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實(shí)數基本定理及閉區間上連續函數性質(zhì)證明
§1. 關(guān)于實(shí)數的基本定理
一 子列 定義1 在數列 EMBED Equation.DSMT4 中，保持原來(lái)次序自左至右任一選區無(wú)限多項，構成新的數列，就稱(chēng)為 EMBED Equation.DSMT4 的子列，記為 EMBED Equation.DSMT4 。 子列的極限和原數列的極限的關(guān)系
定理1 EMBED Equation.DSMT4 若 EMBED Equation.DSMT4 ，則 EMBED Equation.DSMT4 的任何子列 EMBED Equation.DSMT4 都收斂，并且它的極限也等于 EMBED Equation.DSMT4 。
注：該定理可用來(lái)判別 EMBED Equation.DSMT4 不收斂。 例：證明 EMBED Equation.DSMT4 不收斂。
推論：若對任何 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4 收斂，則 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 的極限存在。
二 上確界和下確界 上確界的定義，下確界的定義
定理2 非空有上界數集必有上確界;非空有下界數集必有下確界。
定理3 單調有界數列必收斂.
三 區間套定理 區間套: 設 EMBED Equation.DSMT4 是一閉區間序列. 若滿(mǎn)足條件
�、�> 對 EMBED Equation.DSMT4 , 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;
�、�> EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
則稱(chēng)該閉區間序列為為區間套 .
注：區間套是指一個(gè) “閉、縮、套” 區間列.( 都不是).
例： EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 都是區間套.但 EMBED Equation.DSMT4
定理4設 EMBED Equation.DSMT4 是一閉區間套. 則存在唯一的點(diǎn) EMBED Equation.DSMT4 屬于所有的區間。
注：區間套中的任何一個(gè)條件去掉，定理一般將不成立。
四 致密性定理
定理5 任一有界數列必有收斂子列。
推論 若 EMBED Equation.DSMT4 是一個(gè)無(wú)界數列，則存在子列 EMBED Equation.DSMT4 。
五 Cauchy收斂原理
定理6 數列 EMBED Equation.DSMT4 收斂 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 當 EMBED Equation.DSMT4 時(shí)，有 EMBED Equation.DSMT4 。
注：定理可通過(guò)數列本身來(lái)判別它收斂還是發(fā)散。
例：設 EMBED Equation.DSMT4 ，證明 EMBED Equation.DSMT4 發(fā)散。
例：設 EMBED Equation.DSMT4 ，證明 EMBED Equation.DSMT4 收斂。
六 有限覆蓋定理 復蓋: 先介紹區間族 EMBED Equation.DSMT4 .
定義 (復蓋 )：設 EMBED Equation.DSMT4 是一個(gè)數集, EMBED Equation.DSMT4 是區間族.若對 EMBED Equation.DSMT4 使得 EMBED Equation.DSMT4 , 則稱(chēng)區間族 EMBED Equation.DSMT4 復蓋了 EMBED Equation.DSMT4 , 或稱(chēng)區間族 EMBED Equation.DSMT4 是數集 EMBED Equation.DSMT4 的一個(gè)復蓋. 記為 EMBED Equation.DSMT4 若每個(gè) EMBED Equation.DSMT4 都是開(kāi)區間，則稱(chēng)區間族 EMBED Equation.DSMT4 是開(kāi)區間族.開(kāi)區間族常記為 EMBED Equation.DSMT4 .
定義 (開(kāi)復蓋 )：數集 EMBED Equation.DSMT4 的一個(gè)開(kāi)區間族復蓋稱(chēng)為 EMBED Equation.DSMT4 的一個(gè)開(kāi)復蓋,簡(jiǎn)稱(chēng)為 EMBED Equation.DSMT4 的一個(gè)復蓋.
子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.
例： EMBED Equation.DSMT4 復蓋了區間 EMBED Equation.DSMT4 , 但不能復蓋 EMBED Equation.DSMT4 。
定理7 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 的任一開(kāi)復蓋必有有限子復蓋。
注：在定理的條件中，若 EMBED Equation.DSMT4 不是開(kāi)區間集，或 EMBED Equation.DSMT4 為非閉區間，則從 EMBED Equation.DSMT4 中就不一定能選出有限個(gè)區間來(lái)覆蓋。
§2閉區間上連續函數性質(zhì)的證明
一 有界性定理 定理1 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續函數必定有界。
注：開(kāi)區間上的連續函數既可能有界，也可能無(wú)界。
二 最大值和最小值定理 定理2 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續函數必定有最大值和最小值。
三 零點(diǎn)存在定理 定理3 EMBED Equation.DSMT4 在閉區間 EMBED Equation.DSMT4 連續，且 EMBED Equation.DSMT4 ，則 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 內至少有一個(gè)根。
證法一(用區間套定理); 證法二(用確界原理); 證法三 (用有限復蓋定理)。
四 一致連續性定理 定理4 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續函數 EMBED Equation.DSMT4 必定一致連續。
證法一 (用區間套定理); 證法二 (用致密性定理)。
武夷學(xué)院經(jīng)濟與數學(xué)系 《數學(xué)分析》 授課教案
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