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隨州市中考數學(xué)試題及答案
數學(xué)是研究現實(shí)世界空間形式和數量關(guān)系的一門(mén)科學(xué)。它在科學(xué)發(fā)展和現代生活生產(chǎn)中的應用非常廣泛，是學(xué)習和研究現代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。下面百分網(wǎng)小編為大帶來(lái)2016年隨州市中考的數學(xué)試題，文末附有答案，有需要的同學(xué)可以看一看，更多內容歡迎關(guān)注應屆畢業(yè)生網(wǎng)!
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個(gè)選項中，只有一個(gè)是正確的)
1.﹣ 的相反數是( )
A.﹣ B. C. D.﹣
2.隨著(zhù)我國經(jīng)濟快速發(fā)展，轎車(chē)進(jìn)入百姓家庭，小明同學(xué)在街頭觀(guān)察出下列四種汽車(chē)標志，其中既是中心對稱(chēng)圖形，又是軸對稱(chēng)圖形的是( )
A. B. C. D.
3.下列運算正確的是( )
A.a2a3=a6B.a5÷a2=a3C.(﹣3a)3=﹣9a3D.2x2+3x2=5x4
4.如圖，直線(xiàn)a∥b，直線(xiàn)c分別與a、b相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，AC⊥AB于點(diǎn)A，交直線(xiàn)b于點(diǎn)C.已知∠1=42°，則∠2的度數是( )
A.38° B.42° C.48° D.58°
5.不等式組 的解集表示在數軸上，正確的是( )
A. B. C. D.
6.為了響應學(xué)�！皶�(shū)香校園”建設，陽(yáng)光班的同學(xué)們積極捐書(shū)，其中宏志學(xué)習小組的同學(xué)捐書(shū)冊數分別是：5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，則這組數據的眾數、中位數和方差分別是( )
A.5，5， B.5，5，10 C.6，5.5， D.5，5，
7.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是( )
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：25
8.隨州市尚市“桃花節”觀(guān)賞人數逐年增加，據有關(guān)部門(mén)統計，2014年約為20萬(wàn)人次，2016年約為28.8萬(wàn)人次，設觀(guān)賞人數年均增長(cháng)率為x，則下列方程中正確的是( )
A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20
C.20(1+x)2=28.8 D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8
9.如圖是某工件的三視圖，則此工件的表面積為( )
A.15πcm2B.51πcm2C.66πcm2D.24πcm2
10.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1，0)，對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，下列結論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣ ，y2)、點(diǎn)C( ，y3)在該函數圖象上，則y1
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)
11.2015年“圣地車(chē)都”﹣﹣隨州改裝車(chē)的總產(chǎn)值為14.966億元，其中14.966億元用科學(xué)記數法表示為 元.
12.已知等腰三角形的一邊長(cháng)為9，另一邊長(cháng)為方程x2﹣8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長(cháng)為 .
13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(cháng)BC至點(diǎn)D，使CD= BD，連接DM、DN、MN.若AB=6，則DN= .
14.如圖，直線(xiàn)y=x+4與雙曲線(xiàn)y= (k≠0)相交于A(yíng)(﹣1，a)、B兩點(diǎn)，在y軸上找一點(diǎn)P，當PA+PB的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標為 .
15.如圖(1)，PT與⊙O1相切于點(diǎn)T，PAB與⊙O1相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PAPB.請應用以上結論解決下列問(wèn)題：如圖(2)，PAB、PCD分別與⊙O2相交于A(yíng)、B、C、D四點(diǎn)，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD= .
16.如圖，邊長(cháng)為1的正方形ABCD的對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時(shí)針旋轉∠MPN，旋轉角為θ(0°<θ<90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結論中正確的是 .
(1)EF= OE;(2)S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;(3)BE+BF= OA;(4)在旋轉過(guò)程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE= ;(5)OGBD=AE2+CF2.
三、解答題(本題共9小題，共72分，解答應寫(xiě)出必要演算步驟，文字說(shuō)明或證明過(guò)程)
17.計算：﹣|﹣1|+ cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.
18.先化簡(jiǎn)，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.
