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類(lèi)型空間離散的不完全信息二維價(jià)格博弈研究
摘 要：本文通過(guò)分析類(lèi)型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價(jià)格博弈和單獨博弈與二維博弈的均衡結果比較，并經(jīng)過(guò)算例驗證，得出了結論：分析證明了當兩種產(chǎn)品無(wú)相互替代性時(shí)，分別采取價(jià)格策略的雙寡頭一維靜態(tài)博弈模型是本文二維靜態(tài)價(jià)格博弈模型的特殊情形;當兩種產(chǎn)品具有一定替代性時(shí)，對每一種產(chǎn)品進(jìn)行單獨博弈的均衡策略劣于聯(lián)合對兩種產(chǎn)品進(jìn)行二維博弈的均衡策略。
關(guān)鍵詞：多維博弈;價(jià)格;貝葉斯納什均衡;不完全信息
一、引言
在現實(shí)經(jīng)濟活動(dòng)中，企業(yè)之間存在多個(gè)具有相互影響的博弈問(wèn)題，如企業(yè)對具有一定替代性的多種產(chǎn)品的生產(chǎn)進(jìn)行博弈的問(wèn)題。當企業(yè)對每一種產(chǎn)品進(jìn)行博弈時(shí)，除了要考慮競爭對手同類(lèi)產(chǎn)品策略對本企業(yè)產(chǎn)品的影響外，還要考慮其他替代性產(chǎn)品策略對該產(chǎn)品的影響，這就構成了多維博弈問(wèn)題。
譚德慶在論文中系統的介紹了多維博弈的定義和基本理論，并給出了完全信息和不完全信息下的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)博弈基本模型和均衡解;[1]其后又分別研究了產(chǎn)量――價(jià)格策略多維靜態(tài)博弈、類(lèi)型空間連續的不完全信息多維靜態(tài)價(jià)格博弈、類(lèi)型空間離散的不完全信息多維靜態(tài)產(chǎn)量博弈以及不完全信息動(dòng)態(tài)二維價(jià)格博弈等多種多維博弈模型;文獻[2]則研究了關(guān)于具有一定替代性的新舊兩種產(chǎn)品在完全信息下的動(dòng)態(tài)產(chǎn)量-價(jià)格策略下的雙寡頭二維博弈模型及其均衡，并與單獨博弈的情形作比較，體現了多維博弈在具有替代性產(chǎn)品的博弈中的優(yōu)越性;文獻[3]比較了完全信息與不完全信息下具有替代性產(chǎn)品的古諾競爭的均衡結果，表明了不完全信息下產(chǎn)品的替代性對均衡產(chǎn)量和利潤均有影響;本人也曾在論文中探討了不完全信息條件下的產(chǎn)量――價(jià)格策略二維靜態(tài)博弈模型及均衡[4]。
在實(shí)際的市場(chǎng)競爭中，企業(yè)在進(jìn)行產(chǎn)品競爭時(shí)，對產(chǎn)品采取價(jià)格策略來(lái)爭奪對手顧客。針對這種情況，已有討論針對完全信息下的靜態(tài)雙寡頭價(jià)格策略二維博弈模型及其均衡和類(lèi)型空間連續的不完全信息雙寡頭價(jià)格策略博弈模型。本文將其拓展到類(lèi)型空間離散的不完全信息情況下進(jìn)行相關(guān)研究，以期填補這一空缺。
二、類(lèi)型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價(jià)格博弈
為構建博弈模型，現提出以下假設：
第一，某一地區有兩個(gè)企業(yè)――企業(yè)1和企業(yè)2――均生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品具有一定的相互替代性，兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品同類(lèi)但不完全同質(zhì)，即所生產(chǎn)的同種產(chǎn)品在質(zhì)量上有一定差異;
第二，兩個(gè)企業(yè)對該地區的產(chǎn)品市場(chǎng)形成壟斷，且生產(chǎn)的產(chǎn)品完全供給該地區;
第三，企業(yè)1生產(chǎn)的甲乙兩種產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本是完全信息，即企業(yè)1和企業(yè)2均確切知曉企業(yè)1所生產(chǎn)的甲乙兩種產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本;
第四，企業(yè)2所生產(chǎn)的甲產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本是完全信息，即企業(yè)1和企業(yè)2均確切知曉企業(yè)2所生產(chǎn)甲產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本;企業(yè)2所生產(chǎn)的乙產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本為類(lèi)型空間離散的不完全信息，即企業(yè)2確切知曉本企業(yè)生產(chǎn)乙產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本，而企業(yè)1只知道其生產(chǎn)成本的可能取值及其相應概率。
