物理學(xué)之數值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應用及優(yōu)勢

　　以下是關(guān)于數值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應用及優(yōu)勢的論文，希望可以幫助各位物理學(xué)的同學(xué)哦!

　　摘要：量子力學(xué)一直以來(lái)都是高等物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。為了避免煩瑣的數學(xué)推導，提高學(xué)生對量子力學(xué)的學(xué)習興趣，應將數值計算作為一個(gè)虛擬實(shí)驗平臺引入到量子力學(xué)的教學(xué)中。

　　關(guān)鍵詞：量子力學(xué);數值計算;諧振子

　　一、引言

　　量子力學(xué)是研究微觀(guān)粒子運動(dòng)規律的物理學(xué)分支學(xué)科，與相對論一起構成了現代物理學(xué)的理論基礎[1]。對于高等院校物理專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，量子力學(xué)在基礎課程中占有核心地位。通過(guò)學(xué)習量子力學(xué)，可進(jìn)一步將學(xué)生對客觀(guān)物質(zhì)世界的感性認識提升到理性認識。因此，對于高校量子力學(xué)教師而言，形象、生動(dòng)的課堂教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，而且還能完善和拓展學(xué)生的物理專(zhuān)業(yè)知識，從而提高學(xué)生的思維水平和培養他們的科研能力。

　　對于大部分初學(xué)者，除了難以理解量子力學(xué)中一些與常理相悖的知識外，煩瑣的數學(xué)推導使很多同學(xué)對量子力學(xué)望而生畏。如果高校教師繼續沿用傳統的解析推演、口述筆寫(xiě)的教學(xué)方式，將加大學(xué)生學(xué)習量子力學(xué)的難度。此外，量子力學(xué)的授課內容大部分屬于理論知識，受條件的限制，許多高校無(wú)法為學(xué)生開(kāi)設實(shí)驗課程，這使得學(xué)生對抽象的量子力學(xué)現象缺乏客觀(guān)認識。隨著(zhù)計算機的不斷發(fā)展，很多教師將一些數值計算引入到了量子力學(xué)教學(xué)中，不僅有效地規避了煩瑣的數學(xué)解析推演，而且也能作為量子力學(xué)授課的理想實(shí)驗平臺，為學(xué)生形象地展示量子力學(xué)中的一些抽象且難以理解的量子現象和概念[2，3]。因此，為了降低學(xué)生學(xué)習量子力學(xué)的難度，提高學(xué)生對量子力學(xué)的學(xué)習興趣，應鼓勵高校教師將計算機及數值計算搬進(jìn)量子力學(xué)的教學(xué)課堂。本文將通過(guò)具體的一些量子力學(xué)實(shí)例來(lái)說(shuō)明數值計算應用于量子力學(xué)教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)勢。

　　二、數值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應用實(shí)例

　　我們將以一維勢場(chǎng)中單個(gè)粒子的定態(tài)及含時(shí)演化為例來(lái)說(shuō)明數值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應用。為了簡(jiǎn)單，我們以Matlab軟件作為數值計算的平臺。

　　例1：一維定態(tài)薛定諤方程的數值計算

　　在量子力學(xué)中，描述單個(gè)粒子在一維勢場(chǎng)V(x)中運動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程如下：

　　- +Vxψx=Eψx (1)

　　這里我們假設m=?攸=1。原則上，通過(guò)從定態(tài)薛定諤方程中求解出波函數ψ(x)，我們可以知道該粒子在勢場(chǎng)V(x)中運動(dòng)的所有信息。然而，方程(1)是否存在解析解，在很大程度上依賴(lài)于勢場(chǎng)V(x)的具體形式。對于較為簡(jiǎn)單的勢場(chǎng)，例如大家熟知的無(wú)限深勢阱及諧振子勢阱，很容易解析求解方程(1)。相反，如果勢場(chǎng)V(x)的形式比較復雜，如周期勢或雙勢阱，則必須借助于數值計算。因此，當學(xué)生學(xué)會(huì )利用數值計算求解無(wú)限深勢阱或諧振子勢阱中的定態(tài)薛定諤方程時(shí)，則很容易舉一反三的將其推廣至較為復雜的勢場(chǎng)，從而避免了煩瑣的數學(xué)問(wèn)題。

　　以下是基于Maltab軟件并利用虛時(shí)演化方法所編寫(xiě)的計算定態(tài)薛定諤方程的程序：

　　clearall

　　N=100;x=linspace(-6，6，N+1);dx=x(2)-x(1);dt=0.001;dxdt=dt/dx^2;

