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三明市高二數學(xué)上期末試卷及答案
為了幫助大家順利通過(guò)期末考試，有一個(gè)愉快的假期生活，百分網(wǎng)小編為大家帶來(lái)一份三明市高二數學(xué)上的期末試卷及答案，歡迎大家閱讀參考。
一、選擇題：本大題共12小題.每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項中，只有一項符合題目要求.
1.已知命題p：∀x∈R，log2x=2015，則￢p為( )
A.∀x∉R，log2x=2015 B.∀x∈R，log2x≠2015
C.∃x0∈R，log2x0=2015 D.∃x0∈R，log2x0≠2015
2.為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗，用系統抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是( )
A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32
C.5，6，7，8，9 D.6，16，26，36，46
3.如果一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則兩個(gè)孩子是一男一女的概率為( )
A. B. C. D.
4.雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程為( )
A.x±2y=0 B.2x±y=0 C. D.
5.甲、乙兩名學(xué)生五次數學(xué)測驗成績(jì)(百分制)如圖所示.
�、偌淄瑢W(xué)成績(jì)的中位數大于乙同學(xué)成績(jì)的中位數;
�、诩淄瑢W(xué)的平均分與乙同學(xué)的平均分相等;
�、奂淄瑢W(xué)成績(jì)的方差大于乙同學(xué)成績(jì)的方差.
以上說(shuō)法正確的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
6.用秦九韶算法求多項式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，則f(2)的值為( )
A.98 B.105 C.112 D.119
7.運行如圖的程序后，輸出的結果為( )
A. B. C. D.
8.已知橢圓 過(guò)點(diǎn)P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，則此弦所在的直線(xiàn)方程為( )
A.2x﹣y﹣3=0 B. 2x﹣y﹣1=0 C.x﹣2y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0
9.已知g(x)為函數f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的導函數，則它們的圖象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知傾斜角為45°的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則△OAB(其中O為坐標原點(diǎn))的面積為( )
A.2 B. C. D.8
11.已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數，且滿(mǎn)足以下條件：
�、賔(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)
若 + = ，則實(shí)數a的值為( )
A. B.2 C. D.2或
12.如圖，直線(xiàn)x=m與拋物線(xiàn)x2=4y交于點(diǎn)A，與圓(y﹣1)2+x2=4的實(shí)線(xiàn)部分(即在拋物線(xiàn)開(kāi)口內的圓弧)交于點(diǎn)B，F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則△ABF的周長(cháng)的取值范圍是( )
A.(2，4) B.(4，6) C.[2，4]D.[4，6]
二、填空題：本大題共四小題，每小題5分.
13.將十進(jìn)制數2016(10)化為八進(jìn)制數為 .
14.已知變量x與y的取值如下表：
x 2 3 5 6
y 7 8﹣a 9+a 12
從散點(diǎn)圖可以看出y對x呈現線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則y與x的線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程 必經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為 .
15.已知P為圓M：(x+2)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，N(2，0)，線(xiàn)段PN的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)PM的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q的軌跡方程為 .
16.已知函數f(x)=xex，現有下列五種說(shuō)法：
�、俸瘮礷(x)為奇函數;
�、诤瘮礷(x)的減區間為(﹣∞，1)，增區間為(1，+∞);
�、酆瘮礷(x)的圖象在x=0處的切線(xiàn)的斜率為1;
�、芎瘮礷(x)的最小值為 .
其中說(shuō)法正確的序號是 (請寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號).
三、解答題：解答應寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.設命題p：|x﹣2|>1;命題q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分條件，求實(shí)數a的取值范圍.
18.某校對高二年段的男生進(jìn)行體檢，現將高二男生的體重(kg)數據進(jìn)行整理后分成6組，并繪制部分頻率分布直方圖(如圖所示).已知第三組[60，65)的人數為200.根據一般標準，高二男生體重超過(guò)65kg屬于偏胖，低于55kg屬于偏瘦.觀(guān)察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
(1)求體重在[60，65)內的頻率，并補全頻率分布直方圖;
(2)用分層抽樣的方法從偏胖的學(xué)生中抽取6人對日常生活習慣及體育鍛煉進(jìn)行調查，則各組應分別抽取多少人?
(3)根據頻率分布直方圖，估計高二男生的體重的中位數與平均數.
