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2016年福建省南平市中考數學(xué)試卷
2016年福建省南平市中考數學(xué)試卷
一、選擇題(共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分)1.(4分)(2016•南平)﹣3的倒數是( )
2.(4分)(2016•南平)如圖所示的幾何體的左視圖是( )
3.(4分)(2016•南平)如圖，直線(xiàn)a∥b，直線(xiàn)c與a、b分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若∠1=46°，則∠2=( ) A.44° B.46° C.134° D.54°
4.(4分)(2016•南平)下列事件是必然事件的是( )
A.某種彩票中獎率是1%，則買(mǎi)這種彩票100張一定會(huì )中獎
B.一組數據1，2，4，5的平均數是4
C.三角形的內角和等于180°
D.若a是實(shí)數，則|a|>0
5.(4分)(2016•南平)2016年歐洲杯足球賽中，某國家足球隊首發(fā)上場(chǎng)的11名隊員身高如表：
| 身高（cm） | 176 | 178 | 180 | 182 | 186 | 188 | 192 |
| 人數 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
A.180，182 B.180，180 C.182，182 D.3，2
6.(4分)(2016•南平)若正六邊形的半徑長(cháng)為4，則它的邊長(cháng)等于( )
A.4 B.2 C.2 D.4 7.(4分)(2016•南平)下列運算正確的是( )
A.3x+2y=5xy B.(m2)3=m5 C.(a+1)(a﹣1)=a2﹣1 D. =2
8.(4分)(2016•南平)下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數根的是( )
A.x2﹣2x﹣3=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2=1
9.(4分)(2016•南平)閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應產(chǎn)業(yè)結構調整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20%，設把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為( )
A.60﹣x=20%(120+x) B.60+x=20%×120
C.180﹣x=20%(60+x) D.60﹣x=20%×120
10.(4分)(2016•南平)如圖，已知直線(xiàn)l：y=2x，分別過(guò)x軸上的點(diǎn)A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x軸的直線(xiàn)交l于點(diǎn)B1、B2、…、Bn，將△OA1B1，四邊形A1A2B2B1、…、四邊形An﹣1AnBnBn﹣1的面積依次記為S1、S2、…、Sn，則Sn=( )
A.n2 B.2n+1 C.2n D.2n﹣1
二、填空題(共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分)
11.(4分)(2016•南平)甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績(jì)的平均數相同，方差分別是s =0.2，s =0.5，則設兩人中成績(jì)更穩定的是______(填“甲”或“乙”)
12.(4分)(2016•南平)計算：(2 )2=______.
13.(4分)(2016•南平)分解因式：mn2+2mn+m=______.
14.(4分)(2016•南平)寫(xiě)出一個(gè)y關(guān)于x的二次函數的解析式，且它的圖象的頂點(diǎn)在y軸上：______.
15.(4分)(2016•南平)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF= AB，點(diǎn)O為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)與正方形的一組對邊分別交于P、Q兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足PQ=EF，則這樣的直線(xiàn)PQ(不同于EF)有______條.
16.(4分)(2016•南平)如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運動(dòng)(不與A、B重合)，將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結論：
�、貱D=CP=CQ;
�、�∠PCQ的大小不變;
�、邸鱌CQ面積的最小值為 ;
�、墚旤c(diǎn)D在A(yíng)B的中點(diǎn)時(shí)，△PDQ是等邊三角形，
其中所有正確結論的序號是______. 三、解答題(共9小題，滿(mǎn)分86分)
17.(8分)(2016•南平)計算：(2π)0+|﹣6|﹣ .
18.(8分)(2016•南平)解分式方程： = .
19.(8分)(2016•南平)解不等式組： .
20.(8分)(2016•南平)國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總統方案》，一年過(guò)去了，為了了解足球知識的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專(zhuān)題調查活動(dòng)，采取隨機抽樣的方法進(jìn)行問(wèn)卷調查，調查結果劃分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個(gè)等級，并將調查結果繪制成兩幅不完整的統計圖(如圖)，請根據圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)被調查的學(xué)生共有______人.
