也樂(lè )于與廣大同仁們共同成長(cháng)，我也更樂(lè )于實(shí)踐課堂教學(xué)。時(shí)代要求我們必須進(jìn)步，相信在以后的工作中，我會(huì )更努力地在先進(jìn)理論的指引下大力改進(jìn)我的工作。

數學(xué)培訓總結6

　　一,通過(guò)培訓掌握了新課程的編排及內容。

　　通過(guò)學(xué)習，使我清楚地認識到初中數學(xué)新課程的內容是由哪些模塊組成的，各模塊又是由哪些知識點(diǎn)組成的，以及各知識點(diǎn)之間又有怎樣的聯(lián)系與區別，以及編排的程序。對于必修課程必須講深講透，對于部分選學(xué)內容，應就學(xué)校和學(xué)生的具體情況而定。通過(guò)這次培訓，我了解到本次改革主要有：

　　【一】、“課程基本理念”的修改

　　1.將“人人學(xué)有價(jià)值的數學(xué)，人人獲得必需的數學(xué)，不同的人在數學(xué)上得到不同的發(fā)展”，改為“人人都能獲得良好的數學(xué)教育，不同的人在數學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

　　2.將“數學(xué)學(xué)習”和“數學(xué)教學(xué)”兩條合并成一條“教學(xué)活動(dòng)”，整體上闡述數學(xué)教學(xué)活動(dòng)的特征。表述為：“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。有效的數學(xué)教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師。

　　【二】、“設計思路”的修改

　　1.對“數與代數”，“圖形與幾何”，“統計與概率”，“綜合與實(shí)踐”四個(gè)方面的課程內容做了明確的闡述。

　　2.將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”、“實(shí)踐與綜合應用”改為“綜合與實(shí)踐”。確立了“數感”、“符號意識”、“運算能力”、“模型思想”、“空間觀(guān)念”、“幾何直觀(guān)”、“推理能力”、“數據分析觀(guān)念”等八個(gè)關(guān)鍵詞，并給出具體描述。并專(zhuān)門(mén)闡述了“應用意識”和“創(chuàng )新意。

　　二,通過(guò)培訓掌握了新課程的標準和方向

　　傳統的`數學(xué)教學(xué)以傳授知識，提高技能為主，而新課程是以人為主，讓學(xué)生更好的發(fā)展、持續的發(fā)展、終身的發(fā)展。學(xué)大眾的數學(xué)、學(xué)有用的數學(xué)、學(xué)數學(xué)的文化，因此，新課程是以數學(xué)內容為載體，注重培養學(xué)生的數學(xué)素養。

　　三,通過(guò)培訓學(xué)習及小組討論交流獲得了豐富的教學(xué)經(jīng)驗和方向

　　通過(guò)具體的課堂案例學(xué)習、專(zhuān)家的經(jīng)典剖析，我充分認識到教學(xué)不再是知識的傳授，而是要教會(huì )學(xué)生學(xué)習，也就是“授人以魚(yú)不如授人以漁”。教師應該教會(huì )學(xué)生怎樣深入淺出地突破教材的重點(diǎn)難點(diǎn)，打通數學(xué)思維通道，掌握一定的學(xué)習要領(lǐng)，形成良好的數學(xué)素養。

　　總之這兩天的培訓學(xué)習，我明確了今后的數學(xué)教學(xué)方向，我會(huì )將新課程的理念貫穿于以后的教學(xué)工作中。提高自身的教學(xué)能力，做一名學(xué)生歡迎的好老師!

數學(xué)培訓總結7

　　金秋九月，瓜果飄香。9月12日至9月13日，我有幸參加了平?jīng)鍪行�學(xué)數學(xué)學(xué)科教學(xué)研討會(huì )。作為農村課堂教學(xué)的前沿教師，我非常珍惜這次培訓機會(huì )。本次研討會(huì )的主要內容有“同課異構”的優(yōu)質(zhì)觀(guān)摩課、說(shuō)課議課活動(dòng)、教研教改沙龍活動(dòng)及知名教育專(zhuān)家的精彩講座。短短兩天的培訓，使我受益匪淺。

　　目前全方位的新課程改革很多時(shí)候讓我感到茫然，感到束手無(wú)策，而這次培訓學(xué)習猶如為我打開(kāi)了一扇窗，撥云見(jiàn)日，使我在一次次的感悟中豁然開(kāi)朗，讓我感受到了一個(gè)全新的教學(xué)舞臺。靜寧縣城關(guān)小學(xué)郭彥踞老師與莊浪縣第一小學(xué)趙淑萍老師同上的《除數是整數的小數除法》一課各具特色。趙淑萍老師以超市購物的情景導入，激活學(xué)生思維，滲透點(diǎn)撥，層次深入，使學(xué)生掌握了算理和計算，從而上升到運用小數除以整數解決實(shí)際問(wèn)題的水平，這種以“以學(xué)生為主體，以訓練為主線(xiàn)”的教學(xué)模式讓學(xué)生在輕松愉快的教學(xué)環(huán)境下完成了學(xué)習目標；郭彥踞老師鼓勵學(xué)生積極參與數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，發(fā)展推理能力，不斷滲透轉化思想，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力；蘭州市城關(guān)區水車(chē)園小學(xué)的王仁江老師給我們帶來(lái)了示范課四年級數學(xué)《田忌賽馬——對策問(wèn)題》，王老師通過(guò)多樣的游戲和豐富的故事，師生共同探究獲勝的策略，體驗策略的重要性，并在對比、經(jīng)歷、推理等活動(dòng)中，感知“運籌”的思想，體會(huì )“運籌”思想的實(shí)際價(jià)值。本節課以獨特的設計，智慧的引導，和諧的對話(huà)，有效的互動(dòng)，卓越的成效，讓我們共同目睹了金城名師的風(fēng)采。

　　這三位老師的課堂各具特色，獨具匠心，異彩紛呈；又有很多共同的亮點(diǎn)，聚焦課改，勇于創(chuàng )新，光彩奪目。他們先進(jìn)的教學(xué)理念，扎實(shí)的教學(xué)基本功，嫻熟的教學(xué)技巧讓我享受了一頓豐盛的“教學(xué)大餐”。在他們的課堂上學(xué)生開(kāi)展自主合作、探究學(xué)習，積極展示，教學(xué)效果顯著(zhù)。而這些都是我學(xué)習的地方，今后的'教學(xué)中我要更加認真的去研究教材，認真備好每一節數學(xué)課，課堂上嘗試運用這些優(yōu)秀教師的教學(xué)方法，努力提高自己的課堂教學(xué)能力及學(xué)生的學(xué)習成績(jì)。

