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數學(xué)技能的學(xué)習淺談
一、數學(xué)技能的含義及作用
技能是順利完成某種任務(wù)的一種動(dòng)作或心智活動(dòng)方式。它是一種接近自動(dòng)化的、復雜而較為完善的動(dòng)作系統，是通過(guò)有目的、有計劃的練習而形成的。數學(xué)技能是順利完成某種數學(xué)任務(wù)的動(dòng)作或心智活動(dòng)方式。它通常表現為完成某一數學(xué)任務(wù)時(shí)所必需的一系列動(dòng)作的協(xié)調和活動(dòng)方式的自動(dòng)化。這種協(xié)調的動(dòng)作和自動(dòng)化的活動(dòng)方式是在已有數學(xué)知識經(jīng)驗基礎上經(jīng)過(guò)反復練習而形成的。如學(xué)習有關(guān)乘數是兩位數的乘法計算技能，就是在掌握其運算法則的基礎上通過(guò)多次的實(shí)際計算而形成的。數學(xué)技能與數學(xué)知識和數學(xué)能力既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)上的區別。它們的區別主要表現為：技能是對動(dòng)作和動(dòng)作方式的概括，它反映的是動(dòng)作本身和活動(dòng)方式的熟練程度；知識是對經(jīng)驗的概括，它反映的是人們對事物和事物之間相互聯(lián)系的規律性的認識；能力是對保證活動(dòng)順利完成的某些穩定的心理特征的概括，它所體現的是學(xué)習者在數學(xué)學(xué)習活動(dòng)中反映出來(lái)的個(gè)體特征。三者之間的聯(lián)系，可以比較清楚地從數學(xué)技能的作用中反映出來(lái)。
數學(xué)技能在數學(xué)學(xué)習中的作用可概括為以下幾個(gè)方面：
第一，數學(xué)技能的形成有助于數學(xué)知識的理解和掌握；
第二，數學(xué)技能的形成可以進(jìn)一步鞏固數學(xué)知識；
第三，數學(xué)技能的形成有助于數學(xué)問(wèn)題的解決；
第四，數學(xué)技能的形成可以促進(jìn)數學(xué)能力的發(fā)展；
第五，數學(xué)技能的形成有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣；
第六，調動(dòng)他們的學(xué)習積極性。
二、數學(xué)技能的分類(lèi)
小學(xué)生的數學(xué)技能，按照其本身的性質(zhì)和特點(diǎn)，可以分為操作技能（又叫做動(dòng)作技能）和心智技能（也叫做智力技能）兩種類(lèi)型。
l．數學(xué)操作技能。操作技能是指實(shí)現數學(xué)任務(wù)活動(dòng)方式的動(dòng)作主要是通過(guò)外部機體運動(dòng)或操作去完成的技能。它是一種由各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的程序連貫而成的外部操作活動(dòng)方式。如學(xué)生在利用測量工具測量角的度數、測量物體的長(cháng)度，用作圖工具畫(huà)幾何圖形等活動(dòng)中所形成的技能就是這種外部操作技能。操作技能具有有別于心智技能的一些比較明顯的特點(diǎn)：一是外顯性，即操作技能是一種外顯的活動(dòng)方式；二是客觀(guān)性，是指操作技能活動(dòng)的對象是物質(zhì)性的客體或肌肉；王是非簡(jiǎn)約性，就動(dòng)作的結構而言，操作技能的每個(gè)動(dòng)作都必須實(shí)施，不能省略和合并，是一種展開(kāi)性的活動(dòng)程序。如用圓規畫(huà)圓，確定半徑、確定圓心、圓規一腳繞圓心旋轉一周等步驟，既不能省略也不能合并，必須詳盡地展開(kāi)才能完成圓圓的任務(wù)。