(2)在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數為_(kāi)_____度;
(3)從該校隨機抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率的是多少?
22.(10分)(2016•南平)如圖，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
(1)求證：OC=AD;
(2)若∠P=50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長(cháng)(精確到0.1) 23.(10分)(2016•南平)已知正比例函數y1=ax(a≠0)與反比例函數y2= (k≠0)的圖象在第一象限內交于點(diǎn)A(2，1)
(1)求a，k的值;
(2)在直角坐標系中畫(huà)出這兩個(gè)函數的大致圖象，并根據圖象直接回答y1>y2時(shí)x的取值范圍. 24.(12分)(2016•南平)已知，拋物線(xiàn)y=ax2(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，4)，
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)如圖1，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標：______.
(3)如圖2，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，﹣1)，且平行與x軸，若點(diǎn)D為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)(原點(diǎn)O除外)，直線(xiàn)DO交l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥l，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：直線(xiàn)DF一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)G(0，1).
25.(14分)(2016•南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線(xiàn)DE與BC邊所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線(xiàn)段DE上一定點(diǎn)(其中EP
(1)如圖1，若點(diǎn)F在CD邊上(不與D重合)，將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線(xiàn)DA于點(diǎn)H、G.
�、偾笞C：PG=PF; ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數量關(guān)系，并證明你的結論.
(2)拓展：如圖2，若點(diǎn)F在CD的延長(cháng)線(xiàn)上(不與D重合)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線(xiàn)DA于點(diǎn)G，你認為(1)中DE、DG、DP之間的數量關(guān)系是否仍然成立?若成立，給出證明;若不成立，請寫(xiě)出它們所滿(mǎn)足的數量關(guān)系式，并說(shuō)明理由.
2016年福建省南平市中考數學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分)
1.(4分)(2016•南平)﹣3的倒數是( )
A.3 B.﹣3 C. D. 【考點(diǎn)】倒數.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【專(zhuān)題】常規題型.
【分析】直接根據倒數的定義進(jìn)行解答即可.
【解答】解：∵(﹣3)×(﹣ )=1，
∴﹣3的倒數是﹣ .
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查的是倒數的定義，即乘積是1的兩數互為倒數.
2.(4分)(2016•南平)如圖所示的幾何體的左視圖是( )
A. B. C. D. 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形.
【解答】解：從左面看可得到一個(gè)三角形.
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中.
3.(4分)(2016•南平)如圖，直線(xiàn)a∥b，直線(xiàn)c與a、b分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若∠1=46°，則∠2=( )
A.44° B.46° C.134° D.54°
【考點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】先根據平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠3的度數，再由對頂角的定義即可得出結論.
【解答】解：如圖所示：
∵直線(xiàn)a∥b，∠1=46°，
∴∠1=∠3=46°.
∵∠2與∠3是對頂角，
∴∠2=∠3=46°.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)，熟練掌握兩直線(xiàn)平行，同位角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
4.(4分)(2016•南平)下列事件是必然事件的是( )
A.某種彩票中獎率是1%，則買(mǎi)這種彩票100張一定會(huì )中獎
B.一組數據1，2，4，5的平均數是4
C.三角形的內角和等于180°
D.若a是實(shí)數，則|a|>0
【考點(diǎn)】隨機事件.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件.據此判斷即可解答.
【解答】解：A、某種彩票中獎率是1%，則買(mǎi)這種彩票100張一定會(huì )中獎為隨機事件，不符合題意;
B、一組數據1，2，4，5的平均數是4是不可能事件，不符合題意;
C、三角形的內角和等于180°為必然事件，符合題意;
D、若a是實(shí)數，則|a|>0為事件事件，不符合題意.
故選C.