19.(1)執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，若輸出的s的取值范圍記為集合A，求集合A;
(2)命題p：a∈A，其中集合A為第(1)題中的s的取值范圍;命題q：函數 有極值;若p∧q為真命題，求實(shí)數a的取值范圍.
20.已知雙曲線(xiàn)C： ﹣ =1(a>0，b>0).
(1)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體玩具，玩具的各個(gè)面上分別寫(xiě)著(zhù)數字1，2，3，4.若先后兩次投擲玩具，將朝下的面上的數字依次記為a，b，求雙曲線(xiàn)C的離心率小于 的概率;
(2)在區間[1，6]內取兩個(gè)數依次記為a，b，求雙曲線(xiàn)C的離心率小于 的概率.[來(lái)源:Zxxk.Com]
21.已知橢圓C： 的中心在坐標原點(diǎn)O，對稱(chēng)軸在坐標軸上，橢圓的上頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構成邊長(cháng)為2的正三角形.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若斜率為k的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4，0)，與橢圓C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且 ，求k的取值范圍.
22.已知函數 .
(1)當a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)當a>0時(shí)，若函數f(x)在[1，e]上的最小值記為g(a)，請寫(xiě)出g(a)的函數表達式.
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題.每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項中，只有一項符合題目要求.
1.已知命題p：∀x∈R，log2x=2015，則￢p為( )
A.∀x∉R，log2x=2015 B.∀x∈R，log2x≠2015
C.∃x0∈R，log2x0=2015 D.∃x0∈R，log2x0≠2015
【分析】根據全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：命題是全稱(chēng)命題，則命題的否定是特稱(chēng)命題，
即∃x0∈R，log2x0≠2015，
故選：D.
【點(diǎn)評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，根據全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題是解決本題的關(guān)鍵.
2.為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗，用系統抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是( )
A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32
C.5，6，7，8，9 D.6，16，26，36，46
【分析】利用系統抽樣的性質(zhì)求解.
【解答】解：∵要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗，用系統抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號，
∴所選取的5袋奶粉的編號應該分別在1～10，11～20，21～30，30～40，41～50中各一袋，
且所選取的5袋奶粉的編號間隔相等，
由此能排除A、B、C，用系統抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是D.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查用系統抽樣方法確定所選取樣本的編號的求法，是基礎題，解題時(shí)要注意系統抽樣的性質(zhì)的合理運用.
3.如果一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則兩個(gè)孩子是一男一女的概率為( )
A. B. C. D.
【分析】利用列舉法求出基本事件空間，由此能求出結果.
【解答】解：一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，
基本事件為：{男男}，{女女}，{男女}，{女男}，
∴兩個(gè)孩子是一男一女的概率為p= .
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時(shí)要認真審題，注意列舉法的合理運用.
4.雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程為( )
A.x±2y=0 B.2x±y=0 C. D.
【分析】由雙曲線(xiàn) ﹣ =1(a，b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=± x，即可得到所求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.
【解答】解：由雙曲線(xiàn) ﹣ =1(a，b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=± x，
可得雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程為y=± x.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，注意運用雙曲線(xiàn)的方程和漸近線(xiàn)方程的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎題.
5.甲、乙兩名學(xué)生五次數學(xué)測驗成績(jì)(百分制)如圖所示.
�、偌淄瑢W(xué)成績(jì)的中位數大于乙同學(xué)成績(jì)的中位數;
�、诩淄瑢W(xué)的平均分與乙同學(xué)的平均分相等;
�、奂淄瑢W(xué)成績(jì)的方差大于乙同學(xué)成績(jì)的方差.
以上說(shuō)法正確的是( )[來(lái)源:Z_xx_k.Com]
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【分析】根據莖葉圖中的數據，求出甲、乙兩同學(xué)成績(jì)的中位數、平均數與方差即可.
【解答】解：根據莖葉圖中的數據，得;
甲同學(xué)成績(jì)的中位數是90，乙同學(xué)成績(jì)的中位數是90，中位數相等，①錯誤;
甲同學(xué)的平均分是 = (87+89+90+91+93)=90，
乙同學(xué)的平均分是 = (88+89+90+91+92)=90，平均分相等，②正確;
甲同學(xué)成績(jì)的方差是 = [(﹣3)2+(﹣1)2+02+12+32]=4，
乙同學(xué)成績(jì)的方差是 = [(﹣2)2+(﹣1)2+02+12+22]=2， > ，③正確;
綜上，正確的命題是②③.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查了利用莖葉圖中的數據求中位數、平均數與方差的應用問(wèn)題，是基礎題.