2．數學(xué)心智技能。數學(xué)心智技能是指順利完成數學(xué)任務(wù)的心智活動(dòng)方式。它是一種借助于內部言語(yǔ)進(jìn)行的認知活動(dòng)，包括感知、記憶、思維和想象等心理成分，并且以思維為其主要活動(dòng)成分。如小學(xué)生在口算、筆算、解方程和解答應用題等活動(dòng)中形成的技能更多地是一些數學(xué)心智技能。數學(xué)心智技能同樣是經(jīng)過(guò)后天的學(xué)習和訓練而形成的，它不同于人的本能。另外，數學(xué)心智技能是一種合乎法則的心智活動(dòng)方式，“所謂合乎法則的活動(dòng)方式是指活動(dòng)的動(dòng)作構成要素及其次序應體現活動(dòng)本身的客觀(guān)法則的要求，而不是任意的”。這些特性，反映了數學(xué)心智技能和數學(xué)操作技能的共性。數學(xué)心智技能作為一種以思維為主要活動(dòng)成分的認知活動(dòng)方式，它也有著(zhù)區別于數學(xué)操作技能的個(gè)性特征，這些特征主要反映在以下三個(gè)方面。
第一，動(dòng)作對象的觀(guān)念性。數學(xué)心智技能的直接對象不是具有物質(zhì)形式的客體本身，而是這種客體在人們頭腦里的主觀(guān)映象。如20以?xún)韧宋粶p法的口算，其心智活動(dòng)的直接對象是“想加法算減法”或其他計算方法的觀(guān)念，而非某種物質(zhì)化的客體。
第二，動(dòng)作實(shí)施過(guò)程的內隱性。數學(xué)心智技能的動(dòng)作是借助內部言語(yǔ)完成的，其動(dòng)作的執行是在頭腦內部進(jìn)行的，主體的變化具有很強的內隱性，很難從外部直接觀(guān)測到。如口算，我們能夠直接了解到的是通過(guò)學(xué)生的外部語(yǔ)言所反映出來(lái)的計算結果，學(xué)生計算時(shí)的內部心智活動(dòng)動(dòng)作是無(wú)法看到的。
第三，動(dòng)作結構的簡(jiǎn)縮性。數學(xué)心智技能的動(dòng)作不像操作活動(dòng)那樣必須把每一個(gè)動(dòng)作都完整地做出來(lái)，也不像外部言語(yǔ)那樣對每一個(gè)動(dòng)作都完整地說(shuō)出來(lái)，它的活動(dòng)過(guò)程是一種高度壓縮和簡(jiǎn)化的自動(dòng)化過(guò)程。因此，數學(xué)心智技能中的動(dòng)作成分是可以合并、省略和簡(jiǎn)化的。如20以?xún)冗M(jìn)位加法的口算，學(xué)生熟練以后計算時(shí)根本沒(méi)有去意識“看大數”、“想湊數”、“分小數”、“湊十”等動(dòng)作，整個(gè)計算過(guò)程被壓縮成一種脫口而出的簡(jiǎn)略性過(guò)程。
三、數學(xué)技能的形成過(guò)程
1．數學(xué)操作技能的形成過(guò)程。
數學(xué)操作技能作為一種外顯的操作活動(dòng)方式，它的形成大致要經(jīng)過(guò)以下四個(gè)基本階段。
�。�1）動(dòng)作的定向階段。這是操作技能形成的起始階段，主要是學(xué)習者在頭腦里建立起完成某項數學(xué)任務(wù)的操作活動(dòng)的定向映象。包括明確學(xué)習目標，激起學(xué)習動(dòng)機，了解與數學(xué)技能有關(guān)的知識，知道技能的操作程序和動(dòng)作要領(lǐng)以及活動(dòng)的最后結果等內容。概括起來(lái)講，這一階段主要是了解“做什么”和“怎樣做”兩方面的內容。如畫(huà)角，這一階段主要是了解需畫(huà)一個(gè)多少度的角（即知道做什么）和畫(huà)角的步驟（即怎么做），以此給畫(huà)角的操作活動(dòng)作出具體的定向。動(dòng)作定向的作用是在頭腦里初步建立起操作的自我調節機制；通過(guò)對“做什么”和“怎么做”的了解而明確實(shí)施數學(xué)活動(dòng)的程序與步驟，從而保證在操作中更好地掌握其動(dòng)作的活動(dòng)方式。