【點(diǎn)評】本題主要考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，理解概念是解決基礎題的主要方法.
用到的知識點(diǎn)為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件;不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
5.(4分)(2016•南平)2016年歐洲杯足球賽中，某國家足球隊首發(fā)上場(chǎng)的11名隊員身高如表：
| 身高（cm） | 176 | 178 | 180 | 182 | 186 | 188 | 192 |
| 人數 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
A.180，182 B.180，180 C.182，182 D.3，2
【考點(diǎn)】眾數;中位數.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】依據眾數和中位數的定義求解即可.
【解答】解：∵180出現的次數最多，
∴眾數是180.
將這組數據按照由大到小的順序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、186、188、192.
所以眾數為180.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題主要考查的是眾數和中位數的定義，掌握眾數和中位數的定義是解題的關(guān)鍵.
6.(4分)(2016•南平)若正六邊形的半徑長(cháng)為4，則它的邊長(cháng)等于( )
A.4 B.2 C.2 D.4 【考點(diǎn)】正多邊形和圓.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】根據正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長(cháng)將組成一個(gè)等邊三角形，即可求解.
【解答】解：正六邊形的中心角為360°÷6=60°，那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長(cháng)將組成一個(gè)等邊三角形，
故正六邊形的半徑等于4，則正六邊形的邊長(cháng)是4.
故選：A.
【點(diǎn)評】此題主要考查了正多邊形和圓，利用正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長(cháng)將組成一個(gè)等邊三角形得出是解題關(guān)鍵.
7.(4分)(2016•南平)下列運算正確的是( )
A.3x+2y=5xy B.(m2)3=m5 C.(a+1)(a﹣1)=a2﹣1 D. =2
【考點(diǎn)】平方差公式;合并同類(lèi)項;冪的乘方與積的乘方;約分.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】根據同類(lèi)項、冪的乘方、平方差公式以及約分的知識進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：A、3x+2y≠5xy，此選項錯誤;
B、(m2)3=m6，此選項錯誤;
C、(a+1)(a﹣1)=a2﹣1，此選項正確;
D、 ≠2，此選項錯誤;
故選C.
【點(diǎn)評】本題主要考查了平方差公式、合并同類(lèi)項、冪的乘方以及約分等知識，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則.
8.(4分)(2016•南平)下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數根的是( )
A.x2﹣2x﹣3=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2=1
【考點(diǎn)】根的判別式.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】分別找出一元二次方程中的二次項系數a，一次項系數b、常數項c，再利用一元二次方程根的判別式(△=b2﹣4ac)判斷方程的根的情況.
【解答】解：A、a=1，b=﹣2，c=﹣3，b2﹣4ac=4+12=16>0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數根，故此選項錯誤;
B、a=1，b=﹣1，c=1，b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0，沒(méi)有實(shí)數根，故此選項正確;
C、a=1，b=2，c=1，b2﹣4ac=4﹣4=0，有兩個(gè)相等的實(shí)數根，故此選項錯誤;
D、a=1，b=0，c=﹣1，b2﹣4ac=4>0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數根，故此選項錯誤;
故選：B.
【點(diǎn)評】此題主要考查了根的判別式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：
�、佼敗�>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數根;
�、诋敗�=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數根;
�、郛敗�<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數根.
9.(4分)(2016•南平)閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應產(chǎn)業(yè)結構調整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20%，設把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為( )
A.60﹣x=20%(120+x) B.60+x=20%×120
C.180﹣x=20%(60+x) D.60﹣x=20%×120
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】設把x公頃旱地改為林地，根據旱地面積占林地面積的20%列出方程即可.
【解答】解：設把x公頃旱地改為林地，根據題意可得方程：60﹣x=20%(120+x).
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應用，關(guān)鍵是設出未知數以以改造后的旱地與林地的關(guān)系為等量關(guān)系列出方程.