19.某校學(xué)生利用雙休時(shí)間去距學(xué)校10km的炎帝故里參觀(guān)，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，過(guò)了20min后，其余學(xué)生乘汽車(chē)沿相同路線(xiàn)出發(fā)，結果他們同時(shí)到達.已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，求騎車(chē)學(xué)生的速度和汽車(chē)的速度.
20.國務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國足球改革的總體方案》，這是中國足球歷史上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球知識，傳播足球文化，我市舉行了“足球進(jìn)校園”知識競賽活動(dòng)，為了解足球知識的普及情況，隨機抽取了部分獲獎情況進(jìn)行整理，得到下列不完整的統計圖表：
獲獎等次 頻數 頻率
一等獎 10 0.05
二等獎 20 0.10
三等獎 30 b
優(yōu)勝獎 a 0.30
鼓勵獎 80 0.40
請根據所給信息，解答下列問(wèn)題：
(1)a= ，b= ，且補全頻數分布直方圖;
(2)若用扇形統計圖來(lái)描述獲獎分布情況，問(wèn)獲得優(yōu)勝獎對應的扇形圓心角的度數是多少?
(3)在這次競賽中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎，若從這四位同學(xué)中隨機選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級競賽，請用樹(shù)狀圖或列表的方法，計算恰好選中甲、乙二人的概率.
21.某班數學(xué)興趣小組利用數學(xué)活動(dòng)課時(shí)間測量位于烈山山頂的炎帝雕像高度，已知烈山坡面與水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著(zhù)雕像方向前進(jìn)1620尺到達E點(diǎn)，在點(diǎn)E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度.
22.如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C為半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，連接BD，且DE=DB.
(1)判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;
(2)若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直徑.
23.九年級(3)班數學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90，且x為整數)的售價(jià)與銷(xiāo)售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，設該商品的售價(jià)為y(單位：元/件)，每天的銷(xiāo)售量為p(單位：件)，每天的銷(xiāo)售利潤為w(單位：元).
時(shí)間x(天) 1 30 60 90
每天銷(xiāo)售量p(件) 198 140 80 20
(1)求出w與x的函數關(guān)系式;
(2)問(wèn)銷(xiāo)售該商品第幾天時(shí)，當天的銷(xiāo)售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中，共有多少天每天的銷(xiāo)售利潤不低于5600元?請直接寫(xiě)出結果.
24.愛(ài)好思考的小茜在探究?jì)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現了“中垂三角形”，即兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是△ABC的中線(xiàn)，AN⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a，AC=b，AB=c.
【特例探究】
(1)如圖1，當tan∠PAB=1，c=4 時(shí)，a= ，b= ;
如圖2，當∠PAB=30°，c=2時(shí)，a= ，b= ;
【歸納證明】
(2)請你觀(guān)察(1)中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結論.
【拓展證明】
(3)如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD=3 ，AB=3，求AF的長(cháng).
25.已知拋物線(xiàn)y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，與x軸從左至右依次相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)y=﹣ x+b與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標為2，求拋物線(xiàn)的函數解析式;
(2)若在第三象限內的拋物線(xiàn)上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標;
(3)在(1)的條件下，設點(diǎn)E是線(xiàn)段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線(xiàn)段BE以每秒1個(gè)單位的速度運動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線(xiàn)段ED以每秒 個(gè)單位的速度運動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當點(diǎn)E的坐標是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少?
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個(gè)選項中，只有一個(gè)是正確的)
1.﹣ 的相反數是( )
A.﹣ B. C. D.﹣
【考點(diǎn)】實(shí)數的性質(zhì).
【分析】利用相反數的定義計算即可得到結果.
【解答】解：﹣ 的相反數是 ，
故選C
2.隨著(zhù)我國經(jīng)濟快速發(fā)展，轎車(chē)進(jìn)入百姓家庭，小明同學(xué)在街頭觀(guān)察出下列四種汽車(chē)標志，其中既是中心對稱(chēng)圖形，又是軸對稱(chēng)圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】中心對稱(chēng)圖形;軸對稱(chēng)圖形.