6.用秦九韶算法求多項式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，則f(2)的值為( )
A.98 B.105 C.112 D.119
【分析】f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，即可得出.
【解答】解：f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，
∴f(2)=(((4×2+3)×2+2)×2+1)×2+7=105，
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查了秦九韶算法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
7.運行如圖的程序后，輸出的結果為( )
A. B. C. D.
【分析】根據程序語(yǔ)言的運行過(guò)程，得出程序運行后輸出的S= + + + + ;計算S的值即可.
【解答】解：根據程序語(yǔ)言的運行過(guò)程，得
該程序運行后輸出的是S= + + + + ;
計算S=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )=1﹣ = .
所以輸出S= .
故選：C.
【點(diǎn)評】本題利用程序語(yǔ)言考查了數列求和的應用問(wèn)題，是基礎題目.
8.已知橢圓 過(guò)點(diǎn)P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，則此弦所在的直線(xiàn)方程為( )
A.2x﹣y﹣3=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.x﹣2y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0
【分析】判斷點(diǎn)P在橢圓內，設弦的端點(diǎn)的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，代入橢圓方程，運用作差法，結合直線(xiàn)的斜率公式和斜率公式，可得斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得到所求直線(xiàn)方程.
【解答】解：將P(﹣2，1)代入橢圓方程可得： + <1，即點(diǎn)P在橢圓內，
設弦的端點(diǎn)的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，
可得 + =1， + =1，
相減可得 + =0，
則弦所在直線(xiàn)的斜率為 =﹣ ，
由中點(diǎn)坐標公式可得，x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
可得斜率為﹣ = ，
即有直線(xiàn)的方程為y﹣1= (x+2)，
即為x﹣2y+4=0.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程的運用，直線(xiàn)方程的求法，注意運用點(diǎn)差法，以及中點(diǎn)坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題.
9.已知g(x)為函數f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的導函數，則它們的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【分析】利用導數與函數之間的關(guān)系.把握住導數的正負確定出函數的單調區間，根據變化趨勢選出恰當的圖象.確定出答案.
【解答】解：∵f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)，
∴g(x)=f′(x)=6ax2﹣6ax﹣12a=6a ﹣ ，
對稱(chēng)軸x= ，而f′(﹣1)=f′(2)=0，
根據f′(x)>0時(shí)，y=f(x)遞增;f′(x)<0時(shí)，y=f(x)遞減可得.
�、僦泻瘮档膱D象的增減趨勢與導函數的正負區間是吻合的，可能正確;
而②④中的對稱(chēng)軸不是 ，③中函數的圖象的增減趨勢與導函數的正負區間不吻合，故錯誤，
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查函數與其導函數的關(guān)系，函數的遞增區間即為導函數為正的區間，函數的遞減區間即為導函數為負的區間，根據這個(gè)依賴(lài)性可以確定出函數圖形吻合的是哪一個(gè).
10.已知傾斜角為45°的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則△OAB(其中O為坐標原點(diǎn))的面積為( )
A.2 B. C. D.8
【分析】先確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標，可得直線(xiàn)l的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求弦AB的長(cháng)，再求出原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即可求得△OAB的面積.
【解答】解：拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F(1，0)，
∵直線(xiàn)l：y=x+b經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，
∴b=﹣1，
∴直線(xiàn)l：y=x﹣1，
由拋物線(xiàn)的定義：|AB|=xA+xB+2，
將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y可得x2﹣6x+1=0，
∴xA+xB=6，
∴|AB|=8，
∵原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為d= ，
∴S= =2 .
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查三角形面積的計算，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出弦AB的長(cháng).
11.已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數，且滿(mǎn)足以下條件：
�、賔(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)
若 + = ，則實(shí)數a的值為( )
A. B.2 C. D.2或
【分析】先根據 + = ，得到含a的式子，求出a的兩個(gè)值，再由已知，利用導數判斷函數 =ax的單調性求a的范圍，判斷a的兩個(gè)之中哪個(gè)成立即可.
【解答】解：由 + = ，得a1+a﹣1= ，
所以a=2或a= .
又由f(x)•g′(x)>f′(x)•g(x)，
即f(x)g′(x)﹣f′(x)g(x)>0，
也就是[ ]′=﹣ <0，
說(shuō)明函數 =ax是減函數，
即0
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查了應用導數判斷函數的單調性，做題時(shí)應認真觀(guān)察.
