- 相關(guān)推薦
高一數學(xué)必修1知識點(diǎn)總結
第一章 集合與函數概念
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。
2、集合的中元素的三個(gè)特性：
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無(wú)序性
說(shuō)明：
(1)對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。
(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意�。撼Ｓ脭导捌溆浄ǎ悍秦撜麛导�(即自然數集)記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實(shí)數集R
關(guān)于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，
如：a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A 記作 a∈A ，相反，a不屬于集合A 記作 a?A
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。
�、僬Z(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
�、跀祵W(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分類(lèi)：
1.有限集 含有有限個(gè)元素的集合
2.無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2.“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)實(shí)例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
結論：對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，
即：A=B
�、� 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AíA
�、谡孀蛹�:如果AíB,且A1 B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
�、廴绻� AíB, BíC ,那么 AíC
�、� 如果AíB 同時(shí) BíA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1.交集的定義：一般地，由所有屬于A(yíng)且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.
記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集與補集(1)補集：設S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(即 )，由S中所有不屬于A(yíng)的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)
記作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}
(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。
(3)性質(zhì)：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ
�、�(CUA)∪A=U
二、函數的有關(guān)概念
1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個(gè)確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域
.
注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數的集合;
3 函數的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區間的形式.
定義域補充
能使函數式有意義的實(shí)數x的集合稱(chēng)為函數的定義域，求函數的定義域時(shí)列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零;
(3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過(guò)四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零 (6)實(shí)際問(wèn)題中的函數的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)
構成函數的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域
再注意：(1)構成函數三個(gè)要素是定義域、對應關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數相等(或為同一函數)(2)兩個(gè)函數相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān)。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)
值域補充
(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.
C上每一點(diǎn)的坐標(x，y)均滿(mǎn)足函數關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序實(shí)數對x、y為坐標的點(diǎn)(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(xiàn)(或直線(xiàn)),也可能是由與任意平行與Y軸的直線(xiàn)最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線(xiàn)或離散點(diǎn)組成。
(2) 畫(huà)法
A、描點(diǎn)法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點(diǎn)P(x, y)，最后用平滑的曲線(xiàn)將這些點(diǎn)連接起來(lái).
B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱(chēng)變換
(3)作用：
1、直觀(guān)的看出函數的性質(zhì); 2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發(fā)現解題中的錯誤。
4.快去了解區間的概念
(1)區間的分類(lèi)：開(kāi)區間、閉區間、半開(kāi)半閉區間;(2)無(wú)窮區間;(3)區間的數軸表示.
5.什么叫做映射
一般地，設A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱(chēng)對應f：A B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A B”
給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說(shuō)明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應
，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關(guān)系一般是不同的;③對于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，則應滿(mǎn)足：
(Ⅰ)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個(gè);
(Ⅲ)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
常用的函數表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：
1 函數圖象既可以是連續的曲線(xiàn)，也可以是直線(xiàn)、折線(xiàn)、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數圖象的依據;
2 解析法：必須注明函數的定義域;
3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡(jiǎn)函數的解析式;觀(guān)察函數的特征;
4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.
注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮抵�。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值
補充一：分段函數 (參見(jiàn)課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時(shí)必須把自變量代入相應的表達式。
分段函數的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而就寫(xiě)函數值幾種不同的表達式并用一個(gè)左大括號括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況.
(1)分段函數是一個(gè)函數，不要把它誤認為是幾個(gè)函數;
(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.
補充二：復合函數
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱(chēng)為f、g的復合函數。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函數單調性
(1).增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個(gè)區間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當x1
如果對于區間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當x1
注意：1 函數的單調性是在定義域內的某個(gè)區間上的性質(zhì)，是函數的局部性質(zhì)
2 必須是對于區間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2;當x1
(2) 圖象的特點(diǎn)
如果函數y=f(x)在某個(gè)區間是增函數或減函數，那么說(shuō)函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A)
定義法：
1 任取x1，x2∈D，且x1
(B)圖象法(從圖象上看升降)_
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關(guān)，
注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫(xiě)成其并集. 2、還記得我們在選修里學(xué)習簡(jiǎn)單易行的導數法判定單調性嗎?
8.函數的奇偶性
(1)偶函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.
(2).奇函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.
注意：1 函數是奇函數或是偶函數稱(chēng)為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質(zhì);函數可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。
2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內的任意一個(gè)x，則-x也一定是定義域內的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)).
(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關(guān)于y軸對稱(chēng);奇函數的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng).