【分析】根據軸對稱(chēng)圖形與中心對稱(chēng)圖形的概念求解.
【解答】解：A、不是軸對稱(chēng)圖形，是中心對稱(chēng)圖形;
B、是軸對稱(chēng)圖形，不是中心對稱(chēng)圖形;
C、是軸對稱(chēng)圖形，也是中心對稱(chēng)圖形;
D、不是軸對稱(chēng)圖形，是中心對稱(chēng)圖形.
故選C.
3.下列運算正確的是( )
A.a2a3=a6B.a5÷a2=a3C.(﹣3a)3=﹣9a3D.2x2+3x2=5x4
【考點(diǎn)】同底數冪的除法;合并同類(lèi)項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】直接根據同底數冪的乘除法以及冪的乘方運算法則計算出各選項結果，進(jìn)而作出判斷.
【解答】解：A、a2a3=a5，此選項錯誤;
B、a5÷a2=a3，此選項正確;
C、(﹣3a)3=﹣27a3，此選項錯誤;
D、2x2+3x2=5x2，此選項錯誤;
故選B.
4.如圖，直線(xiàn)a∥b，直線(xiàn)c分別與a、b相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，AC⊥AB于點(diǎn)A，交直線(xiàn)b于點(diǎn)C.已知∠1=42°，則∠2的度數是( )
A.38° B.42° C.48° D.58°
【考點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì).
【分析】先根據平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠ACB的度數，再根據垂直的定義和余角的性質(zhì)求出∠2的度數.
【解答】解：∵直線(xiàn)a∥b，
∴∠1=∠BCA，
∵∠1=42°，
∴∠BCA=42°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠BCA=90°，
∴∠2=48°，
故選C.
5.不等式組 的解集表示在數軸上，正確的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組;在數軸上表示不等式的解集.
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據口訣：大小小大中間找確定不等式組的解集，再根據“大于向右，小于向左，包括端點(diǎn)用實(shí)心，不包括端點(diǎn)用空心”的原則分析選項可得答案.
【解答】解：解不等式 x﹣1≤7﹣ x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2>3(x+1)，得：x> ，
∴不等式組的解集為：
故選：A.
6.為了響應學(xué)�！皶�(shū)香校園”建設，陽(yáng)光班的同學(xué)們積極捐書(shū)，其中宏志學(xué)習小組的同學(xué)捐書(shū)冊數分別是：5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，則這組數據的眾數、中位數和方差分別是( )
A.5，5， B.5，5，10 C.6，5.5， D.5，5，
【考點(diǎn)】方差;中位數;眾數.
【分析】根據平均數，可得x的值，根據眾數的定義、中位數的定義、方差的定義，可得答案.
【解答】解：由5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，得
x=5.
眾數是5，中位數是5，
方差 = ，
故選：D.
7.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是( )
A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：25
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根據相似三角形的性質(zhì)定理得到 = ， = = ，結合圖形得到 = ，得到答案.
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴S△BDE與S△CDE的比是1：4，
故選：B.
8.隨州市尚市“桃花節”觀(guān)賞人數逐年增加，據有關(guān)部門(mén)統計，2014年約為20萬(wàn)人次，2016年約為28.8萬(wàn)人次，設觀(guān)賞人數年均增長(cháng)率為x，則下列方程中正確的是( )
A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20
C.20(1+x)2=28.8 D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.
【分析】設這兩年觀(guān)賞人數年均增長(cháng)率為x，根據“2014年約為20萬(wàn)人次，2016年約為28.8萬(wàn)人次”，可得出方程.
【解答】解：設觀(guān)賞人數年均增長(cháng)率為x，那么依題意得20(1+x)2=28.8，
故選C.
9.如圖是某工件的三視圖，則此工件的表面積為( )
A.15πcm2B.51πcm2C.66πcm2D.24πcm2
【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體.
【分析】根據三視圖，可得幾何體是圓錐，根據勾股定理，可得圓錐的母線(xiàn)長(cháng)，根據扇形的面積公式，可得圓錐的側面積，根據圓的面積公式，可得圓錐的底面積，可得答案.