12.如圖，直線(xiàn)x=m與拋物線(xiàn)x2=4y交于點(diǎn)A，與圓(y﹣1)2+x2=4的實(shí)線(xiàn)部分(即在拋物線(xiàn)開(kāi)口內的圓弧)交于點(diǎn)B，F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則△ABF的周長(cháng)的取值范圍是( )
A.(2，4) B.(4，6) C.[2，4]D.[4，6]
【分析】圓(y﹣1)2+x2=4的圓心為(0，1)，與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，可得|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周長(cháng)=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，利用1
【解答】解：圓(y﹣1)2+x2=4的圓心為(0，1)，與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，
∴|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，
∴三角形ABF的周長(cháng)=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，
∵1
∴三角形ABF的周長(cháng)的取值范圍是(4，6).
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線(xiàn)與圓的標準方程及其性質(zhì)、三角形的周長(cháng)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共四小題，每小題5分.
13.將十進(jìn)制數2016(10)化為八進(jìn)制數為 3740(8) .
【分析】將十進(jìn)制數2016轉化為八進(jìn)制數，利用除K取余法直接計算得解.
【解答】解：2016÷8=252…0
252÷8=31…4
31÷8=3…7
3÷8=0…3
∴化成8進(jìn)制是3740(8).
故答案為：3740(8).
【點(diǎn)評】本題考查帶余除法，進(jìn)位制的轉化，由十進(jìn)制數轉化為八進(jìn)制數，用除K取余法計算即可，屬于基礎題.
14.已知變量x與y的取值如下表：
x 2 3 5 6
y 7 8﹣a 9+a 12
從散點(diǎn)圖可以看出y對x呈現線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則y與x的線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程 必經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為 (4，9) .
【分析】由最小二乘法原理可知線(xiàn)性回歸方程必經(jīng)過(guò)數據中心( ).
【解答】解： = =4， = =9，
∴線(xiàn)性回歸方程必經(jīng)過(guò)(4，9).
故答案為(4，9).
【點(diǎn)評】本題考查了線(xiàn)性回歸方程的特點(diǎn)，屬于基礎題.
15.已知P為圓M：(x+2)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，N(2，0)，線(xiàn)段PN的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)PM的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q的軌跡方程為 x2﹣ =1 .
【分析】由中垂線(xiàn)的性質(zhì)可知|QN|=|PQ|，故而||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，所以Q的軌跡為以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn).
【解答】解：∵Q在PN的中垂線(xiàn)上，∴|QN|=|PQ|，∴||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，
∴Q的軌跡為以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn).
設雙曲線(xiàn)方程為 ，則 ，又∵a2+b2=c2，∴a2=1，b2=3，
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為x2﹣ =1.
故答案為x2﹣ =1.
【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義，屬于基礎題.
16.已知函數f(x)=xex，現有下列五種說(shuō)法：
�、俸瘮礷(x)為奇函數;
�、诤瘮礷(x)的減區間為(﹣∞，1)，增區間為(1，+∞);
�、酆瘮礷(x)的圖象在x=0處的切線(xiàn)的斜率為1;
�、芎瘮礷(x)的最小值為 .
其中說(shuō)法正確的序號是�、邰堋�(請寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號).
【分析】根據奇函數的定義判斷①，求出函數的導數，得到函數的單調區間，判斷②③④即可.
【解答】解：①f(﹣x)=(﹣x)• ≠﹣f(x)，不是奇函數，故①錯誤;
�、趂′(x)=(1+x)ex，
當x∈(﹣∞，﹣1)時(shí)，f′(x)<0，當x∈(﹣1，+∞)時(shí)，f′(x)>0，
∴f(x)的單調遞增區間為(﹣1，+∞)，單調遞減區間為(﹣∞，﹣1)，
故②錯誤;
�、邸遞′(x)=(1+x)ex，∴f′(0)=1，
即函數f(x)的圖象在x=0處的切線(xiàn)的斜率為1;
故③正確;
�、躥(x)的單調遞增區間為(﹣1，+∞)，單調遞減區間為(﹣∞，﹣1)，
∴f(x)的最小值是f(﹣1)=﹣ ，
故④正確;
故答案為：③④.
