歐式期權的預期估價(jià)方法及其投資決策

歐式期權的主觀(guān)預期估價(jià)方法及投資決策

摘要 考慮投資者對股票價(jià)格的推斷或權衡等主觀(guān)因素，給出歐式期權的主觀(guān)預期估價(jià)及投資決策方法。方法的建立無(wú)需特別設定假設條件，且計算公式十分簡(jiǎn)單。
關(guān)鍵詞 期權 定價(jià) 投資 決策

1 引言
 標準的Black-Scholes 歐式期權定價(jià)模型是建立在一系列的假設條件基礎上的，如，市場(chǎng)無(wú)摩擦性假設，標的股票價(jià)格變化服從對數正態(tài)分布等。假設在時(shí)刻股票價(jià)格為，，為期權執行日，時(shí)指定的期權執行價(jià)格為，則Black-Scholes歐式看漲期權定價(jià)公式為[1]
          （1）
 其中，，為股票預期收益的方差，為利率，為標準正態(tài)分布的概率分布函數，為期望值算子。
 為克服標準Black-Scholes模型的不足，相繼出現了一些修正的模型和方法，如，Merton的隨機利率模型[2]，Cox-Ross-Rubinstein的二叉樹(shù)方法及其擴展[3]，有限差分方法，Monte-Carlo模擬方法等。
 上述方法中沒(méi)有直接反映投資者對股票價(jià)格的推斷與權衡等主觀(guān)因素。為此，本文嘗試建立反映投資者對股票價(jià)格推斷與權衡等主觀(guān)因素的歐式期權估價(jià)方法，該方法建立在較少的假設之上，且易于計算。

方法的建立

2．1 基本假設
   （1）無(wú)稅收、無(wú)交易成本；（2）無(wú)風(fēng)險利率為；（3）在期間內股票不分紅。
 在第3節指出，條件（1）、（3）可以經(jīng)適當處理后去掉。條件（2）可以采用Ｍerton的隨機利率模型方法加以改進(jìn)。
 
2．2 方法的建立
 在時(shí)，投資者根據股票價(jià)格的歷史情況及經(jīng)過(guò)對影響股票價(jià)格的未來(lái)因素分析后，對時(shí)股票價(jià)格進(jìn)行主觀(guān)估計和預期。估價(jià)方法為：投資者認為在時(shí)股票價(jià)格在區間[內的可信度為，；為投資者給定的值。因此，的可信度也為，。
 記，則，。
 由于在T時(shí)，只有時(shí)，投資者才會(huì )執行看漲期權；為此，令
 ，                （2）
 所以，對的預期估計為
                    （3）
    （4）
因此，由（1）知，投資者對該期權價(jià)值的估計為
  （5）
顯然，是一個(gè)區間數，且其計算只涉及簡(jiǎn)單的加法和乘法，是相當容易的。

3 進(jìn)一步分析

3．1考察稅收、交易成本和股票紅利的情況
 只需將稅收、交易成本和股票紅利的相應值折算至T時(shí)刻，設其和值為，令，在公式（2）~（5）中用取代即可。
 
3. 2 考察隨機利率的情況
    類(lèi)似于Merton的隨機利率期權定價(jià)方法的思想。令表示T時(shí)價(jià)值為1的零息票債券在時(shí)的價(jià)格，則將（5）式改寫(xiě)為
          （6）
當然，若同時(shí)考察3.1中的情況，還需將、作相應的調整。

3. 3 考察情況
    這種情況在投資者的推斷中一般不會(huì )出現。這里也僅考察和的關(guān)系。假設時(shí)，任意�。ǎ�，，其中為對數正態(tài)分布的密度函數在上的取值，則由概率論知，  ，其中為（1）式表示的期望值。即當投資者對股票價(jià)格隨機變化的概率密度估計為連續函數，且該函數與Black-Scholes模型中的對數正態(tài)分布密度函數一致時(shí)，投資者對該期權的估計值與Black-Scholes模型定價(jià)結果一致。
 
投資決策及示例

4. 1  投資決策
    由（5）式知，投資者給出期權價(jià)值的估計值為一區間數，則投資者如何利用這個(gè)區間數進(jìn)行投資決策呢？這與投資者的風(fēng)險厭惡程度有關(guān)。下面給出中大于的元素組成的子區間的可信度，不同的投資者可以根據這個(gè)可信度進(jìn)行決策。
    記或，或，則將中大于的子區間與的比值作為中大于的元素組成的子區間的可信度
                  （7）
 顯然，p值越大對投資者越有利，，風(fēng)險厭惡程度不同的投資者根據p的大小進(jìn)行投資決策。
 
4. 2  示例
 一歐式看漲期權，還有6個(gè)月（半年）的有效期，股票現價(jià)為42元，期權的執行價(jià)格為40元，無(wú)風(fēng)險年利率為10%，股票價(jià)格的年波動(dòng)率為20%，即：，，，，，則，，，；假設一投資者對股票在年后的估價(jià)為的可信度為1/6，的可信度為1/6，的可信度為2/3，則的可信度為1/6，的可信度為1/6，的可信度為2/3，由和的定義知，，，，，所以，=[2.219,5.231]，0.156，投資者可根據值的大小進(jìn)行決策。
 
5  結束語(yǔ)
 本文給出了一種形式簡(jiǎn)單的歐式看漲期權的主觀(guān)預期估價(jià)方法及投資決策，方法反映了投資者對標的股票價(jià)格變化的主觀(guān)推斷或權衡。該方法可以稍加改造用于歐式看跌期權的估價(jià)中。即只需將（2）式和（5）式相應地修改如下：
 ，                （）
          （）
為歐式看跌期權的相應估價(jià)。

參考文獻
1  宋逢明. 金融工程原理—無(wú)套利均衡分析. 清華大學(xué)出版社,1999年版
2  John C. Hull著(zhù), 張陶偉譯. 期權、期貨和衍生證券. 華夏出版社，1997年版
3  Marek Musiela, Marek Rutkowski. Martingale methods in financial modelling. Springer-verlag
   Berlin Heidelberg, 1997
4  James O. Berger 著(zhù)，賈乃光譯. 統計決策論及貝葉斯分析. 中國統計出版社，1998年版

Subjective pricing method for European options
and corresponding investment decision

Abstract In this paper, we consider the subjective factors of decision-maker’s inference to the variation of underlying stock price, and give a subjective pricing method for European options and the corresponding investment strategy. The method is established under almost no assumption conditions, and the calculation formulae are very simple.
Keywords  Options  Pricing  Investment  Decision-making

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