【解答】解：由三視圖，得
，
OB=3cm，0A=4cm，
由勾股定理，得AB= =5cm，
圓錐的側面積 ×6π×5=15πcm2，
圓錐的底面積π×( )2=9πcm，
圓錐的表面積15π+9π=24π(cm2)，
故選：D.
10.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1，0)，對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，下列結論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣ ，y2)、點(diǎn)C( ，y3)在該函數圖象上，則y1
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
【考點(diǎn)】二次函數圖象與系數的關(guān)系.
【分析】(1)正確.根據對稱(chēng)軸公式計算即可.
(2)錯誤，利用x=﹣3時(shí)，y<0，即可判斷.
(3)正確.由圖象可知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(﹣1，0)和(5，0)，列出方程組求出a、b即可判斷.
(4)錯誤.利用函數圖象即可判斷.
(5)正確.利用二次函數與二次不等式關(guān)系即可解決問(wèn)題.
【解答】解：(1)正確.∵﹣ =2，
∴4a+b=0.故正確.
(2)錯誤.∵x=﹣3時(shí)，y<0，
∴9a﹣3b+c<0，
∴9a+c<3b，故(2)錯誤.
(3)正確.由圖象可知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(﹣1，0)和(5，0)，
∴ 解得 ，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a<0，
∴8a+7b=2c>0，故(3)正確.
(4)錯誤，∵點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣ ，y2)、點(diǎn)C( ，y3)，
∵ ﹣2= ，2﹣(﹣ )= ，
∴ <
∴點(diǎn)C離對稱(chēng)軸的距離近，
∴y3>y2，
∵a<0，﹣3<﹣ <2，
∴y1
∴y1
(5)正確.∵a<0，
∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0，
即(x+1)(x﹣5)>0，
故x<﹣1或x>5，故(5)正確.
∴正確的有三個(gè)，
故選B.
二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)
11.2015年“圣地車(chē)都”﹣﹣隨州改裝車(chē)的總產(chǎn)值為14.966億元，其中14.966億元用科學(xué)記數法表示為 1.4966×109 元.
【考點(diǎn)】科學(xué)記數法—表示較大的數.
【分析】科學(xué)記數法的表示形式為a×10n的形式.其中1≤|a|<10，n為整數，確定n的值時(shí)，要看把原數變成a時(shí)，小數點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數點(diǎn)移動(dòng)的位數相同.當原數絕對值>10時(shí)，n是正數;當原數的絕對值<1時(shí)，n是負數.
【解答】解：14.966億=1.4966×109.
故答案為：1.4966×109.
12.已知等腰三角形的一邊長(cháng)為9，另一邊長(cháng)為方程x2﹣8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長(cháng)為 19或21或23 .
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關(guān)系;等腰三角形的性質(zhì).
【分析】求出方程的解，分為兩種情況，看看是否符合三角形三邊關(guān)系定理，求出即可.
【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：(x﹣3)(x﹣5)=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5，
當等腰三角形的三邊長(cháng)為9、9、3時(shí)，其周長(cháng)為21;
當等腰三角形的三邊長(cháng)為9、9、5時(shí)，其周長(cháng)為23;
當等腰三角形的三邊長(cháng)為9、3、3時(shí)，3+3<9，不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去;
當等腰三角形的三邊長(cháng)為9、5、5時(shí)，其周長(cháng)為19;
綜上，該等腰三角形的周長(cháng)為19或21或23，
故答案為：19或21或23.
13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(cháng)BC至點(diǎn)D，使CD= BD，連接DM、DN、MN.若AB=6，則DN= 3 .
【考點(diǎn)】三角形中位線(xiàn)定理;直角三角形斜邊上的中線(xiàn);平行四邊形的判定與性質(zhì).
【分析】連接CM，根據三角形中位線(xiàn)定理得到NM= CB，MN∥BC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN=CM，根據直角三角形的性質(zhì)得到CM= AB=3，等量代換即可.
【解答】解：連接CM，
∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴NM= CB，MN∥BC，又CD= BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四邊形DCMN是平行四邊形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，
∴CM= AB=3，
∴DN=3，
故答案為：3.
