費馬(Fermat，Pierre de Fermat) (1601～1665)法國數學(xué)家，對現代微積分的建立有所貢獻，被譽(yù)為“業(yè)余數學(xué)家之王。”
◆對解析幾何的貢獻
費馬獨立于笛卡兒發(fā)現了解析幾何的基本原理。
1629年以前，費馬便著(zhù)手重寫(xiě)公元前三世紀古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯失傳的《平面軌跡》一書(shū)。他用代數方法對阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明作了補充，對古希臘幾何學(xué)，尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線(xiàn)論進(jìn)行了總結和整理，對曲線(xiàn)作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰寫(xiě)了僅有八頁(yè)的論文《平面與立體軌跡引論》。
費馬于1636年與當時(shí)的大數學(xué)家梅森、羅貝瓦爾開(kāi)始通信，對自己的數學(xué)工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費馬去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到費馬的工作，而現在看來(lái)，費馬的工作卻是開(kāi)創(chuàng )性的。
《平面與立體軌跡引論》中道出了費馬的發(fā)現。他指出：“兩個(gè)未知量決定的—個(gè)方程式，對應著(zhù)一條軌跡，可以描繪出一條直線(xiàn)或曲線(xiàn)。”費馬的發(fā)現比笛卡爾發(fā)現解析幾何的基本原理還早七年。費馬在書(shū)中還對一般直線(xiàn)和圓的方程、以及關(guān)于雙曲線(xiàn)、橢圓、拋物線(xiàn)進(jìn)行了討論。
笛卡兒是從一個(gè)軌跡來(lái)尋找它的方程的，而費馬則是從方程出發(fā)來(lái)研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個(gè)相反的方面。
在1643年的一封信里，費馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，指出：含有三個(gè)未知量的方程表示一個(gè)曲面，并對此做了進(jìn)一步地研究。
◆對微積分的貢獻
16、17世紀，微積分是繼解析幾何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，并且在其之前，至少有數十位科學(xué)家為微積分的發(fā)明做了奠基性的工作。但在諸多先驅者當中，費馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現代形式最接近的啟示，以致于在微積分領(lǐng)域，在牛頓和萊布尼茨之后再加上費馬作為創(chuàng )立者，也會(huì )得到數學(xué)界的認可。
曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題和函數的極大、極小值問(wèn)題是微積分的起源之一。這項工作較為古老，最早可追溯到古希臘時(shí)期。阿基米德為求出一條曲線(xiàn)所包任意圖形的面積，曾借助于窮竭法。由于窮竭法繁瑣笨拙，后來(lái)漸漸被人遺忘、直到16世紀才又被重視。由于開(kāi)普勒在探索行星運動(dòng)規律時(shí)，遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長(cháng)的問(wèn)題，無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念被引入并代替了繁瑣的窮竭法。盡管這種方法并不完善，但卻為自卡瓦列里到費馬以來(lái)的數學(xué)家開(kāi)辟廠(chǎng)一個(gè)十分廣闊的思考空間。
費馬建立了求切線(xiàn)、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。
◆對概率論的貢獻
早在古希臘時(shí)期，偶然性與必然性及其關(guān)系問(wèn)題便引起了眾多哲學(xué)家的興趣與爭論，但是對其有數學(xué)的描述和處理卻是15世紀以后的事。l6世紀早期，意大利出現了卡爾達諾等數學(xué)家研究骰子中的博弈機會(huì )，在博弈的點(diǎn)中探求賭金的劃分問(wèn)題。到了17世紀，法國的帕斯卡和費馬研究了意大利的帕喬里的著(zhù)作《摘要》，建立了通信聯(lián)系，從而建立了概率學(xué)的基礎。
費馬考慮到四次賭博可能的結局有2×2×2×2=16種，除了一種結局即四次賭博都讓對手贏(yíng)以外，其余情況都是第一個(gè)賭徒獲勝。費馬此時(shí)還沒(méi)有使用概率一詞，但他卻得出了使第一個(gè)賭徒贏(yíng)得概率是15/16，即有利情形數與所有可能情形數的比。這個(gè)條件在組合問(wèn)題中一般均能滿(mǎn)足，例如紙牌游戲，擲銀子和從罐子里模球。其實(shí)，這項研究為概率的數學(xué)模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎，盡管這種總結是到了1933年才由柯?tīng)柲炅_夫作出的。
費馬和帕斯卡在相互通信以及著(zhù)作中建立了概率論的基本原則——數學(xué)期望的概念。這是從點(diǎn)的數學(xué)問(wèn)題開(kāi)始的：在一個(gè)被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個(gè)中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分，已知兩個(gè)博弈者在中斷時(shí)的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論：一個(gè)博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多四次就能決定勝負。
一般概率空間的概念，是人們對于概念的直觀(guān)想法的徹底公理化。從純數學(xué)觀(guān)點(diǎn)看，有限概率空間似乎顯得平淡無(wú)奇。但一旦引入了隨機變量和數學(xué)期望時(shí)，它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在于此。
◆對數論的貢獻
17世紀初，歐洲流傳著(zhù)公元三世紀古希臘數學(xué)家丟番圖所寫(xiě)的《算術(shù)》一書(shū)。l621年費馬在巴黎買(mǎi)到此書(shū)，他利用業(yè)余時(shí)間對書(shū)中的不定方程進(jìn)行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數范圍內，從而開(kāi)始了數論這門(mén)數學(xué)分支。
費馬在數論領(lǐng)域中的成果是巨大的，其中主要有：
費馬大定理：n>2是整數，則方程x^n+y^n=z^n沒(méi)有滿(mǎn)足xyz≠0的整數解。這個(gè)是不定方程，它已經(jīng)由美國數學(xué)家證明了(1995年)，證明的過(guò)程是相當艱深的!