10.(4分)(2016•南平)如圖，已知直線(xiàn)l：y=2x，分別過(guò)x軸上的點(diǎn)A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x軸的直線(xiàn)交l于點(diǎn)B1、B2、…、Bn，將△OA1B1，四邊形A1A2B2B1、…、四邊形An﹣1AnBnBn﹣1的面積依次記為S1、S2、…、Sn，則Sn=( )
A.n2 B.2n+1 C.2n D.2n﹣1
【考點(diǎn)】一次函數圖象上點(diǎn)的坐標特征.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【專(zhuān)題】規律型.
【分析】根據直線(xiàn)l的解析式以及三角形的面積可以找出部分Sn的值，根據數的變化找出變化規律“Sn=2n﹣1”，此題得解.
【解答】解：觀(guān)察，得出規律：S1= OA1•A1B1=1，S2= OA2•A2B2﹣ OA1•A1B1=3，S3= OA3•A3B3﹣ OA2•A2B2=5，S4= OA4•A4B4﹣ OA3•A3B3=7，…，
∴Sn=2n﹣1.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數圖象上點(diǎn)的坐標特征以及規律型中的數的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是找出變化規律“Sn=2n﹣1”.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據一次函數圖象上點(diǎn)的坐標特征以及三角形的面積找出部分Sn的值，再根據面積的變化找出變化規律是關(guān)鍵.
二、填空題(共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分)
11.(4分)(2016•南平)甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績(jì)的平均數相同，方差分別是s =0.2，s =0.5，則設兩人中成績(jì)更穩定的是 甲 (填“甲”或“乙”)
【考點(diǎn)】方差;算術(shù)平均數.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】由方差反映了一組數據的波動(dòng)情況，方差越小，則數據的波動(dòng)越小，成績(jì)越穩定可以作出判斷.
【解答】解：∵S甲2=0.2，S乙2=0.5，
則S甲2
可見(jiàn)較穩定的是甲.
故答案為：甲.
【點(diǎn)評】本題考查方差的意義.方差是用來(lái)衡量一組數據波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動(dòng)越大，數據越不穩定;反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動(dòng)越小，數據越穩定.
12.(4分)(2016•南平)計算：(2 )2= 28 .
【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】直接利用二次根式乘法運算法則求出答案.
【解答】解：原式=22×( )2=28.
故答案為：28.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵.
13.(4分)(2016•南平)分解因式：mn2+2mn+m= m(n+1)2 .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運用.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】首先提取公因式m，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解：mn2+2mn+m
=m(n2+2n+1)
=m(n+1)2.
故答案為：m(n+1)2.
【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關(guān)鍵.
14.(4分)(2016•南平)寫(xiě)出一個(gè)y關(guān)于x的二次函數的解析式，且它的圖象的頂點(diǎn)在y軸上： y=x2(答案不唯一) .
【考點(diǎn)】二次函數的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【專(zhuān)題】開(kāi)放型.
【分析】根據二次函數的圖象的頂點(diǎn)在y軸上，則b=0，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：由題意可得：y=x2(答案不唯一).
故答案為：y=x2(答案不唯一).
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數的性質(zhì)，正確得出b的值是解題關(guān)鍵.
15.(4分)(2016•南平)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF= AB，點(diǎn)O為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)與正方形的一組對邊分別交于P、Q兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足PQ=EF，則這樣的直線(xiàn)PQ(不同于EF)有 3 條.
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】能畫(huà)3條：①與EF互相垂直且垂足為O，構建直角三角形，可以證明兩直角三角形全等得EF=PQ;
�、谠贏(yíng)D上截取AP= AD，連接PO延長(cháng)得到PQ;
�、弁碓贏(yíng)B了截取BQ= AB，連接QO并延長(cháng)得到PQ.