14.如圖，直線(xiàn)y=x+4與雙曲線(xiàn)y= (k≠0)相交于A(yíng)(﹣1，a)、B兩點(diǎn)，在y軸上找一點(diǎn)P，當PA+PB的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標為 (0， ) .
【考點(diǎn)】反比例函數與一次函數的交點(diǎn)問(wèn)題;軸對稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題.
【分析】根據一次函數和反比例函數的解析式求出點(diǎn)A、B的坐標，然后作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，然后求出直線(xiàn)BC的解析式，求出點(diǎn)P的坐標.
【解答】解：把點(diǎn)A坐標代入y=x+4得，
﹣1+4=a，
a=3，
即A(﹣1，3)，
把點(diǎn)A坐標代入雙曲線(xiàn)的解析式：3=﹣k，
解得：k=﹣3，
聯(lián)立兩函數解析式得： ，
解得： ， ，
即點(diǎn)B坐標為：(﹣3，1)，
作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，
則點(diǎn)C坐標為：(1，3)，
設直線(xiàn)BC的解析式為：y=ax+b，
把B、C的坐標代入得： ，
解得： ，
函數解析式為：y= x+ ，
則與y軸的交點(diǎn)為：(0， ).
故答案為：(0， ).
15.如圖(1)，PT與⊙O1相切于點(diǎn)T，PAB與⊙O1相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PAPB.請應用以上結論解決下列問(wèn)題：如圖(2)，PAB、PCD分別與⊙O2相交于A(yíng)、B、C、D四點(diǎn)，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD= .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);切線(xiàn)的性質(zhì).
【分析】如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)PT，切點(diǎn)是T，根據PT2=PAPB=PCPD，求出PD即可解決問(wèn)題.
【解答】解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)PT，切點(diǎn)是T.
∵PT2=PAPB=PCPD，
∵PA=2，PB=7，PC=3，
∴2×7=3×PD，
∴PD=
∴CD=PD﹣PC= ﹣3= .
16.如圖，邊長(cháng)為1的正方形ABCD的對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時(shí)針旋轉∠MPN，旋轉角為θ(0°<θ<90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結論中正確的是 (1)，(2)，(3)，(5) .
(1)EF= OE;(2)S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;(3)BE+BF= OA;(4)在旋轉過(guò)程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE= ;(5)OGBD=AE2+CF2.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF(ASA)，則可證得結論;
(2)由(1)易證得S四邊形OEBF=S△BOC= S正方形ABCD，則可證得結論;
(3)由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)，證得BE+BF= OA;
(4)首先設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數的最值問(wèn)題，求得答案;
(5)易證得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得OGOB=OE2，再利用OB與BD的關(guān)系，OE與EF的關(guān)系，即可證得結論.
【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE;故正確;
(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD，
∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;故正確;
(3)∴BE+BF=BF+CF=BC= OA;故正確;
(4)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x(1﹣x)+ (1﹣x)× =﹣ (x﹣ )2+ ，
∵a=﹣<0，
∴當x= 時(shí)，S△BEF+S△COF最大;
即在旋轉過(guò)程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE= ;故錯誤;
(5)∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OGOB=OE2，
∵OB= BD，OE= EF，
∴OGBD=EF2，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，
∴EF2=AE2+CF2，
∴OGBD=AE2+CF2.故正確.
故答案為：(1)，(2)，(3)，(5).
三、解答題(本題共9小題，共72分，解答應寫(xiě)出必要演算步驟，文字說(shuō)明或證明過(guò)程)
17.計算：﹣|﹣1|+ cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.
【考點(diǎn)】實(shí)數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】本題涉及絕對值、二次根式化簡(jiǎn)、特殊角的三角函數值、負指數冪、零指數冪5個(gè)考點(diǎn).在計算時(shí)，需要針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據實(shí)數的運算法則求得計算結果.
【解答】解：原式=﹣1+2 × ﹣4+1
=﹣1+3﹣4+1
=﹣1.