在靜態(tài)價(jià)格博弈模型下兩個(gè)企業(yè)將同時(shí)做出選擇，決定自己所生產(chǎn)產(chǎn)品的價(jià)格，從而使各自的總利潤達到最大。由于其成本信息是類(lèi)型空間離散的不完全信息，就形成了一個(gè)類(lèi)型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價(jià)格博弈。模型的具體構建過(guò)程如下：
設企業(yè)i將兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)價(jià)格定為(p，p)≥0，(i=1，2)，(p，p)∈p×p，其中第一個(gè)下標表示企業(yè)，第二個(gè)下標表示產(chǎn)品，p×p則表示企業(yè)i兩種產(chǎn)品可選擇的價(jià)格策略集合，即價(jià)格策略空間。由于兩種產(chǎn)品之間存在一定的相互替代性，那么對于企業(yè)的一種產(chǎn)品，其需求量不僅受市場(chǎng)上同種商品(本企業(yè)和競爭對手企業(yè)的該種產(chǎn)品)價(jià)格的影響，同時(shí)也受本企業(yè)和競爭對手企業(yè)的另一種產(chǎn)品價(jià)格影響，用函數的形式表達即，企業(yè)i第j種產(chǎn)品需求函數為。假設，不同企業(yè)生產(chǎn)的同種產(chǎn)品在市場(chǎng)上相互間的影響程度相同(即，如果企業(yè)i的甲產(chǎn)品價(jià)格對企業(yè)j的甲產(chǎn)品需求量的影響系數為，那么企業(yè)j的甲產(chǎn)品價(jià)格對企業(yè)i的甲產(chǎn)品需求量的影響系數也是);某種產(chǎn)品的市場(chǎng)均價(jià)對其他產(chǎn)品的需求量影響系數相同(即，如果乙產(chǎn)品的市場(chǎng)均價(jià)對企業(yè)i的甲產(chǎn)品需求量的影響系數為r1，那么乙產(chǎn)品的市場(chǎng)均價(jià)對企業(yè)j的甲產(chǎn)品需求量的影響系數也是r1)。根據以上假設關(guān)系，可發(fā)現企業(yè)某種產(chǎn)品的需求量受本企業(yè)該產(chǎn)品價(jià)格、競爭對手企業(yè)同種產(chǎn)品價(jià)格、市場(chǎng)上替代性產(chǎn)品平均價(jià)格的影響。假設需求函數為如下的線(xiàn)性關(guān)系：
(1)
(2)
其中，i，j=1，2，i≠j;、(，>0)分別表示企業(yè)j的甲、乙產(chǎn)品價(jià)格對企業(yè)i的甲、乙產(chǎn)品需求量的影響系數;r1(r1>0)表示乙產(chǎn)品的平均市場(chǎng)價(jià)格對甲產(chǎn)品需求量的影響系數，r2(r2>0) 表示甲產(chǎn)品的平均市場(chǎng)價(jià)格對乙產(chǎn)品需求量的影響系數。
在模型討論中，只考慮產(chǎn)品生產(chǎn)的單位成本(忽略產(chǎn)品生產(chǎn)的固定成本)，并假設其為常數。企業(yè)1的甲和乙產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本分別為C11、C12，企業(yè)2的甲產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本為C21，為共同知識;企業(yè)j的乙產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本有兩種可能，以的概率取低成本C，以1-的概率取高成本C，其中可能成本取值及其相關(guān)概率為共同知識。
企業(yè)1：不知道企業(yè)2所有產(chǎn)品確切的單位生產(chǎn)成本，該博弈是不完全信息博弈。企業(yè)1在知道企業(yè)2乙產(chǎn)品可能成本取值及相應概率的情形下，只能最大化自己的期望收益。企業(yè)1盈利函數的期望為：
EU1=E[Q11(p11-C12)+Q12(p12-C12)]
={[a-p11+
企業(yè)2：乙產(chǎn)品的成本是固定的，該博弈為完全信息博弈。當乙產(chǎn)品采取低成本時(shí)，企業(yè)2的盈利函數為：
當乙產(chǎn)品采取高成本時(shí)，企業(yè)2的盈利函數為：
由于盈利函數光滑可導，對企業(yè)1的盈利函數EU1、企業(yè)2的盈利函數U和U，通過(guò)最優(yōu)化一階條件并整理為矩陣形式，可得企業(yè)1與企業(yè)2的向量反應函數。
為了計算和表達方便，聯(lián)立三個(gè)反應函數方程，得出三個(gè)未知向量的貝葉斯納什均衡解