【解答】解：這樣的直線(xiàn)PQ(不同于EF)有3條，
�、偃鐖D1，過(guò)O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，
則PQ=EF;
�、谌鐖D2，以點(diǎn)A為圓心，以AE為半徑畫(huà)弧，交AD于P，連接PO并延長(cháng)交BC于Q，則PQ=EF;
�、廴鐖D3，以B為圓心，以AE為半徑畫(huà)弧，交AB于Q，連接QO并延長(cháng)交DC于點(diǎn)P，則PQ=EF.
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定，本題雖然是做一條線(xiàn)段與EF相等，實(shí)際上是做好兩件事：①畫(huà)線(xiàn)段PQ，②能證明這兩條線(xiàn)段相等，這比證明更為復雜，因此首先要構建直角三角形全等，找到與EF相等的邊長(cháng)的位置，本題的線(xiàn)段不止一條，容易丟解，要思考周全.
16.(4分)(2016•南平)如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運動(dòng)(不與A、B重合)，將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結論：
�、貱D=CP=CQ;
�、�∠PCQ的大小不變;
�、邸鱌CQ面積的最小值為 ;
�、墚旤c(diǎn)D在A(yíng)B的中點(diǎn)時(shí)，△PDQ是等邊三角形，
其中所有正確結論的序號是�、佗冖堋�.
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】①由折疊直接得到結論;
�、谟烧郫B的性質(zhì)求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意義求出∠PCQ=120°;
�、巯茸鞒觥鱌CQ的邊PC上的高，用三角函數求出QE= CQ，得到S△PCQ= CD2，判斷出△PCQ面積最小時(shí)，點(diǎn)D的位置，求出最小的CD=CF，即可;
�、芟扰袛喑觥鰽PD是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ=60°，即可.
【解答】解：①∵將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴CP=CD=CQ，
∴①正確;
�、凇邔ⅰ鰿AD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°，
∴∠PCQ的大小不變;
∴②正確;
�、廴鐖D，
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PC交PC延長(cháng)線(xiàn)于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE= ，
∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°= CQ，
∵CP=CD=CQ
∴S△PCQ= CP×QE= CP× CQ= CD2，
∴CD最短時(shí)，S△PCQ最小，
即：CD⊥AB時(shí)，CD最短，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，此時(shí)CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF= BC=2，
即：CD最短為2，
∴S△PCQ最小= CD2= ×22= ，
∴③錯誤，
�、堋邔ⅰ鰿AD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，
同理：△BDQ是等邊三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵當點(diǎn)D在A(yíng)B的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等邊三角形.
∴④正確，
故答案為：①②④.
【點(diǎn)評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，銳角三角函數，極值的確定，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠PCQ=120°是個(gè)定值;(其實(shí)這個(gè)題目中還有∠PDQ=60°也是定值)，解本題的難點(diǎn)是確定出△PCQ面積最小時(shí)，點(diǎn)D的位置.
三、解答題(共9小題，滿(mǎn)分86分)
17.(8分)(2016•南平)計算：(2π)0+|﹣6|﹣ .
【考點(diǎn)】實(shí)數的運算;零指數冪.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】首先計算零次冪、絕對值、開(kāi)立方，然后計算有理數的加減即可.
【解答】解：原式=1+6﹣2=5.
【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數的運算，關(guān)鍵是掌握零指數冪、開(kāi)方、絕對值等考點(diǎn)的運算.
18.(8分)(2016•南平)解分式方程： = .
【考點(diǎn)】解分式方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】先去分母，再解一元一次方程即可.
【解答】解：去分母得，3(1+x)=4x，
去括號得，3+3x=4x，
移項、合并得，x=3，
檢驗：把x=3代入x(x+1)=3×4=12≠0，
∴x=3是原方程的解.
【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，解分式方程一定要驗根.
19.(8分)(2016•南平)解不等式組： .
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.