【點(diǎn)評】本題考查了利用導研究函數的單調性極值與最值問(wèn)題，考查函數的奇偶性問(wèn)題，是一道基礎題.
三、解答題：解答應寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.設命題p：|x﹣2|>1;命題q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分條件，求實(shí)數a的取值范圍.
【分析】由p：|x﹣2|>1，解出x的范圍.由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0，解出x的范圍.由于¬p是¬q的必要不充分條件，可得p是q的充分不必要條件.
【解答】解：由p：|x﹣2|>1，
解得x<1或x>3.…(3分)
由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x﹣a)[x﹣(a+1)]≥0，
解得x≤a或x≥a+1.…(6分)
∵¬p是¬q的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件.…(8分)
∴ ，則1≤a≤2.
∴實(shí)數a的取值范圍是[1，2].(10分)
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
18.某校對高二年段的男生進(jìn)行體檢，現將高二男生的體重(kg)數據進(jìn)行整理后分成6組，并繪制部分頻率分布直方圖(如圖所示).已知第三組[60，65)的人數為200.根據一般標準，高二男生體重超過(guò)65kg屬于偏胖，低于55kg屬于偏瘦.觀(guān)察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
(1)求體重在[60，65)內的頻率，并補全頻率分布直方圖;
(2)用分層抽樣的方法從偏胖的學(xué)生中抽取6人對日常生活習慣及體育鍛煉進(jìn)行調查，則各組應分別抽取多少人?
(3)根據頻率分布直方圖，估計高二男生的體重的中位數與平均數.
【分析】(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出求出體重在[60，65)內的頻率，由此能補全的頻率分布直方圖.
(2)設男生總人數為n，由 ，可得n=1000，從而體重超過(guò)65kg的總人數300，由此能求出各組應分別抽取的人數.
(3)利用頻率分布直方圖能估計高二男生的體重的中位數與平均數.
【解答】解：(1)體重在[60，65)內的頻率=1﹣(0.03+0.07+0.03+0.02+0.01)×5=0.2
= ，
補全的頻率分布直方圖如圖所示.…(4分)
(2)設男生總人數為n，
由 ，可得n=1000
體重超過(guò)65kg的總人數為(0.03+0.02+0.01)×5×1000=300
在[65，70)的人數為0.03×5×1000=150，應抽取的人數為 ，
在[65，70)的人數為0.02×5×1000=100，應抽取的人數為 ，
在[75，80)的人數為0.01×5×1000=50，應抽取的人數為 .
所以在[65，70)，[70，75)，[75，80]三段人數分別為3，2，1.…(8分)
(3)中位數為60kg
平均數為(52.5×0.03+57.5×0.07+62.5×0.04+67.5×0.03+72.5×0.02+77.5×0.01)×5=61.75(kg)…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查頻率的求法，考查頻率分布直方圖的作法，考查中位數、平均數的求法，是基礎題，解題時(shí)要認真審題，注意分層抽樣、頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用.
19.(1)執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，若輸出的s的取值范圍記為集合A，求集合A;
(2)命題p：a∈A，其中集合A為第(1)題中的s的取值范圍;命題q：函數 有極值;若p∧q為真命題，求實(shí)數a的取值范圍.
【分析】(1)由程序框圖可知，分段函數的對稱(chēng)軸為t=2，在[1，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減，解得smax=3，smin=2，即可解得集合A.
(2)函數 有極值，等價(jià)于f′(x)=x2+2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數根，即△=(2a)2﹣4>0，由此能求出命題p：a<﹣1或a>1，利用p∧q為真命題，建立不等式組，即可解得實(shí)數a的取值范圍.
【解答】(本題滿(mǎn)分為12分)
解：(1)由程序框圖可知，當﹣1≤t<1時(shí)，s=2t，則s∈[﹣2，2)，
當1≤t≤3時(shí)，s=﹣(t﹣2)2+3，
∵該函數的對稱(chēng)軸為t=2，
∴該函數在[1，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減.
∴smax=3，smin=2，
∴s∈[2，3].
綜上知，s∈[﹣2，3]，集合A=[﹣2，3].…(4分)
(2)∵函數 有極值，且f′(x)=x2+2ax+1，
∴f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數根，即△=(2a)2﹣4>0，解得a<﹣1或a>1，
即命題p：a<﹣1或a>1.…(8分)
∵p∧q為真命題，
∴則 ，解得﹣2≤a<﹣1或1
∴實(shí)數a的取值范圍是[﹣2，﹣1)∪(1，3].…(12分)
【點(diǎn)評】本題主要考查了選擇結構的程序框圖，考查函數的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認真審題，注意導數性質(zhì)的合理運用.
