中國特有的娛樂(lè )性節日——大光棍節來(lái)啦!
每年的1月1日、1月11日和11月1日、11月11日分別被年輕人稱(chēng)為小光棍節、中光棍節和大光棍節，各種商業(yè)性和娛樂(lè )性活動(dòng)將陸續展開(kāi)。
作為數學(xué)愛(ài)好者，在中國我們可以把全部由阿拉伯數字1構成(即形如11…1)的十進(jìn)位制自然數，定義為“光棍數”(英文叫“repunit number”，可翻譯為“疊一數”)，除光棍數外的其他非0自然數可定義為“非光棍數”。例如，1，11，11111都是光棍數。1是一位光棍數，11是二位光棍數，1111是四位光棍數。1112是非光棍數。
1是第一個(gè)光棍數，是0的后繼數，是自然數產(chǎn)生的基礎。按照老子的說(shuō)法，道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。1是單位數。1的任何次方都是1。任何必然發(fā)生事件的概率都是1。
11是第二個(gè)光棍數，是自然數中的第5個(gè)質(zhì)數，它的倒數的循環(huán)周期為2。11的平方(121)、三次方(1331)和四次方(14641)與兩項代數式的平方、三次方和四次方的系數一致。
111是第三個(gè)光棍數。111不是質(zhì)數，能被3和37整除，所以3，6，…，27乘以37都能快速得到結果，分別為111，222，…，999。由1和質(zhì)數組成的最小幻方(31,73,7;13，37，61;67,1,43)的幻和為111。由自然數1到36組成的六階幻方中，幻和也是111。
1111是第四個(gè)光棍數，它是最不像光棍的數，因為它看起來(lái)更像兩個(gè)人使用的兩雙筷子。1111不是質(zhì)數，是最小的二位數質(zhì)數11與最小的三位數質(zhì)數101的乘積。
所有的光棍數都是回文數。任何光棍數都是可以表示為相鄰兩個(gè)自然數平方之差。除11外的其他偶位光棍數都不是質(zhì)數。隨著(zhù)光棍數位增加，質(zhì)數越來(lái)越少，萬(wàn)位光棍數以?xún)�，只有兩位、十九位、二十三位、三百一十七位、一千零三十一位光棍數是質(zhì)數。
以下是筆者收羅或者改編的一些關(guān)于光棍數的數學(xué)題，分享給大家，以撩起大家對數學(xué)的興趣。特別地，如有光棍在光棍節里無(wú)人作陪，那么通過(guò)解答這些光棍數的趣味題打發(fā)時(shí)光，在不知不覺(jué)中度過(guò)晚上11點(diǎn)11分，也是一種選擇。
(1)計算：n(n小于等于10)位光棍數的平方后得到的非光棍數。例如，二位光棍數11的平方=121。
(2)計算：求1+11^11+111^111+...+1111111111^1111111111的后兩位數字(^表示乘方)。
(3)計算：2014年11月1日是星期六，過(guò)111^111天是星期幾?2014年11月11日是星期二，過(guò)1111^1111天是星期幾?
(4)計算：20141111是一個(gè)非光棍數。如何將若干個(gè)光棍數，只通過(guò)加減乘除和括號進(jìn)行四則運算，變成20141111。當然希望所用的光棍數越少越好。例如，3=1+1+1，用了3個(gè)光棍數;121=11×11，用了2個(gè)光棍數。
(5)計算：999999999乘上一個(gè)最小的非光棍數，可以變成光棍數。求這個(gè)最小的非光棍數。
(6)計算：對從二位光棍數到十位光棍數的9個(gè)光棍數進(jìn)行質(zhì)因數分解。
(7)計算：要使形如20142014...2014的非光棍數能被兩位光棍數整除，2014的個(gè)數最少是多少?
(8)證明：有n位光棍數盞燈，從左到右排成一橫行。我們給電燈編上號碼1，2，3，…，(n-1)位光棍數，…，n位光棍數。每一盞燈有一個(gè)拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)控制著(zhù)。最初，電燈全是關(guān)著(zhù)的。另外，還有n位光棍數個(gè)學(xué)生。第一個(gè)學(xué)生走過(guò)來(lái)，把凡是號碼是1的倍數的電燈開(kāi)關(guān)拉了一下;接著(zhù)第二個(gè)學(xué)生走了過(guò)來(lái)，把編號是2的倍數的電燈開(kāi)關(guān)拉了一下;第三個(gè)人再走過(guò)來(lái)，把號碼凡是3的倍數電燈的開(kāi)關(guān)拉了一下，如此類(lèi)推，最后那個(gè)學(xué)生走了過(guò)來(lái)，把編號能被n位光棍數整除的電燈開(kāi)關(guān)拉了一下。證明在這樣做過(guò)之后，除編號為1的燈外，沒(méi)有一盞編號為光棍數的燈是亮著(zhù)的。
(9)證明：總能找到一個(gè)光棍數，能被非光棍數123456789(或者這9個(gè)數字任意組成的非光棍數)整除。
(10)判定：有光棍數個(gè)完全相同的齒輪，齒輪一個(gè)挨一個(gè)相互嚙合，直到第一個(gè)齒輪和第光棍數個(gè)齒輪嚙合，成為閉合的光棍數齒輪系統。請問(wèn)，這個(gè)齒輪系統能否正常工作?
(11)判定：如果已知一位光棍數的線(xiàn)段長(cháng)度，能否用尺規作圖可以做出一條線(xiàn)段，長(cháng)度等于若干個(gè)光棍數的平方根與若干個(gè)光棍數進(jìn)行加減乘除四則運算后的絕對值。如不能，說(shuō)明理由;如能，舉例給出二位光棍數平方根與二位光棍數的比值的一種作圖方法。
(12)游戲：有一堆小石子，數量為n位光棍數顆。甲乙兩個(gè)人輪番從這堆石子中取出石子，要求每人每次取出的石子顆數都少于某個(gè)m位光棍數(m小于n)，直到取完為止。最后無(wú)石子可取者為負。問(wèn)甲乙兩人中，誰(shuí)有必勝策略，為什么?
(13)操作：將從1到121的121個(gè)自然數依順序放入11×11的方格中，使得每格恰好一個(gè)數。對相鄰格的兩個(gè)數加上或者減去一個(gè)相同的數，稱(chēng)為一次操作。請問(wèn)，能否經(jīng)過(guò)有限次操作，使得每格的數都變成(1)全都是相同的光棍數;(2)可以是不同的光棍數。如不能，說(shuō)出理由;如能，寫(xiě)出一種操作方法。
(14)猜想：數學(xué)家高斯能用尺規作圖法，做出正十七邊形，但不能做出正十一邊形。最聰明的數學(xué)家不能用尺規作圖法，做出所有邊數為光棍數的正多邊形。
抱歉，我這里沒(méi)有抄錄現成答案或者給出改編題的答案。前面13道題目屬于相對比較簡(jiǎn)單的初等數學(xué)題，只是繁簡(jiǎn)程度不同，相信各位能解答。最后一道猜想題，我也沒(méi)有解題思路。