【解答】解：由①得，x<3，由②得，x>1，
故不等式組的解集為：1
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
20.(8分)(2016•南平)國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總統方案》，一年過(guò)去了，為了了解足球知識的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專(zhuān)題調查活動(dòng)，采取隨機抽樣的方法進(jìn)行問(wèn)卷調查，調查結果劃分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個(gè)等級，并將調查結果繪制成兩幅不完整的統計圖(如圖)，請根據圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)被調查的學(xué)生共有 300 人.
(2)在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數為 108 度;
(3)從該校隨機抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率的是多少?
【考點(diǎn)】概率公式;扇形統計圖;條形統計圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【專(zhuān)題】統計與概率.
【分析】(1)根據統計圖中的數據可以求得本次調查的人數;
(2)根據條形統計圖中的數據可以求得在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數;
(3)根據統計圖中的數據可以求得從該校隨機抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率.
【解答】解：(1)由題意可得，
被調查的學(xué)生有：60÷20%=300(人)，
故答案為：300;
(2)在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數為：360°× =108°，
故答案為：108;
(3)由題意可得，
從該校隨機抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率是： =0.4，
即從該校隨機抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率是0.4.
【點(diǎn)評】本題考查概率公式、條形統計圖、扇形統計圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數形結合的思想解答問(wèn)題.
21.(8分)(2016•南平)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一點(diǎn)，BD=8，DE⊥AB，垂足為E，求線(xiàn)段DE的長(cháng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】根據相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
又∠C=90°，
∴∠BED=∠C.
又∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴ = ，
∴DE= = =4
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)得出 = 是解題關(guān)鍵.
22.(10分)(2016•南平)如圖，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
(1)求證：OC=AD;
(2)若∠P=50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長(cháng)(精確到0.1)
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】(1)只要證明四邊形OADC是矩形即可.
(2)在RT△OBC中，根據sin∠BCO= ，求出OC即可解決問(wèn)題.
【解答】(1)證明：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，即∠OAD=90°，
∵OC∥AP，
∴∠COA=180°﹣∠OAD=180°﹣90°=90°，
∵CD∥PA，
∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°，
∴四邊形AOCD是矩形，
∴OC=AD.
(2)解：∵PB切⊙O于等B，
∴∠OBP=90°，
∵OC∥AP，
∴∠BCO=∠P=50°，
在RT△OBC中，sin∠BCO= ，OB=4，
∴OC= ≈5.22，
∴矩形OADC的周長(cháng)為2(OA+OC)=2×(4+5.22)=18.4.
【點(diǎn)評】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型.
23.(10分)(2016•南平)已知正比例函數y1=ax(a≠0)與反比例函數y2= (k≠0)的圖象在第一象限內交于點(diǎn)A(2，1)
(1)求a，k的值;
(2)在直角坐標系中畫(huà)出這兩個(gè)函數的大致圖象，并根據圖象直接回答y1>y2時(shí)x的取值范圍.
【考點(diǎn)】反比例函數與一次函數的交點(diǎn)問(wèn)題.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】(1)將A坐標代入雙曲線(xiàn)解析式中，求出k的值，確定出反比例函數解析式，將A坐標代入一次函數解析式中，求出a的值，確定出一次函數解析式;
(2)畫(huà)出兩函數圖象，由函數圖象，即可得到y1>y2時(shí)x的取值范圍.
【解答】解：(1)將A(2，1)代入正比例函數解析式得：1=2a，即a= ，
故y1= x;
將A(2，1)代入雙曲線(xiàn)解析式得：1= ，即k=2，
故y2= ;
(2)如圖所示：
由圖象可得：當y1>y2時(shí)，﹣22.
【點(diǎn)評】此題考查了反比例函數與一次函數的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，利用了數形結合的思想，數形結合是數學(xué)中重要的思想方法.
24.(12分)(2016•南平)已知，拋物線(xiàn)y=ax2(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，4)，
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)如圖1，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標： B(﹣4，4)或(﹣8，16) .
(3)如圖2，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，﹣1)，且平行與x軸，若點(diǎn)D為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)(原點(diǎn)O除外)，直線(xiàn)DO交l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥l，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：直線(xiàn)DF一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)G(0，1).