　　V=0.5*x.^2;%諧振子勢函數

　　temp=1+dxdt+dt*V;

　　psi=rand(1，N+1);%初始波函數

　　psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化波函數

　　psi1=psi;

　　for k=1：10000000

　　psi2=zeros(1，N+1);

　　for m=1：100000000

　　for j=2：N

　　psi2(j)=(psi(j)+0.5*dxdt*(psi1(j+1)+psi1(j-1)))/temp(j);

　　end

　　emax=max(abs(psi2-psi1));psi1=psi2;

　　ifemax<1e-8

　　break

　　end

　　end

　　psi1=psi1/sqrt(sum(abs(psi1).^2*dx));emax=max(abs(psi-psi1));psi=psi1;

　　ifemax<1e-6 %波函數收斂條件

　　break

　　end

　　end

　　作為例子，我們利用上述程序分別計算出諧振子和雙勢阱中的基態(tài)解。程圖1(a)中展示了諧振子的基態(tài)解，從中可以看出，數值計算的結果和精確解一致。對于V (x)= x +ae 的雙勢阱(這里a為勢壘高度，b為勢壘寬度)，由于波函數滿(mǎn)足相同的邊界條件ψ(x→±∞)=0，則只需要將上述程序中的諧振子換成V (x)即可，其基態(tài)波函數展示在圖1(b)中。從圖1(b)中可以看出，隨著(zhù)勢壘高度的增加，粒子穿過(guò)勢壘的幾率越來(lái)越低。由此可見(jiàn)，利用數值計算能形象地描述粒子在雙勢阱中的勢壘貫穿效應，這降低了學(xué)生對該現象的理解難度，同時(shí)提高了教師的授課效率。

　　例2：一維含時(shí)薛定諤方程的數值計算

　　在量子力學(xué)中，描述單個(gè)粒子在一維勢場(chǎng)V(x)中運動(dòng)的含時(shí)薛定諤方程如下：

　　i =- +V(x)ψ(x，t) (2)

　　該方程為二階偏微分方程，對于一般形式的外勢V(x)很難嚴格求解該方程。因此，我們借助時(shí)間劈裂傅立葉譜方法進(jìn)行數值求解，其Matlab程序代碼如下：

　　clearall

　　N=200;L=20;dx=L/N;x=(-N/2：N/2-1)*dx; 　　K=2*pi/L;k=fftshift(-N/2：N/2-1)*K;

　　V=0.5*3*x.^2;

　　psi=exp(-(x-2).^2);psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化初始波函數

　　t=linspace(0，10，1001);dt=t(2)-t(1);F=exp(-i*0.5*dt*k.^2/2);

　　for j=1：length(t);

　　psi=ifft(F.*fft(psi));

　　psi=exp(-i*V*dt).*psi;

　　psi=ifft(F.*fft(psi));

　　U(j，：)=psi;

　　end

　　作為例子，我們分別選取了諧振子勢阱的基態(tài)波函數和非基態(tài)波函數作為時(shí)間演化的初始值。從圖2中可以看到，當初始值為基態(tài)波函數時(shí)，波包的構型并不會(huì )隨著(zhù)時(shí)間的演化而發(fā)生形變，這說(shuō)明粒子處于動(dòng)力學(xué)穩定的狀態(tài)。相反，當我們將初始波函數的波包中心稍作挪動(dòng)，則隨著(zhù)時(shí)間的演化，波包將在勢阱中做周期性振蕩。我們可以讓學(xué)生利用數值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。此外，如果我們將初始波函數改為諧振子的激發(fā)態(tài)，并在初始時(shí)刻加上一個(gè)較小的擾動(dòng)項，則可利用時(shí)間演化程序證明激發(fā)態(tài)在外界的一定擾動(dòng)下而變得動(dòng)力學(xué)不穩定。因此，數值程序為我們提供了驗證理論結果的理想實(shí)驗平臺，有利于學(xué)生對抽象物理概念的理解。

　　三、結語(yǔ)

　　基于Matlab軟件，我們以量子力學(xué)中的定態(tài)和含時(shí)薛定諤方程為例來(lái)說(shuō)明數值計算應用于量子力學(xué)教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)勢。數值計算不僅有效避免了煩瑣的數學(xué)公式推導，而且也可當作理想的實(shí)驗平臺來(lái)形象地展示量子力學(xué)中一些抽象的物理現象。高校教師借助于數值計算能拓展學(xué)生的物理專(zhuān)業(yè)知識，提高他們對量子力學(xué)的學(xué)習興趣，培養他們利用數值計算做一些簡(jiǎn)單的科學(xué)研究。

　　參考文獻：

　　[1]曾謹言.量子力學(xué)卷I[M].第五版.北京：科學(xué)出版社，2014.

　　[2]張杰.吸收介質(zhì)的Mie散射光學(xué)特性研究[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2003，9(4)：53.

　　[3]張小偉，趙華.Matlab在量子力學(xué)教學(xué)中的簡(jiǎn)單應用[J].科技信息，2013，(24)

【物理學(xué)之數值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應用及優(yōu)勢】相關(guān)文章：

10-05

10-07

10-05

09-28

10-08

10-08

10-08

10-05

10-08