20.已知雙曲線(xiàn)C： ﹣ =1(a>0，b>0).
(1)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體玩具，玩具的各個(gè)面上分別寫(xiě)著(zhù)數字1，2，3，4.若先后兩次投擲玩具，將朝下的面上的數字依次記為a，b，求雙曲線(xiàn)C的離心率小于 的概率;
(2)在區間[1，6]內取兩個(gè)數依次記為a，b，求雙曲線(xiàn)C的離心率小于 的概率.
【分析】(1)由雙曲線(xiàn)C的離心率小于 ，得到0
(2)由a∈[1，6]，b∈[1，6]，以a為橫軸，以b為縱軸建立直角坐標系，由幾何概型能求出雙曲線(xiàn)C的離心率小于 的概率.
【解答】解：(1)雙曲線(xiàn)的離心率 .
因為 ∴ .…(2分)
因玩具枚質(zhì)地是均勻的，各面朝下的可能性相等，
所以基本事件(a，b)共有16個(gè)：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
設“雙曲線(xiàn)C的離心率小于 ”為事件A，
則事件A所包含的基本事件為：
(1，1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共有12個(gè).
故雙曲線(xiàn)C的離心率小于 的概率為 .…(7分)
(2)∵a∈[1，6]，b∈[1，6]
∴
所以以a為橫軸，以b為縱軸建立直角坐標系，如圖所示，
S陰影= =21，
由幾何概型可知，雙曲線(xiàn)C的離心率小于 的概率為 .…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時(shí)要認真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運用.
21.已知橢圓C： 的中心在坐標原點(diǎn)O，對稱(chēng)軸在坐標軸上，橢圓的上頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構成邊長(cháng)為2的正三角形.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若斜率為k的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4，0)，與橢圓C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且 ，求k的取值范圍.
【分析】(1)由已知得2c=2，a=2，由此能求出橢圓C的標準方程.
(2)設直線(xiàn)l的方程為y=k(x﹣4)，與橢圓聯(lián)立，得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數量積，能求出k的取值范圍.
【解答】解：(1)∵橢圓的上頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構成邊長(cháng)為2的正三角形，
∴2c=2，a=2，∴b2=a2﹣c2=3
∴橢圓C的標準方程為 .…(4分)
(2)設直線(xiàn)l的方程為y=k(x﹣4)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)
聯(lián)立 ，消去y可得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0
∵直線(xiàn)l與橢圓C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，∴△>0
由△=(32k2)2﹣4(3+4k2)(64k2﹣12)>0解得
設A(x1，y1)，B(x2，y2)
則 ， …(7分)
解得 ∴
∴k的取值范圍是﹣ 或 .…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標準方程的求法，考查實(shí)數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數量積的合理運用.
22.已知函數 .
(1)當a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)當a>0時(shí)，若函數f(x)在[1，e]上的最小值記為g(a)，請寫(xiě)出g(a)的函數表達式.
【分析】(1)求出函數的導數，求出f(1)，f′(1)的值，代入切線(xiàn)方程即可;
(2)求出函數的導數，通過(guò)討論a的范圍，確定函數的單調區間，從而求出區間上的最小值即可.
【解答】解：(1)∵ ，
∴
當a=1時(shí)， ，
f(1)=3，k=f′(1)=﹣2，
曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為：
y﹣3=﹣2(x﹣1)即2x+y﹣5=0.…(3分)
(2) ，
∵a>0，x>0，由f′(x)>0得x>2a，由f′(x)<0得0
∴f(x)在(0，2a]上為減函數，在(2a，+∞)上為增函數.…(5分)
�、佼�0<2a≤1即0
∴g(a)=f(1)=2a2+1在(0，2a]上為減函數，在(2a，+∞)上為增函數.…(7分)
�、诋�1<2a
∴g(a)=f(2a)=﹣aln(2a)+3a…(9分)
�、郛�2a≥e即a≥ 時(shí)，f(x)在[1，e]上為減函數，
∴ …(11分)
綜上所述， …(12分)
【點(diǎn)評】本題考查了曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查函數的單調性、最值問(wèn)題，考查導數的應用，是一道中檔題.
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