【考點(diǎn)】二次函數綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】(1)利用待定系數法求出拋物線(xiàn)解析式，
(2)分兩種情況，先確定出直線(xiàn)OB或AB，和拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立確定出點(diǎn)B的解析式;
(3)先設出點(diǎn)D坐標，確定出點(diǎn)F坐標，進(jìn)而得出直線(xiàn)DF解析式，將點(diǎn)G坐標代入直線(xiàn)DF看是否滿(mǎn)足解析式.
【解答】解：(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，4)，
∴16a=4，
∴a= ，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y= x2，
(2)存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，
理由：如圖1，
∵使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形
∴直角頂點(diǎn)是點(diǎn)O，或點(diǎn)A，
�、佼斨苯琼旤c(diǎn)是點(diǎn)O時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，
∵點(diǎn)A(4，4)，
∴直線(xiàn)OA解析式為y=x，
∴直線(xiàn)OB解析式為y=﹣x，
∵ ，
∴ (舍)或 ，
∴B(﹣4，4)，
�、诋斨苯琼旤c(diǎn)為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA，
由①有，直線(xiàn)OA的解析式為y=x，
∵A(4，4)，
∴直線(xiàn)AB解析式為y=﹣x+8，
∵ ，
(舍)或 ，
∴B(﹣8，16)，
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B(﹣4，4)或(﹣8，16);
故答案為B(﹣4，4)或(﹣8，16);
(3)證明：設點(diǎn)D(m， m2)，
∴直線(xiàn)DO解析式為y= x，
∵l∥x軸，C(0，﹣1)，
令y=﹣1，則x=﹣ ，
∴直線(xiàn)DO與l交于E(﹣ ，﹣1)，
∵EF⊥l，l∥x軸，
∴F橫坐標為﹣ ，
∵點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，
∴F(﹣ ， )
設直線(xiàn)DF解析式為y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直線(xiàn)DF解析式為y= x+1，
∴點(diǎn)G(0，1)滿(mǎn)足直線(xiàn)DF解析式，
∴直線(xiàn)DF一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)G.
【點(diǎn)評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，函數圖象的交點(diǎn)坐標，直角三角形的性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在直線(xiàn)上，解本題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)B的坐標，確定出直線(xiàn)DF的解析式是解本題的難點(diǎn).
25.(14分)(2016•南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線(xiàn)DE與BC邊所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線(xiàn)段DE上一定點(diǎn)(其中EP
(1)如圖1，若點(diǎn)F在CD邊上(不與D重合)，將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線(xiàn)DA于點(diǎn)H、G.
�、偾笞C：PG=PF; ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數量關(guān)系，并證明你的結論.
(2)拓展：如圖2，若點(diǎn)F在CD的延長(cháng)線(xiàn)上(不與D重合)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線(xiàn)DA于點(diǎn)G，你認為(1)中DE、DG、DP之間的數量關(guān)系是否仍然成立?若成立，給出證明;若不成立，請寫(xiě)出它們所滿(mǎn)足的數量關(guān)系式，并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權所有
【分析】(1)①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得證;
�、谟伞鱄PD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD= DP，HG=DF，根據DG+DF=DG+GH=DH即可得;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線(xiàn)DA于點(diǎn)H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD= DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF= DP.
【解答】解：(1)①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵ ，
∴△HPG≌△DPF(ASA)，
∴PG=PF;
�、诮Y論：DG+DF= DP，
由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD= DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF= DP;
(2)不成立，數量關(guān)系式應為：DG﹣DF= DP，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線(xiàn)DA于點(diǎn)H，
∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD= DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵ ∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，
∴DG﹣DF= DP.
【點(diǎn)評】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)的綜合運用，靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)將待求證線(xiàn)段關(guān)系轉移至其他兩線(xiàn)段間關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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