2014年研究生備考的硝煙正在彌漫，另一場(chǎng)戰役已經(jīng)打響。在考研數學(xué)的三門(mén)課里，線(xiàn)性代數這門(mén)課的特點(diǎn)又是什么呢?線(xiàn)性代數這門(mén)課對考生的抽象能力的要求特別的高，大綱要求主要考查的有抽象行列式的計算，抽象矩陣求逆，抽象矩陣求秩，抽象行列式求特征值與特征向量，這四種抽象題型是考研線(xiàn)性代數每年常出題型，占有很大比重，要求同學(xué)們有較高的綜合能力。

　　線(xiàn)性代數的前后知識的連續性強完全是由它自身的知識體系和邏輯推理方式來(lái)決定的，很多同學(xué)也都說(shuō)線(xiàn)性代數的公式概念結論特別的多，前后聯(lián)系特別的緊密，在做一個(gè)題時(shí)，如果有一個(gè)公式或者結論不知道，后面的過(guò)程就無(wú)法做下去，其實(shí)這也符合考研大綱的要求的考生運用所學(xué)的知識分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。如果和高等數學(xué)做個(gè)比較，我們把高等數學(xué)看作是一個(gè)連續性的推理過(guò)程，線(xiàn)性代數就是一個(gè)跳躍性的推理過(guò)程，在做題時(shí)表現的會(huì )很明顯。同學(xué)們在做高等數學(xué)的題時(shí)，從第一步到第二步到第三步在數學(xué)式子上一個(gè)一個(gè)等下去很清晰，但是同學(xué)們在做線(xiàn)性代數的題目時(shí)從第一步到第二步到第三步經(jīng)常在數學(xué)式子上看不出來(lái)，比如行列式的計算，從第幾行(或列)加到哪行(列)很多時(shí)候很難一下子看出來(lái)。針對上述特點(diǎn)，數學(xué)教研室陳老師給出線(xiàn)性代數的各章節重要知識點(diǎn)具體復習建議，希望同學(xué)們的復習能夠有的放矢。

　　一、行列式與矩陣

　　行列式、矩陣是線(xiàn)性代數中的基礎章節，從命題人的角度來(lái)看，可以像潤滑油一般結合其它章節出題，因此必須熟練掌握。

　　行列式的核心內容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類(lèi)型，主要方法是應用行列式的性質(zhì)及按行(列)展開(kāi)定理化為上下三角行列式求解;而對于抽象行列式而言，考點(diǎn)不在如何求行列式，而在于結合后面章節內容的相對綜合的題。

　　矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點(diǎn)包括矩陣各種運算律、矩陣的基本性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。

　　二、向量與線(xiàn)性方程組

　　向量與線(xiàn)性方程組是整個(gè)線(xiàn)性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線(xiàn)性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎性章節，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。

　　向量與線(xiàn)性方程組的內容聯(lián)系很密切，很多知識點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點(diǎn)之間的內在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運用的前提。

　　這部分的重要考點(diǎn)一是線(xiàn)性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線(xiàn)性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯(lián)系。

　　(1)齊次線(xiàn)性方程組與向量線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系

　　齊次線(xiàn)性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時(shí)等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線(xiàn)性表示”。

　　齊次線(xiàn)性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解;②有非零解。當齊次線(xiàn)性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線(xiàn)性方程組有非零解時(shí)，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線(xiàn)性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線(xiàn)性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線(xiàn)性相關(guān)�？梢栽O想線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線(xiàn)性方程組問(wèn)題而提出的。

　　(2)齊次線(xiàn)性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系

　　同樣可以認為秩是為了更好地討論線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數”。經(jīng)過(guò)“秩→線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)→線(xiàn)性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解，且齊次線(xiàn)性方程組的解向量可以通過(guò)r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量(基礎解系)線(xiàn)性表示。

　　(3)非齊次線(xiàn)性方程組與線(xiàn)性表出的聯(lián)系

　　非齊次線(xiàn)性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量組線(xiàn)性表示，使等式成立的一組數就是非齊次線(xiàn)性方程組的解。

　　三、特征值與特征向量

　　相對于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線(xiàn)性代數這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線(xiàn)代中的大量?jì)热?mdash;—既有行列式、矩陣又有線(xiàn)性方程組和線(xiàn)性相關(guān)性，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。

　　本章知識要點(diǎn)如下：

　　1.特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。

　　2.相似矩陣及其性質(zhì)，需要區分矩陣的相似、等價(jià)與合同：

　　3.矩陣可相似對角化的條件，包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征值;二是任意r重特征根對應有r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。

　　4.實(shí)對稱(chēng)矩陣及其相似對角化，n階實(shí)對稱(chēng)矩陣必可正交相似于以其特征值為對角元素的對角陣。

　　四、二次型

　　這部分所講的內容從根本上講是特征值和特征向量的一個(gè)延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實(shí)對稱(chēng)矩陣，必存在正交矩陣，使其可以相似對角化”，其過(guò)程就是上一章實(shí)對稱(chēng)矩陣相似對角化的應用。