現在，歷年考研試題中都涉及數學(xué)實(shí)際應用的問(wèn)題。下面就以考研真題為例，總結歸納了函數的極值和最值、積分、微分方程和概率等考研中數學(xué)應用題的四大類(lèi)型以及各個(gè)類(lèi)型問(wèn)題的解法。

　　1.函數的極值和最值模型

　　函數的極值和最值的應用問(wèn)題主要分為一元函數和多元函數的極值和最值的應用，解決這類(lèi)問(wèn)題的思路是：第一根據實(shí)際問(wèn)題中的數量關(guān)系列出函數關(guān)系式及求出函數的定義域;第二利用求函數極值和最值的方法求解。

　　例如：某廠(chǎng)家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷(xiāo)售，售價(jià)分別為p1，p2;銷(xiāo)售量分別為q1和q2;需求函數分別為q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2;總成本函數為C=35+40(q1+q2)。試問(wèn)：廠(chǎng)家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤是多少?

　　分析：這是一個(gè)典型的二元函數求最值問(wèn)題。首先要根據題意求出總利潤函數：總利潤=總收益-總成本;其次求出函數的定義域;最后根據二元函數求最值的方法求解即可。

　　2.積分模型

　　在積分的應用過(guò)程中關(guān)鍵要解決好兩個(gè)問(wèn)題:一是什么樣的量可以用積分來(lái)表達;二是用什么樣的積分表達,即確定積分區域和被積表達式。

　　例如：某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功。設土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數為kk>0)。汽錘第一次擊打將樁打進(jìn)地下am。根據設計方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數r(0

　　問(wèn)： (1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深?(2) 若擊打次數不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注：m表示長(cháng)度單位米)

　　分析：本題屬變力做功問(wèn)題，可用定積分進(jìn)行計算，而擊打次數不限，相當于求數列的極限。

　　3.微分方程模型

　　應用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題,其實(shí)就是建立微分方程數學(xué)模型,通過(guò)建立微分方程、確定定解條件、求解及對解的分析可以揭示許多自然界和科學(xué)技術(shù)中的規律。應用微分方程解決具體問(wèn)題時(shí)，首先將實(shí)際問(wèn)題抽象,建立微分方程,并給出合理的定解條件;其次求解微分方程的通解及滿(mǎn)足定解條件的特解;最后由所求得的解或解的性質(zhì),回到實(shí)際問(wèn)題。

　　例如：現有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著(zhù)陸時(shí)的水平速度為700km/h。經(jīng)測試，減速傘打開(kāi)后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數為k=6.0×106)。問(wèn)從著(zhù)陸點(diǎn)算起，飛機滑行的最長(cháng)距離是多少?注：kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí)。

　　分析：本題是以運動(dòng)力學(xué)為背景的數學(xué)應用題，可通過(guò)利用牛頓第二定理，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。

　　4.概率模型

　　關(guān)于概率論的應用題主要集中在古典概型、隨機變量的分布以及隨機變量的數字特征等方面。應用概率論的知識解決具體問(wèn)題時(shí)，首先要分析實(shí)際問(wèn)題，找出隨機變量的關(guān)系及其分布;下來(lái)是列出它們的函數關(guān)系，利用概率論的有關(guān)知識求解。

　　例如：設某企業(yè)生產(chǎn)線(xiàn)上產(chǎn)品的合格率為0.96，不合格產(chǎn)品中只有3/4的產(chǎn)品可進(jìn)行再加工，且再加工的合格率為0.8，其余均為廢品。已知每件合格品可獲利80元，每件廢品虧損20元，為保證該企業(yè)每天平均利潤不低于2萬(wàn)元，問(wèn)該企業(yè)每天至少應生產(chǎn)多少產(chǎn)品?

　　分析：本題為概率論中的數學(xué)期望在經(jīng)濟中的應用，有關(guān)數字特征的應用題主要是隨機變量函數的數學(xué)期望、方差等，求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出函數關(guān)系.根據題設列出方程求解。

　　以上對高等數學(xué)研究生入學(xué)考試中的有關(guān)數學(xué)應用題的類(lèi)型及其解法作了一些探討，主要以考研真題為例對歷年來(lái)的研究生入學(xué)考試的命題特點(diǎn)進(jìn)行了分析，總結了考研數學(xué)應用題的解決方法，希望對2016考研學(xué)生有所啟示。