　　在說(shuō)課議課環(huán)節，授課教師針對自己課堂的得與失進(jìn)行了認真的反思。他們精益求精、嚴謹治學(xué)的態(tài)度深深打動(dòng)了我。我抱著(zhù)學(xué)習的態(tài)度參與了議課，就突現學(xué)生的主體地位、特長(cháng)培養、課堂參與度、學(xué)習方式的改變等熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了有效探討。

　　通過(guò)參與教研沙龍活動(dòng)，讓我看到現在的教研活動(dòng)形式更加開(kāi)放、活躍、真實(shí)、有效了。這種交互式的教學(xué)方式使得參會(huì )的老師共同分享了專(zhuān)家與名師的教學(xué)智慧。市教研室曹寧子主任游刃有余的主持，前沿的理念引領(lǐng)，提供課例教師娓娓道來(lái)，令人折服的成長(cháng)故事感同身受。

　　本次活動(dòng)特邀的兩位專(zhuān)家張炳意主任和李寶臻教授分別做了《核心素養視野下的小學(xué)數學(xué)教材分析與教學(xué)建議》和《小學(xué)數學(xué)計算教學(xué)的問(wèn)題及改進(jìn)策略》為題的報告。李教授圍繞“課標中對小學(xué)數學(xué)計算問(wèn)題的基本要求、計算中的錯誤舉例、計算中錯誤的成因分析、小學(xué)數學(xué)計算教學(xué)的策略”等四個(gè)方面，幫我們解決了如何進(jìn)行基于課標的解讀和教學(xué)、如何基于兒童教學(xué)過(guò)程中發(fā)現錯誤和分析錯誤、如何基于兒童的視覺(jué)進(jìn)行小學(xué)數學(xué)教學(xué)某一環(huán)節為切入口進(jìn)行課題研究等問(wèn)題。張主任從“核心素養”取向和教科書(shū)的審視、整體把握和分析教材、教材內容呈現方式解析、數學(xué)思考與建議等四個(gè)方面，以專(zhuān)業(yè)研究者的態(tài)度、敏銳的觀(guān)察力和多元化的新視角為我們解讀了教材與教學(xué)的關(guān)系等。兩場(chǎng)專(zhuān)題報告理念新穎、案例豐富、說(shuō)服力強，令人茅塞頓開(kāi)。報告內容既涉及學(xué)科教學(xué)又著(zhù)眼于教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展，同樣帶給與會(huì )教師以深刻的啟迪和深遠的影響。

　　其實(shí)，培訓是一個(gè)反思進(jìn)步的過(guò)程。培訓學(xué)習是短暫的，但是給我的記憶和思考卻是永恒的。通過(guò)這次培訓，使我提高了認識，理清了思路，學(xué)到了新的教學(xué)理念，找到了自身的差距和不足。我要行動(dòng)起來(lái)，做一位有心的“烹飪師”，讓我的每一節課都成為孩子們“既好吃又有營(yíng)養”的“知識大餐”！最后感謝平?jīng)鍪薪逃�局提供的這次培訓機會(huì )，促使我在教育生涯的軌道上大步前進(jìn)！

數學(xué)培訓總結8

　　我有幸參加了這次數學(xué)培訓，在學(xué)習過(guò)程中，我認真聽(tīng)取了三位專(zhuān)家的精彩講演，自己無(wú)論在思想認識及教育觀(guān)念、教育理論和方法、教師業(yè)務(wù)素質(zhì)及業(yè)務(wù)修養、新課程改革等各方面都學(xué)到了很多東西，這對于改進(jìn)我自身的教育教學(xué)工作有很大的幫助�？偨Y如下：

　�。�1）認識到教師的任務(wù)不僅只是教學(xué)，教育科研更不僅是專(zhuān)家們的“專(zhuān)利”。先進(jìn)的教育理念和教育模式都離不開(kāi)教師的教學(xué)實(shí)踐，我們不能總是把別人的或原有的理論和經(jīng)驗用于自己的教學(xué)。

　�。�2）重視問(wèn)題解決與研究。在教育教學(xué)活動(dòng)中能及時(shí)發(fā)現問(wèn)題、分析問(wèn)題，并努力探求解決問(wèn)題的途徑與方法，使教育教學(xué)過(guò)程得到及時(shí)的調整，從而有效提高教學(xué)的質(zhì)量和效益。

　�。�3）在推進(jìn)新課改的過(guò)程中，必然會(huì )遇到一些前所未有的新問(wèn)題、新情況，要能在變遷與復雜的教育教學(xué)情景中進(jìn)行獨立思考和判斷，并通過(guò)自己的研究尋找出最佳的教育教學(xué)行動(dòng)策略和方案。

　�。�4）善于與同行交流，學(xué)習借鑒他人經(jīng)驗。不斷學(xué)習新知識，加深對數學(xué)的理解，并把成果應用到教學(xué)設計和教學(xué)實(shí)踐，不斷吸收、篩選符合學(xué)生需要的觀(guān)念和方法。改變學(xué)生學(xué)習方式，提高學(xué)生靈活的數學(xué)應用能力

　�。�5）知道一般概念和推理方法對使用數學(xué)工具的重要意義，利用對數學(xué)中各種概念之間相互關(guān)系的深刻理解和廣知識，幫助學(xué)生在掌握基本概念和推理方法的基礎上，建立一套他們自己的數學(xué)方法。

　　總之，通過(guò)本次骨干教師的培訓，自己收獲頗多，感受頗深，但我覺(jué)得最重要的是在今后的教學(xué)工作中如何把本次培訓所學(xué)到的理論始終如一的貫徹下去，使自己的教學(xué)工作不斷完善、不斷提高。

　　5月10日在興福中學(xué)進(jìn)行了“全縣數學(xué)教師培訓”，主要是針對初三復習講了兩節匯報課：一節是試卷講評課，一節是專(zhuān)題復習課，然后是備課教師談自己的備課過(guò)程，然后是部分教師談自己的看法或觀(guān)點(diǎn)，最后還有兩處學(xué)校介紹了自己學(xué)校對畢業(yè)班教學(xué)的處理。通過(guò)這一天的.學(xué)習，對這個(gè)第一年教畢業(yè)班的我來(lái)說(shuō)收獲太多太多。