18.先化簡(jiǎn)，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】首先將括號里面的通分相減，然后將除法轉化為乘法，化簡(jiǎn)后代入x的值即可求解.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]
=
= ，
當x= ﹣2時(shí)，
原式= = =2 .
19.某校學(xué)生利用雙休時(shí)間去距學(xué)校10km的炎帝故里參觀(guān)，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，過(guò)了20min后，其余學(xué)生乘汽車(chē)沿相同路線(xiàn)出發(fā)，結果他們同時(shí)到達.已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，求騎車(chē)學(xué)生的速度和汽車(chē)的速度.
【考點(diǎn)】分式方程的應用.
【分析】求速度，路程已知，根據時(shí)間來(lái)列等量關(guān)系.關(guān)鍵描述語(yǔ)為：“一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，過(guò)了20min后，其余學(xué)生乘汽車(chē)沿相同路線(xiàn)出發(fā)，結果他們同時(shí)到達”，根據等量關(guān)系列出方程.
【解答】解：設騎車(chē)學(xué)生的速度為x千米/小時(shí)，汽車(chē)的速度為2x千米/小時(shí)，
可得： ，
解得：x=15，
經(jīng)檢驗x=15是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：騎車(chē)學(xué)生的速度和汽車(chē)的速度分別是每小時(shí)15km，30km.
20.國務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國足球改革的總體方案》，這是中國足球歷史上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球知識，傳播足球文化，我市舉行了“足球進(jìn)校園”知識競賽活動(dòng)，為了解足球知識的普及情況，隨機抽取了部分獲獎情況進(jìn)行整理，得到下列不完整的統計圖表：
獲獎等次 頻數 頻率
一等獎 10 0.05
二等獎 20 0.10
三等獎 30 b
優(yōu)勝獎 a 0.30
鼓勵獎 80 0.40
請根據所給信息，解答下列問(wèn)題：
(1)a= 60 ，b= 0.15 ，且補全頻數分布直方圖;
(2)若用扇形統計圖來(lái)描述獲獎分布情況，問(wèn)獲得優(yōu)勝獎對應的扇形圓心角的度數是多少?
(3)在這次競賽中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎，若從這四位同學(xué)中隨機選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級競賽，請用樹(shù)狀圖或列表的方法，計算恰好選中甲、乙二人的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法;頻數(率)分布表;頻數(率)分布直方圖;扇形統計圖.
【分析】(1)根據公式頻率=頻數÷樣本總數，求得樣本總數，再根據公式得出a，b的值即可;
(2)根據公式優(yōu)勝獎對應的扇形圓心角的度數=優(yōu)勝獎的頻率×360°計算即可;
(3)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表將所有等可能的結果列舉出來(lái)，利用概率公式求解即可.
【解答】解：(1)樣本總數為10÷0.05=200人，
a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人，
b=30÷200=0.15，
故答案為200，0.15;
(2)優(yōu)勝獎所在扇形的圓心角為0.30×360°=108°;
(2)列表：甲乙丙丁分別用ABCD表示，
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12種等可能的結果，恰好選中A、B的有2種，
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
∴P(選中A、B)= = .
21.某班數學(xué)興趣小組利用數學(xué)活動(dòng)課時(shí)間測量位于烈山山頂的炎帝雕像高度，已知烈山坡面與水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著(zhù)雕像方向前進(jìn)1620尺到達E點(diǎn)，在點(diǎn)E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應用-仰角俯角問(wèn)題.
【分析】構造直角三角形，利用銳角三角函數，進(jìn)行簡(jiǎn)單計算即可.
【解答】解：如圖，
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，EG⊥CD，
在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，
∴EG=DEsin∠D=1620× =810，
∵BC=857.5，CF=EG，
∴BF=BC﹣CF=47.5，
在Rt△BEF中，tan∠BEF= ，
∴EF= BF，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，設AB=x，
∵tan∠AEF= ，
∴AF=EF×tan∠AEF，
∴x+47.5=3×47.5，
∴x=95，
答：雕像AB的高度為95尺.
22.如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C為半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，連接BD，且DE=DB.
(1)判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;
(2)若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直徑.