�。�2）動(dòng)作的分解階段。這是操作技能進(jìn)入實(shí)際學(xué)習的最初階段，其作法是把某項數學(xué)技能的全套動(dòng)作分解成若干個(gè)單項動(dòng)作，在老師的示范下學(xué)生依次模仿練習，從而掌握局部動(dòng)作的活動(dòng)方式。如用圓規按照給定的半徑畫(huà)圓，在這一階段就可把整個(gè)操作程序分解成三個(gè)局部動(dòng)作：①把圓規的兩腳張開(kāi)，按照給定的半徑定好兩腳間的距離；②把有針尖的一腳固定在一點(diǎn)上，確定出圓心；③將有鉛筆尖的一腳繞圓心旋轉一周，畫(huà)出圓。通過(guò)對這三個(gè)具有連續性的局部動(dòng)作的依次練習，即可掌握畫(huà)圓的要領(lǐng)。學(xué)生在這一階段學(xué)習的方式主要是模仿，一方面根據老師的示范進(jìn)行模仿；另一方面也可以根據有關(guān)操作規則的文字描述進(jìn)行模仿，如根據幾何作圖規則對各個(gè)動(dòng)作活動(dòng)方式的表述進(jìn)行模仿。模仿不一定都是被動(dòng)的和機械的，“模仿可以是有意的和無(wú)意的；可以是再造性的，也可以是創(chuàng )造性的�！雹谀７率菙祵W(xué)操作技能形成的一個(gè)不可缺少的條件。
�。�3）動(dòng)作的整合階段。在這一階段，把前面所掌握的各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的順序連接起來(lái)，使其形成一個(gè)連貫而協(xié)調的操作程序，并固定下來(lái)。如畫(huà)圓，在這一階段就可將三個(gè)步驟綜合起來(lái)形成一體化的操作系統。這時(shí)由于局部動(dòng)作之間尚處在銜接階段，所以動(dòng)作還難以維持穩定性和精確性，動(dòng)作系統中的某些環(huán)節在銜接時(shí)甚至還會(huì )出現停頓現象。不過(guò)，總的來(lái)講這一階段動(dòng)作之間的相互干擾逐步得到排除，操作過(guò)程中的多余動(dòng)作也明顯減少，已形成完整而有序的動(dòng)作系統。
�。�4）動(dòng)作的熟練階段。這是操作技能形成的最后階段，在這一階段通過(guò)練習而形成的數學(xué)活動(dòng)方式能適應各種變化情況，其操作表現出高度完善化的特點(diǎn)。動(dòng)作之間相互干擾和不協(xié)調的現象完全消除，動(dòng)作具有高度的正確性和穩定性，并且不管在什么條件下全套動(dòng)作都能流暢地完成。如這時(shí)的畫(huà)圓，不需要意志控制就能順利地完成全套動(dòng)作，并且能充分保證其正確性。上述分析表明，數學(xué)操作技能的形成要經(jīng)過(guò)“定向→分解→整合→熟練”的發(fā)展過(guò)程。在這一過(guò)程中每一個(gè)發(fā)展階段都有自己的任務(wù)：定向階段的主要任務(wù)是掌握操作的結構系統和每一個(gè)步驟操作的要領(lǐng)；分解階段的主要任務(wù)是對活動(dòng)的操作系列進(jìn)行分解，并逐一模仿練習；整合階段的主要任務(wù)是在動(dòng)作之間建立聯(lián)系，使活動(dòng)協(xié)調一體化；熟練階段的任務(wù)則主要是使整個(gè)操作過(guò)程高度完善化和自動(dòng)化。
2．數學(xué)心智技能的形成過(guò)程。
關(guān)于數學(xué)心智技能形成過(guò)程的研究，人們比較普遍地采用了原蘇聯(lián)心理學(xué)家加里培林的研究成果。加里培林認為，心智活動(dòng)是一個(gè)從外部的物質(zhì)活動(dòng)到內部心智活動(dòng)的轉化過(guò)程，既內化的過(guò)程。據此，在這里我們把小學(xué)生數學(xué)心智技能的形成過(guò)程概括為以下四個(gè)階段。
�。�1）活動(dòng)的認知階段。這是數學(xué)心智活動(dòng)的認知準備階段，主要是讓學(xué)生了解并記住與活動(dòng)任務(wù)有關(guān)的知識，明確活動(dòng)的過(guò)程和結果，在頭腦里形成活動(dòng)本身及其結果的表象。如學(xué)習除數是小數的除法計算技能，在這一步就是讓學(xué)生回憶并記住除法商不變性質(zhì)和除數是整數的小數除法法則等知識，在此基礎上明確計算的程序和每一步計算的具體方法，以此在頭腦里形成除數是小數除法計算過(guò)程的表象。認知階段實(shí)際上也是一種心智活動(dòng)的定向階段，通過(guò)這一階段，學(xué)習者可以建立起進(jìn)行數學(xué)心智活動(dòng)的初步自我調節機制，為后面順利進(jìn)行認知活動(dòng)提供內部控制條件。這一階段的主要任務(wù)是在頭腦里確定心智技能的活動(dòng)程序，并讓這種程序的動(dòng)作結構在頭腦里得到清晰的反映。
