微積分的函數連續考研數學(xué)解析

　　摘要：連續——是我們微積分學(xué)中，對極限的第一個(gè)應用。從它字面意思或是深入到幾何意義就是說(shuō)，函數的圖像是連綿不斷的。在我們考研當中，對這個(gè)概念也是親睞有加，在選擇題中反復出現。

　　首先，所謂連續即“極限值=函數值”

　　這一個(gè)等式包含了三個(gè)方面：

　　1、函數必須在該點(diǎn)處有定義；

　　2、函數必須在這個(gè)點(diǎn)附近存在極限；

　　3、是前面1、2兩點(diǎn)的內容必須相等，同時(shí)滿(mǎn)足這三個(gè)條件，才叫做函數在某點(diǎn)處連續。判斷函數連續，要先求極限，所以，如何求函數在該點(diǎn)處的極限值或是用極限存在的充要條件(左右極限存在且相等)，是一個(gè)隱含的知識點(diǎn)。

　　其次，我們自然會(huì )問(wèn)，會(huì )不會(huì )有不連續的點(diǎn)呢？

　　答案當然是肯定的，不連續的點(diǎn)就是我們所說(shuō)的——間斷點(diǎn)。那么所謂“不連續”就是不能同時(shí)滿(mǎn)足連續的三個(gè)條件的點(diǎn)：

　　1、函數在該點(diǎn)處沒(méi)有定義；

　　2、若函數在該點(diǎn)有定義，但函數在該點(diǎn)附近的極限不存在；

　　3、雖然函數在該點(diǎn)處有定義，極限也存在，但是二者不相等。

　　對于間斷點(diǎn)，根據左右極限存在與否，我們把它分為兩類(lèi)。若左右極限都存在的間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)；若左右極限相等，這個(gè)間斷點(diǎn)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)；若左右極限不相等，這個(gè)間斷點(diǎn)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)；若左右極限中至少有一個(gè)不存在(包含極限等于無(wú)窮的情形)的間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)；若其中一個(gè)極限是趨于無(wú)窮的，這個(gè)間斷點(diǎn)就稱(chēng)為無(wú)窮間斷點(diǎn)；若極限是在兩個(gè)常數之間來(lái)回振蕩的，就稱(chēng)為振蕩間斷點(diǎn)。

　　三個(gè)性質(zhì)

　　最后，對于連續性最重要的應用或者是說(shuō)考研中的一個(gè)小難點(diǎn)，就是閉區間上連續函數的三個(gè)性質(zhì)：最大最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理。

　　如何考察

　　對于上面的知識點(diǎn)，我們看看在考研中是怎么考察的。對于連續的.概念，難度上屬于簡(jiǎn)單知識點(diǎn)。首先，在十五年前，對于連續性的考查，更多的是給一個(gè)分段函數，然后判斷分段點(diǎn)處函數的連續性，這是一個(gè)基本題型，只需判斷連續的三個(gè)條件即可，其實(shí)主要是考查求函數某點(diǎn)處左右極限的值。然后，進(jìn)入20世紀，考查又傾向于在選擇題當中，給一個(gè)函數，讓大家來(lái)判斷這個(gè)函數有多少間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的類(lèi)型是什么，這個(gè)又比之前考查的更高一層。最后，就是在邏輯推理題中，考查零點(diǎn)定理，介值定理，通常，考查介值定理的時(shí)候也會(huì )用到最值定理。我們歸納題型知道，判斷方程根的情況的時(shí)候，一般用零點(diǎn)定理；題干中包含好幾個(gè)函數值相加的時(shí)候，一般用介值定理。

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