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用數學(xué)的眼光去分析俗語(yǔ)論文
很多俗語(yǔ)，其實(shí)都是人們對經(jīng)驗的概括。它們未必很準確，卻總是有些道理。如果我們嘗試數學(xué)的眼光去分析這些俗語(yǔ)，又會(huì )得到什么結果呢?上得山多終遇虎
靠山吃山靠水吃水，住在山邊的人，饞了上山打獵，病了上山采藥，總之是經(jīng)常與大自然親密接觸。但是，在古代，環(huán)境還沒(méi)有被破壞得這么厲害，山上有老虎是常有的事。盡管一只老虎的領(lǐng)地可達數平方公里，它也不是天天在領(lǐng)地閑逛，所以上山打一次獵遇到老虎的概率也不高。但對于那些天天上山打獵的老獵人來(lái)說(shuō)，在職業(yè)生涯中一次老虎都沒(méi)有遇到過(guò)，倒是件稀有的事。所謂“上得山多終遇虎”，大概就是指的這種情況。
假設獵人每次上山打獵，遇到老虎的概率是p，也就是說(shuō)遇不到老虎的概率是1－p。那么，在m次打獵中，每次都沒(méi)有遇到過(guò)老虎的概率就是（1－p）^m。只要有可能遇到老虎，相當于說(shuō)p>0，當m越來(lái)越大時(shí)，（1－p）^m就越來(lái)越小，趨向于0，也就是說(shuō)，盡管每次倒霉遇上老虎的概率不高，但如果每天都去打獵的話(huà)，總有一天會(huì )倒霉的。
可能有人會(huì )反過(guò)來(lái)想：我每次買(mǎi)*票，中頭獎的概率不是0，那么，總有一天我會(huì )中頭獎的。這種想法既對又不對，理論上來(lái)說(shuō)，的確一直買(mǎi)下去的話(huà)總有一天會(huì )中獎，但是大概要買(mǎi)多少遍才會(huì )中頭獎呢?以36選7為例，中頭獎的概率是1/C（36，7），所以大概要買(mǎi)C（36，7）期會(huì )有一期中頭獎，那是大概八百萬(wàn)期，也就是大概兩萬(wàn)年。兩萬(wàn)年后，福彩是否存在還是個(gè)問(wèn)題。 而對于獵人來(lái)說(shuō)，每次上山遇虎的概率顯然沒(méi)有那么低。要是聽(tīng)到虎嘯也算遇虎的話(huà)，千分之一應該算是一個(gè)不錯的估算。這樣算來(lái)，大概打一千次獵就會(huì )有一次遇到老虎，對于經(jīng)常上山的獵人來(lái)說(shuō)大概十多年就有這個(gè)數了，難怪“上得山多終遇虎”。 現在環(huán)境破壞得嚴重，要“遇虎“，大概只能到動(dòng)物園去了，山里反倒非常安全�！笆⑹莱雒突ⅰ敝�(lèi)的，只能是笑話(huà)了。
坐吃山空
“坐吃山空”，大概是告誡那些只愿吃閑飯不愿干活的人，無(wú)論家里有多少錢(qián)，總有一天要吃光的。 在忽略貨幣變化的前提下，假設家里的存款是M，一頓飯只需要花費m，這些存款也只能支撐M/m頓飯，也就是說(shuō)是不可能永遠吃閑飯吃下去的。 用數學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，只要m不是0，無(wú)論m多么小，將很多同樣的m加起來(lái)，我們可以得到要多大有多大的數。這種性質(zhì)叫做實(shí)數的阿基米德性質(zhì)。
利用阿基米德性質(zhì)，我們能解釋0.999…＝1的問(wèn)題。假設p＝1－0.99…，如果p不等于0的話(huà)，p就是一個(gè)正實(shí)數。根據阿基米德性質(zhì)，總存在一個(gè)整數M，使得M*p>＝1。于是p＝1－p＝0.999…。然而，這是不可能的，因為1/M總會(huì )在小數點(diǎn)后某一位開(kāi)始非0，導致1－1/M不等于0.999…。這個(gè)矛盾表明我們的假設是錯誤的，也就是說(shuō)其實(shí)0.999…＝1。
很多我們常見(jiàn)的數都有阿基米德性質(zhì)，比如說(shuō)有理數，實(shí)數，復數。當然，對于復數來(lái)說(shuō)，“要多大有多大”就要重新定義了，一般是用它的范數——也就是在復平面上與原點(diǎn)的距離——來(lái)定義的。在復數里邊，就應該講是可以得到范數要多大有多大的數。
久賭必輸
從來(lái)只聽(tīng)過(guò)開(kāi)賭場(chǎng)而富甲一方的，沒(méi)聽(tīng)過(guò)有賭徒能通過(guò)而過(guò)上幸福生活的，反倒是家破人亡的不計其數。在賭場(chǎng)的話(huà)，既有抽頭，賭局也是對賭場(chǎng)有利的。說(shuō)難聽(tīng)點(diǎn)，去賭場(chǎng)賭錢(qián)就相當于直接送錢(qián)給賭場(chǎng)老板。就算是一對一機會(huì )均等的賭局，要是一直賭下去的話(huà)，也總有一天會(huì )輸光的。這就是“久賭必輸”。
假設每盤(pán)賭局的*注是1，而賭徒的財產(chǎn)是n。在每盤(pán)賭局中，賭徒有1/2的概率贏(yíng)，有1/2的概率輸。那么，如果一直這樣賭下去的話(huà)，賭徒輸光的概率是多少呢? 顯然，賭徒的錢(qián)越多，輸光需要的局數也越多。當賭徒的財產(chǎn)是n時(shí)，我們記輸光的概率為p(n)。因為每次賭局有一半的可能贏(yíng)，一半的可能輸，贏(yíng)的時(shí)候財產(chǎn)變成n＋1，輸的時(shí)候變成n－1，所以p(n)＝(p(n＋1)＋p(n－1))/2。當n＝0的時(shí)候，即使不用賭，所有東西都輸光了，所以p(0)＝1。 所以，p可以看作一個(gè)滿(mǎn)足下列遞推關(guān)系的數列： p(0)＝1 p(n＋1)＝2p(n)-p(n－1)，也就是p(n＋1)－p(n)＝p(n)-p(n－1) 容易驗證p(n)＝n*p(1)－(n－1)正好符合上面的遞推關(guān)系。因為p(n)>＝0，所以對于任意的n，必定有p(1)>＝1－1/n，所以p(1)＝1，從而對于所有的n，p(n)＝1。在無(wú)限次的中，賭徒在某一次中輸光的概率是1。
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