總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：
1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng);
2 確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;
3 作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.
注意�。汉瘮刀x域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)是函數具有奇偶性的必要條件.
首先看函數的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，若不對稱(chēng)則函數是非奇非偶函數.若對稱(chēng)，(1)再根據定義判定; (2)有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
(2).求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時(shí)，可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法;若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10.函數最大(小)值(定義見(jiàn)課本p36頁(yè))
1 利用二次函數的性質(zhì)(配方法)求函數的最大(小)值2 利用圖象求函數的最大(小)值3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
第二章 基本初等函數
一、指數函數
(一)指數與指數冪的運算
1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *.
當 是奇數時(shí)，正數的 次方根是一個(gè)正數，負數的 次方根是一個(gè)負數.此時(shí)， 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical)，這里 叫做根指數(radical exponent)， 叫做被開(kāi)方數(radicand)
.
當 是偶數時(shí)，正數的 次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數互為相反數.此時(shí)，正數 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合并成± ( >0).
由此可得：負數沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0，
，
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
，
0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒(méi)有意義
指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數指數冪.
(二)指數函數及其性質(zhì)
1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數(exponential )，其中x是自變量，函數的定義域為R.
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質(zhì)
a>1
0
圖象特征
函數性質(zhì)
向x、y軸正負方向無(wú)限延伸
函數的定義域為R
圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱(chēng)
非奇非偶函數
函數圖象都在x軸上方
函數的值域為R+
函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大于1
在第一象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都大于1
圖象上升趨勢是越來(lái)越陡
圖象上升趨勢是越來(lái)越緩
函數值開(kāi)始增長(cháng)較慢，到了某一值后增長(cháng)速度極快;
函數值開(kāi)始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;
(2)若 ，則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;
(3)對于指數函數 ，總有 ;
(4)當 時(shí)，若 ，則 ;
二、對數函數
(一)對數
1.對數的概念：一般地，如果 ，那么數 叫做以 為底 的對數，記作： ( — 底數， — 真數， — 對數式)
說(shuō)明：1 注意底數的限制 ，且 ;
2 ;
3 注意對數的書(shū)寫(xiě)格式.
兩個(gè)重要對數：
1 常用對數：以10為底的對數 ;
2 自然對數：以無(wú)理數 為底的對數的對數 .
對數式與指數式的互化
對數式 指數式
對數底數 ← → 冪底數
對數 ← → 指數
真數 ← → 冪
(二)對數的運算性質(zhì)
如果 ，且 ， ， ，那么：
1 · + ;
2 - ;
3 .
注意：換底公式
( ，且 ; ，且 ; ).
利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) .
(二)對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是(0，+∞).
注意：1 對數函數的定義與指數函數類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。
如： ， 都不是對數函數，而只能稱(chēng)其為對數型函數.
2 對數函數對底數的限制： ，且 .
2、對數函數的性質(zhì)：
a>1
0
圖象特征
函數性質(zhì)
函數圖象都在y軸右側
函數的定義域為(0，+∞)
圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱(chēng)
非奇非偶函數
向y軸正負方向無(wú)限延伸
函數的值域為R
函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
(三)冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱(chēng)為冪函數，其中 為常數.
2、冪函數性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1);
(2) 時(shí)，冪函數的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區間 上是增函數.特別地，當 時(shí)，冪函數的圖象下凸;當 時(shí)，冪函數的圖象上凸;
(3) 時(shí)，冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第一象限內，當 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 軸右方無(wú)限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時(shí)，圖象在 軸上方無(wú)限地逼近 軸正半軸.
第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點(diǎn)
1、函數零點(diǎn)的概念：對于函數 ，把使 成立的實(shí)數 叫做函數 的零點(diǎn)。
2、函數零點(diǎn)的意義：函數 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數根，亦即函數 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標。即：
方程 有實(shí)數根 函數 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數 有零點(diǎn).
3、函數零點(diǎn)的求法：
求函數 的零點(diǎn)：
1 (代數法)求方程 的實(shí)數根;
2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn).
4、二次函數的零點(diǎn)：
二次函數 .
1)△>0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數有兩個(gè)零點(diǎn).
2)△=0，方程 有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).
3)△<0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)
【高一數學(xué)必修1知識點(diǎn)總結】相關(guān)文章：
高一英語(yǔ)必修一unit1知識點(diǎn)總結(人教版)05-10
人教版高一語(yǔ)文必修1教學(xué)總結范文07-25