　　一、在教學(xué)過(guò)程中要注意數學(xué)思想的滲透和學(xué)習方法的引導。我們教學(xué)不能是機械的教學(xué)，應該通過(guò)一個(gè)題的講解，教師從中提煉出題中蘊含的思想、規律和方法。要讓學(xué)生通過(guò)我們的講解能融會(huì )貫通，舉一反三。

　　二、學(xué)生是學(xué)習活動(dòng)的主體，教師在教學(xué)過(guò)程中只是起“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用。把課堂教給學(xué)生，給學(xué)生一個(gè)展示自我的機會(huì )，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，更重要的是提高了學(xué)生的能力，而且有時(shí)候學(xué)生會(huì )有更好、更適合學(xué)生的解題方法，何樂(lè )而不為呢？

　　三、一節課成功與否不在教師講多少內容，而在學(xué)生會(huì )多少。如果一個(gè)問(wèn)題學(xué)生徹底理解了、吃透了，變式問(wèn)題只是鞏固與應用。

　　四、處理問(wèn)題要找準突破口，基礎知識要抓牢。復習一個(gè)知識點(diǎn)要把它放到一個(gè)問(wèn)題中，以問(wèn)題為載體，讓學(xué)生在解決應用的基礎上理解體會(huì )，達到復習的目的。

　　總之，通過(guò)這次學(xué)習，我學(xué)到的很多。我會(huì )細細品味，把學(xué)到的應用到自己的教學(xué)中，不斷提高自己的教學(xué)水平。

數學(xué)培訓總結9

　　20xx年7月15日，縣教育局組織縣內的500余名小學(xué)數學(xué)教師會(huì )聚在實(shí)驗中學(xué)，展開(kāi)了對小學(xué)數學(xué)暑期培訓。培訓會(huì )上博興縣第一小學(xué)的宋春景老師對一年級下冊的“實(shí)踐與綜合應用”部分作了詳細的解讀、說(shuō)明。為我們以后的教學(xué)起了一個(gè)很好的鋪墊作用。

　　數學(xué)“實(shí)踐與綜合應用”是新課程增設的一個(gè)內容，這既是適應教育改革發(fā)展的需要，也是數學(xué)教育發(fā)展的`必然。注重實(shí)踐活動(dòng)和人人學(xué)有價(jià)值的數學(xué)是數學(xué)課程的一個(gè)趨勢，強調讓學(xué)生做數學(xué)、用數學(xué)比讓學(xué)生知道數學(xué)事實(shí)更重要。

　　實(shí)踐活動(dòng)與綜合應用就是“做數學(xué)”、“用數學(xué)”的具體體現，實(shí)踐與綜合應用是學(xué)生在教師的引導下，在已有知識體驗的基礎上，從所熟悉的現實(shí)生活中發(fā)現、選擇和確定問(wèn)題，主動(dòng)應用知識解決問(wèn)題的學(xué)習活動(dòng)。它強調了與學(xué)生生活經(jīng)驗的聯(lián)系，強調了具體化的實(shí)踐。不僅有實(shí)踐要求，還要求學(xué)生綜合應用知識來(lái)解決問(wèn)題，即強調學(xué)生能將知識應運到生活中去。

　　宋老師的《實(shí)踐與綜合應用》解讀，讓我們對于數學(xué)實(shí)踐綜合活動(dòng)課有了更進(jìn)一步的理解。實(shí)踐綜合活動(dòng)課的內容可以是我們生活中提煉的，可以是教材中延伸的，也可以是學(xué)習中生成的。這些平時(shí)被我們忽視的欄目，經(jīng)過(guò)今天的培訓，使參加培訓的教師認識到在以后的教學(xué)重要注意以下幾點(diǎn)：

　　1、要注重日常教學(xué)過(guò)程中的實(shí)踐活動(dòng)；

　　2、要注重學(xué)生間的合作與交流；

　　3、要加強實(shí)踐活動(dòng)的指導；

　　4、要重視在知識的形成與應用中感受數學(xué)在生活中的作用；

　　5、要重視實(shí)踐活動(dòng)后的評價(jià)交流。

數學(xué)培訓總結10

　　20xx年9月7日至25日，我有幸參加了由保定學(xué)院承擔的河北省省初中數學(xué)骨干教師培訓。這次培訓對于自己收益很大，培訓時(shí)間安排合理緊湊，老師們講課精彩，教學(xué)內容豐富多彩。這次培訓給我們提供了一個(gè)再學(xué)習、再提高的機會(huì )，讓我們能聚集在一起相互交流，共同學(xué)習，取長(cháng)補短，共同提高。通過(guò)這次培訓，收獲很多，眼界開(kāi)闊了，思考問(wèn)題能站在更高的境界，許多疑問(wèn)得到了解決或者啟發(fā)。我們不僅學(xué)到了豐富的知識，進(jìn)一步提高了業(yè)務(wù)素質(zhì)�，F總結如下：

　　一、更新了教育教學(xué)觀(guān)念，以新觀(guān)念指導教學(xué)

　　時(shí)代在不斷進(jìn)步，社會(huì )在不停前行。同樣，教育教學(xué)理念也應與時(shí)俱進(jìn)。特別是隨著(zhù)新課程改革的縱深發(fā)展，很多教育教學(xué)中的深層次問(wèn)題不斷地暴露，這時(shí)候更需要理論的指示與專(zhuān)家的引領(lǐng)。對于我個(gè)人而言，這次培訓無(wú)疑是一場(chǎng)“及時(shí)雨”，不僅對理清新課改中的種種關(guān)系有幫助，而且對突破新時(shí)代教育教學(xué)中一些“瓶頸” 問(wèn)題提供新的解決思路與方法。

　　首都師大博導、新課標研制組組長(cháng)王尚志教授的《整體把握新課程下的初中數學(xué)》的專(zhuān)題報告。他細致的分析了新課改的一些重大變化，如有原來(lái)常提的雙基改為了四基，兩種能力也增為四種能力，這些都對一線(xiàn)教師產(chǎn)生了深深的觸動(dòng)，并對一線(xiàn)教師提出了新的要求。如何在教學(xué)中落實(shí)成為新時(shí)期一線(xiàn)數學(xué)教師所面臨的問(wèn)題，同時(shí)也提出了初中數學(xué)教學(xué)不要僅僅局限于數學(xué)課堂，要提高各方面知識和能力。