�。�2）示范模仿階段。這是數學(xué)心智活動(dòng)方式進(jìn)入具體執行過(guò)程的開(kāi)始，這一階段學(xué)生把在頭腦里已初步建立起來(lái)的活動(dòng)程序計劃以外顯的操作方式付諸執行。不過(guò)，這種執行通常是在老師指導示范下進(jìn)行的，老師的示范通常是采用語(yǔ)言指導和操作提示相結合的方式進(jìn)行的，即在言語(yǔ)指導的同時(shí)呈現活動(dòng)過(guò)程中的某些步驟。如計算乘數是兩位數的乘法時(shí)，一方面根據運算法則指導運算步驟；另一方面在表述運算規定的同時(shí)重點(diǎn)示范用乘數十位上的數去乘被乘數所得的部分積的對位，以此讓學(xué)生在老師的幫助、指導下順利地掌握兩位數乘多位數計算的活動(dòng)方式。在這一階段，學(xué)生活動(dòng)的執行水平還比較低，通常停留在物質(zhì)活動(dòng)和物質(zhì)化活動(dòng)的水平上�！八^物質(zhì)活動(dòng)是指動(dòng)作的客體是實(shí)際事物，所謂物質(zhì)化活動(dòng)是指活動(dòng)不是借助于實(shí)際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學(xué)具，乃至圖畫(huà)、圖解、言語(yǔ)等進(jìn)行的”。③如解答復合應用題，在這一步學(xué)生通常就是借助線(xiàn)段圖進(jìn)行分析題中數量關(guān)系的智力活動(dòng)的。
�。�3）有意識的言語(yǔ)階段。這一階段的智力活動(dòng)離開(kāi)了活動(dòng)的物質(zhì)和物質(zhì)化的客體而逐步轉向頭腦內部，學(xué)生通過(guò)自己的言語(yǔ)指導而進(jìn)行智力活動(dòng)，通常表現為一邊操作一邊口中念念有詞。如兩位數加兩位數的筆算，在這一步學(xué)生往往是一邊計算，口中一邊念：相同數位對位，從個(gè)位加起，個(gè)位滿(mǎn)十向十位進(jìn)1。很明顯，這時(shí)的計算過(guò)程是伴隨著(zhù)對法則運算規定的復述進(jìn)行的。在這一階段，學(xué)生出聲的外部言語(yǔ)活動(dòng)還會(huì )逐步向不出聲的外部言語(yǔ)活動(dòng)過(guò)渡，如兩位數加兩位數的筆算，在本階段的后期學(xué)生往往是通過(guò)默想法則規定的運算步驟進(jìn)行計算的。這一活動(dòng)水平的出現，標志著(zhù)學(xué)生的活動(dòng)已開(kāi)始向智力活動(dòng)水平轉化。
�。�4）無(wú)意識的內部言語(yǔ)階段。這是數學(xué)心智技能形成的最后的一個(gè)階段，在這一階段學(xué)生的智力活動(dòng)過(guò)程有了高度的壓縮和簡(jiǎn)化，整個(gè)活動(dòng)過(guò)程達到了完全自動(dòng)化的水平，無(wú)需去注意活動(dòng)的操作規則就能比較流暢地完成其操作程序。如用簡(jiǎn)便方法計算45＋99×99＋54，在這一階段學(xué)生無(wú)需去回憶加法交換律和結合律、乘法分配律等運算定律，就能直接先合并45和54兩個(gè)加數，然后利用乘法分配律進(jìn)行計算，即原式＝（45＋54）＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900，整個(gè)計算過(guò)程完全是一種流暢的自動(dòng)化演算過(guò)程。在這一階段，學(xué)生的活動(dòng)完全是根據自己的內部言語(yǔ)進(jìn)行思考的，并且總是用非常簡(jiǎn)縮的形式進(jìn)行思考的，活動(dòng)的中間過(guò)程往往簡(jiǎn)約得連自己也察覺(jué)不到了，整個(gè)活動(dòng)過(guò)程基本上是一種自動(dòng)化的過(guò)程。
