2015年碩士學(xué)位研究生招生考試業(yè)務(wù)課考試大綱

　　考試科目： 數學(xué)分析 代碼： 601

　　考試基本要求

　　考察考生掌握《數學(xué)分析》的基本內容和方法的熟練程度。

　　考試基本內容

　　第一章 實(shí)數集與函數

　　1實(shí)數：實(shí)數及性質(zhì);絕對值與不等式.

　　2數集

 

　　確界原理：區間與鄰域;有界集與無(wú)界集;上確界與下確界，確界原理.

　　3函數概念：函數定義;函數的幾種常用表示;函數四則運算;復合函數;反函數;初等函數.

　　4具有某些特征的函數：有界函數，無(wú)界函數;單調函數，單調遞增(減)函數，嚴格單調函數，單調函數與反函數;奇函數與偶函數;周期函數，基本周期.

　　第二章　數列極限

　　1極限概念：數列，通項;數列極限定義，數列的收斂與發(fā)散性;無(wú)窮小數列.

　　2收斂數列的性質(zhì)：唯一性;有界性;保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算;歸結原則.

　　3數列極限存在的條件：?jiǎn)握{有界定理;柯西收斂準則.

　　第三章　函數極限

　　1函數極限的概念：函數極限的幾種形式;左、右極限.

　　2函數極限的性質(zhì)：唯一性;局部有界性;局部保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算.

　　3函數極限存在的條件：歸結原則(Heine定理);柯西準則.

　　4兩個(gè)重要極限：

　　5無(wú)窮小量與無(wú)窮大量：無(wú)窮小量與階的比較、高階無(wú)窮小量、同階無(wú)窮小量、等價(jià)無(wú)窮小量;無(wú)窮大量;曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)(斜漸近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)與垂直漸近線(xiàn)).

　　第四章 函數連續

　　1函數連續性概念：函數的點(diǎn)連續性、左(右)連續性概念與極限之間的關(guān)系;間斷點(diǎn)及其分類(lèi)[第一類(lèi)間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn))，第二類(lèi)間斷點(diǎn)];區間上的連續函數.

　　2連續函數的性質(zhì)：連續函數的的局部性質(zhì)(局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數的連續性);有界閉區間上連續函數的基本性質(zhì)(有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致連續性定理);反函數的連續性.

　　3初等函數的連續性：基本初等函數的連續性;初等函數的連續性.

　　第五章 導數與微分

　　1導數概念：導數定義、單側導數;導函數;導數的幾何意義.

　　2求導法則：導數的四則運算;反函數導數;復合函數的導數(鏈式法則、對數求導法);基本導數法則與公式.

　　3參變量函數的導數.

　　4高階導數：萊布尼茨公式.

　　5微分：微分的概念;微分運算法則;高階微分;微分在近似計算中的應用.

　　第六章 微分中值定理及其應用

　　1拉格朗日中值定理和函數的單調性：羅爾定理與拉格朗日定理;單調函數.

　　2柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理;不定式的極限.

　　3泰勒公式：帶有佩亞諾余項的泰勒公式;帶有拉格朗日余項的泰勒公式;在近似計算上的應用.

　　4函數的極值與最值：極值判別;最大值與最小值.

　　5函數的凸性與拐點(diǎn)：凸函數與凹函數;嚴格凸函數與嚴格凹函數;拐點(diǎn).

　　6函數作圖：函數作圖的一般程序.

　　7方程的近似解：牛頓切線(xiàn)法.

　　第七章　實(shí)數完備性

　　1實(shí)數完備性六個(gè)等價(jià)定理：閉區間套與閉區間套定理;聚點(diǎn)與聚點(diǎn)定理;有限覆蓋與有限覆蓋定理;確界定理;單調有界定理;柯西收斂準則.

　　2閉區間上連續函數整體性質(zhì)的證明：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致連續性定理.

　　3上極限與下極限：最小聚點(diǎn)與下極限;最大聚點(diǎn)與上極限.

　　第八章 不定積分

　　1不定積分概念與基本積分公式：原函數與不定積分;基本積分表;不定積分的線(xiàn)性運算法則.

　　2換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法;分部積分法.

　　3有理函數和可化為有理函數的不定積分：有理函數的積分;部分分式;幾類(lèi)可化為有理函數的積分.

　　第九章　定積分

　　1定積分的概念：?jiǎn)?wèn)題的提出;定積分的定義.

　　2牛頓—萊布尼茲公式.

　　3可積條件：可積的必要條件;達布上(下)和;上積分與下積分;可積的充要條件;可積函數類(lèi).

　　4定積分的性質(zhì)：定積分的基本性質(zhì);積分(第一)中值定理.

　　5微積分學(xué)基本定理

 

　　定積分計算(續)：變限積分與原函數的存在性;積分(第二)中值定理;定積分的換元積分法和分部積分法.

　　第十章　定積分的應用：微元法;平面圖形面積計算;已知平行截面面積求體積;平面曲線(xiàn)弧長(cháng)與曲率;旋轉曲面的面積;定積分在物理中的某些應用(液體靜壓力、引力、功與平均功率等).

　　第十一章　反常積分

　　1反常積分概念：無(wú)窮限反常積分與收斂的定義;瑕點(diǎn);無(wú)界函數反常積分(瑕積分)與收斂的定義.

　　2無(wú)窮限反常積分的性質(zhì)與收斂判別：無(wú)窮限反常積分的性質(zhì);絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

　　3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別：瑕積分的性質(zhì);絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

　　第十二章　數項級數

　　1級數的斂散性：數項級數斂散性概念;級數收斂的柯西收斂準則與收斂級數的若干性質(zhì).

　　2正項級數：正項級數收斂性的一般判別原則;比式判別法與根式判別法;積分判別法與拉貝判別法.

　　3一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法;絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質(zhì);阿貝爾判別法與狄利克雷判別法.

　　第十三章　函數列與函數項級數

　　1一致收斂性：函數列及其一致收斂性概念與判別法;函數項級數及其一致收斂概念與判別法.

　　2一致收斂的函數列與函數項級數的性質(zhì)：連續性;可微(導)性;可積性.

　　第十四章　冪級數

　　1冪級數：冪級數的收斂半徑、收斂區間與收斂域;冪級數的性質(zhì);冪級數和函數的連續性、逐項可導(微)、逐項可積問(wèn)題.