　　二、更新了教育教學(xué)知識，結合新知識服務(wù)教學(xué)

　　教師要知識的更新與教學(xué)藝術(shù)的更新。作為數學(xué)老師，他應是始終站在科學(xué)知識岸邊的擺渡人，傳承知識與文化;他應是學(xué)生靈魂的塑造師與精神垃圾的清道夫。所以，作為數學(xué)教師必須時(shí)時(shí)保持充電的狀態(tài)，此次培訓無(wú)疑是一次良好的機會(huì )。經(jīng)過(guò)培訓，就我個(gè)人而言，不僅在學(xué)科知識方面得到一次全面的補充，而且在教學(xué)藝術(shù)方面得一次新的補充。

　　人民教育出版社中學(xué)數學(xué)室主任、課程教材研究所研究員章建躍博士《有效改進(jìn)課堂教學(xué)》的專(zhuān)題報告，對初中數學(xué)的教學(xué)目標，課堂設計進(jìn)行了深入的闡釋?zhuān)�提出這是聚焦課堂的教學(xué)研究的最直接的方式方法。保定市數學(xué)教研員徐建樂(lè )老師《進(jìn)一步理解新課程下的教與學(xué)》，保定市新市區數學(xué)教研員王衛國老師《數學(xué)復習課設計的'實(shí)踐與思考》等專(zhuān)題報告都從具體教學(xué)設計、教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習的方面對初中學(xué)學(xué)教學(xué)從不同方面進(jìn)行了細致分析和講解。同時(shí)強調現在的教師需要有反思精神，需要掌握教育學(xué)知識，才能成長(cháng)為學(xué)生喜歡的教師。

　　總之，教育是一門(mén)藝術(shù)，需要老師不斷的自己更新，才能更上一層樓。

　　三、觀(guān)摩了名師教育教學(xué)，合理吸收利用于教學(xué)

　　此次培訓活動(dòng)的一大特色就是理論聯(lián)系實(shí)際。不僅聆聽(tīng)了專(zhuān)家的解讀，而且近距離地學(xué)習了名師的教育教學(xué)藝術(shù)和班級管理藝術(shù)。

　　保定三中章魏老師的《把握數學(xué)本質(zhì)，打造有效數學(xué)課堂》，他通過(guò)多達42個(gè)實(shí)際課例講授了提高數學(xué)素質(zhì)是實(shí)現有效課堂的前提及教師應具備的數學(xué)學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識等內容，通過(guò)多達幾十個(gè)實(shí)例具體講解課堂的各環(huán)節設計。讓學(xué)生發(fā)現提出問(wèn)題能力的培養，作為教師首先就要對教材細琢磨，換個(gè)角度多想想，發(fā)現提出問(wèn)題，才符合新形勢下對我們一線(xiàn)教師的要求!

　　觀(guān)摩了徐水二中許春英教師、北京九中三名教師、保定七中教師的教學(xué)，大家積極開(kāi)展研討，研討中沒(méi)有虛假的恭維，只有真知灼見(jiàn)、真實(shí)流露;沒(méi)有形式上的大話(huà)、套話(huà)，只有深入思考后的針?shù)h相對�，F場(chǎng)研討，成為思維交鋒、不同地域多元教研文化交融的平臺，感覺(jué)收獲頗豐。

　　四、理解了教師成長(cháng)，加速成長(cháng)要引領(lǐng)教學(xué)

　　教育的發(fā)展，關(guān)鍵在教師的成長(cháng)。教師是學(xué)校發(fā)展的基石，學(xué)校的軟實(shí)力來(lái)自己于擁有一只業(yè)務(wù)能力強，團結敬業(yè)的教師隊伍。對于個(gè)人而言，教師的成長(cháng)不僅是時(shí)代的要求，更是適當現代教育的需要。此次培訓，很多專(zhuān)家與同仁重點(diǎn)談了教師如何規劃自己的成長(cháng)之路，成為名師，成為教育家。

　　如保定學(xué)院韓素蘭教授的《求解中學(xué)教師科研難題》的報告中關(guān)于中學(xué)教師研究解疑的講解條理清晰，研究及書(shū)寫(xiě)論文步驟詳細，并且每點(diǎn)都聯(lián)系了大量實(shí)際案例，實(shí)際操作性強，聽(tīng)起來(lái)很清楚明白，頓時(shí)覺(jué)得課題寫(xiě)論文也并不是一件難事。保定學(xué)院常務(wù)副院長(cháng)朱紅素教授《適者生存，強者精彩---骨干教師成長(cháng)為名師的歷程》從名師的界定、特征解讀、條件闡述、成長(cháng)路徑等四個(gè)方面進(jìn)行了講解。提出作為名師要具備或盡快培養較強的個(gè)人能力：精于教學(xué)、長(cháng)于教研、善于寫(xiě)作。 保定學(xué)院數學(xué)系主任周和月教授《幾何畫(huà)板與中學(xué)數學(xué)教學(xué)》學(xué)到了利用幾何畫(huà)板達到更好的教學(xué)要求實(shí)現教學(xué)目標。

　　五、結識了全省教學(xué)名師，促進(jìn)兄弟學(xué)校聯(lián)系教學(xué)

　　此次培訓是一個(gè)很好的平臺，參加培訓的都是全省教學(xué)一線(xiàn)的精英、名師，對教育教學(xué)都是自己獨到的見(jiàn)解。所以此次培訓是一個(gè)非常好的相互學(xué)習的機會(huì )，平時(shí)大家一起學(xué)習共同交流。認識，在交流中提升;情感，在交流中深化。同時(shí)，通過(guò)此次機會(huì )，建立友誼的紐帶亦為樂(lè )事。創(chuàng )辦的qq群，成為了大家各在一方時(shí)交流的平臺。

　　六、積極發(fā)揮示范引領(lǐng)作用，促進(jìn)學(xué)校的教育教學(xué)

　　集中培訓后，我主動(dòng)將這次培訓的成果帶回單位，充分發(fā)揮骨干教師的作用，積極示范，大膽引領(lǐng)，帶領(lǐng)全校的數學(xué)教師投入到學(xué)校教育教學(xué)改革中。在教研組活動(dòng)中，我積極解答教師教學(xué)中遇到的各種難題，引導互動(dòng)和交流，促進(jìn)了大家的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)的成長(cháng)。

　　參加省級骨干教師培訓是自己成長(cháng)路上的一次重要經(jīng)歷，我格外珍惜。培訓時(shí)積極認真，回到學(xué)校，我對自己嚴格要求，事事仔細，目的就是要將學(xué)校的年輕教師都培養出來(lái)。我相信，通過(guò)這次培訓，我在初中數學(xué)教學(xué)的大路上一定會(huì )走得更穩更遠!