四、
數學(xué)技能的學(xué)習方法
1．數學(xué)操作技能的學(xué)習方法。學(xué)習數學(xué)操作技能的基本方法是模仿練習法和程序練習法。前者是指學(xué)生在學(xué)習中根據老師的示范動(dòng)作或教材中的示意圖進(jìn)行模仿練習，以掌握操作的基本要領(lǐng)，在頭腦里形成操作過(guò)程的動(dòng)作表象的一種學(xué)習方法。用工具度量角的大小、測量物體的長(cháng)短、幾何圖形的作圖、幾何圖形面積和體積計算公式推導過(guò)程中的圖形轉化等技能一般都可以通過(guò)模仿練習法去掌握。如推導平行四邊形面積計算公式時(shí)，把平行四邊形轉化成長(cháng)方形的操作技能就可模仿（人教版）教材插圖（如圖所示）的操作過(guò)程去練習和掌握。小學(xué)生的學(xué)習更多的是模仿老師的示范動(dòng)作，所以老師的示范對小學(xué)生數學(xué)動(dòng)作技能的形成尤為重要。教師要充分運用示范與講解相結合、整體示范與分步示范相結合等措施，讓學(xué)生準確無(wú)誤地掌握操作要領(lǐng)，形成正確的動(dòng)作表象。所謂程序練習法，就是運用程序教學(xué)的原理將所要學(xué)習的數學(xué)動(dòng)作技能按活動(dòng)程序分解成若干局部的動(dòng)作先逐一練習，最后將這些局部的動(dòng)作綜合成整體形成程序化的活動(dòng)過(guò)程。如用量角器量角的度數、用三角板畫(huà)垂線(xiàn)和平行線(xiàn)、畫(huà)長(cháng)方形等技能的學(xué)習都可以采用這種方法。用這種方法學(xué)習數學(xué)動(dòng)作技能，分解動(dòng)作時(shí)注意突出重點(diǎn)，重點(diǎn)解決那些難以掌握的局部動(dòng)作，這樣可以有效地提高學(xué)習效率。
2．數學(xué)心智技能的學(xué)習方法。學(xué)生的心智技能主要是通過(guò)范例學(xué)習法和嘗試學(xué)習法去獲得的。范例學(xué)習法是指學(xué)習時(shí)按照課本提供的范例，將數學(xué)技能的思維操作程序一步一步地展現出來(lái)，然
后根據這種程序逐步掌握技能的心智活動(dòng)方式。整數、小數、分數的四則計算，課本幾乎都提供了計算的范例，學(xué)習時(shí)只需要根據范例有序地進(jìn)行計算即可掌握計算方法。如被除數和除數末尾都有0的除法的簡(jiǎn)便算法，課本安排了如下范例,學(xué)習時(shí)只需要明確范例所反映的計算程序和方法，并按照這種程序和方法進(jìn)行計算即可掌握被除數和除數末尾都有0的除法簡(jiǎn)便計算的技能。嘗試學(xué)習法是指在學(xué)習中主要由學(xué)生自己去嘗試探索問(wèn)題解決的方法和途徑，并在不斷修正錯誤的過(guò)程中找出解決問(wèn)題的操作程序，進(jìn)而獲得數學(xué)技能。這是一種探究式的發(fā)現學(xué)習法，總結運算規律和性質(zhì)并運用它們進(jìn)行簡(jiǎn)便計算、解答復合應用題、求某些比較復雜的組合圖形的面積或體積等技能都可以運用這種學(xué)習方法去掌握。這種方法較多地運用于題目本身具有較強探究性的變式問(wèn)題解決的學(xué)習，如用簡(jiǎn)便方法計算1001÷12.5，由于學(xué)生在前面已經(jīng)掌握除法商不變性質(zhì)，練習時(shí)就可通過(guò)將除數和被除數部乘以8使除數變成100的途徑去實(shí)現計算的簡(jiǎn)便。嘗試學(xué)習法雖然有利于培養學(xué)生的探索精神和解決問(wèn)題的能力，但耗時(shí)太多，學(xué)習時(shí)最好是將它和范例學(xué)習法結合起來(lái)，兩種學(xué)習方法互為補充，這樣數學(xué)技能的學(xué)習就會(huì )更加富有成效。
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