2017年英語(yǔ)四級聽(tīng)力常速練習

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　對稱(chēng)問(wèn)題是高中數學(xué)的重要內容之一，在高考數學(xué)試題中常出現一些構思新穎解法靈活的對稱(chēng)問(wèn)題，為使對稱(chēng)問(wèn)題的知識系統化，本文特作以下歸納。

　　一、點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線(xiàn)對稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題

　　1、設點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱(chēng)點(diǎn)為P′(x′，y′)，

　　x′=2a-x

　　由中點(diǎn)坐標公式可得：y′=2b-y

　　2、點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線(xiàn)L：Ax+By+C=O的對稱(chēng)點(diǎn)為

　　x′=x-(Ax+By+C)

　　P′(x′，y′)則

　　y′=y-(AX+BY+C)

　　事實(shí)上：∵PP′⊥L及PP′的中點(diǎn)在直線(xiàn)L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C

　　解此方程組可得結論。

　　(- )=-1(B≠0)

　　特別地，點(diǎn)P(x，y)關(guān)于

　　1、x軸和y軸的對稱(chēng)點(diǎn)分別為(x，-y)和(-x，y)

　　2、直線(xiàn)x=a和y=a的對標點(diǎn)分別為(2a-x，y)和(x，2a-y)

　　3、直線(xiàn)y=x和y=-x的對稱(chēng)點(diǎn)分別為(y，x)和(-y，-x)

　　例1 光線(xiàn)從A(3,4)發(fā)出后經(jīng)過(guò)直線(xiàn)x-2y=0反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,5)，求射入y軸后的反射線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程。

　　解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線(xiàn)x-2y=0的對稱(chēng)點(diǎn)

　　A′(5,0)，B關(guān)于y軸對稱(chēng)點(diǎn)B′為(-1,5)，直線(xiàn)A′B′的方程為5x+6y-25=0

　�。�C(0, )

　�。嘀本�(xiàn)BC的方程為：5x-6y+25=0

二、曲線(xiàn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線(xiàn)的對稱(chēng)曲線(xiàn)問(wèn)題

　　求已知曲線(xiàn)F(x，y)=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線(xiàn)的對稱(chēng)曲線(xiàn)方程時(shí)，只須將曲線(xiàn)F(x，y)=O上任意一點(diǎn)(x，y)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線(xiàn)的對稱(chēng)點(diǎn)的坐標替換方程F(x，y)=0中相應的作稱(chēng)即得，由此我們得出以下結論。

　　1、曲線(xiàn)F(x，y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱(chēng)曲線(xiàn)的方程是F(2a-x，2b-y)=0

　　2、曲線(xiàn)F(x，y)=0關(guān)于直線(xiàn)Ax+By+C=0對稱(chēng)的曲線(xiàn)方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0

　　特別地，曲線(xiàn)F(x，y)=0關(guān)于

　　(1)x軸和y軸對稱(chēng)的曲線(xiàn)方程分別是F(x，-y)和F(-x，y)=0

　　(2)關(guān)于直線(xiàn)x=a和y=a對稱(chēng)的曲線(xiàn)方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0

　　(3)關(guān)于直線(xiàn)y=x和y=-x對稱(chēng)的曲線(xiàn)方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0

　　除此以外還有以下兩個(gè)結論：對函數y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對稱(chēng)圖象得到y=f(|x|)的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y=|f(x)|的圖象。

　　例2(全國高考試題)設曲線(xiàn)C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動(dòng)t，s單位長(cháng)度后得曲線(xiàn)C1：

　　1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C1的方程

　　2)證明曲線(xiàn)C與C1關(guān)于點(diǎn)A( , )對稱(chēng)。

　　(1)解 知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s

　　(2)證明 在曲線(xiàn)C上任取一點(diǎn)B(a,b)，設B1(a1,b1)是B關(guān)于A的對稱(chēng)點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：

　　s-b1=(t-a1)3-(t-a1)

　�。�b1=(a1-t)3-(a1-t)+s

　�。�B1(a1,b1)滿(mǎn)足C1的方程

　�。�B1在曲線(xiàn)C1上，反之易證在曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱(chēng)點(diǎn)在曲線(xiàn)C上

　�。嗲�線(xiàn)C和C1關(guān)于a對稱(chēng)

　　我們用前面的結論來(lái)證：點(diǎn)P(x,y)關(guān)于A的對稱(chēng)點(diǎn)為P1(t-x,s-y)，為了求得C關(guān)于A的對稱(chēng)曲線(xiàn)我們將其坐標代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)

　�。�y=(x-t)3-(x-t)+s

　　此即為C1的方程，｀C關(guān)于A的對稱(chēng)曲線(xiàn)即為C1。

　　三、曲線(xiàn)本身的對稱(chēng)問(wèn)題

　　曲線(xiàn)F(x,y)=0為(中心或軸)對稱(chēng)曲線(xiàn)的充要條件是曲線(xiàn)F(x,y)=0上任意一點(diǎn)P(x,y)(關(guān)于對稱(chēng)中心或對稱(chēng)軸)的對稱(chēng)點(diǎn)的坐標替換曲線(xiàn)方程中相應的坐標后方程不變。

　　例如拋物線(xiàn)y2=-8x上任一點(diǎn)p(x,y)與x軸即y=0的對稱(chēng)點(diǎn)p′(x,-y)，其坐標也滿(mǎn)足方程y2=-8x，｀y2=-8x關(guān)于x軸對稱(chēng)。

　　例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲線(xiàn)：

　　A、關(guān)于y軸對稱(chēng) B、關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對稱(chēng)

　　C、關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng) D、關(guān)于直線(xiàn)x-y=0對稱(chēng)

　　解：在方程中以-x換x，同時(shí)以-y換y得

　　(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變

　�。嗲�線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。

　　函數圖象本身關(guān)于直線(xiàn)和點(diǎn)的對稱(chēng)問(wèn)題我們有如下幾個(gè)重要結論：

　　1、函數f(x)定義線(xiàn)為R，a為常數，若對任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對稱(chēng)。

　　這是因為a+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對稱(chēng)，且其函數值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng)，由x的任意性可得結論。

　　例如對于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)則f(x)圖象關(guān)于x=2對稱(chēng)。若將條件改為f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)結論又如何呢？第一式中令t=1+m則得f(2+m)=f(2-m)；第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同樣結論即關(guān)于x=2對稱(chēng)，由此我們得出以下的更一般的結論：

　　2、函數f(x)定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，則其圖象關(guān)于直線(xiàn)x= 對稱(chēng)。

　　我們再來(lái)探討以下問(wèn)題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結論又如何呢？試想如果2改成0的話(huà)得f(t)=-f(t)這是奇函數，圖象關(guān)于(0,0)成中心對稱(chēng)，現在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于M(2，0)成中心對稱(chēng)。如圖，取點(diǎn)A(2+t，f(2+t))其關(guān)于M(2，0)的對稱(chēng)點(diǎn)為A′(2-x，-f(2+x))

　　∵-f(2+X)=f(2-x)｀A′的坐標為(2-x，f(2-x))顯然在圖象上 

　�。鄨D象關(guān)于M(2，0)成中心對稱(chēng)。

　　若將條件改為f(x)=-f(4-x)結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：

　　3、f(X)定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，則其圖象關(guān)于點(diǎn)M(，0)成中心對稱(chēng)。

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