企業(yè)1有唯一的貝葉斯納什均衡解，即當企業(yè)2的成本和概率確定時(shí)，企業(yè)1的產(chǎn)品定價(jià)是固定的;企業(yè)2根據自己的成本高低選擇相應的貝葉斯納什均衡解。即企業(yè)1的策略為，企業(yè)2的策略為{}。此解可推廣到兩種產(chǎn)品成本均為不完全信息的情形，若企業(yè)2兩種產(chǎn)品成本都有高低兩種選擇時(shí)，則有五個(gè)矩陣方程、五個(gè)未知向量，也可得解。
三、單獨博弈與二維博弈的均衡結果比較
上面研究了不完全信息條件的雙寡頭價(jià)格策略二維靜態(tài)博弈模型及其均衡，下面討論其特殊情形。當甲乙兩種產(chǎn)品在市場(chǎng)上不存在任何替代性(即)時(shí)，即兩個(gè)企業(yè)分別通過(guò)對甲產(chǎn)品進(jìn)行完全信息價(jià)格策略靜態(tài)博弈，對乙產(chǎn)品進(jìn)行不完全信息價(jià)格策略靜態(tài)博弈時(shí)有關(guān)的均衡策略問(wèn)題。
當兩企業(yè)只對甲產(chǎn)品進(jìn)行完全信息價(jià)格策略靜態(tài)博弈時(shí)，企業(yè)1甲產(chǎn)品的盈利函數為：
U11=Q11(p11-C11)=(a-p11+)(p11-C11)
企業(yè)2甲產(chǎn)品的盈利函數為：
U21=Q21(p21-C21)=(a-p21+)(p21-C21)
盈利函數光滑可導，利用最優(yōu)化一階條件和求出唯一均衡解
(6)
(7)
當兩企業(yè)只對乙產(chǎn)品進(jìn)行不完全信息價(jià)格策略靜態(tài)博弈時(shí)，企業(yè)1乙產(chǎn)品的期望盈利為：
當乙產(chǎn)品采取低成本時(shí)，企業(yè)2乙產(chǎn)品的盈利函數為：
當乙產(chǎn)品采取高成本時(shí)，企業(yè)2的盈利函數為：
盈利函數光滑可導，通過(guò)最優(yōu)化條件求出均衡解為：
(8)
(9)
(10)
當甲乙產(chǎn)品不存在替代性時(shí)， ，代入式(3)、(4)、(5)，計算得到價(jià)格策略靜態(tài)博弈(企業(yè)1和企業(yè)2對甲產(chǎn)品進(jìn)行完全信息博弈、對乙產(chǎn)品進(jìn)行不完全信息博弈)的貝葉斯二維納什均衡解。通過(guò)比對貝葉斯二維納什均衡結果式的分量與單獨博弈的一維納什均衡結果式(6)(7)(8)(9)(10)，二者完全相同。因此，對甲產(chǎn)品進(jìn)行完全信息價(jià)格博弈、對乙產(chǎn)品進(jìn)行不完全信息價(jià)格博弈的雙寡頭靜態(tài)博弈模型的一維納什均衡結果的簡(jiǎn)單組合，就構成了無(wú)替代性的兩種產(chǎn)品不完全信息價(jià)格策略二維靜態(tài)博弈模型的貝葉斯納什均衡解。
四、算例分析
對具有一定相互替代性的兩種產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，企業(yè)是二維博弈均衡策略的總利潤更高，還是對每種產(chǎn)品進(jìn)行單獨博弈均衡策略的總利潤更高，可以通過(guò)一個(gè)算例來(lái)進(jìn)行比較。不失一般性地，假定a=10，b=12，=0.2，=0.3，=0.18，=0.2;企業(yè)1甲產(chǎn)品成本為C11=0.5，乙產(chǎn)品單位成本為C12=0.6;企業(yè)2甲產(chǎn)品成本為C21=0.7，乙產(chǎn)品單位成本為=0.4，=0.55，=0.5。
將參數值代入式(3)(4)(5)得貝葉斯納什均衡下的最優(yōu)策略向量;相應的各自總利潤為。將參數值代入式(6)(7)(8)(9)(10)得單獨博弈時(shí)納什均衡下的最優(yōu)策略為;相應的各自總利潤為。
算例分析的結果顯示，對具有一定替代性的兩種產(chǎn)品進(jìn)行價(jià)格博弈時(shí)，企業(yè)對兩種產(chǎn)品進(jìn)行多維博弈均衡下的總利潤，大于對每種產(chǎn)品進(jìn)行單獨博弈均衡下的總利潤，多維博弈均衡策略更優(yōu)。
五、結論
本文研究了在信息不對稱(chēng)的情形下，兩個(gè)企業(yè)對具有一定替代性的兩種產(chǎn)品均采取價(jià)格策略，所建立的不完全信息靜態(tài)二維博弈模型，并得到其貝葉斯納什均衡解。分析證明了當兩種產(chǎn)品不相關(guān)時(shí)，分別采取價(jià)格策略的一維靜態(tài)博弈模型是本文二維靜態(tài)博弈模型的特殊情形，即，在不存在替代性的情況下，不完全信息條件下的雙寡頭價(jià)格策略二維靜態(tài)博弈會(huì )退化為兩種產(chǎn)品雙寡頭采取價(jià)格策略一維靜態(tài)博弈的組合。通過(guò)算例分析得出，對具有一定相互替代性的兩種產(chǎn)品進(jìn)行價(jià)格博弈時(shí)，對兩種產(chǎn)品聯(lián)合二維博弈的均衡策略?xún)?yōu)于對每一種產(chǎn)品進(jìn)行單獨博弈的均衡策略，所以此時(shí)將兩種產(chǎn)品的相關(guān)決策聯(lián)合起來(lái)考慮才會(huì )得到較高利潤。
參考文獻：
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