數學(xué)培訓總結11

　　“國培”學(xué)習能不斷更新自己的教學(xué)理念�！皣�培”學(xué)習，我更加全面深刻地理解了新課標理念，把數學(xué)知識與生活情景有機結合起來(lái)，使數學(xué)知識成為學(xué)生所熟悉的情景，成為學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著(zhù)、聽(tīng)得到的現實(shí)。例如：在教學(xué)“100以?xún)鹊募訙p法的估算”時(shí)，首先引入以下現實(shí)情境：學(xué)校要舉行運動(dòng)會(huì )，需要購置一些體育器材，體育老師帶100元錢(qián)來(lái)到體育用品專(zhuān)賣(mài)店，籃球每個(gè)38元，排球每個(gè)27元，跳繩每根8元，羽毛球拍每副22元。請你幫體育老師估算一下：買(mǎi)這四樣體育器材大約要多少錢(qián)?100元錢(qián)夠用嗎?這樣一提現問(wèn)題后學(xué)生個(gè)個(gè)躍躍欲試，激發(fā)了他們的學(xué)習興趣。數學(xué)來(lái)源于生活實(shí)際，所以聯(lián)系生活實(shí)際學(xué)數學(xué)，可以提高學(xué)生對數學(xué)來(lái)源于生活的認識，喚起學(xué)生親近數學(xué)的熱情，體會(huì )數學(xué)與生活同在樂(lè )趣。

　　一、思想受到洗禮

　　聽(tīng)了陸麗萍老師的報告之后，我的心情久久不能平靜，同樣是人民教師，她卻在這平凡的工作崗位上做出了許多不平凡的業(yè)績(jì)，成為人們學(xué)習的'榜樣，尋找到了人生的真正的樂(lè )趣。師者為師亦為范，學(xué)高為師，德高為范。走上三尺講臺，教書(shū)育人;走下三尺講臺，為人師表。教師不僅是社會(huì )主義精神文明的建設者和傳播者，更是莘莘學(xué)子們的道德基因的轉接者。因此，師德 ,不是簡(jiǎn)單的說(shuō)教，而是一種精神體現，一種深厚的知識內涵和文化品位的體現!師德需要培養，需要教育，更需要的是：每位教師的自我修養!讓我們以良好的師德，共同撐起教育的藍天!

　　二、在讀書(shū)中反思。

　　本次培訓學(xué)習，讓我充分領(lǐng)略到專(zhuān)家與名師那份獨特的魅力——廣博的知識積累和深厚的文化底蘊。這些專(zhuān)家與名師都有一個(gè)共同的嗜好——讀書(shū)，他們充滿(mǎn)智慧和靈氣的課堂正是得益于他們讀書(shū)。讀書(shū)，可以讓自己從不同層面得到豐厚;讀書(shū)，可以加深自身文化底蘊，提高自身專(zhuān)業(yè)素養。幾乎每個(gè)專(zhuān)家在講座結束之前都向我們推薦了幾本好書(shū)，讓我覺(jué)得自身知識的貧乏的可憐。知之而改之，今后我努力的方向就是每天要讀書(shū)，只要堅持，哪怕讀一點(diǎn)點(diǎn)都是好的。在讀書(shū)的過(guò)程中，還必須要學(xué)會(huì )思考，在思考中進(jìn)步。

　　三、在教學(xué)中反思。

　　教師，尤其是一線(xiàn)教師，重要的工作陣地就是課堂。但，教師不能只是課堂技術(shù)的機械執行者，而必須是課堂實(shí)踐的自覺(jué)反思者。江蘇省溧陽(yáng)市外國語(yǔ)學(xué)校的陸麗萍老師給我們做了“小學(xué)數學(xué)有效教學(xué)設計的策略研究”的講座，向我們介紹了“有效教學(xué)的路徑與原則”，結合案例生動(dòng)的介紹了如何找到核心問(wèn)題。湯建英老師給我們作了《怎樣做一名骨干教師》的講座：讓我懂得了當老師并不是那么簡(jiǎn)單的，我們應該懂數學(xué)，懂學(xué)生，懂教學(xué)。周老師給我們做了“怎樣撰寫(xiě)數學(xué)教學(xué)論文”講座，使我們明白了怎樣寫(xiě)數學(xué)論文，怎樣寫(xiě)教育學(xué)術(shù)論文。

　　從蘇州的兩所學(xué)校，我領(lǐng)略到了常態(tài)課蘊含的簡(jiǎn)約之美。課堂中沒(méi)有吸引人的情景，都是開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的導入，也沒(méi)有多樣化的練習形式。但整節課的內容讓人覺(jué)得非常凝練、實(shí)用。老師明確的教學(xué)目標，簡(jiǎn)約的教學(xué)內容，有效地教學(xué)方式，用最低的教學(xué)成本取得了最大的教學(xué)效益。

　　總之，在培訓班學(xué)習的一年時(shí)間里，聆聽(tīng)了專(zhuān)家、學(xué)者的諄諄教誨，觀(guān)摩了一線(xiàn)老師的實(shí)踐，展望未來(lái)的工作、學(xué)習之路，深感將是永無(wú)止境而又艱難曲折的，我愿在這快樂(lè )而無(wú)止境的追求中去實(shí)現自己的價(jià)值。

數學(xué)培訓總結12

　　半個(gè)月的培訓很快就結束了，時(shí)間雖短，但卻鑒證了我的成長(cháng)過(guò)程。從最初的茫然到確定奮斗目標，從逃避現實(shí)到勇于面對種種困難，從不自信到自信，我經(jīng)歷了一個(gè)質(zhì)的蛻變。

　　從培訓的第一天開(kāi)始，我就處于一種興奮狀態(tài)，完全擺脫了在大學(xué)期間的散漫狀態(tài)，努力按要求做好每一件事，因為這樣可以向成為一名教師的信念越走越近。在培訓過(guò)程中，我主要在兩方面得到了收獲，一是做人方面，二是技能方面。