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系;垂徑定理;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD=90°，即可證明BD是⊙O的切線(xiàn);
(2)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于G，根據等腰三角形的性質(zhì)得到EG= BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形對應角相等得到sin∠EDG=sinA= ，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的長(cháng)，根據三角形相似得到比例式，代入數據即可得到結果.
【解答】(1)證明：連接OB，
∵OB=OA，DE=DB，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切線(xiàn);
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于G，
∵DE=DB，
∴EG= BE=5，
∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，
∴∠GDE=∠A，
∴△ACE∽△DGE，
∴sin∠EDG=sinA= = ，即CE=13，
在Rt△ECG中，
∵DG= =12，
∵CD=15，DE=13，
∴DE=2，
∵△ACE∽△DGE，
∴ = ，
∴AC= DG= ，
∴⊙O的直徑2OA=4AD= .
23.九年級(3)班數學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90，且x為整數)的售價(jià)與銷(xiāo)售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，設該商品的售價(jià)為y(單位：元/件)，每天的銷(xiāo)售量為p(單位：件)，每天的銷(xiāo)售利潤為w(單位：元).
時(shí)間x(天) 1 30 60 90
每天銷(xiāo)售量p(件) 198 140 80 20
(1)求出w與x的函數關(guān)系式;
(2)問(wèn)銷(xiāo)售該商品第幾天時(shí)，當天的銷(xiāo)售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中，共有多少天每天的銷(xiāo)售利潤不低于5600元?請直接寫(xiě)出結果.
【考點(diǎn)】二次函數的應用;一元一次不等式的應用.
【分析】(1)當0≤x≤50時(shí)，設商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數關(guān)系式為y=kx+b，由點(diǎn)的坐標利用待定系數法即可求出此時(shí)y關(guān)于x的函數關(guān)系式，根據圖形可得出當50
(2)根據w關(guān)于x的函數關(guān)系式，分段考慮其最值問(wèn)題.當0≤x≤50時(shí)，結合二次函數的性質(zhì)即可求出在此范圍內w的最大值;當50
(3)令w≥5600，可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論.
【解答】解：(1)當0≤x≤50時(shí)，設商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數關(guān)系式為y=kx+b(k、b為常數且k≠0)，
∵y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，40)、(50，90)，
∴ ，解得： ，
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數關(guān)系式為y=x+40;
當50
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數關(guān)系式為y= .
由書(shū)記可知每天的銷(xiāo)售量p與時(shí)間x成一次函數關(guān)系，
設每天的銷(xiāo)售量p與時(shí)間x的函數關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數，且m≠0)，
∵p=mx+n過(guò)點(diǎn)(60，80)、(30，140)，
∴ ，解得： ，
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90，且x為整數)，
當0≤x≤50時(shí)，w=(y﹣30)p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
當50
綜上所示，每天的銷(xiāo)售利潤w與時(shí)間x的函數關(guān)系式是w= .
(2)當0≤x≤50時(shí)，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050，
∵a=﹣2<0且0≤x≤50，
∴當x=45時(shí)，w取最大值，最大值為6050元.
當50
∵k=﹣120<0，w隨x增大而減小，
∴當x=50時(shí)，w取最大值，最大值為6000元.
∵6050>6000，
∴當x=45時(shí)，w最大，最大值為6050元.
即銷(xiāo)售第45天時(shí)，當天獲得的銷(xiāo)售利潤最大，最大利潤是6050元.
(3)當0≤x≤50時(shí)，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，
解得：30≤x≤50，
50﹣30+1=21(天);
當50
解得：50
∵x為整數，
∴50
53﹣50=3(天).
綜上可知：21+3=24(天)，
故該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中，共有24天每天的銷(xiāo)售利潤不低于5600元.
24.愛(ài)好思考的小茜在探究?jì)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現了“中垂三角形”，即兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是△ABC的中線(xiàn)，AN⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a，AC=b，AB=c.
【特例探究】
(1)如圖1，當tan∠PAB=1，c=4 時(shí)，a= 4 ，b= 4 ;
如圖2，當∠PAB=30°，c=2時(shí)，a= ，b= ;
【歸納證明】
(2)請你觀(guān)察(1)中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結論.