費馬小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一個(gè)素數，a是正整數，它的證明比較簡(jiǎn)單。事實(shí)上它是Euler定理的一個(gè)特殊情況，Euler定理是說(shuō)：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整數，φ(n)是Euler函數，表示和n互素的小于n的正整數的個(gè)數(它的表達式歐拉已經(jīng)得出，可以在“Euler公式"這個(gè)詞條里找到)。
另外還有：
(1)全部素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。
(2)形如4n+1的素數能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個(gè)平方數之和。
(3)沒(méi)有一個(gè)形如4n+3的素數，能表示為兩個(gè)平方數之和。
(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個(gè)直角邊為整數的直角三角形的斜邊;4n+1的平方是且只能是兩個(gè)這種直角三角形的斜邊;類(lèi)似地，4n+1的m次方是且只能是m個(gè)這種直角三角形的斜邊。
(5)邊長(cháng)為有理數的直角三角形的面積不可能是一個(gè)平方數。
(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個(gè)平方數之和;它的3次和4次方都只能以?xún)煞N表達為兩個(gè)平方數之和;5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個(gè)平方數之和，以此類(lèi)推，直至無(wú)窮。
(7)發(fā)現了第二對親和數：17296和18416。
十六世紀，已經(jīng)有人認為自然數里就僅有一對親和數：220和284。有一些無(wú)聊之士，甚至給親和數抹上迷信色彩或者增添神秘感，編出了許許多多神話(huà)故事。還宣傳這對親和數在魔術(shù)、法術(shù)、占星術(shù)和占卦上都有重要作用等等。
距離第一對親和數誕生2500多年以后，歷史的車(chē)輪轉到十七世紀，1636年，法國“業(yè)余數學(xué)家之王”費馬找到第二對親和數17296和18416，重新點(diǎn)燃尋找親和數的火炬，在黑暗中找到光明。兩年之后，“解析幾何之父”——法國數學(xué)家笛卡爾](René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三對親和數9437506和9363584。費馬和笛卡爾在兩年的時(shí)間里，打破了二千多年的沉寂，激起了數學(xué)界重新尋找親和數的波濤。
◆對光學(xué)的貢獻
費馬在光學(xué)中突出的貢獻是提出最小作用原理，也叫最短時(shí)間作用原理。這個(gè)原理的提出源遠流長(cháng)。早在古希臘時(shí)期，歐幾里得就提出了光的直線(xiàn)傳播定律相反射定律。后由海倫揭示了這兩個(gè)定律的理論實(shí)質(zhì)——光線(xiàn)取最短路徑。經(jīng)過(guò)若干年后，這個(gè)定律逐漸被擴展成自然法則，并進(jìn)而成為一種哲學(xué)觀(guān)念。—個(gè)更為一般的“大自然以最短捷的可能途徑行動(dòng)”的結論最終得出來(lái)，并影響了費馬。費馬的高明之處則在于變這種的哲學(xué)的觀(guān)念為科學(xué)理論。
費馬同時(shí)討論了光在逐點(diǎn)變化的介質(zhì)中行徑時(shí)，其路徑取極小的曲線(xiàn)的情形。并用最小作用原理解釋了一些問(wèn)題。這給許多數學(xué)家以很大的鼓舞。尤其是歐拉，競用變分法技巧把這個(gè)原理用于求函數的極值。這直接導致了拉格朗日的成就，給出了最小作用原理的具體形式：對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言，其質(zhì)量、速度和兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離的乘積之積分是一個(gè)極大值和極小值;即對該質(zhì)點(diǎn)所取的實(shí)際路徑來(lái)說(shuō)，必須是極大或極小。