　　在做人方面，從鄭校長(cháng)講授的課程中吸取了很多精髓。首先，在積極心態(tài)與消極心態(tài)處理事情的對比分析中，我知道了心態(tài)對人生的重要性。人無(wú)論面對什么事，都要用一種積極的心態(tài)去面對，因為樂(lè )觀(guān)會(huì )讓人心胸開(kāi)闊，樂(lè )觀(guān)有助于人的成功。正是因為明白了這一點(diǎn)，我用樂(lè )觀(guān)的態(tài)度去面對培訓過(guò)程中的種種困難，堅持到了最后。同時(shí)，我將“成熟的人不問(wèn)過(guò)去，豁達的人不問(wèn)未來(lái)，成熟的人只看現在”作為保持良好心態(tài)的規范，銘記于心。其次，我認識到了與人溝通的重要性。明白為什么喜歡和“她”說(shuō)話(huà)，而不喜歡與“她”交流，同樣的內容不同的表達，這里起最主要作用的是表達方式和肢體語(yǔ)言。

　　我自己本身也欠缺這種與人溝通的能力，但在培訓過(guò)程中我知道該如何與家長(cháng)、學(xué)生進(jìn)行溝通。不只老師要學(xué)會(huì )這點(diǎn)，這是社會(huì )的生存技能，是一種本能，任何時(shí)候都可以受用。再次，我學(xué)會(huì )了堅持。說(shuō)實(shí)話(huà)，培訓的半個(gè)月也挺苦的，因為要有一項項的考核，每天都有不同的事情要去完成，壓力是很大的。每當有內容我想不出時(shí)，就拼命地鼓勵自己認為我能行，為了不斷前進(jìn)不離開(kāi)這支隊伍，我學(xué)會(huì )了堅持而不再會(huì )面對困難而退縮，而是勇敢的面對。無(wú)論在工作和生活中遇到什么事，我都會(huì )堅持自己的'目標，一直走下去。最后，我學(xué)會(huì )了多種場(chǎng)合的禮儀。以前我認為只要說(shuō)話(huà)對人尊敬，動(dòng)作不夸張，這就是禮貌。其實(shí)并不是這么簡(jiǎn)單的，培訓后我覺(jué)得以前的想法太幼稚，同時(shí)也理解有些事失敗的原因。禮儀是一種素質(zhì)的象征，在一個(gè)人的命運中起著(zhù)重要作用。上了禮儀課，我知道最標準的站、坐姿，什么場(chǎng)合穿什么衣服，不同的民族習慣要尊重等等規則細節，我感覺(jué)按這種標準走，自己的氣質(zhì)變的都比以前好了，因為精神飽滿(mǎn)不但會(huì )影響自己心情，還會(huì )感染周?chē)�的人。這是我在培訓中在做人方面所學(xué)習和收獲的主要幾方面，當然有的只是領(lǐng)悟到了，在以后的生活中加加以運用，我相信一定會(huì )又好的效果，終身受用。

　　在技能方面，我也學(xué)會(huì )了好多東西。首先，在吳校長(cháng)的細心講解下，我真正理解了“教”與“學(xué)”的關(guān)系。在大學(xué)時(shí)知道教學(xué)中應“以教師為主導，以學(xué)生為主體”，但都是理論性記憶，培訓中才明白應是教師起主導作用，讓學(xué)生成為課堂主要群體，自主學(xué)習知識，不再使用以前的“講授式”教學(xué)法，課堂上學(xué)生能做的就不用老師，就是這種理念才是現代教學(xué)理念，把握好教與學(xué)的關(guān)系是重點(diǎn)。其次，我明白了五步教學(xué)法的設置意義。導入是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就像演出時(shí)的開(kāi)場(chǎng)，一定要精彩才能吸引觀(guān)眾，同樣一節課導入要有激發(fā)學(xué)生興趣的內容，那樣下面所要傳授的知識才會(huì )有價(jià)值。

　　呈現是新知識的講解，在這個(gè)過(guò)程中要精練，做到突出重點(diǎn)、講好難點(diǎn)、說(shuō)明疑點(diǎn)，這樣才能講好課。操練時(shí)老師起規范督導作用，練習是學(xué)生自主強化過(guò)程，不要誤認為相等同。鞏固也是一個(gè)重要環(huán)節，學(xué)習完要鞏固練習才能更好地掌握知識，取得效果。這五個(gè)教學(xué)環(huán)節環(huán)環(huán)緊扣，這樣的課堂才是好的課堂。再次，我學(xué)會(huì )課件制作中有的細節。以前學(xué)習的只是表面的東西，通過(guò)跟計算機老師的學(xué)習，我可以讓蝴蝶飛舞起來(lái)，可以使用超鏈接，可以使用各種方法達到增強學(xué)生記憶的效果。這都是在專(zhuān)業(yè)老師指導下自己試驗得出的。記得當時(shí)我還不理解為什么不直接告訴我怎么做，但郭老師說(shuō)自己發(fā)現方法可以記的印象深，現在看來(lái)果然效果很好，在我的教學(xué)中將也采用此方法。最后，我學(xué)會(huì )了講課，這是我培訓中最有成就感的事。我將學(xué)習到的理論知識都運用到我的課程設計中，以前我也可以講但主要采用講授式，現在我的講課中融入新內容，我本著(zhù)學(xué)生能做的事老師不做的思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。數學(xué)本身是一種枯燥的學(xué)科，要在課堂上適當采用幽默方式，調動(dòng)起學(xué)生的積極性，讓學(xué)生愛(ài)上數學(xué)，才有興趣去學(xué)習。這就是培訓中我在技能上所學(xué)到的，我會(huì )把它們全部融入我的課堂，爭取早日講出一堂生動(dòng)的課。

　　培訓雖然結束了，但我的任務(wù)更重了，身上的壓力也更大了，我要將培訓中所學(xué)到的知識、思想加以運用，真正體現它們的價(jià)值�？梢哉f(shuō)這xx天我學(xué)到的東西比大學(xué)四年學(xué)的內容更有價(jià)值。我會(huì )永遠記得這個(gè)成長(cháng)的過(guò)程，在以后的工作中我更要努力，為了不浪費我所學(xué)的知識，為了完成我的教師夢(mèng)，為了一切一切