【拓展證明】
(3)如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD=3 ，AB=3，求AF的長(cháng).
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)①首先證明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.
�、谶B接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.
(2)結論a2+b2=5c2.設MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問(wèn)題.
(3)取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(cháng)交DA的延長(cháng)線(xiàn)于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用(2)中結論列出方程即可解決問(wèn)題.
【解答】(1)解：如圖1中，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF= AB=2 ，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，
∴PF=PE=2，PB=PA=4，
∴AE=BF= =2 .
∴b=AC=2AE=4 ，a=BC=4 .
故答案為4 ，4 .
如圖2中，連接EF，
，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF= AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA= ，
在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，
∴PE= ，PF= ，
∴AE= = ，BF= = ，
∴a=BC=2BF= ，b=AC=2AE= ，
故答案分別為 ， .
(2)結論a2+b2=5c2.
證明：如圖3中，連接EF.
∵AF、BE是中線(xiàn)，
∴EF∥AB，EF= AB，
∴△FPE∽△APB，
∴ = = ，
設FP=x，EP=y，則AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2，
b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長(cháng)交DA的延長(cháng)線(xiàn)于P點(diǎn)，
同理可證△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四邊形CEPF是平行四邊形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由(2)可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF= AD= ，
∴9+AF2=5×( )2，
∴AF=4.
25.已知拋物線(xiàn)y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，與x軸從左至右依次相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)y=﹣ x+b與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標為2，求拋物線(xiàn)的函數解析式;
(2)若在第三象限內的拋物線(xiàn)上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標;
(3)在(1)的條件下，設點(diǎn)E是線(xiàn)段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線(xiàn)段BE以每秒1個(gè)單位的速度運動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線(xiàn)段ED以每秒 個(gè)單位的速度運動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當點(diǎn)E的坐標是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少?
【考點(diǎn)】二次函數綜合題.
【分析】(1)根據二次函數的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標，求出直線(xiàn)的解析式，求出點(diǎn)D的坐標，求出拋物線(xiàn)的解析式;
(2)作PH⊥x軸于H，設點(diǎn)P的坐標為(m，n)，分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據相似三角形的性質(zhì)計算即可;
(3)作DM∥x軸交拋物線(xiàn)于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據正切的定義求出Q的運動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可.
【解答】解：(1)∵y=a(x+3)(x﹣1)，
∴點(diǎn)A的坐標為(﹣3，0)、點(diǎn)B兩的坐標為(1，0)，
∵直線(xiàn)y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴b=﹣3 ，
∴y=﹣ x﹣3 ，
當x=2時(shí)，y=﹣5 ，
則點(diǎn)D的坐標為(2，﹣5 )，
∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ，
解得，a=﹣ ，
則拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3 ;
(2)作PH⊥x軸于H，
設點(diǎn)P的坐標為(m，n)，
當△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，即n=﹣a(m﹣1)，
∴ ，
解得，m1=﹣4，m2=1(不合題意，舍去)，
當m=﹣4時(shí)，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴ = ，即AB2=ACPB，
∴42= ，
解得，a1= (不合題意，舍去)，a2=﹣ ，
則n=5a=﹣ ，
∴點(diǎn)P的坐標為(﹣4，﹣ );
當△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，即n=﹣3a(m﹣1)，
∴ ，
解得，m1=﹣6，m2=1(不合題意，舍去)，
當m=﹣6時(shí)，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴ = ，即AB2=BCPB，
∴42= ，
解得，a1= (不合題意，舍去)，a2=﹣ ，
則點(diǎn)P的坐標為(﹣6，﹣ )，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標為(﹣4，﹣ )和(﹣6，﹣ );
(3)作DM∥x軸交拋物線(xiàn)于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，
則tan∠DAN= = = ，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE= = EF，
∴Q的運動(dòng)時(shí)間t= + =BE+EF，
∴當BE和EF共線(xiàn)時(shí)，t最小，
則BE⊥DM，y=﹣4 .
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