數學(xué)培訓總結13

　　短暫培訓即將結束，此次培訓可謂收獲頗多。

　　這次的培訓主題鮮明如何上好課。這對于我這位教學(xué)新手有著(zhù)重要的指導意義。在我短暫的教學(xué)中，我遇到了很多的問(wèn)題，這次培訓解答了我諸多的疑惑和困難。

　　《課堂教學(xué)策略與反思》這節課對我的幫助很大。在教學(xué)中不可能盡善盡美，總會(huì )有一些遺憾，這就要我們不斷的反思，只有反思才能不斷的進(jìn)步。教學(xué)反思一直以來(lái)是教師提高個(gè)人業(yè)務(wù)水平的一種有效手段，教育上有成就的大家一直非常重視之。教師對教育教學(xué)實(shí)踐的再認識、再思考，并以此來(lái)總結經(jīng)驗教訓，進(jìn)一步提高教育教學(xué)水平。教師從自己的教育實(shí)踐中來(lái)反觀(guān)自己的得失，通過(guò)教育案例、教育故事、或教育心得等來(lái)提高教學(xué)反思的質(zhì)量。

　　從這節課上，我知道了教案反思的新作用，從而提高了課堂教學(xué)的有效性和實(shí)效性。了解了教案反思的新作用一是教案反思有助于改善課堂教學(xué)的有效性、實(shí)效性，更加關(guān)注有效、高效的課堂教學(xué)；二是教案反思有助于凝練教師自己的教學(xué)特色和風(fēng)格，從經(jīng)驗型教師走向專(zhuān)家型教師；三是教案反思有助于教師主動(dòng)反省自身的教育教學(xué)觀(guān)念，實(shí)現教學(xué)行為與教育教學(xué)觀(guān)念的統一，加速自己的教師專(zhuān)業(yè)化進(jìn)程。知道了反思的有效途徑有哪些。這對我的以后的成長(cháng)有著(zhù)巨大的幫助。

　　《上好課小學(xué)數學(xué)》也是一節內容豐富，實(shí)用性很強的課。在這節課我欣賞到了優(yōu)秀的教學(xué)設計，領(lǐng)略了獨特的教學(xué)思路，感受了精彩的數學(xué)課堂。激發(fā)了我上好數學(xué)課的熱情。這節課的.有很多的教學(xué)實(shí)例，教學(xué)設計，教學(xué)錄像，教學(xué)反思一應俱全。而且有專(zhuān)家進(jìn)行評點(diǎn)，解說(shuō)。使我透徹的了解了教師在教案設計、課堂教學(xué)時(shí)的每一步。

　　本次培訓為我們搭建了一個(gè)互動(dòng)的平臺，在這里我認識了很多優(yōu)秀的老師，學(xué)到了很多教學(xué)方面的技能。同時(shí)，每一門(mén)課程都附有一些參考資料供我們學(xué)習，我覺(jué)得很好，通過(guò)閱讀這些材料，能夠打開(kāi)我們的視野，開(kāi)闊我們的眼界，使我們在教學(xué)時(shí)更得心應手，運用自如。

　　最后，我要感謝一直陪伴我們學(xué)習的指導老師，感謝他們連日來(lái)的指導和幫助，謝謝你們。

數學(xué)培訓總結14

　　5月至今，我有幸參加了為期一年的杭州市農村數學(xué)骨干教師培訓班。本人十分珍惜這次不斷完善和提高自我的機會(huì )，積極認真地參與了培訓全過(guò)程。在這里我聆聽(tīng)了眾位數學(xué)教育專(zhuān)家的精彩講座，領(lǐng)略了他們幽默風(fēng)趣的教育風(fēng)格、先進(jìn)的教育理論；也有機會(huì )和杭州市幾所“窗口”學(xué)校的優(yōu)秀教師進(jìn)行了面對面的教學(xué)交流，可以說(shuō)此次培訓收益頗豐、獲取匪淺�，F對整個(gè)學(xué)習、培訓過(guò)程總結如下：

　　一、提高教育思想，開(kāi)闊改革視野。

　　先后一年的培訓、學(xué)習，讓我把埋著(zhù)苦干的頭抬了起來(lái)，發(fā)現教育是需要遠見(jiàn)卓識的。古人亦曰“孤陋寡聞不可也”，雖說(shuō)我們不至于這樣，但是見(jiàn)識還是相對小了些�；叵肫鹨淮未蔚睦碚撓炊Y，至今記憶猶新：勝利小學(xué)張校長(cháng)的《小學(xué)數學(xué)概念教學(xué)的基本策略研究》從各個(gè)層面分析了概念的內涵和外延，明確概念的教學(xué)要重視概念形成的過(guò)程和概念的應用。朱樂(lè )平老師的《小學(xué)數學(xué)算法多樣化的理論與研究》從辨證的角度向我們闡述了算法多樣化的價(jià)值與面臨的困惑，給我們指明了一條正確實(shí)施算法多樣化的路徑。戎松魁老師的《數學(xué)課程標準和新教材新理念及存在若干問(wèn)題的分析》、張天孝老師的《新課程理念下的`四則運算教學(xué)》更是讓我們看到一些在教育領(lǐng)域兢兢業(yè)業(yè)工作著(zhù)的學(xué)者的不斷追求的人生態(tài)度，的確讓我折服。還有林校長(cháng)的《新課程與教師行為》、汪校長(cháng)的《系統思考、整體把握》、王老師的《小學(xué)數學(xué)教科研中的定量研究與SPSS技術(shù)》……從各位專(zhuān)家的親身體驗，從國內教育到國外理念，讓我猶如呼吸到清新的空氣，為之振奮。

　　二、通過(guò)學(xué)習理論，不斷應用實(shí)踐。

　　作為農村骨干教師，我努力把學(xué)習的理論知識轉化為實(shí)踐動(dòng)能，使之有效地指導我們農村小學(xué)數學(xué)的教學(xué)工作。通過(guò)培訓，我學(xué)會(huì )了變換角度審視自己的教育教學(xué)工作，在新理念的引領(lǐng)下，不斷反思、調整；每上一課都認真準備，精心揣摩，通過(guò)網(wǎng)絡(luò )便捷方式查閱相關(guān)資料，努力構建高效的教育教學(xué)活動(dòng)。在實(shí)踐過(guò)程中敢于迎接挑戰，便也敢于創(chuàng )新。20xx年我的數學(xué)研究課題在區里立項，并完滿(mǎn)地結題�？梢哉f(shuō)，是培訓激勵了我的意志，啟發(fā)了我的心智，讓我更加執著(zhù)地撲在小學(xué)數學(xué)的教育教學(xué)上。

　　三、持續學(xué)習改進(jìn)，勇敢迎接挑戰。

　　牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我之所以成功是因為我站在了巨人的肩膀上�！鞭r村骨干教師的培訓，是教育局領(lǐng)導給青年教師提供的一個(gè)肩膀，讓我們站得更高、看得更遠。然而在小學(xué)數學(xué)教育教學(xué)這條路上，我還必須“上下而求索！”比如：勝利小學(xué)江老師那嚴密的邏輯性和精辟的教學(xué)語(yǔ)言；學(xué)軍小學(xué)楊老師那讓學(xué)生從已有知識進(jìn)行深入挖掘的教學(xué)方法；娃哈哈小學(xué)朱老師的以書(shū)本為藍本加上適當知識重組的樸實(shí)教學(xué)風(fēng)格以及徐老師的《游戲與公平》那種巧妙的教學(xué)設計等等都值得我不斷學(xué)習。更令我感嘆的是城市孩子那種善于思考的學(xué)習態(tài)度和超強的語(yǔ)言表達能力，實(shí)在不凡！驚嘆之余我不禁思考：城市和農村孩子的這種強烈的反差，究竟是環(huán)境造成的，還是我們的教學(xué)存在問(wèn)題？我們應該如何去改變這一切？

　　培訓雖然結束了，但學(xué)習和思考并沒(méi)有停止，也不能停止！我將不辜負學(xué)院老師和領(lǐng)導的關(guān)心幫助和悉心指導，在今后的工作中努力改善自身，勇敢迎接更多挑戰。

數學(xué)培訓總結15

　　今年，我有幸參加了青山區小學(xué)數學(xué)市級骨干教師的培訓，在這個(gè)時(shí)間里，我每一次都靜心聆聽(tīng)了各位教育專(zhuān)家的精彩講座，讓我受益匪淺。我的教育思想、教學(xué)觀(guān)念、教育教學(xué)理論得到更新,極大的提高了我的教學(xué)方法、教學(xué)手段、教育教學(xué)策略。這次培訓的內容十分豐富，既有教育政策的解讀，又有各科教學(xué)遵循規律的指引，既有教師素養的培訓，也有專(zhuān)業(yè)知識的經(jīng)典案例。此時(shí)培訓形式新穎、內容精彩、層次分明，讓我收獲很大，現將這一階段的學(xué)習情況簡(jiǎn)要總結如下：

　　通過(guò)對華工附小“馮特”講座的聆聽(tīng)，讓我悟甚深，認識到關(guān)愛(ài)學(xué)生是教師的天職。熱愛(ài)學(xué)生是教育學(xué)生的感情基礎，在教育的長(cháng)河中，師愛(ài)的力量是無(wú)窮的，師愛(ài)又是神圣的，偉大的，師愛(ài)猶如燦爛的陽(yáng)光，能融化學(xué)生心靈的冰雪。

　　俗話(huà)說(shuō)：“學(xué)高為師，身正為范”。首先樹(shù)立良好的師德形象捧著(zhù)一顆心來(lái)，不帶半根草去。教師良好的思想品行將是教師最偉大的人格力量的體現，育人需要以德立身，以身立教。作為一名教師就要有默默無(wú)聞的奉獻精神，甘為人梯，像“春蠶”吐盡青絲。像“蠟燭”，化為灰燼，把畢生獻給事業(yè)，獻給學(xué)生。其次就是要關(guān)愛(ài)每一位學(xué)生的科學(xué)發(fā)展，讓所有學(xué)生得到全面科學(xué)的發(fā)展。

　　還有劉老師的怎樣教好數學(xué),從“有效上課新思維和新行動(dòng)”、“課堂模式選擇與課型計劃”、“‘六要素’教學(xué)行動(dòng)策略”、“小組合作學(xué)習機制與策略”、“潛能生轉化行動(dòng)策略”等諸多方面進(jìn)行了講授，讓我深刻領(lǐng)悟到究竟怎么上課，才稱(chēng)得上一堂好課。以指導我們以后的課堂教學(xué)的有效實(shí)施。其中“潛能生”的轉化，更讓我們深刻認識到，潛能生是我們不可低估的一個(gè)特殊人群，我們的.使命更重、責任更大，對他們要多愛(ài)、多激勵、多引導。

　　還有一位江岸區教研員為我們講的《有效教學(xué)設計及評價(jià)》，主要從課堂的有效性進(jìn)行精彩講解，這位教研員主要從“怎樣備好一堂課”“怎樣上好一堂課”、“怎樣評好一堂課”、“怎樣對學(xué)習效果進(jìn)行評價(jià)”等方面進(jìn)行講解，通過(guò)學(xué)習，讓我深刻領(lǐng)會(huì )到：對于有效課，不只是口頭上說(shuō)的，喊的，要從備課、上課、評課、評學(xué)習效果各個(gè)方面做精心準備和實(shí)施，只有這樣，才能有效完成課程的三維目標，才能讓學(xué)生學(xué)有所得、學(xué)有所獲、學(xué)以致用。對“教師素養，心里健康與壓力，師德及教師的職業(yè)幸福感”等的學(xué)習，讓我深刻領(lǐng)會(huì )到，作為教師，雖然清貧，但是我們必須把教書(shū)育人當做我們畢生追求的事業(yè)來(lái)做，要甘為人梯，要無(wú)私奉獻，要淡泊名利，把學(xué)生的健康、全面、科學(xué)的發(fā)展作為我們人生追求的目標。

　　最后學(xué)習了數學(xué)方面的專(zhuān)題講座，還有精品課程的觀(guān)摩，通過(guò)觀(guān)看，不但讓我掌握了更多的專(zhuān)業(yè)知識，更讓我感受到，我們的常規教育教學(xué)與觀(guān)摩中精品課程的實(shí)施的差距，也讓我感受到，在實(shí)施素質(zhì)教育的當今，任重而道遠，我們必須更新教育觀(guān)念，認真學(xué)習課改的先進(jìn)經(jīng)驗，把課堂還給學(xué)生，改變教育模式，要從真正意義上培養學(xué)生的全面、科學(xué)和可持續發(fā)展！

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